La manzana de Newton vista por Einstein

La manzana
de Newton
vista por Einstein
Palabras clave: Atracción gravitatoria, Relatividad especial, Relatividad general, Espacio-tiempo, Tensor métrico,
Curvatura del espacio-tiempo, Líneas
geodésicas.
Luis García Pascual
Doctor Ingeniero Electromecánico del ICAI (Promoción
1957). Diplomado en Organización Industrial. Profesor Emérito de la ETSI ICAI (UPC).
12 anales de mecánica y electricidad / marzo-abril 2014
Resumen
En este artículo se recuerdan los
efectos de la gravedad sugeridos por
Newton partiendo del valor de la
fuerza de atracción entre dos masas
cualesquiera y, como quiera que los
mismos efectos fueron refrendados
posteriormente por la teoría de los
campos electromagnéticos, la interpretación newtoniana de la gravedad
se ha venido utilizando, sin ninguna reserva, durante más de doscientos años.
No obstante, en esta interpretación se
admitía que la acción de la gravedad
se propaga instantáneamente a través
del espacio que separa entre sí las dos
masas protagonistas de la fuerza de
atracción entre ellas. La Teoría de la
Relatividad puso de manifiesto que la
velocidad de aquella propagación no
puede superar la velocidad de la luz
(300.000 km/s), afirmación que dio
origen a una auténtica crisis científica.
Crisis que fue superada gracias a la clarividencia de Einstein y a las aportaciones de eminentes matemáticos (sobre
todo Gauss y Riamann) del siglo XIX.
Inquietar e ilusionar al lector, frente a la
aparentemente extraña interpretación
einsteiniana de la gravedad como curvatura del espacio-tiempo ocasionada
por la presencia de masas en él, es el
objetivo pretendido en este artículo.
Key words: Gravitational attraction,
Especial relativity, General relativity,
Space-time, Metric tensor, Space-time
curvature, Geodesic lines.
Abstract:
In this article, we review the effects of
gravity indicated by Newton, starting
from the value of the pulling force between any two bodies. As these effects
were confirmed by the electromagnetic
fields theory, the newtonian interpretation of gravity has been used, without
any limitation, for more than two hundred years. However, this interpretation
admitted that the gravity action is instantly propagated throughout the distance between two bodies that are
attracted.The relativity theory highlighted
that the speed of such propagation can
not be higher that the speed of light
(300.000 km/s), which led to a true crisis in the scientific area. This crisis was
overcame due to the astuteness of Einstein and the inputs of great 19th century matemathicians (specially Gauss
and Riamann). The goal of this article is
to rattle and encourage the reader
about the apparently bizarre Einstein´s
interpretation of the gravity as a spacetime curvature, originated by the presence of any mass in it.
en Berna, pudiera precipitarse al valosofía de la Naturaleza cuando en una
cío y cayera hacia el suelo (como la
de sus cartas manifestaba que ”la gravemanzana) con idéntico movimiento,
dad sea innata, inherente y esencial para
aunque percibido por Einstein con
la materia de tal manera que un cuerpo
diferente mentalidad a la preconizada
pueda actuar sobre otro, a distancia, a
por Newton. Si Newton vio en la caída
través del vacío y sin la mediación de ninde la manzana una fuerza, Einstein en
guna otra cosa por la cual y a través de
la caída del despistado consideró sobre
la cual se pueda transmitir la fuerza entre
todo una aceleración en el movimienestos cuerpos (del uno al otro y del otro
Introducción
to relativo entre el desgraciado que se
al uno), es algo completamente absurdesplomaba en el vacío y él que lo conSir Isaac Newton (1643-1727) ocudo. Debe haber un agente que cause
templaba sentado en su silla.
pa, por muchísimas razones, un puesla gravedad actuando constantemente
to muy destacado en la Historia de la
de acuerdo con ciertas leyes que dejo a
Propuesta de Newton
Ciencia, aunque, desde la perspectiva
la consideración de mis lectores”.
Por otra parte, también es interede este artículo, únicamente mencioNewton, anclado en el determinissante recordar que el hecho de que la
naremos los cuatro motivos siguientes:
mo clásico, pensaba que el valor taninterpretación newtoniana de la gra1.- Haber puesto de manifiesto que
to de cualquier intervalo de espacio
1.-­‐ Haber puesto de manifiesto que la caída vertical y hacia el suelo vedad describiera con precisión mala caída vertical
y hacia el suelo de
como de cualquier intervalo de tiemde era,
la simplemente,
manzana era, simplemente, de omila atracción temática susconsecuencia “efectos”, aunque
la manzana
consepo, ambos medidos con sus propios
establecer
“causas”, ya debía
cuencia derecíproca la atracción
recíproca
aparatos de medida por distintos
que existía que
entre tiera
la Tierra la msus
anzana. colmar las aspiraciones de Newton;
existía entre la Tierra y la manzana.
observadores, eran idénticos aunque
puesto
que, en
alguna ocasión,
afirmó sobre 2.- Esta atracción
origen daba a una origen entre
2.-­‐ Esta daba
atracción a una fuerza de la Tierra la los distintos observadores hu“yo no hago hipótesis, constato hechos”.
fuerza de la Tierra sobre la manzana y
biera movimiento relativo y, en conmanzana y de ésta sobre aquella, fuerza cuyo valor venía A pesar de estas limitaciones, en la
de ésta sobre aquella, fuerza cuyo valor
secuencia, tanto el espacio recorrido
determinado por la expresión: propuesta newtoniana sobre la gravedad,
venía determinado
por la expresión:
por la manzana como el tiempo emla Ciencia se acomodó con tal entusiaspleado en recorrerlo eran iguales en
!"
F = G !! [1] [1] mo y tan fuertemente a ella que, duranel “sentir” de Newton, sentado al pie
te más de 200 años, nadie se atrevió a
del manzano, y en el “pensar” de otro
afrontar el reto lanzado por Newton e
posible observador moviéndose solien la que:
en la que: inte ntar descubrir el verdadero “agente
dariamente con la manzana. Bajo este
G es la constante de gravitación uni3 -2
!!!
de susuniversal efectos, efectos
que,
supuesto,
versal (6,67259.
10-11la kg-1m
s ).
G es constante de motivante”
gravitación (6,67259.10
Newton más o menos razocon tanta precisión, él había puesto de
naría de la siguiente manera:
M la masa de
!! la Tierra.
! !!
kg m s ). manifiesto. Albert Einstein (1879-1955),
a.- Existe un espacio plano y tridim la masa de la manzana.
1.-­‐ Haber puesto de manifiesto que la caída
a
pesar
de
su
intuición
para
percibir
las
mensional
de
Euclides X Y Z en el que
r la distancia
entre
ellas.
M la masa de la Tierra. de yla enmanzana era, me
simplemente, conse
entrañas ocultas que rigen el comportacae la manzana
el que también
miento de la Naturaleza y de su facilidad
encuentro yo.
