5. VaR - U

IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
Medición Riesgo de
Mercado
Introducción al VaR
2011
J. Miguel Cruz
Agenda
Introducción
Factores de riesgos y sus procesos
Modelos de Precios
Volatilidades
Correlaciones
Ejercicios de Volatilidades y
Correlaciones
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
1
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Prof. J. Miguel Cruz
1. Riesgos en la industria financiera
Riesgo:
Cuánto se espera perder como consecuencia de:
Mercado
1 Cambios en precios:
2 No cumplimiento obligaciones contractuales:
Crédito
Operacional
3 Ejecución errada:
Preguntas:
En qué período de tiempo ?
Con qué probabilidad?
J. Miguel Cruz
2011
Riesgo de mercado
Probabilidad
Región
Pérdida
5% frec.
rango normal
VaR
Valor cartera hoy
Valor cartera futura
por cambios
en precios
y tasas
Value at Risk,
VAR:
Pérdida máxima que se
puede incurrir con un
determinado grado de
confianza, en un determinado
intervalo de tiempo
Ejemplo: Con un 95% de
confianza podemos afirmar
que no se perderá más de un
3% de la cartera (1,5 MM US$)
en un día.
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
2
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Prof. J. Miguel Cruz
Sistema de riesgo crediticio
tradicional
Sistemas de Scoring
y Behavioral Scoring
No
Pago
Alto
Riesgo
Matriz de
Decisiones
y
Políticas
de
Riesgos
Cliente
Medio
Riesgo
Bajo
Riesgo
N
V0
V
A
V1
M
M
V2
B
V3
En t
En t+1
J. Miguel Cruz
2011
Tipo de Cambio
(Cambios diarios en el dólar observado)
observado)
4.000%
3.000%
2.000%
1.000%
0.000%
-1.000%
-2.000%
Ene-08
Jul-07
Ene-07
Jul-06
Jul-05
Ene-06
Ene-05
Jul-04
Ene-04
Jul-03
Ene-03
Jul-02
Jul-01
Ene-02
Ene-01
Jul-00
Ene-00
-3.000%
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
3
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Histograma para los cambios
porcentuales diarios del dólar
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
2.80%
2.40%
2.00%
1.60%
1.20%
0.80%
0.40%
0.00%
-0.40%
-0.80%
-1.20%
-1.60%
-2.00%
-2.40%
-2.80%
0
• El histograma clasifica los datos de acuerdo al número de observaciones cuyos valores se
encuentran en un determinado intervalo.
• Valor medio: -0,053%
• Desviación estándar o Volatilidad*: 0,48%
* Se define volatilidad como la desviación estándar de los retornos porcentuales de una serie
J. Miguel Cruz
2011
Calculando la frecuencia acumulada
Distribución Acumulada
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
-4,0%
-3,0%
-2,0%
-1,0%
0,00
0,0%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
• Un 50% de las observaciones presentan un cambio en el dólar inferior a -0,05%
• Un 5% de las observaciones presentan un cambio de -0,8% o menos
• El punto de corte para que un 95% de las observaciones sean mayores que dicho valor: -0,8%
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
4
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Ejemplo: Tipo de Cambio
590.00
580.00
570.00
560.00
550.00
540.00
530.00
520.00
