Notas 2

Licenciatura en Economia
Macroeconomia II
Danilo Trupkin
Notas de Clase Mercados de Commodities y Credito
El Equilibrio de Mercado (un avance de lo que veremos mas adelante, ya
con dinero)
Retomemos ahora nuestro modelo bien sencillo donde teniamos que una familia vive
2 periodos y recibe utilidad solo del consumo en estos 2 periodos: U (c1 , c2 ). Es decir,
olvidemonos del trabajo por el momento. Recordemos que esta familia recibia recursos
exogenos en terminos de bienes: y1 e y2 , y recordemos que la misma tenia que elegir las
asignaciones optimas de c∗1 , c∗2 , y b∗1 . En clase vimos que dichas asignaciones optimas eran:
y1
y2
X
=
+
,
1+β
1 + β (1 + R)(1 + β)
Xβ(1 + R)
y1 β(1 + R)
y2 β
=
=
+
,
1+β
1+β
(1 + β)
y2
y1 β
−
.
= P (y1 − c∗1 ) = P
1 + β (1 + β)(1 + R)
c∗1 =
c∗2
b∗1
Entonces, hasta aqui vimos:
1. Una Familia
2. R exogena
Ahora:
Dado que una macroeconomia se compone de varias familias, por ejemplo N , juntamos a todas ellas, y estudiamos que ocurre. Por el momento, supondremos que dichas
familias son homogeneas o identicas.
Ademas, cerramos el estudio de nuestra economia determinando endogenamente el
precio mas relevante: R (recordemos que en realidad el precio P era trivial aqui, constante
por supuesto). Para determinar R, debemos estudiar el mercado de credito. Pero notemos
que las familias son todas identicas, y que en esta economia solo tendremos prestamistas y
prestatarios entre estas N familias, donde cada una de ellas tendra b1 R 0. Si todas estas
familias quieren pedir prestado, no habria nadie dispuesto a prestar, y habria un exceso
de demanda de credito. Por el otro lado, si todas ellas quieren prestar, habria un exceso
de oferta de credito. Mas formalmente, podemos escribir la demanda agregada de bonos
1
como: N b∗1 , y entonces el equilibrio de mercado requiere:
N b∗1 = 0.
(1)
Noten, desde ya, que esto requiere que cada familia no sea ni prestamista ni prestataria,
por el simple motivo de que son identicas.
Vayamos ahora a una definicion formal del equlibrio. En general (y esto nos va a
servir como intro para definir el equilibrio general con dinero mas adelante), un equilibrio
competitivo es una solucion para todas las variables de la economia tal que:
1. todos los agentes economicos toman los precios como dados;
2. sujetos a estos precios, estos se comportan racionalmente; y
3. todos los mercados se vacian (se equilibran).
Para el caso particular de nuestra economia, tenemos 2 precios: el precio de consumo
P y el precio de pedir prestado, R. Los agentes economicos son las N familias. Y tenemos
finalmente 2 mercados que deben equilibrarse. Primero, en el mercado de bienes:
N yt = N c∗t ;
t = 1, 2.
(2)
Segundo, el mercado de bonos debe equilibrarse de acuerdo con lo definido en (1).
Luego, un equilibrio competitivo para esta economia se define como: un precio de
consumo P ∗ ; una tasa de interes R∗ ; y valores para c∗1 , c∗2 , y b∗1 , tal que:
• Tomando P ∗ y R∗ como dados, todas las N familias eligen c∗1 , c∗2 , y b∗1 de acuerdo con
sus problemas de optimizacion.
• Dadas estas elecciones de c∗t , el mercado de bienes se vacia en cada periodo, tal como
en (2).
• Dadas estas elecciones de b∗1 , el mercado de bonos se vacia, tal como en (1).
Pero ahora computemos este equilibrio con base en el problema tratado en clase. Determinemos R∗ . Para esto, podemos tomar cualesquiera de las 3 asignaciones como funcion
de los parametros. Tomemos, por caso,
N y2 = N c∗2
2
Entonces, suprimiendo N y escribiendo c∗2 a traves de su valor optimo, tenemos que
y2 = c∗2
y1 β(1 + R∗ )
y2 β
=
+
1+β
(1 + β)
β
=
[y1 (1 + R∗ ) + y2 ] .