A la vezqdispongo
un la Tierra la man
3.- Dejarm constancia
movirecíproca ue existía de
entre la masa de
da que
la melanzana. para razonarlas, necesitó diez años de
reloj que registra el tiempo T y de un
miento de la manzana hacia el centro
2.-­‐ Esta elatracción trabajo (de 1905 a 1915) y el consejo
metro que constata
espacio Zdaba medi-origen a una fuerz
de la Tierrar la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de masas de la no era uniforme sino que en
manzana y de ésta y la ayuda de su compañero de clase
dos desde que la manzana se suelte delsobre aquella, fu
este movimiento la velocidad cambiaba
manzana. Grossman (1878-1936) para estudiar y
árbol hasta que
llegue al suelo.
según el propio Newton había establedeterminado por la expresión: aplicar los hallazgos obtenidos por la pléb.- La masa M de la Tierra ejerce
cido en su segundo principio, aparecido
3.-­‐ Dejar constancia de que el movimiento de la manzana hacia el !"
yade de los insignes matemáticos alemauna fuerza F = G !! sobre
en 1687 en su famosa obra Philosophiae
cualquier
[1] centro de la Tierra no era uniforme sino que en este movimiento la nes de los siglos XVIII y XIX –sobre todo
masa m que pudiera encont rarse
Naturalis Principia
Mathematica. En este
la que: determinado de
por Gauss (1777-1855) y por Riemann
en cualquieren punto
principio Newton
afirmaba “mutatiovelocidad cambiaba según el propio Newton había establecido en su (1826-1866).
La genialidad
de Einstein
X Y Z y, por lo tanto,
nem motussegundo proportionalem
esse vi motrici
principio, aparecido en 1687 en su famosa dicho
obra espacio
G laes manzana.
la constante de gravitación u
y la profundidad de las sugerencias de
también sobre
impressae et fieri secundum lineam rec!! ! !!
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. En este principio kg
m
s
). percibo en
Gauss y de Riemann sirvieron para coc.- El movimiento, que
tam qua vis illa imprimitur”; es decir “el
Newton a
firmaba “mutationem m
otus p
roportionalem e
sse v
i m
otrici nocer y explicar mejor la gravedad.
la manzana al caer, es variable con el
cambio de movimiento de un cuerpo es
M la masa de la Tierra. Si Newton
supoqcuantificar
“efectiempo,
proporcionalimpressae a la fuerza exterior
se le
et fieri que
secundum lineam rectam ua vis illa losimprimitur”; es y este cambio podría cuantitos” de la gravedad pensando en la
ficarse como
producto
su masa
aplique y ocurre según la línea recta en la
m el
la m
asa da la de
manzana. decir “el cambio de movimiento de un cuerpo es proporcional a la caída de una manzana, Einstein mejoró
m por la modificación de su velocidad
cual aquella fuerza se aplique”.
exterior y ocurre según la línea recta en la el r la distancia entre el centro de la Tierra y su comprensión
razonando
también
VZ según
4.- Haberfuerza descubierto
que laque Tierrase girale aplique eje vertical. Por otra parte,
sobre la supuesta caída de un posible
alrededor del
Solapor
el mismo
efecto
la razón pormanzana. la que aparece este camcual quella fuerza se físiaplique”. despistado que, sobrepasando los límico por el que caen las manzanas; porque
bio se debe al producto de la fuerza
3.-­‐ Dejar de el
que el movimiento
la terraza
un edificio, situado
el Sol atrae4.-­‐ a la Tierra
y no
la deja escapar.que tes
vertical
a la constancia manzana por
Haber descubierto la de
Tierra gira dealrededor del Sol por el aplicada
centro de la Tierra no era uniforme sino qu
frente
a lalas ventana
de su pmesa
enela
No obstante,
Newton
el que dicha fuerza
mismo efecto ponía
físico cierta
por el que caen manzanas; orque l Sol atiempo
trae durante
oficina de patentes donde trabajaba
sordina ante sus aportaciones a la Fiesté actuando.
Es decir:
velocidad cambiaba según el propio Newton
Para Newton el mundo era una gigantesca maquinaria de relojería, donde el
hombre todo lo podía calcular y todo lo
podía medir. Para Einstein, en cambio, es
una inmensa distribución de materia a
lo largo del espacio y con el transcurrir
del tiempo, donde el hombre puede soñar (John Weeler -1911-2008).
a la Tierra y no la deja escapar. segundo principio, aparecido en 1687
de Newton vista
por Einstein
13
Philosophiae Naturalis Principia Mathema
No obstante, Newton ponía cierta sordina ante sus aportaciones a la La manzana
Newton a
firmaba “mutationem m
otus propo
Filosofía de la Naturaleza cuando en una de sus cartas manifestaba que ”la impressae et fieri secundum lineam rectam q
gravedad sea innata, inherente y esencial para la materia de tal manera !
espacio X, Y, Z que la rodea un campo con potencial Φ de atracción hacia Por otra parte, la razón por la que aparece este cambio ! se debe al su centro de valor G ! , que como consecuencia de dicho campo aparece producto de la fuerza vertical aplicada a la manzana por el tiempo una fuerza e atracción sobre la unidad de masa que vale: durante el que dicha fuerza esté actuando. Es ddecir: Δ mV! = Δ(F! T) [2]
[2] f! = −
!Φ
[4]
[4] pretación newtoniana. En este análisis
nuestro genio se percató de que:
un lalado, propia masa d.- d.-­‐ Por Por un lado,
masa la de masa la man-de la ymanzana que, si enes [4] su se sustituye
Φ por bajo 1.- Antes de iniciarse la caída, amzana es
su propiacircunstancia masa bajo cualquier
valorindependiente teniendo en cuenta
la
bos estaban sometidos a una fuerza
cualquier y, por lo su
tanto, de la que
velocidad circunstancia y, por lo tanto, indepenatracción de la Tierra sobre la masa de
vertical y hacia arriba (a la manzana se
diente de la velocidad que vaya tela manzana tiene la misma dirección
la aplicaba el rabito que la sujetaba al
niendo en los distintos puntos de su
pero sentido contrario a Z, la expreárbol y al despistado se la transmitía
teniendo en los caída
distintos untos e su cFaída y, por otro, la y, porpotro,
la dfuerza
aplicada
sión resultante
coincide con la ecuael suelo de la terraza sobre el que se
Z
es
prácticamente
constante
en
toción
[3]
propuesta
con
más
de
100
aplicada es prácticamente constante en todos los que vaya teniendo en los distintos puntos de su caída y, por otro, la apoyaban sus pies).
!
dos
los momentos
recorrido
años de
2.- Una vez iniciada la caída, para los
teniendo e
n l
os d
istintos puntos dTe de
su su
caída y, por otro, la antelación por Newton.
os T de su recorrido (puesto que, en la ecuación [1], G, M y teniendo aplicada es prácticamente constante en todos los fuerza F!en
que v
aya e
n l
os d
istintos p
untos d
e s
u c
aída y
, p
or o
tro, l
a (puesto
que,
la
ecuación
[1],
G,
M
dos
habíateniendo desaparecido
aquellaque fuerza
y que, si en [4] se sustituye Φ por su valor en cuenta la y aplicada es prácticamente constante en todos los !n de
Einstein
r varía poquísimo). Por tanto, la ecuación puede momentos T de su recorrido (puesto que, en la ecuación [1], G, M y ym
lo son
y rFlo varía
poquísimo).