510.00
500.00
490.00
0
20
40
60
80
100
120
J. Miguel Cruz
2011
Ejemplo: Introducción al VaR
Supongamos el siguiente portfolio:
Riesgo
Exposición (UF)
Tasa interés Corto Plazo $
106.500
Tasa interés Largo Plazo US$ 295.000
Tasa interés Corto Plazo US$ 205.000
Dólar
95.200
Totales
701.700
¿Cuál de estas posiciones presenta mayor riesgo?
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
5
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Sensibilidad
Supongamos que mi portfolio presenta las siguientes sensibilidades:
Riesgo
Exposición (UF)
Tasa interés Corto Plazo $
106.500
Tasa interés Largo Plazo
295.000
Tasa interés CP US$
205.000
Dólar
95.200
Totales
701.700
Sensibilidad
0,29
0,71
0,18
1,00
Sens. (UF)
30,9
209,5
36,9
95,2
¿Cuál de estas posiciones representa mayor riesgo?
J. Miguel Cruz
2011
Introducción de un nuevo concepto: el
VaR
Supongamos que las volatilidades son tales que:
Riesgo
Exposición (UF)
Sensibilidad
Sens. (UF) Volatilidad
Tasa interés Corto Plazo $
Tasa interés Largo Plazo US$
106.500
295.000
0,29
0,71
30,9
209,5
0,145%
0,278%
Tasa interés Corto Plazo US$
Dólar
205.000
95.200
0,18
1,00
36,9
95,2
0,101%
1,578%
Totales
701.700
¿Cuál de estas posiciones representa mayor riesgo?
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
6
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Riesgo total se diversifica
Si calculamos pérdidas potenciales, ¿qué posición es más riesgosa?
Riesgo
Exposición (UF)
Tasa interés Corto Plazo $
106.500
Tasa interés Largo Plazo US$
295.000
Tasa interés Corto Plazo US$
205.000
Dólar
95.200
Totales
701.700
Sensibilidad
0,29
0,71
0,18
1,00
Sens. (UF) Volatilidad
Pérdida Pot
308,9
0,145%
89,6
2094,5
0,278%
1.164,5
369,0
0,101%
74,5
952,0
1,578%
3.004,5
4.333,16
¿Cuánto es el riesgo total?
a)
b)
c)
d)
UF 701.700
UF 4.333,16
Menos de UF 4.333,16
Más de UF 4.333,16
J. Miguel Cruz
2011
Recordando la definición del VaR
Definición de Value at Risk:
Máxima pérdida esperada dado un horizonte
de tiempo y un intervalo de confianza.
P = Prob{ ∆V ≥ VaR}
5%
de
Prob.
Distribución del cambio
en el valor de un
instrumento en un día
5
2.5
0
-2.5
Valor en Riesgo
-5
(Volatilidad 1.5% diaria)
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
7
IN 5303
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Definición de VaR (Cont.)
P = Prob{ ∆V ≥ VaR}
Para calcular VaR
necesitamos la
distribución de
probabilidad de ∆V: si
f es la función de
densidad, entonces:
VaR
∫ f ( x ) dx = 1 − P
−∞
Sin embargo, podemos
obtener VaR en forma
directa si conocemos la
función de distribución
acumulada F de ∆V:
F (VaR ) = 1 − P
Y esto se simplifica a
encontrar la inversa de la
distribución acumulada:
VaR = F −1 (1 − P )
J. Miguel Cruz
2011
Buscando la distribución Normal
El valor
de la cartera puede
descomponerse en
n factores de riesgo
El cambio en V
puede representarse
como:
Donde
O ( ∆f 2 ) =
~ ~
~
V~ = V ( f1 , f 2 , L , f n )
∆V =
∂V
∂V
∂V
∆f1 +
∆f 2 + L +
∆f n + O ( ∆f 2 )
∂f1
∂f 2
∂f n

