Equilibrio General
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Slide 1 ___________________________________ ___________________________________ Facultad de Economía y Negocios Microeconomía II Prof. Carlos R. Pitta ___________________________________ ___________________________________ 1 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 2 ___________________________________ IV Cuarta Parte: Equilibrio General y Bienestar ___________________________________ ___________________________________ 1. Equilibrio General ___________________________________ 2 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 3 ___________________________________ Sistema de Precios Perfectamente Competitivo ___________________________________ • Asumiremos que todos los mercados son perfectamente competitivos – Existe un gran número de bienes homogéneos en la economía • Tanto bienes de consumo como factores de producción – Cada bien tiene un precio de equilibrio – No existen costos de transacción o transporte – Los individuos y las firmas tienen información perfecta ___________________________________ ___________________________________ 3 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 4 ___________________________________ Ley de un Solo Precio • Un bien homogéneo se comercializa al mismo precio, no importa quien lo compra o quien lo vende ___________________________________ – Si un bien es comercializado a dos precios diferentes, los consumidores comprarían el bien donde es barato y las firmas intentarían venderlo donde el precio es alto • Ambas acciones tenderían a igualar el precio del bien ___________________________________ ___________________________________ 4 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 5 ___________________________________ Supuestos de Competencia Perfecta ___________________________________ • Hay un gran número de personas comprando cada bien – Cada persona toma el precio como dado e intenta maximizar su utilidad sujeta a su restricción presupuestal ___________________________________ • Hay un gran número de firmas produciendo cada bien – Cada firma toma los precios como dados e intenta maximizar sus ganancias ___________________________________ 5 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 6 ___________________________________ Equilibrio General • Asuma que existen solo dos bienes: x, y • Se asume que todos los individuos tienen las mismas preferencias – Representadas mediante un mapa de indiferencia • La curva de posibilidades de producción muestra como se encuentran relacionados los insumos como los productos 6 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 7 ___________________________________ La Caja de Edgeworth • La construcción de la curva de posibilidades de producción para x, y comienza con el supuesto de que los montos de k y l son fijos • Una Caja de Edgeworth muestra cada forma posible en que el k y l existentes pueden ser usados para producir x y y – Cualquier punto en la caja representa una locación de pleno empleo de los recursos disponibles, para producir x, y ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 7 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 8 ___________________________________ La Caja de Edgeworth Trabajo en la producción de y Capital en Oy producción de y ___________________________________ Capital para y Trabajo para y ___________________________________ Capital para x Capital Total Trabajo para x ___________________________________ A Capital en la producción Ox de x Trabajo en la producción de x Trabajo Total 8 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 9 ___________________________________ La Caja de Edgeworth • Muchos lugares en la Caja de Edgeworth son técnicamente ineficientes – Es posible producir más x y más y moviendo el capital y el trabajo • Asumiremos que los mercados competitivos no escogerán combinaciones ineficientes de insumos • Queremos encontrar los puntos eficientes ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ – Ellos ilustrarán los resultados de producción9 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 10 ___________________________________ La Caja de Edgeworth ___________________________________ • Usaremos un mapa de isocuantas para los dos bienes – El mapa de isocuantas del bien x usa Ox como su origen – El mapa de isocuantas del bien y usa Oy como su origen ___________________________________ • Los puntos eficientes ocurrirán donde las isocuantas son tangentes unas con las otras 10 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 11 ___________________________________ La Caja de Edgeworth El punto A es ineficiente, dado que moviéndose sobre y1, podemos incrementar x de x1 a x2 mientras y no varía Oy Capital Total y1 ___________________________________ y2 A Ox ___________________________________ x2 ___________________________________ x1 11 Trabajo Total ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 12 ___________________________________ La Caja de Edgeworth También podríamos incrementar y de y1 a y2 manteniendo constante x moviéndonos sobre x1 ___________________________________ Oy Capital Total y1 ___________________________________ y2 A Ox Trabajo Total x2 ___________________________________ x1 12 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 13 ___________________________________ La Caja de Edgeworth En cada punto eficiente, la Tasa de Sustitución Técnica (RTS de k por l) es igual tanto en la producción de x Oy como en la producción de y ___________________________________ y1 p4 ___________________________________ Capital Total y2 p3 x4 y3 p2 y4 x3 p1 ___________________________________ x2 x1 Ox 13 Trabajo Total ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 14 ___________________________________ Frontera de Posibilidades de Producción • El conjunto de