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VARIABLE COMPLEJA IV
DESARROLLO EN SERIE DE LAURENT DE UNA
FUNCIÓN HOLOMORFA EN UNA CORONA.
Definición: Sea f una función definida en una corona : r < z − a < R . Se dice que f es desarrollable
+∞
∑ c bz − ag ,
en s. de L. en esa corona si existe una s. de L.
bg
n
que converge a f z para todo punto en
n
n =−∞
la corona. En ese caso, además la función f es holomorfa en la corona y la convergencia de la serie es
absoluta y uniforme en cualquier compacto contenido en la corona.
Además si existe una s. de L., ésta es única, y se tiene la siguiente fórmula para los coeficientes de las
serie:
cn =
1
f (ω )
∫
d ω siendo γ : z − a = ρ y r < ρ < R .
n +1
2π i γ (ω − a )
bg
EJEMPLO (Problema 16): El d. de Laurent de la función f z = z ⋅ e
+∞
+∞
+∞
1/ z 2
alrededor de z = 0 es:
2
2
1 n
1 1
1 1
z ⇒ e1 z = ∑ ⋅ 2 n ⇒ z ⋅ e1 z = ∑ ⋅ 2 n −1 , convergente para z > 0 .
n=0 n!
n =0 n! z
n=0 n! z
Además Res f ,0 = 1 , luego la integral pedida en el apartado c) vale 2πi .
Definición: Sea f una función holomorfa en: z > r . Se dice que f tiene un polo en el punto del
infinito si la función obtenida al hacer el cambio de variable z = 1 z ′ en la expresión
1
1
1
1
f z dz = − 2 ⋅ f
dz ′ , es decir g z ′ = − 2 ⋅ f
tiene un polo en el origen. Además se
z′
z′
z′
z′
dice que el residuo de f en el punto del infinito es el residuo de g en el punto z ′ = 0 . Así si
ez = ∑
b g
FG IJ
H K
bg
+∞
∑ c bz − ag
n
n
FG IJ
H K
bg
es el d. en s. de L. en un entorno del infinito ( para
b
g
z − a > r ) Res f ,+∞ = c−1 .
n =−∞
OBSERVACIÓN: Con esta definición, en el teorema de los residuos el punto del infinito puede
pertenecer al conjunto A, si el conjunto Ω es no-acotado.
bg
1
tiene un polo en el origen y otro en el punto del infinito con
z
1
ω + dω = 2πi , ya sea considerando el origen o el
residuos 1 y -1 respectivamente. De ahí que
EJEMPLO: La función f z = z +
z
ω
z =1
punto del infinito como el polo interior a la curva
fórmula integral de Cauchy, haciendo:
z
ω+
z =1
1
ω
dω =
z = 1. También se puede hallar la integral por la
z
ω2 +1
dω = 2πi ⋅ 02 + 1 = 2πi
ω
z =1
c
Cálculo de residuos:
(1) Si z0 ∈ C , polo simple de f entonces:
b g
b
h
g bg
Res f , z0 = lim z − z0 ⋅ f z .
z→ z0
b g QPbbzzgg , con P y Q holomorfas en un entorno de z , z cero simple de Q
Pb z g
y Pb z g ≠ 0 entonces: Resb f , z g =
. Para comprobar esta propiedad, basta aplicar la fórmula
Q ′b z g
(2) z0 polo simple de
f z =
0
0
0
0
0
de (1) a la función f y hallar el límite mediante la regla de L'Hopital.
1
0
eiz
e −1 −i
tiene
polos
simples
en
z
=
±
i
.
Res
f
,
i
=
=
.
2i 2e
z2 + 1
k
(3) z0 polo múltiple de f , entonces la función g z = z − z0 ⋅ f z es holomorfa alrededor de z0 y
bg
b g
EJEMPLO: La función f z =
b
como el coeficiente de z − z0
g
bg b
−1
g bg
de g , se tiene:
b g
bg
EJEMPLO: f z =
b g
Res f , i =
c
h
z z2 + 1
2
z→ z0
g
k −1
en el desarrollo
g b g b g ⋅ bk −1 1g!
b
k −1
Res f , z0 = lim z − z0 ⋅ f z
eiz
b
en el desarrollo de Laurent de f es el de z − z0
k
tiene un polo simple en z = 0 y dos dobles en z = ±i .
−3
.
4e
an z n +…+ a0
Teorema del interior y del exterior: Sean F z =
con m ≥ n + 2 y γ un camino
bm z m +…+b0
bg
cerrado simple, S el conjunto de los polos interiores a γ y S* el conjunto de los polos exteriores,
entonces:
R| 2πi ⋅ ∑ Resb F , sg
z Fbzgdz = S|T−2πi ⋅ ∑ ResbF , s *g
S
γ
S*
OBSERVACIÓN: En las hipótesis del teorema, el punto del infinito NO es un polo de F.
EJEMPLO: Si n es un entero no negativo, hallar el valor de la integral para b > 1:
z
z+a
dz
z (z + b)
z =1
n
b
g
2
b g
b g
z + a 2πi ⋅ a − b
=
.
n
z→− b z n
−1 b n
Si f es la función subintegral, se tiene I = −2πi ⋅ Res f ,−b = −2πi ⋅ lim