PROBLEMAS DE FUNCIONES

PROBLEMAS DE FUNCIONES
1. Se quiere construir un pozo de forma cilíndrica de 2 m de diámetro. Expresar el volumen de agua
que cabe en el pozo en función de la profundidad x.
2. Sabiendo que el cambio actual del dólar está a 110 pts y que el banco cobra de comisión el 0,5%,
escribir las funciones que permitan pasar del valor actual de una moneda a otra.
3. Se sabe que 180 grados Fahrenheit equivalen a 100 grados centígrados, y que 0 grados centígrados
a 32 Fahrenheit. Hallar las funciones lineales que dan la equivalencia en los tipos de grados.
4. Expresar en función del radio del círculo, el área de un rectángulo inscrito en el mismo.
5. Hallar la función que expresa el área de un triángulo isósceles inscrito en un círculo, en función
del radio.
6. Dibujar la gráfica que indica el coste de una carrera de taxi de dos Km., sabiendo que cada
trescientos m. Cuesta 50 pts y la bajada de bandera inicial 100 pta.
7. Una pelota elástica se deja caer sobre el suelo rebotando sucesivamente en los instantes t1, t2,...,etc.
Dibujar aproximadamente la gráfica de la altura de la pelota en función del tiempo:
a) Suponiendo que en cada rebote la pelota vuelva a alcanzar la misma altura.
b) Suponiendo que debido a la perdida de energía, en cada rebote la pelota alcance la mitad de la máxima
altura alcanzada en el bote anterior.
8. El nivel de contaminación de una ciudad a las 7’00 de la mañana es de 22 ppm y crece de forma
lineal 15 ppm por cada hora. Sea “y” la contaminación en el instante t después de las 7’00 de la mañana.
a) Hallar la ecuación que relaciona y con t.
b) Hallar el nivel de contaminación a las 17’00.
9. Un muchacho sale de Bilbao en bicicleta a las 12 horas en dirección a Irún con una velocidad de
12 Km/h. Al mismo tiempo su novia sale de Irún con dirección a Bilbao con una velocidad de 18 Km/h. La
distancia de Bilbao a Irún es de 120 Km.
Escribir las fórmulas que nos dan en cada instante la distancia de cada uno de ellos a Bilbao.
Representar gráficamente ambas funciones en el mismo sistema de ejes de coordenadas ¿ A qué
distancia de Bilbao se encontraran? ¿A que hora se producirá el encuentro?
10. Pablo dispone de 12.000 pts para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de
los libros es de 400pts y el de los discos de 1200 pts. Suponiendo que desea comprar como mucho doble nº de
libros que de discos, se pide:
a) Formular el problema y representarlo gráficamente.
b) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo indicar si gasta todo
su presupuesto.
c) ¿Puede adquirir 15 libros y 5 discos? ¿Cuanto dinero le sobra?. Razonar la respuesta.
11. En nuestra ciudad las ecuaciones de la oferta (S) y demanda (D) de un producto cuyo precio es de
x pesetas vienen dadas por las ecuaciones
S = −900 + 18x; D = 2400 − 12x
Se llama punto de equilibrio el valor de x para el que el mercado se encuentra en equilibrio (D = S). La
ecuación D = S se llama ley de la oferta y la demanda. Calcular gráficamente el punto de equilibrio. Hacerlo
luego analíticamente.
12. Feliciano quiere comprar un coche; tiene muy claro el modelo pero no sabe si comprarlo de
gasolina o de gasóleo. El primero vale 1.800.000 pts y el segundo 2.000.000 pts. El precio de la gasolina es de
74 pts/Km. Y el de gasóleo, 55 pts/Km.
a) Dar la función que relaciona el coste (precio del coche más precio del combustible) con el número de
kilómetros para cada coche.
b) Representar estas funciones. Observar el punto de corte. ¿Qué significa?
c) Si Feliciano recorre 10.000 Km en el primer año, ¿qué coche le produce menos gastos? ¿Y si hace
50.000 Km?
13. La población de una granja avícola pasa de 1000 a 1300 individuos en un mes. Suponiendo que
sigue una ley exponencial, calcular:
i.
La ley que expresa la población en función del tiempo.
ii.
¿Cuál será la población al cabo de un año?
iii.