puntos eficientes muestran el producto máximo de y que puede ser producido para cada nivel de x – Podemos usar esta información para construir una Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) • La FPP muestra la producción alternativa de x e y que pueden ser producidos con los montos fijos de capital y trabajo que son empleados 14 eficientemente ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 15 ___________________________________ Frontera de Posibilidades de Producción Cada punto eficiente de producción se Transforma en un punto de la FPP Cantidad de y Ox y4 y3 ___________________________________ p1 p2 La pendiente negativa de la FPP es la Tasa de Transformación del Producto (TTP) p3 y2 ___________________________________ p4 y1 x1 x2 x3 x4 Oy ___________________________________ Cantidad de x 15 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 16 ___________________________________ Tasa de Transformación del Producto (TTP) • La Tasa de Transformación de Producto (TTP) entre dos productos es la pendiente negativa de la Frontera de Posibilidades de Producción: ___________________________________ ___________________________________ TTP (de x por y) pendiente de FPP TTP (de x por y ) ___________________________________ dy (sobre OxOy ) dx 16 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 17 ___________________________________ Tasa de Transformación del Producto (TTP) • La TTP muestra como x puede ser “transado” técnicamente por y mientras continuamos usando eficientemente los recursos productivos disponibles ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 17 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 18 ___________________________________ Forma de la FPP ___________________________________ • La FPP ilustrada anteriormente exhibía una TTP creciente – Esta forma cóncava caracterizará la mayor parte de las situaciones productivas • TTP es igual al cociente del Costo Marginal de X (MCx) al Costo Marginal de Y (MCy) ___________________________________ ___________________________________ 18 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 19 ___________________________________ Forma de la FPP ___________________________________ • Suponga que los costos de cada combinación de productos son C(x,y) – Sobre la FPP, C(x,y) es constante ___________________________________ • Podemos escribir el diferencial total de la función de costos como: dC ___________________________________ C C dx dy 0 x y 19 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 20 ___________________________________ Forma de la FPP ___________________________________ • Reescribiendo, tenemos: TTP dy C / x MC x (sobre OxOy ) dx C / y MC y ___________________________________ • La TTP es una medida de los costos marginales relativos de dos bienes ___________________________________ 20 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 21 ___________________________________ Forma de la FPP ___________________________________ • A medida que la producción de x sube y la producción de y cae, el cociente de MCx a MCy sube ___________________________________ – Esto ocurre si ambos bienes son producidos bajo retornos decrecientes • Incrementar la producción de x sube MCx, mientras que reducir la producción de y baja MCy – Esto también puede ocurrir si algunos insumos son más adecuados para la producción de x que para la producción de y ___________________________________ 21 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 22 ___________________________________ Forma de la FPP • Pero hemos asumido que los insumos son homogéneos • Necesitamos una explicación que incluya que insumos homogéneos y retornos constantes a escala • La FPP será cóncava si los bienes x e y usan los insumos en diferentes proporciones ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 22 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 23 ___________________________________ Costos de Oportunidad • La FPP demuestra que existen muchas combinaciones eficientes posibles de 2 bienes • Producir más de un bien requiere de disminuir la producción del otro bien – Esto es a lo que los economistas llamamos Costo de Oportunidad ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 23 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 24 ___________________________________ Costos de Oportunidad • El costo de oportunidad de una unidad adicional de x es la reducción en la producción de y que supone • Así, el costo de oportunidad se mide más adecuadamente como la TTP (de x por y) en el punto pertinente sobre la FPP – El costo de oportunidad sube a medida que se produce más de x 24 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 25 ___________________________________ Concavidad de la FPP • Suponga que la producción de x e y depende solamente del trabajo y que las funciones de producción son: x f (lx ) lx0.5 y f (ly ) ly0.5 • Si la oferta de trabajo se fija en100, entonces for x,y 0 ___________________________________ ___________________________________ lx + ly = 100 • Entonces, la FPP será: x2 + y2 = 100 ___________________________________ 25 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 26 ___________________________________ Concavidad de la FPP • La TTP puede ser calculada tomando el diferencial total: 2 xdx 2 ydy 0 ó TTP dy (2 x) x dx 2y y ___________________________________ ___________________________________ • La pendiente de la FPP se incrementa a medida que la producción de x sube – La FPP es cóncava ___________________________________ 26 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 27 ___________________________________ Determinación de los Precios de Equilibrio • Podemos usar la FPP conjuntamente con un conjunto de curvas de indiferencia para demostrar como se determinan los precios de equilibrio ___________________________________ ___________________________________ – Las curvas de indiferencia representan las preferencias de los individuos por los dos bienes ___________________________________ 27 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 28 ___________________________________ Determinación de los Precios de Equilibrio Si los precios de x e y son px y py, la restricción presupuestal de la sociedad es C La producción será x1, y1 Cantidad de y C y1 Los individuos demandarán x1’, y1’ y1’ ___________________________________ ___________________________________ U3 U2 px py Cantidad de x x1’ x1 ___________________________________ C pendiente U1 28 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 29 ___________________________________ Determinación de los Precios de Equilibrio Hay exceso de demanda por x y exceso de oferta de y Cantidad de y C El precio de x subirá y el precio de y bajará y1 Exceso de Oferta ___________________________________ ___________________________________ y1’ U3 U2 slope 1 px py Cantidad de x x1’ x ___________________________________ C U1 29 Exceso de Demanda ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 30 ___________________________________ Determinación de los Precios de Equilibrio ___________________________________ Los precios de equilibrio serán px* y py* Cantidad de y C* C La producción de equilibrio será x1* y y1* y1 ___________________________________ y1* y1’ U3 U2 C* x1 x1* x1’ pendiente p*x p* ___________________________________ C pendiente U1 px py Cantidad de x 30 y ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 31 ___________________________________ Análisis de Estática Comparativa ___________________________________ • El cociente de precios de equilibrio tenderá a persistir hasta que las preferencias o las tecnologías de producción cambien • Si las preferencias crecieran hacia el bien x, px /py subirá y más x y menos y será producido – Nos moveríamos en un dirección a las manecillas de reloj sobre la FPP ___________________________________ ___________________________________ 31 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 32 ___________________________________ Análisis de Estática Comparativa • El progreso técnico en la producción del bien x desplazará la curva de Posibilidades de Producción hacia afuera ___________________________________ ___________________________________ – Esto baja el precio relativo de x – Más x será consumido • si x es un bien normal – El efecto sobre y es ambiguo ___________________________________ 32 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 33 ___________________________________ Progreso Técnico en la Producción de x Progreso técnico en la producción de x desplazará hacia afuera la FPP Cantidad de y El precio relativo de x caerá ___________________________________ ___________________________________ Se consumirá más x U3 ___________________________________ U2 U1 x1* x2* Cantidad de x 33 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 34 ___________________________________ Formación de los Precios de Equilibrio General ___________________________________ • Suponga que la FPP puede ser representada mediante: x 2 + y 2 = 100 ___________________________________ • Además, suponga que las preferencias de la comunidad pueden ser representadas mediante: ___________________________________ U(x,y) = x0.5y0.5 34 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 35 ___________________________________ Formación de los Precios de Equilibrio General ___________________________________ • Una firma que maximiza ganancias igualará su TTP con el cociente px /py TTP x px y py ___________________________________ • Mientras que la maximización de utilidad requiere que: y p TMS x x py ___________________________________ 35 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 36 ___________________________________ Formación de los Precios de Equilibrio General ___________________________________ • El equilibrio requiere que tanto las firmas como los individuos enfrenten el mismo cociente de precios: TTP x px y TMS y py x ___________________________________ Es decir, x* = y* ___________________________________ 36 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 37 ___________________________________ Existencia de los Precios de Equilibrio General • A principios del siglo 19, cierta investigación conducida por Leon Walras, había examinado si acaso existe (o no) un vector de precios que equilibrase todos los mercados simultáneamente – Y, si dicho conjunto de precios existiese, ¿Cómo podría ser encontrado? ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 37 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 38 ___________________________________ Existencia de los Precios de Equilibrio General • Suponga que existen n bienes cuya oferta es fija en una economía – Defina Si (i =1,…,n) como la oferta total disponible del bien i – Defina pi (i =1,…n) como e precio del bien i • La demanda total del bien i depende de todos los precios ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Di (p1,…,pn) for i =1,…,n 38 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 39 ___________________________________ Existencia de los Precios de Equilibrio General • Escribiremos esta función de demanda como dependiente de TOTO el conjunto de precios, (P) Di (P) ___________________________________ ___________________________________ • Problema de Walras: ¿Existirá un conjunto de precios de equilibrio tales que ___________________________________ Di (P*) = Si para todo valor de i ? 