Porprácticamente lo [2] Respuesta
y ambos
bajaban
con
la misma
aceatracción de la Tierra sobre la masa de la manzana tiene la misma aplicada es constante en todos los fuerza !
s T de su recorrido (puesto que, en la ecuación [1], G, M y tanto,
ecuación
[2]varía puede
escribirse: Por Einstein
encontraba
en los[2] razona: m momentos T de su recorrido (puesto que, en la ecuación [1], G, M y la lo son y r poquísimo). lo tanto, la ecuación puede leración, como ya había comprobado
dirección pero sentido contrario a Z, la expresión resultante coincide con n y r varía poquísimo). Por lo tanto, la ecuación [2] mientos
puede de Newton ciertos supuesGalileo (1564-1642) al constatar que
la ecuación [3] propuesta con más de 100 años de antelación por Newton. escribirse: m ! lo y r varía poquísimo). tos
Por tanto, la ecuación [2] puede una bola de madera y otra bola de
nolo asumibles.
Entre
ellos citemos:
= son F! ΔT mΔV
hierro, a pesar de su diferencia de
1.- A partir dde
ensayos de Miescribirse: e Elos
instein = FRespuesta mΔV! lugar ! ΔT los incrementos mΔV
de y de tiempo tienen en y Morley (realizados en
densidad, caen de la misma manera
e.- velocidad Como
los
incrementos
de
velochelson
=
F
ΔT !
!
Einstein encontraba en los razonamientos Newton g.ciertos la gravedad
En los
y
de
tiempo
tienen
lugar
en
cada
1887),
para
dos
observadores
con
=
F
ΔT mΔV
ante, siguiendo cidad
las ideas sobre cálculo infinitesimal que, ! de !
e.-­‐ vComo los incrementos de velocidad y de tiempo tienen lugar en por la acción dede que aya t
eniendo e
n l
os d
istintos p
untos s
u c
aída y
, p
or o
tro, l
a dos casos había desaparecido la fuerinstante,
siguiendo
las ideas
sobre
cál- lugar movimiento
relativo
entre ellos
(uno
supuestos no asumibles. Entre ellos citemos: los incrementos de velocidad y de tiempo tienen en eamente, preconizaban y es su prácticamente contemporáneo y cálculo cada instante, siguiendo las de ideas sobre que, en za y, en su lugar, había hecho acto de
constante en infinitesimal todos los y lugar fuerza FNewton ! aplicada culo
infinitesimal
que,
simultáneamenpodría
ser
el propio
Newton
otro
e.-­‐ Como los incrementos velocidad y de tiempo tienen ante, siguiendo las ideas sobre cálculo infinitesimal que, o científico Leibniz (1646-­‐1716), probablemente en su 1.-­‐ A partir de los ensayos de presencia
Michelson la y misma
Morley (realizados en simultáneamente, preconizaban Newton y su contemporáneo y momentos T de su recorrido (puesto que, en la ecuación [1], G, M y aceleración
g. Ello
te, preconizaban
Newton
y su conel supuesto
observador
solidario a laque, cada Newton instante, siguiendo las ideas sobre cálculo infinitesimal amente, preconizaban y su contemporáneo y 1887), para dos observadores con movimiento relativo entre ellos temporáneo
adversario
científico
manzana)
ni probablemente se conserva
el valor
de notas, Newton lo poquísimo). que, en Por la (1646-­‐1716), notación m lo escribiría son y yr científico varía lo tanto, la ecuación [2] puede adversario Leibniz en delsu y sugirió a Einstein su Principio de Equisimultáneamente, preconizaban Newton y su por
contemporáneo o ca científico Leibniz (1646-­‐1716), probablemente en su valencia
(theel happiest
thought
of my
Leibniz
(1646-1716),
probablemente
espacio
recorrido
la
manzana
alNewton (uno podría ser el propio y otro supuesto observador escribirse: de hoy, expresaríamos de lde a forma: cuaderno notas, Newton escribiría lo que, en la notación Leibniz (1646-­‐1716), probablemente en su life –llegó a decir). De la misma maen suadversario cuaderno
decientífico notas,
Newton
caer desde
el árbol
al suelo, ni es igual
solidario a la manzana) ni se conserva el valor del espacio recorrido de notas, Newton escribiría lo que, en esla notación matemática hoy, expresaríamos la forma: mΔV
nera que, si un observador estuviera
cribiría
lo que, endde lae notación
matemáelde tiempo
empleado
recorrerlo,
ni
! = F! ΔT cuaderno notas, Newton escribiría lo que, enen la notación dZ
por la manzana al caer desde el árbol al suelo, ni es igual el tiempo ca de hoy, expresaríamos d
e l
a f
orma: dT =
F
m
dentro de un ascensor, aislado comtica de hoy, expresaríamos
de la forma:
la masa de la manzana puede conside!
de hoy, ede xpresaríamos de tiempo la fempleado orma: en recorrerlo, ni la masa de la manzana puede dT los incrementos e.-­‐ matemática Como velocidad y de tienen de
lugar en dZ rarse
pletamente del exterior y el ascensor
independiente
su
velocidad.
m sobre = Fcálculo dZinstante, siguiendo las ideas ! dT considerarse su velocidad. Lo único g que que, con la aceleración
(por no haqueinfinitesimal no cambiaindependiente de
valor, para de cayera
dTdZLo único
= F! dT m
inmediatamente dcada educiría: dT
cambia d
e v
alor, p
ara l
os d
os o
bservadores, e
s l
a v
elocidad d
la luz simultáneamente, preconizaban m
Newton y su contemporáneo y berse roto el cable del que e pendía),
los=dos
observadores, es la velocidad
F! dT y de aquí
aquí inmediatamente
icientífico nmediatamente d(1646-­‐1716), educiría: dTde la luz
). . su nuestro ascensorista, teniendo como
y de
deduciría:
(c = 3.10! m sen !"
adversario Leibniz probablemente Fnmediatamente ! = G !! deduciría: referencia los fenómenos detectables
2.Por
otro
lado,
pensemos
también
!
cuaderno de notas, Newton escribiría lo que, en la notación y !d!e aquí inmediatamente deduciría: !"
2.-­‐ Por otro lado, pensemos también que en el valor, supuesto por en el interior de las paredes del asque
en
el
valor,
supuesto
por
Newton
m
=
F
=
G
!
!"
!
!
de hoy, e! xpresaríamos de la forma: !! m, obtendría por por fin la aceleración Fo ! ambos = G ! miembros matemática Newton para aceleración que caía manzana, interviene no la sería
capaz de
distinguirla si,
para la aceleración
conla que
caía la con censor,
!! !
!"
!
m
=
F
=
G
!
!
!
instantáneamente, había
desaparecido
dividiendo
ambos
miembros
por
manzana,
interviene
la distancia
r entre
donde aquella se ue descienden tanto el distancia r entre el centro de la Tierra y el punto dZ m,
!!la manzana !de Newton dividiendo ambos miembros por como m, obtendría por fin la aceleración m la =
F! dT o o ambos miembros por m, obtendría por fin aceleración la
gravedad
o
si
se
había
roto eló cable
obtendría
por
fin
la
aceleración
con
el
centro
de
la
Tierra
y
el
punto
donde
encuentre; pero ¿quién mide esta distancia, Newton el dT
en el que, más de la doscientos años después, pensara con que ambos descienden tanto la manzana de por Newton como el dividiendo miembros m, obtendría fin la aceleración que
soportaba
el
ascensor.
la
que
descienden
tanto
la Newton manzana por aquella
seobservador encuentre;
pero
¿quién
mide
ue descienden tanto la manzana de como el que se desplaza con la manzana? El valor de esta ade
celeración será: y despistado dNewton
e aquí inmediatamente en eldescienden el que, deduciría: más de doscientos pensara despistado
entanto el
esta
distancia,años Newton
ó el observador
con la como
que la manzana de después, Newton como el Einstein cohonestó la presencia de
o en el que, más de doscientos años después, pensara la fuerza
antes de la caída
y el conque,
más
de
doscientos
años
después,
que
se
desplaza
con
la
manzana?