1  ∂ 2V
∂ 2V
∂ 2V
 2 ∆f12 + 2 ∆f 22 + L + 2 ∆f n2  + L + ≈ 0
2  ∂f1
∂f 2
∂f n

J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
8
IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
El supuesto de linealidad es
importante
Suponemos que sólo importan los efectos
de primer orden
No incorpora convexidad
No captura comportamiento de derivados
no lineales
– Opciones
J. Miguel Cruz
2011
Usando Taylor, y reconociendo
cambios porcentuales de factores
Luego ∆V se escribe
como:
Esto a su vez puede
re escribirse como:
O bien simplificamos
∆V ≈
∂V
∂V
∂V
∆f1 +
∆f 2 + L +
∆f n
∂f1
∂f 2
∂f n
∆V S1 ⋅ f1  ∆f1 
S ⋅f
 + L + n n
≈
⋅ 
V
V  f1 
V
 ∆f 
⋅  n 
 fn 
∆V
≈ w1 ⋅ ~
x1 + L + wn ⋅ ~
xn
V
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
9
IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
Luego podemos encontrar una
distribución normal multivariada...
Concluimos que, la ecuación
P = Prob{ ∆V ≥ VaR}
es aproximadamente equivalente a (si V>0):
Pr{V ⋅ (w1 ⋅ ~
x1 + w2 ⋅ ~
x2 + L + wn ⋅ ~
xn ) ≥ VaR}
Es decir:
con:
VaR
Pr{~z ≥
}
V
~z = (w1 ⋅ ~
x1 + w2 ⋅ ~
x2 + L + wn ⋅ ~
xn )
J. Miguel Cruz
2011
Definición de VaR (Cont.)
Si los factores de riesgos
corresponden a procesos
Normales multivariados
~
xi → N ( µ i , σ i2 )
Cov ( ~
xi , ~
x j ) = ρ ij ⋅ σ i ⋅ σ j = σ ij
Entonces el cambio en
el valor se distribuye como
una normal
Donde los parámetros de la
distribución son
∆V ~
≡ z = w1 ⋅ ~
x1 + L + wn ⋅ ~
xn → N ( µ z , σ z2 )
V
µ z = w′ ⋅ µ
[Σ]ij = σ i ⋅ σ j ⋅ ρ ij
σ z2 = w ′ ⋅ Σ ⋅ w
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
10
IN 5303
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Definición de VaR (Cont.)
La definición de VaR puede escribirse entonces como
P = Prob (∆V ≥ VaR ) ⇔ P = Pr ob (
∆V VaR
≥
) si V ⟩ 0
V
V
Entonces, si la distribución es normal
VaR
= µ z − k P ⋅σ z
V
k P = N −1 (1 − P )
Donde los parámetros de la distribución se refieren al
cambio porcentual medio (o esperado) del cambio
porcentual de la cartera, y a la desviación estándar del
cambio porcentual de la cartera
J. Miguel Cruz
2011
VaR Individual
Para un factor de riesgo individual podemos
evaluar el VaR sobre la cartera
O bien,
(
VaRi
= wi ⋅ µ i − k P ⋅ σ i
V
(
)
VaRi = S i ⋅ f i ⋅ µ i − k P ⋅ σ i
)
Lo que equivale a
Donde ei es la elasticidad de V al factor i
(
VaRi = V ⋅ ei ⋅ µ i − k P ⋅ σ i
)
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
11
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VaR Individual vs. VaR Total
Como el VaR total de una cartera se puede
escribir como,
VaRT = V ( µ ∆V / V − k P ⋅ σ ∆V / V )
Entonces
VaRT = V (∑ ei ⋅ µi ) − V ⋅ k P ⋅ w T Σw
VaRT = ∑ ∆Vi − v T Ωv
Por lo que
Donde Ω es la matriz de correlaciones y v es el
vector de VaR individual
J. Miguel Cruz
2011
VaR y Procesos Continuos
P = Prob{ dV ≥ VaR}
El cambio en el valor
de la cartera puede
descomponerse en
n factores de riesgo
Esto a su vez puede
re escribirse como:
dV =
∂V
∂V
∂V
df1 +
df 2 + L +
df n + ...
∂f1
∂f 2
∂f n
dV = S1 ⋅ f1 ⋅ d Ln( f1 ) + L + S n ⋅ f n ⋅ d Ln( f1 )
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
12
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VaR y procesos de difusión
Si los factores de riesgos
corresponden a procesos
de difusión geométricos
correlacionado
d Ln( f i ) ≡ dxi = µ i dt + σ i dz i
dz i → N (0, dt )
E ( dz i ⋅ dz j ) = ρ ij ⋅ dt
Entonces el cambio en
el valor puede escribirse
como combinación de dV
procesos normales
= w1 ⋅ dx1 + L + wn ⋅ dx n → N ( µ V dt , σ V2 dt )
µV = w ′ ⋅ µ
σ V2 = w ′ ⋅ Σ ⋅ w
J. Miguel Cruz
2011
Si el cambio de la cartera es
normal, VaR es directo
5%
de
Prob.
5
2.5
0
-2.5
-5
Valor en Riesgo
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
13
IN 5303
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VaR Covariado
Encontrar el efecto combinado de todos
los factores de riesgos
 VaR1  T VaR1  