1+β
Que significa esto? Que podemos despejar R∗ como funcion de los parametros del
modelo, de modo de determinar dicho precio. Esto arroja:
R∗ =
y2
− 1.
βy1
Queda claro entonces que la tasa de interes de equilibrio queda determinada por los
ingresos de cada periodo (y1 e y2 ) y por cuan impacientes son las familias (β). Notemos
que, por ejemplo,
∂R∗
1
=
> 0.
∂y2
βy1
Si sube el ingreso en el segundo periodo, ocurrira que los agentes, al tratar de suavizar
consumo, querran subir el consumo en el primer periodo tambien. Eso lleva a que haya un
exceso de demanda de deuda (todos quieren pedir prestado). Asi, la tasa de interes debera
subir de modo de incentivar a los agentes a consumir menos de lo que estos quisieran
consumir en el primer periodo. Pero noten tambien que solo cambios en el ingreso relativo
lleva a cambios en la tasa de interes (esto adquiere relevancia cuando uno estudia cambios
temporarios y permanentes en el ingreso).
Finalmente, el otro precio de esta economia es P ∗ . Pero en realidad, este queda indeterminado en el modelo. Recordemos que las asignaciones optimas de consumo (c∗1 , c∗2 ) no
dependen de aquel, y en la unica ecuacion que aparece es en la de b∗1 – cuya formula es
P (y1 − c∗1 ). Sucede que b∗1 = 0 implica que cualquier P ∗ positivo es equilibrio en esta
economia. Intuitivamente, las asignaciones “reales” no dependen de P ∗ , con lo cual, expresandome informalmente, a mi me dan cualquier precio, y ese sera un equilibrio posible en
esta economia.
Un Modelo de Infinitos Periodos
Este modelo es similar al anterior, excepto que ahora la utilidad de la familia es:
U (c1 , c2 , ...) = u(c1 ) + βu(c2 ) + β 2 u(c3 ) + ... =
∞
X
t=1
3
β t−1 u(ct ),
y la restriccion presupuestaria en cada periodo t es:
P yt + bt−1 (1 + R) = P ct + bt .
(Ahora en realidad hay infinitas restricciones presupuestarias.)
De esta manera, el problema de una familia tipica en esta economia es:
max∞
∞
X
{ct ,bt }t=1
β t−1 u(ct ), tal que:
t=1
P yt + bt−1 (1 + R) = P ct + bt ,
∀t.
Formando el Lagrangeano:
L=
∞
X
β t−1 u(ct ) + λt [P yt + bt−1 (1 + R) − P ct − bt ]
t=1
CPOs para cada periodo t:
Lct = β t−1 u0 (ct ) − λt P = 0
(3)
Lbt = −λt + λt+1 (1 + R) = 0
(4)
Lλt = P yt + bt−1 (1 + R) − P ct − bt = 0
(5)
De la CPO respecto al consumo, (3), tenemos que
β t−1 u0 (ct ) = λt P
Si adelantamos esta ecuacion un periodo entonces tenemos
β t u0 (ct+1 ) = λt+1 P
Si ademas dividimos estas 2 ultimas ecuaciones, tenemos que
λt
u0 (ct )
=
0
βu (ct+1 )
λt+1
De la CPO respecto a los bonos, (4), tenemos simplemente que
λt
= 1 + R,
λt+1
con lo cual, sustituyendo esta ultima ecuacion en la anterior, obtenemos la misma Euler
4
Equation vista en clase, solo que generalizada para cualesquiera 2 periodos:
u0 (ct )
= β(1 + R).
u0 (ct+1 )
Esto ocurre porque en realidad el trade-off intertemporal entre 2 periodos adyacentes es
el mismo ya sea que hablemos de un modelo de 2 periodos o de infinitos periodos. Tal como
en el modelo de 2 periodos, tenemos que si β(1 + R) = 1, i.e., ρ = R, esto significa que la
impaciencia de la familia se cancela exactamente con los incentivos a invertir/ahorrar, de
manera que el consumo se mantiene constante en el tiempo.
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