3.-­‐ En las expresiones propuestas en la interpretación newtoniana Einstein. E
l v
alor d
e e
sta a
celeración s
erá: !!
!
!"
!
despistado más de doscientos años después, pensara =Einstein.
Fs!erá: = GElen el de
que, l valor esta aceleración =
G !d
=e g m !!! [3] !
curso
de
la
aceleración
a
lo
largo del
pensara
valor
esta
ace3.En
las
expresiones
propuestas
en
!
de la gravedad no aparece para nada el tiempo, lo que implica que !
alor de esta aceleración será: !!Einstein. ! será: El v!
tiempo
en
que
ocurría
la
misma,
explileración
la
interpretación
newtoniana
de
la
grala acción de la fuerza, causante de la aceleración en el movimiento = f! ambos = G ! miembros = g m, [3] !
dividiendo por obtendría por fin la para
aceleración !!! [3] ! se encuadró citando
a
qué
o
a
quién
se
aplicaba
la
vedad
no
aparece
nada
el
tiempo,
más l
a p
ropuesta d
e N
ewton e
n u
n n
uevo = G tarde, =
g !
la manzana, se el aplica instantáneamente y ello viola frontalmente ! la ! que descienden !
!!
con tanto la manzana de de Newton como [3]
fuerza
en
el
primer
caso
y
entre
qué
lo
que
implica
que
la
acción
de
la
fuerza,
=
f
=
G
=
g [3] !
mprensión gracias al concepto campo que, en el estudio !!
!! la propuesta Un s!iglo men ás de tel arde, de Newton e encuadró en un nde uevo ninguna señal puede viajar más el sdespués, precepto relativista despistado que, más de edoscientos años pensara aceleración en el segundo. Para
causante
de
la aceleración
en el movi-que existía
más t
arde, l
a p
ropuesta d
e N
ewton s
e e
ncuadró n u
n n
uevo gnetismo, introdujo con tanto éxito campo qque, ue la uz. marco de comprensión gracias al (1791-­‐1867). concepto de el estudio UnUn siglo
tarde,
laFaraday propuesta
ello razonó de la siguiente forma:
miento
de deprisa la smanzana,
selen aplica
instanEinstein. El más
valor dte esta ala celeración será: s
iglo m
ás arde, p
ropuesta d
e N
ewton e e
ncuadró e
n u
n n
uevo prensión gracias al Newton
concepto que, en el , considerando qde
ue la masa se
Mde encuadró
de campo la Tierra genera en estudio ttanto odo el éxito a.- Los sucesos (Newton obseren un
nue-con táneamente
y ello
viola frontalmente
el
del electromagnetismo, introdujo (1791-­‐1867). !
En scampo u iFaraday ntento por sen uperar todas estas incoherencias, Einstein analizó, marco de comprensión gracias al concepto que, el estudio ! ! con tanto ! éxito Faraday (1791-­‐1867). de gnetismo, introdujo vando
la caída de la manzana y ésta
vo
marco
de
comprensión
gracias
al
precepto
relativista
de
que
ninguna
se=
f
=
G
=
g [3] que la rodea un campo con potencial Φ de atracción hacia !
!
Efectivamente, considerando que la mcon asa tanto M
de la Tierra genera (1791-­‐1867). en todo el !!electromagnetismo, !!
con su proverbial sagacidad, algún detalle que, siendo común en el sentir introdujo éxito Faraday cayendo en el aire) obedecen a rela- concepto
deMcampo
en
estu- en tñal
puede
más
deprisa que la luz.
considerando qdel ue la masa de la que,
Tierra gelenera odo el viajar
!
espacio X, Y, Z que la rodea un campo con potencial Φ de atracción hacia propio del supuesto solidario a la manzana sensación alor G ! , que como consecuencia de dicho campo aparece que pueden
re- dio
electromagnetismo,
introdujo
En
sue d
intento
por
todas
Un del
siglo más tarde, la propuesta de lNa ewton sM
e ncuadró en superar
ug
n enera nobservador uevo Efectivamente, considerando que masa e la Tierra en tesodo el ciones matemáticasy en la que la rodea un campo con potencial Φ de atracción hacia !
del despistado individuo cayendo desde la terraza, pudiera orientar hacia presentarse en una nueva estructura
tanto
éxito
Faraday
tas campo incoherencias,
Einstein
analizó, con
marco de comprensión gracias al concepto de que, en el estudio , que como consecuencia de dicho campo aparece su centro de valor G
atracción lcon
a unidad de masa q
ue (1791-1867).
vale: espacio X, Y, Z que la rodea un campo con potencial Φ de atracción hacia ! sobre !
de superficies
en el sistema
Efectivamente,
considerando
que
la
su
proverbial
sagacidad,
algún
detalle
alor G ! , que como consecuencia de dicho campo aparece una interpretación nueva de la gravedad libre de las curvas
incoherencias de la del electromagnetismo, introdujo tanto de éxito Faraday (1791-­‐1867). !
una fuerza de laaTierra
tracción s , que como consecuencia de dicho campo aparece obre la con unidad msiendo
asa que vale: su centro de valor G
Φ
cuadrimensional
definido
por
tres
masa
M de
genera
en
todo
el
que,
común
en
el
sentir
pro
! vale: tracción sobre la unidad de considerando masa que que la masa M de la Tierra genera en todo el [4] Efectivamente, coordenadas espaciales y el tiemespacio X,Y, Z que la rodea un campo
pio del supuesto observador solidauna fuerza !Φ
de atracción sobre la unidad de masa que vale: espacio X, Y, Z que la rodea un campo con potencial Φ de atracción hacia = − Φ de
atracción
[4] hacia su
f! potencial
po. Como ya estableció Minkowski
con
rio a la manzana y en la sensación del
!!
!
[4] su centro de valor G
(1864-1909) es este espacio-tiempo
centro de valor
despistado individuo cayendo desde
, que como conse , que como consecuencia de dicho campo aparece !Φ
! campo
[4] una
f! =de−dicho
la estructura en la que pueden estula
terraza,
pudiera
orientar
hacia
una
cuencia
aparece
!!
una fuerza de atracción sobre la unidad de masa que vale: diarse todos los eventos que tienen
interpretación nueva de la gravedad
fuerza de atracción sobre la unidad de
!Φ
lugar en la Naturaleza.
libre
de
las
incoherencias
de
la
intermasa
que
vale:
[4] f = − !
!!
14 anales de mecánica y electricidad / marzo-abril 2014
!!