39 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 40 ___________________________________ Funciones de Exceso de Demanda • La función de Exceso de Demanda para cualquier bien i a cualquier conjunto de precios (P) se define como ___________________________________ ___________________________________ EDi (P) = Di (P) – Si • Esto significa que la condición de Equilibrio puede ser reescrita como ___________________________________ EDi (P*) = Di (P*) – Si = 0 40 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 41 ___________________________________ Funciones de Exceso de Demanda • RECORDEMOS DE MICRO 1: Las funciones de demanda son Homogéneas de grado cero – Esto implica que solo podemos establecer precios relativos de equilibrio en un modelo de tipo Walrasiano • Walras también asumió que las funciones de demanda son continuas – Es decir, pequeños cambios en el precio generan pequeños cambios en la cantidad demandada ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 41 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 42 ___________________________________ Ley de Walras • Una observación final que Walras hizo fue que las n ecuaciones de exceso de demanda no son independientes una de la otra • La Ley de Walras muestra que el valor total de exceso de demanda es cero para cada conjunto de precios, es decir: n P ED (P ) 0 i 1 i ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ i 42 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 43 ___________________________________ Ley de Walras • La Ley de Walras se mantiene para cualquier conjunto de precios (no solo los precios de equilibrio) • No puede existir ni exceso de demanda para todos los bienes, ni exceso de oferta para todos los bienes ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 43 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 44 ___________________________________ Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio • Las condiciones de equilibrio de mercado proveen (n-1) ecuaciones independientes en (n-1) precio relativos – ¿Podemos resolver un sistema para una condición de equilibrio? • Las ecuaciones no son necesariamente lineales • Todos los precios deben ser no negativos • Para resolver tales complicaciones, Walras estableció una prueba MUY complicada 44 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 45 ___________________________________ Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio • Comience con un conjunto de precios arbitrario • Manteniendo los otros n-1 precio constante, encuentre el precio de equilibrio para el bien 1 (p1’) • Manteniendo p1’ y los otros n-2 precios constantes, resuelva los precios de equilibrio del bien 2 (p2’) – Al cambiar p2 desde su posición inicial hasta p2’, el precio calculado para el bien 1 no tiene porqué continuar siendo un precio de equilibrio 45 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 46 ___________________________________ Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio • Usando dichos precios provisionales p1’ y p2’, encuentre p3’ – Y proceda de esta forma hasta que un conjunto entero de precios relativos provisionales haya sido encontrado • En la 2da iteración de la prueba de Walras, p2’,…,pn’ se mantienen constantes mientras que un nuevo precio de equilibrio es calculado para el bien 1 – Proceda de esta forma hasta que el conjunto completo de nuevos precios es encontrado ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 46 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 47 ___________________________________ Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio • La importancia de la Prueba de Walras es su habilidad para demostrar la naturaleza simultánea del problema de encontrar precios de equilibrio • Debido a que es muy compleja, no es muy usada en la actualidad • Más bien, se usan nuevas herramientas matemáticas recientes ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 47 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 48 ___________________________________ Teorema del Punto Fijo de Brouwer ___________________________________ • Cualquier mapeo continuo [F(X)] de un conjunto cerrado, acotado y convexo hacia él mismo tiene por lo menos un punto fijo (X*) tal que F(X*) = X* ___________________________________ ___________________________________ 48 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 49 ___________________________________ Teorema del Punto Fijo de Brouwer f (X) Suponga que f(X) es una función continua definida en el intervalo [0,1] y que f(X) toma valores que también pertenecen al intervalo [0,1] Cualquier función continua debe, entonces, cruzar la línea de 45 Este punto de intersección es llamado un “punto fijo” debido a que f mapea este punto (X*) hacia sí mismo 1 f (X*) 45 0 X* 1 x ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 49 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 50 ___________________________________ Teorema del Punto Fijo de Brouwer • Un mapeo es una regla que asocia los puntos en un conjunto con puntos en otro conjunto – Sea X un punto para el cual el mapeo (F) se encuentra definido • El mapeo asocia a X con algún punto en Y = F(X) – Si un mapeo está bien definido para un subconjunto del espacio n-dimensional (S), y si cada punto en S se encuentra asociado (mediante la regla F) con algún otro punto en S, dicho mapeo se denomina un mapa de S hacia sí mismo. ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 50 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 51 ___________________________________ Teorema del Punto Fijo de Brouwer • Un mapeo es continuo si puntos que se encuentran “cerca” entre sí son mapeados hacia puntos que también se encuentran “cerca” de ellos • El Teorema del Punto Fijo de Brouwer considera mapeos definidos en ciertos conjuntos – Cerrado (es decir, contienen a sus fronteras) – Acotados (Es decir, ninguna de sus dimensiones es infinitamente grande) – Convexos (Es decir, no tienen “hoyos” en ellos) ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 51 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 52 ___________________________________ Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio • Dado que solo nos importan los precios relativos, es conveniente asumir que los precios han sido definidos de manera tal que la suma de todos los precios es igual a 1 • Así, dado un conjunto arbitrario de precios (p1,…,pn), podemos usar precios normalizados de la forma: pi ' ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ pi n p i 1 i 52 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 53 ___________________________________ Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio • Estos nuevos precios retendrán sus valores relativos originales y sumarán 1 pi ' pi pj ' pj ___________________________________ ___________________________________ • (Sumarán 1): n ___________________________________ p ' 1 i 1 i 53 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 54 ___________________________________ Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio • Asumiremos que el conjunto factible de precios (S) está compuesto de todos los números no negativos que suman 1 – S es el conjunto al cual aplicaremos el Teorema de Brouwer – S es cerrado, acotado, y convexo – Necesitaremos definir un mapeo continuo de S hacia sí mismo ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 54 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 55 ___________________________________ Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo ___________________________________ • Para lograr el equilibrio, los precios de los bienes con exceso de demanda subirán, mientras que aquellos con exceso de oferta bajarán sus precios ___________________________________ ___________________________________ 55 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 56 ___________________________________ Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo • Definimos el mapeo F(P) para cualquier conjunto normalizado de precios (P), tales que el i-ésimo componente de F(P) esté dado por: ___________________________________ ___________________________________ F i(P) = pi + EDi (P) • Este mapeo desempeña la tarea crítica de subir o bajar apropiadamente los precios 56 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 57 ___________________________________ Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo • Aun así, existen dos problemas con este mapeo • Primero, nada asegura que los precios serán no negativos ___________________________________ ___________________________________ – El mapeo debe ser redefinido para garantizar dicha condición: ___________________________________ F i(P) = Max [pi + EDi (P),0] – Así, los nuevos precios definidos por el nuevo mapeo deben ser positivos o cero 57 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 58 ___________________________________ Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo • Segundo, los precios recalculados no estarán, necesariamente, normalizados – No sumarán 1 – Requerimos normalizar tal que: ___________________________________ ___________________________________ n F (P ) 1 i i 1 ___________________________________ – Asumiremos que dicha normalización ha sido hecha adecuadamente 58 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 59 ___________________________________ Aplicación del Teorema de Brouwer • Así, la nueva F satisface las condiciones del Teorema del Punto Fijo de Brouwer – Es un mapeo continuo del conjunto S hacia sí mismo • Por lo tanto, debe existir un punto (P*) que se mapea hacia sí mismo • En este punto, ocurre: pi* = Max [pi* + EDi (P*),0] ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ para todo i 59 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 60 ___________________________________ Aplicación del Teorema de Brouwer ___________________________________ • Esto implica que P* es un conjunto de precios de equilibrio – Para pi* > 0, pi* = pi* + EDi (P*) EDi (P*) = 0 – Para pi* = 0, pi* + EDi (P*) 0 EDi (P*) 0 ___________________________________ ___________________________________ 60 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 61 ___________________________________ Ejemplo: Equilibrio General con 3 Bienes • Suponga que en la economía de Oz se compone solamente de 3 metales preciosos: (1) plata, (2) oro, y (3) platino – Existen 10 (mil) onzas disponibles de cada mineral • Suponga que las demandas por oro y platino son: D2 2 p2 p3 11 p1 p1 D3 p p2 2 3 18 p1 p1 61 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 62 ___________________________________ Equilibrio General con 3 Bienes • El equilibrio en los mercados de Oro y Platino requiere que la demanda sea igual a la oferta en ambos mercados de manera simultánea: p p 2 2 3 11 10 p1 p1 p p 2 2 3 18 10 p1 p1 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 62 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 63 ___________________________________ Equilibrio General con 3 Bienes ___________________________________ • Este sistema de ecuaciones simultáneas puede ser resuelto mediante: p2/p1 = 2 p3/p1 = 3 • En equilibrio: – El precio del Oro en equilibrio será el doble que el de la Plata – El precio del Platino será el triple que el de la Plata – El precio del Platino será 1.5 veces lo que el precio del Oro ___________________________________ ___________________________________ 63 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 64 ___________________________________ Equilibrio General con 3 Bienes ___________________________________ • Dado que la Ley de Walras debe prevalecer, sabemos que p1ED1 = – p2ED2 – p3ED3 ___________________________________ • Y, substituyendo las funciones de exceso de demanda para el Oro y la Plata tenemos: p1ED1 2 pp p2 p22 p2 p3 p2 2 3 2 3 8 p3 p1 p1 p1 p1 ED1 2 p2 p p p22 2 32 2 8 3 p12 p1 p1 p1 ___________________________________ 64 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________