 VaR2  VaR2  
 Ω

VaRC = µ z −  




M
M





 VaRn
 VaRn  

Donde
1
2
σ 1 0 L 0  σ 1 0 L 0 
0 σ
0   0 σ 2
0 
2
Σ=
Ω
M L O M M L O M

 

 0 0 L σn  0 0 L σn
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2011
Intuición
Si el VaR de tasas de 1 día es 100M de $,
Podemos asegurar con un 95% de
confianza que si mañana es 1 día como
los últimos 100 días, entonces dada
nuestra cartera, no perderemos más que
100M$ por movimientos en las tasas de
interés.
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
14
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Caso 1: VaR de un instrumento y 1
factor de riesgo
Cálculo básico del VaR de una posición en un
instrumento,
suponiendo comportamiento lineal :
VaR = VP ⋅ k ⋅ σ P ⋅ t
Valor
Presente de
la Posición
Ejemplo
Dólar:
Confianza
Volatilidad
Precio
Plazo
1, 5
VaR = 5.200 ⋅ 1,64 ⋅ 100
⋅ 1 = 127,9
J. Miguel Cruz
2011
Calculando la volatilidad precio
Para un factor de riesgo f que influye en el valor
de mercado VP, la volatilidad precio se calcula
a partir de la volatilidad de la variable
observada σf
 ∆VP V P 
 ⋅ σ f