Antes de calcular la relación pretendida en
Antes de calcular la relación pretendida en
intervalos dZ
≠
dz intervalos en en el el caso caso particular particular de de la la caída caída de
d
dZ
≠
dz detenernos detenernos un un momento momento en en estudiar estudiar esta esta
y: completamente completamente ggeneral eneral ppara ara aaplicar, plicar, ddespués, espués, llaa
y: a a nuestro nuestro caso caso concreto. concreto. Para Para este este análisis análisis pre
pr
pensemos e
n u
n c
ambio d
e v
ariables e
n l
as e
cuac
dcT
≠ dct en un cambio de variables en las ecua
pensemos dcT
≠ dct respectivamente: respectivamente: Para encontrar la relación entre la formulación matemática del Para encontrar la relación entre la formulación matemática del = idx !!
=
=
mismo fenómeno desde uno y otro sistema de rdx
eferencia tanto para dcT dz
y dy
= idx
idx
dz
= idx
dx
= idx
idx dy
mismo fenómeno desde uno y otro sistema de referencia tanto para dcT y zar el movimiento de la manzana, el del despistado o el dct como para dZ y dz, Einstein sabía, por su Teoría de la Relatividad y izar el movimiento de la manzana, el del despistado o el dct como para dZ y dz, Einstein y sabía, por su Teoría de la Relatividad resulta necesario pensar en dos sistemas de referencia Especial, que, en cualquiera de los dos sistemas de referencia, no podían , resulta necesario pensar en dos sistemas de referencia Especial, que, en cualquiera de los dos sistemas de referencia, no podían !
iempo: idX
dX
establecerse relaciones matemáticas de espacios or idX
un l dY
ado y de =
dY
=tiempos idX dZ
dZ =
= idX
idX !
dXp=
=
idX
tiempo: establecerse relaciones matemáticas de espacios por un lado y de tiempos por otro sino que, entre dos eventos correspondientes a dos puntos y en Con estos acio-­‐tiempo X, Y, Z, cT asociado al observador O que por otro sino que, entre dos eventos correspondientes a dos puntos y en Con estos cambios cambios de de variables variables se se pue
pu
!
! ara !
! cT correspondiente
alal observador
o mismo mos,
en
cada
uno
de
los
dos
espacios
puede
escribir,
de
forma
condensada,
f
enómeno d
esde u
no y
o
tro s
istema d
e r
eferencia t
anto p
d
y
dos instantes infinitamente próximos, en cada uno de los dos espacios pacio-­‐tiempo X, Y, Z, cT asociado observador O que ds
=
dx
[
9] !
!!!
!
!
Especial, que, en cualquiera de los dos sistemas de referencia, no podían dscondensada, = !!! dx ! q
[9] ue: ewton con sus pies en el suelo o Einstein sentado en su condensada, que: dos instantes próximos, en cada uno de los dos espacios como para dZ y dz, Einstein sabía, su Teoría la yRelatividad (anclado a la manzana, unido al des- dct temporales
(el
y,atemáticas z,y, ctinfinitamente para
elepor observaque:
establecerse relaciones de spacios p
uobservador n de lado de tiempos y or que: temporales (el x,mx, z, ct para el o y el X, Y, Z, cT para el Newton con sus pies en el suelo o Einstein sentado en su y que: Especial, que, en cualquiera de los dos sistemas de referencia, no podían como cae la manzana c
on l
a a
celeración g
. pistado o sentado en el ascensor) y por otro sino que, entre dos eventos correspondientes a dos puntos y en dor otemporales y el X,Y, Z, cT(el parax, ely, observador
! Y, Z, cT para el z, ct para el observador y el ! X, !
!o !
!
! [10] dX !! !
observador O), era necesario trabajar con los correspondientes intervalos como cae la manzana con la aceleración g. apli- establecerse !
matemáticas de espacios por un dS
ldS
ado e iempos ! ! [9]
! tds
!=y d!!!
dx
=dos dX ! =
=
[10] !!!
que desciende
libre de fuerzas
O), erarelaciones necesario
trabajar
con
los codos instantes infinitamente próximos, en cada uno de los ds
dx
[[9] 9] !!!espacios !!!
observador O), era necesario trabajar con los correspondientes intervalos por otro sino que, entre dos eventos correspondientes a dos puntos y en cio-­‐tiempo x, y, z cadas
ct correspondiente al observador o Conviene generalizar las ecuaciones [9] y [10], por un lado, y las temporales (el x, y, z, ct para el observador o y el X, Y, Z, cT para el en el espacio de cuatro dimensiones, siendo para o el cuadrado del con una aceleración g respecrrespondientes intervalos en el espacio
Conviene generalizar las ecuaciones [9] y [10], por un lado, y las dos instantes infinitamente próximos, en cada uno los dos espacios [7] yde [ 8], ppor oue: tro, rrecordando qque, aal l para trabajar rabajar sso obre superficies uperficies curvas urvas e en n del acio-­‐tiempo x, y, z ct correspondiente al observador o en el espacio de cuatro dimensiones, siendo el cuadrado y q
observador O), era necesario trabajar con los correspondientes intervalos [7] y
[
8], or o
tro, ecordando ue, t
obre s
c
to alal espacio-tiempo
Para temporales deel cuatro
dimensiones, siendo para o los elel respectivos que:
y qZ, yue: la manzana, unido despistado anterior.
o sentado en intervalo: (el x, y, z, ct para el observador o y X, Y, cT para de el sistemas referencia, las coordenadas coordenadas son son coordenadas coordenadas los respectivos sistemas de referencia, las en en el cuadrado
espacio de dimensiones, siendo para o el cuadrado del la manzana, unido al o sentado el intervalo: este observador
o aplicadas (concretándodelcuatro intervalo:
curvilíneas superficies curvas. En En este este punto punto observador O), era necesario trabajar con los correspondientes intervalos curvilíneas sobre sobre las las correspondientes correspondientes superficies que desciende libre de despistado fuerzas con una intervalo: !! se apoyó !!en !!la curvas. !!Grossman, !
!
! para !del por diferencial nos
al caso
de
la manzana)
ésta nocon dS
dX
geometría geometría [10]
[[10] Einstein, aconsejado por se apoyó en la diferencial en el una espacio cuatro dimensiones, ds de =
− dx
− dysiendo − Einstein, dzo !el aconsejado +cuadrado cdt
Grossman, =
=
[!!!
5] y g que desciende libre de fuerzas aplicadas dS
dX
10] respecto al espacio-­‐tiempo Para este !Gauss ! !!!
y, generalizada por por Riemann Riemann !
por Gauss y, posteriormente, posteriormente, generalizada ds ! = − dxds
− !dy=! −
− dz
cdt !dy
[5]
desarrollada desarrollada ! [5] se mueve pero, en anterior. cambio, el árbol
intervalo: dx! +! −
− dzpor + cdt
[5] puesto o g (concretándonos respecto al espacio-­‐tiempo anterior. Para este puesto qque: ue: al caso de la manzana) ésta no se (y toda la Tierra con él) “sube” con e, ie, generalizar las ecuacio Conviene
Conviene generalizar las ecuaciones [9] y !