¿Cuándo habrá 66.541 individuos?
14. Un lago está repoblado con una nueva especie de peces. Actualmente se estima una población de
136.000 ejemplares, y tres años antes, 17.000 peces. Suponiendo un crecimiento exponencial, calcular:
a) La función que expresa el número de peces en función del tiempo.
b) ¿Cuándo habrá 1.000.000 de ejemplares?
c) ¿Cuantos años hace que se introdujeron los 132 primeros ejemplares?
15. El beneficio neto mensual de una empresa fabricante de yates viene dado, en millones de pts, por
la función B(x)=1,2-(0,3x)3, donde x es el número de yates producidos mensualmente. Hallar la producción
que hace máximo este beneficio en el supuesto de que la empresa tenga capacidad para fabricar
mensualmente:
i.
Hasta 10 yates.
ii.
Hasta 30 yates.
16. Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las nueve de la noche, sin ningún cliente, y
las cierra cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de clientes, C, es
función de las horas que lleva abierto, h, C=80h-10h².
a) Determinar el número máximo de clientes que van una determinada noche.
b) ¿Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70, entre que horas
debemos hacerlo?.
c) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70 y además, queremos
que durante nuestra estancia disminuya el número de clientes, ¿entre qué horas
debemos hacerlo?
d) ¿A qué hora cierra?.
17. A las nueve de la mañana surge un rumor en la ciudad, el número de personas que se han
enterado al cabo de un cierto tiempo, viene expresado por,
e2·t + 1.000
donde t, representa el número de horas que han pasado desde la aparición del rumor, calcular el número de
personas que se han enterado entre las 10 y las doce de la mañana. Cuanto tiempo tardará en enterarse toda la
ciudad si su población es de 4.756.327 habitantes. Represéntala.
18. El elemento radio se descompone según la expresión,
Y(t) = No·e−0’0004·t
donde Y(t) es la cantidad en gramos en el instante t, t es el tiempo en años y No es la cantidad inicial en
gramos. Sí se empieza con 50 gramos:
i.
¿Cuántos gramos que darán al cabo de 500 años?
ii.
¿Cuánto tiempo tardará en desaparecer el 99’99% de la muestra.?
iii.
¿Cuál es la vida media del radio?.
iv.
Representarla.
19. El número de personas afectadas por una enfermedad contagiosa viene dado por la formula
1.000
C( t ) =
1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅t
Donde t indica el tiempo en días.
i.
¿Cuántas personas estarán contagiadas pasados 1, 2 y 7 días.
ii.
Representar gráficamente la evolución de la enfermedad.
20. Debido a la presión ambiental, la población de conejos se ajusta a una ley del siguiente tipo
20.000
P(t ) =
1 + 199 ⋅ e −0'42⋅t
i.
¿Cuántos conejos habrá al cabo de 10 años?.
ii.
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30.000 individuos?.
22. Una empresa esta construyendo una urbanización y desea subcontratar la instalación eléctrica de
las viviendas, por lo cual pide ofertas a dos empresas de electricidad:
- La primera hace la siguiente oferta: 250.000 pesetas fijas mas 300 pesetas por cada punto de luz.
- La oferta de la segunda es : 500.000 pesetas fijas por cualquier numero de puntos de luz que sea inferior
o igual a 500 y cada punto de luz que exceda de esa cantidad 25 pesetas.
En ambas ofertas no se ha incluido el 16% de IVA
a) Obtener las expresiones matemáticas que nos indican las cantidades que hay que pagar en cada caso.
b) En función del numero de puntos de luz indicar a que oferta le interesa acogerse.
23. Al cabo de t años, el valor V(t) de un automóvil adquirido por 20.000 euros es
V ( t ) = 20.000 ⋅10− t / 4 : ∀t ≥ 0 .
Calcular el valor que ha perdido el automóvil a los cuatro años.
23. A partir de las funciones: y = sen x , Y = cos x , y = ex , y = Ln x , e y = x² representar las
siguientes funciones:
x
i.
y = cos 
2
ii.
y = sen 2x
iii.
y = 2 − sen x
v.
y = 2 + cos x
y = −2 ⋅ sen x
vi.
y = e x −1 − 1
iv.
vii.
y = Ln(x + 2 ) − 3
viii.
y = 1− x 2 − 2