σ P ≈ 
 ∆f f
Sensibilidad
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2011
Primavera 2011
15
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Volatilidad precio y tasa
En el caso de la renta fija tendremos que la
volatilidad precio se aproxima a la volatilidad tasa
de acuerdo a la relación:
D
σP =−DM ⋅ y⋅σy =−
⋅ y⋅σy
(1+y)
En donde D es duración e y es la tasa de interés relevante
J. Miguel Cruz
2011
Proceso de “Mapping” (Renta Fija)
Mapping de Flujos de Caja:
– Valor presente del flujo original igual a la suma de los dos valores
presentes resultantes
– El riesgo de mercado del flujo original sea igual al riesgo de
mercado de una cartera que contenga los dos flujos
– El signo del flujo original debe ser igual al de cada uno de los dos
flujos resultantes
tasa
f
f1
f2
Plazo
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
16
IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
Ejemplo de “Mapping”
Supongamos que disponemos de la siguiente información:
F. Riesgo
Tasa
Vol. Tasa
Corr
1,503%
1,374%
0,963
(años)
5
7
7,628%
7,794%
Y se necesita descomponer un flujo de caja de 7.500 y plazo de 6,08 años.
tasa
f = 7.500
f2
f1
5
7
tiempo
Paso 1: Igualar Valores Presentes de los flujos
α·VP(f) = VP(f1)
y
(1-α)·VP(f) = VP(f2)
J. Miguel Cruz
2011
“Mapping” : Cont.
Paso 2: Igualar Valor en Riesgo de la inversión F, con el
Valor en riesgo de la inversión F1 + F2 :
VaR[VP(f)] = VaR[VP(f1)+VP(f2)]
VP[ f ] ⋅ k ⋅ σ Pr 6.08 =
(VP[ f1 ] ⋅ k ⋅ σ Pr 5 )2 + (VP[ f 2 ] ⋅ k ⋅ σ Pr 7 )2 + 2 ⋅ ρ 5,7 ⋅ VP[ f1 ] ⋅ VP[ f 2 ] ⋅ k 2 ⋅ σ Pr 5 ⋅ σ Pr 7
Lo que equivale a determinar α tal que,
σ Pr2 6.08 = α 2 ⋅σ Pr2 5 + (1 − α )2 ⋅σ Pr2 7 + 2 ⋅ ρ5,7 ⋅σ Pr 5 ⋅σ Pr 7 ⋅α ⋅ (1 − α )
Paso 3: Verificar que la solución que se obtiene genera
flujos f1 y f2 ambos del mismo signo que f
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
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Prof. J. Miguel Cruz
“Mapping”: Cont.
Para realizar los diferentes pasos,
debemos calcular lo siguiente:
Plazo
Tasa
Vol. Tasa
Vol. Precio
(años)
5
6,08
7
7,628%
7,718%
7,794%
1,503%
1,433%
1,374%
0,533%
0,620%
0,695%
Cálculos:
DM ·y ·σ
σy
Interpolación
J. Miguel Cruz
2011
“Mapping”: Resultados
En la práctica, al resolver la ecuación de segundo grado, hay que
escoger la solución que se encuentra entre 0 y 1. Si esto no ocurre,
usar volatilidad tasa en vez de volatilidad precio.
En el ejemplo anterior, debemos resolver
0,384 = 0,284 ⋅α 2 + 0,483 ⋅ (1 − α ) 2 + 0,713 ⋅α ⋅ (1 − α )
Lo que equivale a:
0,54⋅α 2 − 0,253⋅α + 0,099 = 0
y arroja solución
aceptable α = 0.404
Plazo
Tasa
Vol. Tasa
Vol. Precio
Flujo
VP
3.030
7.500
4.470
1.928
4.773
2.844
(años)
5
6,08
7
7,628%
7,718%
7,794%
1,503%
1,433%
1,374%
0,533%
0,620%
0,695%
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
18
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Prof. J. Miguel Cruz
Ejemplo de VaR
Ejemplo cartera simple:
+150 millones EUR Cero cupón 5 años
- 59 millones GBP Cero cupón 3 años
Plazo
Principal
TIR
VPN
Tasa FX
VPN US$
5
EUR 150 MM
5.33 %
EUR 115.7 MM
1.5318
75.53 MM
3
GBP -59 MM
7.00 %
GBP -48.2 MM
1.5499
-74.13 MM
Valor Neto
0.89 MM
J. Miguel Cruz
2011
Ejemplo Cálculo Paramétrico del VaR
Posición
5y Cero EUR
3y Cero GBP
EUR/USD
GBP/USD
VPN
EUR
GBP
EUR
GBP
115.7 MM
-48.2 MM
115.7 MM
-48.2 MM
Vol Precio
v
diaria
Vector VaR
0.36 %
0.23 %
0.64 %
0.64 %
416,518
-110,770
740,476
-308,230
v
VaR en USD
271,914
-171,680
483,402
-477,730
VaR = {v’ * [C] * v}^0.5
[C]
(1 STD: 66% prob) 408,615 USD
VaR 95% :
670,128 USD
EUR 5y
GBP 3y
EUR/USD
GBP/USD
EUR 5y
GBP 3y EUR/USD GBP/USD
1.0000 0.8058 -0.3014 -0.1208
0.8058 1.0000 -0.2149 -0.0493