! O: !
igualmente, ara Conviene generalizar las ecuaciones [9] y gualmente, : pdy
ds
= −para dx !O−
− dz + cdt ! [5] 1.-­‐ Gauss había estudiado la geometría diferencial sobre superficies 1.-­‐ Gauss había estudiado la geometría diferencial sobre superficies al caso la manzana) ésta no se e, igualmente, cierta
e, igualmente,
para O:para O: nes
[9]
y
[10],
por un
lado,
y las
, o en (concretándonos cambio, el árbol (y taceleración.
oda lde a Tierra con él) “sube” c
on [7] yen por tridimensional ootro, rrecordando q[7]
ue, l l que ttrabajar curvas en espacio de Euclides Euclides considerando considerando curvas espacio de [7] y [el [el 8], 8], tro, ecordando ue, aaque rabajar ssob
ob
e, igualmente, dS ! = −para !dXO!: − dY ! −! dZ ! + cdT
! ! [6] !
En consecuencia,
para cEinstein
era
y +[8],
porp!or otro,
recordando
que,qal
o, e
n c
ambio, e
l á
rbol (
y t
oda l
a T
ierra on é
l) “
sube” c
on dS
=
−
dX
−
dY
−
dZ
cdT
[
6] ación. los respectivos sistemas de referencia, las coorde
!
!
!
!
!
!
!
!
!
los sistemas de referencia, las coord
− dZ
dX
− particular dY
−de dZ
+sobre
[6] curvas
necesario estudiar el proceso de la Estos dS
trabajar
en
= − dX
− intervalos, dY=! −
+ caso cdT
[6]
[6] cuadrados de dS
los en el la respectivos caída de cdT
la superficies
ración. curvilíneas sobre las correspondientes superficie
manzana, s
erán caída de la manzana en ambos siste- Estos los
respectivos
sistemas
decaída referenEstos cuadrados de los en el caso particular de correspondientes la de la superficie
curvilíneas cuadrados de los intervalos, en intervalos, el caso particular de la caída de la sobre las encia, para Einstein era necesario estudiar el proceso de Estos cuadrados de los intervalos, en el caso particular de la caída de apoyó la mas
de
referencia
bajo
las
siguientes
Estos
cuadrados
de
los
intervalos,
cia,
las
coordenadas
son
coordenadas
Einstein, aconsejado por Grossman, manzana, s
erán para o: manzana, serán encia, para Einstein era necesario estudiar el proceso de Einstein, aconsejado por Grossman, se se apoyó en
en
zana en ambos sistemas d
e r
eferencia b
ajo l
as s
iguientes circunstancias:
en elmanzana, caso particular
de la caída de la
curvilíneas sobre las correspondienserán !
!
desarrollada por Gauss y, posteriormente, gen
para o
: nzana en ambos sistemas referencia bajo las siguientes ds = cdtserán
[7] desarrollada por Gauss y, punto
posteriormente, ge
1.- Parade Newton
como
observamanzana,
tes superficies curvas.
En este
para o: !
!
puesto q
ue: ds
=
cdt
[
7] Einstein,qaconsejado
por Grossman,
dor O, descendía la manzana en su (ya que para
para éo:
l dx=dy=dz=0) puesto ue: para o: !x=dy=dz=0) !
se
apoyó
en
la
geometría
diferencial
espacio-tiempo
X, Y, Z, cTla lamanzana cantidad (ya wton como observador O, descendía en su q
ue p
ara é
l d
ds
=
cdt
[
7] y para O: 1.-­‐ Gauss había estudiado la geometría dife
!
! [7]
ewton como observador O, descendía la manzana en su desarrollada
por
Gauss
y,
posteriorδZ
y
empleaba
en
este
descenso
un
1.-­‐ Gauss había estudiado la geometría dife
ds
=
cdt
[
7] po X, Y, Z, cT la cantidad δZ y empleaba en este y para O: ! = − dZ ! + cdT ! [8] dS
mente,curvas generalizada
por Riemann
tiempo
δcT.
en el espacio tridimensional mpo X, Y, Z, cT la cantidad δZ y empleaba en este (ya q
ue p
ara é
l d
x=dy=dz=0) curvas en el espacio tridimensional de de Eu
Eu
tiempo δcT. !
!
!
dS(ya
=que
− qdZ
+
l d
x=dy=dz=0) [8] y que por tanto puesto
que:de para
élcdTdx=dy=dz=0)
2.- Para el observador o, solidario (suponiendo (ya ue p
ara que la caída es évertical en el sistema tiempo δcT. Gauss
y para
a la manzana, el árbol subía, en su es- (suponiendo referencia de O: O:
dla X =caída dY= 0es ) vertical y que por tanto en el 1.y para Oque sistema de había estudiado la geo observador o, solidario a la manzana, el árbol subía, en metría diferencial sobre superficies
pacio x, y, z, ct con cierta aceleración referencia dy e pOara O
: d
X =
d
Y= 0
) l observador o, solidario a la manzana, el árbol subía, en y, z, ct con cierta (distinta
aceleración de g, nuestra
aunque para dS ! = − dZ ! + cdT ! [8]
curvas en el espacio tridimensional de
de g, (distinta aunque para
[8] ensión y, z, ct en con este cierta a
celeración (
distinta d
e g
, aunque pun ara dS ! = − dZ ! + cdT ! Euclides
[8] considerando que cada punpretensión
en este
artículo no es
neartículo no es necesario calcular) una tanto superficie
carac- de (suponiendoque quela la caída
vertical
calcular)
un desplazamiento
δz (suponiendo tensión este cesario
artículo no desplazamiento es necesario calcular) un caída eses vertical to
y sobre
que por en estaba
el sistema to δz y en empleaba en dicho un tiempo (suponiendo que la caída es vertical y que por tanto en el de terizado
por
dos
coordenadas
u
y
que
por
tanto
en
el
sistema
de
refeysistema u2
y
empleaba
en
dicho
desplazamiento
1
nto δz y desplazamiento un tiempo referencia de O dX = dY= 0) , según la empleaba Teoría un
de tiempo
len a Rdicho elatividad E
special, q
ue: rencia
de O dX =
0)X = dY= 0) curvilíneas sobre dicha superficie.
δct, sabiendo, según la Teoreferencia de dY=
O d
o, según la Teoría elatividad Especial,
Especial, que: La Teoría de la Relatividad estable2.- Riemann había generalizado toríade dela laRRelatividad
que:
δZ ≠ δz ce, en función del movimiento relatidas las ideas de Gauss a un espacio de
δZ ≠ δz vo entre los dos observadores o y O,
cualquier número de coordenadas u1,
forma: y de la misma forma:
u2 … … … un y, por lo tanto, proporciola posible relación entre (ds)2 y (dS)2.
a forma: Aplicando dicha teoría, se puede calnó la geometría a utilizar en los espacios
δcT ≠ δct cular la relación entre los desplazatemporales de cuatro dimensiones.
δcT ≠ δct Si, en lugar de estudiar el desplazamienmientos y los tiempos, medidos por
Pueden resumirse las aportaciones
de estudiar el desplazamiento δZ≠ !" en el tiempo to
δZ
≠
δz
en
el
tiempo
δcT
≠
δct,
pensáel
observador
o
y
los
medidos
por
de
Gauss y de Riemann diciendo que:
r pensáramos de estudiar en el un desplazamiento δZ≠
!" en el durante tiempo elemental ramosdesplazamiento en un desplazamiento
elemental
el observador O, para la caída de la
1.- Gauss había encontrado que
pensáramos en durante
un elemental tiempo también
elementaldurante manzana.
la distancia, medida sobre la superambién elemental se tdesplazamiento endría: dZ
≠undz también elemental se tendría: se tendría:
Antes de calcular la relación pretenficie curva en el espacio x, y, z, entre
La Teoría de la Relatividad establece, en función del movimiento relativo La entre los de dos la observadores o y O, la pen osible relación ntre ds ! y Teoría Relatividad establece, función del emovimiento !
dS
. Aplicando teoría, se opuede relación entre relativo entre los ddicha os observadores y O, la calcular posible rla elación entre ds ! los y desplazamientos y ldicha os tiempos, edidos por calcular el observador o y los medidos dS ! . Aplicando teoría, mse puede la relación entre los el observador yO l, os para la caída de la mpanzana. desplazamientos tiempos, medidos or el observador o y los medidos aplicar, después,
las conclusiones
obb.- Para analizar el movimiento de
Para encontrar la relación entre por la
por el observador O, para la caída de la manzana. tenidas a nuestro caso concreto. Para
la manzana, el del despistado o el
formulación matemática del mismo fe- Antes de calcular la relación pretendida entre los cuadrados de los Antes de calcular la relación pretendida entre los cuadrados de los intervalos en el caso particular de la caída de la manzana, vamos a este
análisis
previo
en
elesta caso
general
del ascensor, resulta necesario pennómeno desde uno y otro sistema de
intervalos en caso particular la caída de la manzana, a detenernos un el momento en de estudiar relación en vamos el caso detenernos un general momento en estudiar esta en oel caso pensemos
cambio
de
sar en dos sistemas de referencia de
referencia tanto para dcT y dct como
completamente pen
ara un
aplicar, después, las relación cvariables
onclusiones btenidas general para aplicar, danálisis espués, previo las conclusiones obtenidas a completamente nuestro Para este [5]
en el caso general encaso lasconcreto. ecuaciones
y [6]
haciendo,
espacio-tiempo:
para dZ y dz, Einstein sabía, por su Teoría
a nuestro ecaso este eanálisis previo en [5] el ycaso general pensemos n un cconcreto. ambio de Para variables n las ecuaciones [6] haciendo, dZ
≠
dz 1.- El espacio-tiempo X, Y, Z, cT
de la Relatividad Especial, que, en cualrespectivamente:
!!las ecuaciones [5] y [6] h!aciendo, pensemos en un cambio de variables en respectivamente: !
respectivamente: asociado al observador O que pue- quiera
de los dos sistemas
de
referencia,
y: dZ ≠ dz dx = idx! dy = idx ! dz = idx ! dct = dx ! de ser Newton con sus pies en el no podían establecerse relaciones madx = idx! dy = idx ! dz = idx ! dct = dx ! y: y suelo o Einstein sentado en su silla
temáticas de espacios
por un≠lado
y
y dcT
dct y de
!
!
= idX! dY = idX ! dZ
viendo como cae la manzana con la tiempos por otro sino que, entre dos dX
!! = idX! dcT = dX!!! = idX ! dZ
= idX dcT = dX = idX! dY
Para encontrar la relación entre ≠ la formulación dX
matemática del dcT
dct aceleración g.
eventos correspondientes a dos puntos Con estos cambios de variables se puede escribir, de forma Con estos cambios mismo fenómeno desde uno y otro sistema de referencia tanto para dcT yde variables se puede escribir, de forma condensada, que: 2.- El espacio-tiempo x, y, z ct dct como y enencontrar dos instantes
infinitamente
próxiCon
estos
Para formulación matemática del cambios de variables se
condensada, para dZ y la dz, relación Einstein entre sabía, la por su Teoría de la que: Relatividad dZ ≠ dz y:
dcT ≠ dct dida entre los cuadrados de los intervalos en el caso particular de la caída
de la manzana, vamos a detenernos un
momento en estudiar esta relación en
el caso completamente general para
trar la relación entre la formulación matemática del dcT
≠ dct desde uno y otro sistema de referencia tanto para dcT y ar relación entre la por formulación del Z y la dz, Einstein sabía, su Teoría matemática de la Relatividad desde uno y otro sistema de referencia tanto para dcT y cualquiera de los dos sistemas de referencia, no podían dos puntos con diferencias entre las
coordenadas curvilíneas du1 y d u2
venía determinada, para un observador ajeno a la superficie, por la
expresión:
La manzana de Newton vista por Einstein
15
lo tanto, proporcionó la geometría a utilizar en los espacios superficie el espacio x, y, z, entre dos puntos con temporales dcurva e cuatro en dimensiones. diferencias entre las coordenadas curvilíneas du! y du! venía Pueden resumirse las aportaciones de Gauss y de Riemann diciendo que: determinada, para un observador ajeno a la superficie, por la 1.-­‐ Gauss había encontrado que la distancia, medida sobre la expresión: superficie curva en el espacio x, y, z, entre dos puntos con du! venía entre las coordenadas curvilíneas cada diferencias punto sobre una superficie estaba dos ! y g!!
g!"caracterizado du! dupor du !! curvilíneas duun dS ! u=! y u
superficie, [11] por la superficie. coordenadas determinada, para a la ! observador gsobre dgicha ajeno movimiento relativo es simplemento por Newton y el mismo cuadrado
te una traslación uniforme en el
del intervalo visto por el observador
Desarrollando la ecuación [11] se
espacio y constante en el tiempo,
solidario a la manzana vendría dada, de
puede escribir que:
este tensor es el tensor unitario en
acuerdo con la extrapolación de Rie1 0 0 0
Desarrollando la ecuación [11] se puede escribir que: 1 0
todos los puntos por los que vaya
mann a las conclusiones de Gauss, por:
Pueden resumirse las aportaciones de Gauss y de Riemann diciendo que: 0
1
0
0
!
dependen únicamente de las sabiendo que g
!
! !! , g !" = g !" y g !! !
dS
=
0 !0 0 cdt
pasando un punto material que se
dS = g!! du! + 2g!" du! du! + g !! du! [12]
[12] 0 1
dS
=
0
0
1
0
0
0
1
0
0
cdt
1.-­‐ Gauss había encontrado que la distancia, medida sobre la 0
0
el que coordenadas curvilíneas u! y u! del punto P desde 0 0
moviera
en x,se y, z, ct.
g!" = gx, dependen únicamente sabiendo que 1 0 0 00 1 0 0
!" y g
!! entre superficie curva en g!!
el , espacio y, z, dos puntos con de las !
0
0
0
1
dS = 0 0 0 cdt
pretenda calcular distancia los dos el puntos de de la Teoría de la
y ug! del P desde que se coordenadas curvilíneas sabiendo
que
g11da , gu12
=
y entre gpunto depenb.-P y EnP+dP el caso
diferencias entre las coordenadas du
0 1 0 00 0 1 0
! curvilíneas 0 0
!
21
22 ! y du! venía dS
=
0
0
0
cdt
, upor yla y P+dP u! Relatividad
+de du! , u! +duGeneral,
coordenadas curvilíneas espectivas u! pretenda da distancia entre a los dos puntos 0 0 1 00 0 0 1
determinada, calcular para un observador la superficie, !P ! . den únicamente
de las rajeno coordenadas
cursi dicho moεγ!" εγ!"
expresión: coordenadas curvilíneas respectivas u! , u! y u! + du! , u! +du! . 0 0 0 εγ
1 !! εγ!"