-0.3014 -0.2149 1.0000 0.6557
-0.1208 -0.0493 0.6557 1.0000
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2011
Primavera 2011
19
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Volatilidad del tipo de cambio
1.20%
1.00%
0.80%
exp
media
0.60%
móvil 30
móvil 100
0.40%
0.20%
Ene-08
Ene-07
Ene-06
Ene-05
Ene-04
Ene-03
Ene-02
Ene-01
Ene-00
0.00%
J. Miguel Cruz
2011
Cálculo de Volatilidades y
Correlaciones
EWMA (Media Móvil Exponencial)
– Típicamente supone media cero
– Pesa más la historia reciente que la pasada
σ
2
t +1 / t
∞
= (1 − λ )∑ λi rt 2−i
i =0
Equivale a
σ t2+1/ t = (1 − λ ) ⋅ rt 2 + λ ⋅ σ t2/ t −1
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
20
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Prof. J. Miguel Cruz
Caso de covarianzas es similar
Para el caso de retornos de activos 1 y 2
∞
σ 12,t +1/ t = (1 − λ )∑ λi ⋅ r1,t −i ⋅ r2,t −i
i =0
σ 12,t +1/ t = (1 − λ ) ⋅ r1,t ⋅ r2,t + λ ⋅ σ 12,t / t −1
J. Miguel Cruz
2011
Por lo que el coeficiente de
correlación se calcula como:
Coeficiente de correlación EWMA
ρ12,t +1/ t =
σ 12,t +1/ t
σ 1,t +1/ t ⋅ σ 2,t +1/ t
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
21
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Prof. J. Miguel Cruz
Pero...riesgo sistemático o riesgo
total?
Usando el supuesto que los accionistas de la empresa
diversifican su riqueza en el mercado de capitales, y se
comportan como minimizadores de riesgo para un nivel de
rentabilidad, entonces,
ri = rF + β i ⋅ ( rM − rF ) + ε i
Riesgo sistemático es el que vale
Riesgo sistemático
Riesgo no sistemático
(específico)
σ i2 = β i2 ⋅ σ M2 + Var (ε i )
J. Miguel Cruz
2011
Cambio de paradigma?
Supuestos de MM y CAPM
Los Practitioners...y sus tests empíricos
Hedging
La revolución del VaR
Volatility matters...
J. Miguel Cruz
2011
Primavera 2011
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IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
VaR Marginal mide cómo cambia el VaR
total cuando cambia el VaR individual
Para el VaR Paramétrico sabemos que
n
n
VaR 2 = VI ´⋅Ω ⋅ VI = ∑∑ VaRi ⋅ VaR j ⋅ ρ ij
i =1 j =1
Donde VI es el vector de VaR individuales y Ω es la matriz
de correlaciones.
También puede escribirse en función de los Valores
presentes de cada factor de riesgo:
n
n
VaR 2 = k 2 ⋅VP´⋅Σ ⋅ VP = k 2 ⋅ ∑∑ VPi ⋅ VPj ⋅ σ ij
i =1 j =1
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Estimando el VaR marginal
Si cambia el VaR individual i, entonces
2 ⋅ VaR ⋅
∂VaR
= 2 ⋅ (Ω⋅ VI )i
∂VI i
Es decir,
∂VaR (Ω⋅ VI )i
=
≡ δi
∂VI i
VaR
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IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
Interpretando el VaR Marginal
(Ω⋅ VI )i
Notemos que
VaR
Por otro lado,
1 n
=
∑VaR j ⋅ ρ ij
VaR j =1
n
n
VaR = ∑∑ VaRi ⋅VaR j ⋅ ρ ij
2
i =1 j =1
Lo que se puede escribir como:
VaR =
n
n
1 n
VaR
VaR
⋅
ρ
=
VaRi ⋅ δ i
∑ i∑
∑
j
ij
VaR i =1
j =1
i =1
J. Miguel Cruz
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El concepto del VaR Incremental
Podemos descomponer el VaR total por el
impacto que tiene cada VaR individual sobre el
VaR marginal
n
n
i =1
i =1
VaR = ∑ VaRi ⋅ δ i = ∑ VINCRi
El VaR incremental mide el impacto que realiza
cada factor de riesgo al incorporar los efectos de
las correlaciones
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IN 5303
Prof. J. Miguel Cruz
Analizando el impacto de cambiar el
Valor Presente de un factor
Igual que antes podemos escribir que
(Σ ⋅VP )i ≡ k 2 ⋅ β
∂VaR
= k2 ⋅
i
∂VPi
VaR
Lo que implica que llegamos a un resultado similar al
planteado antes
n
n
1 n
2
VaR = k ⋅
VPj ⋅ σ ij = k ⋅ ∑ VPi ⋅ β i
∑VPi ∑
VaR i =1
j =1
i =1
2
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