εγ
vilíneas
del punto
P desde las el que
se pre- de Gauss, vimiento
tienea alguna aceleración,
εγ!" εγ!" εγ!! εγεγ!" εγ !"
2.-­‐ Riemann, extrapolando conclusiones permitió εγ
εγ
0 !"
!!
!"
g!! g!" dulas εγ
εγ
!"
!
2.-­‐ Riemann, extrapolando conclusiones de Gauss, permitió a εγ
εγ
!"
!!
du
du
εγ
dS !Einstein =
[
11] εγ
εγ
! g
tenda! calcular
daque, entre
los dostemporales cada de unacuatro de las componentes del
0 !" εγ!"0 εγ!!
g distancia
decir espacios !!
!"
εγ!" !"εγ!!+ !"εγ!" εγ
!"
du!en los Einstein decir !"
que, !"en los espacios temporales de cuatro +
εγ
εγ
εγ
εγ
+
εγ
εγ
εγ
εγ
!"
!"
!"
!"
!!
!"
εγ
εγ
0
εγ
εγ
0
puntosla Pecuación ytambién P+dP
coordenadas
curvi-los es diferente
en los distintos
!"
!! !"
dimensiones, también el intervalo del εγ
εγ
!"
!!
!" εγ
+
Desarrollando [11] el sde
e intervalo puede escribir que: dimensiones, entre los entre puntos P y puntos P+dP tensor
del P y P+dP εγ εγ
εγ!" εγ!"εγ εγ
0 εγ !"
εγ!"!" εγ!!!!
εγ0
εγ
!"1 !!
!" !"
!"!"
!! !" cdt
0εγ
0cdt
líneas respectivas
yevn uisto +du
, u +du
. de Xr, eferencia además, de la
espacio-­‐tiempo x, y, xz, , u
isto referencia Y, Zpuntos
, cT espacio-­‐tiempo yct , 1,vzu
, 2ct e! n istema X, yY, depende,
Z, cT εγ!" εγ
1el sistema 1 el 2dse 2
dS ! = g!! du! ! + 2g!" du! du
εγ!" εγ!" εγ!" εγ!!
! + g !! du! [12] !" εγ!"
valdrá: 2.- Riemann, extrapolando las concurvatura de la superficie en
0
1
0
0
valdrá: !y ocada
1 0 0 0
dS =perando: 0 0 0 cdt
sabiendo que g!! , g!" = g !" y g !! dependen únicamente de las g!" g!" dx uno de dichos puntos.
g!! P a
g!"
clusiones
de Gauss,
Einstein
y operando: 0 0 1 0
y operando: y operando: del punto desde el que se g
coordenadas curvilíneas u! y u!permitió
g
g
g
dx
y o
perando: !"
!"
0 1 0 0 [16] g
g
!!
!"
g
g
!
dy
!"
!"
!"
!!
! da dx
dy
pretenda calcular distancia entre cdt
los dos puntos P y P+dP dSque,
= en
dS != 0dS !!0= 0
cdt !cdt
1 + εγ!! 0
decir
los dz
espacios
g !"temporales
g !"g !"
g !!
g !" de gdz
g !!
dy
!" g !"
!
0 00 10
01
dS
=
cdt
1
+
εγ
[16] dy u! !
cdt
y ug! + dug! , u!g+du! . Aplicación a la caída
coordenadas dS
curvilíneas rdx
espectivas = dimensiones,
dz, ug!!"
!"g !" !" gel
cdt
dS !!
= cdt! ! 1 +
εγ
[16]
de cuatro
también
!"!! g
!! g !"
dz
!
!
!!11 +
tenemos: Si dividimos la expresión adS
nterior dtεγ
= p!"or εγ!! 0
0cdt
0
εγ
de gla!! manzana
2.-­‐ Riemann, extrapolando permitió g !" a g !"
εγanterior εγ
!"
cdt
intervalo
entre las losconclusiones puntosde PGauss, yg !"P+dP
0
Si dividimos la expresión p!"
or dt ! tenemos: !!
Einstein decir que, en los espacios temporales de cuatro En nuestro caso de la caída de la manzana concurren las siguientes !
!
εγexpresión
εγ!" anterior
!"
del espacio-tiempo
y, z,los ctpuntos vistoP en
el del En En nuestro caso de la caída de la manzana concurren las siguientes nuestro caso de la caída
de
la
Si
dividimos
la
Si d
ividimos l
a e
xpresión a
nterior p
or εγ
εγ
!
εγ
εγ
!"
0 dt tpenemos: dimensiones, también el intervalo x,
entre y P+dP = c+ 1εγ
+Si εγ
εγ
!"
l a [17] !"!!
!!
!"
!" anterior d
e
xpresión or dt ! tene
!" !
0
!!
! !"
2ividimos espacio-­‐tiempo y, z, referencia
ct visto en el sistema e referencia X, circunstancias Y, Z, cT = c 1 cir+ εγ!! por
εγ
dt
tenemos:
εγ
[17] sistemax, de
X,Y, dZ,
cT valdrá:
manzana concurren
las !"
siguientes
particulares: εγ
εγ
0
circunstancias particulares: !" εγ !" εγ!"
!! εγ!"
!"
! εγ!"
valdrá: 0 de !"+otra Por parte y !!
de acuerdo con la respuesta cunstancias particulares:
Einstein, en ! !εγ
cdt
εγde εγla εγ
!"
=
c
1
+
εγ
se mueve de [17] !"
!"
!"
!!
Por otra parte y acuerdo con respuesta Einstein, en εγ
εγ
εγ
εγ
0
!!!
g!! g!" g!" g!" dx
!"
!"
!!
!"
representación matemática, la manzana en sistema de !"
=c 1+
εγmatemática [17]
se se el [17] a.- a.-­‐ El punto
material
que,que, en laque, re- la a.-­‐ El punto material en matemática El punto material en representación la !"
representación !! en g !" g !! g !" g !" dy
!
representación matemática, la manzana se mueve el sistema de dS = dx dy dz cdt g
cdt
εγ
εγ
εγ
εγ
g
g
g
referencia x, y, z, ct (sometido a la aceleración g respecto al sistema de !"
!"
!"
!!
!"
!"
!!
!"
presentación
se mueve a
dz
mueve a lo largo de una geodésica sobre una superficie curva en el mueve a lo largo de una geodésica sobre una superficie curva en el y omatemática
perando: g !" g !" g !" g !! cdt
referencia referencia x, y, z, ct X(sometido a la dparte aceleración g respecto al por sistema de la Por otra y de acuerdo con respues
, Y
, Z
, c
T) l
ibre e a
cciones e
xteriores y
, l
o t
anto, a lo largo la Por otraPor parteotra y departe acuerdo
lo largo de una geodésica sobre una
y tcon
de laaacuerdo referencia Xt , a Yna , s Zl, anzana. ceodésica T) lanzana. ibre dГe saobre cciones esxteriores yc, urva por lo anto, lo largo con espacio-­‐tiempo x
, y
, z
, c
t e
s l
m
espacio-­‐tiempo x
, y
, z
, c
e
a m
de u
g
u
na uperficie e
n e
l e
spacio-­‐tiempo x
, y, z, representación matemática, la manzana se mueve
y operando: respuesta de Einstein, en representasuperficie curva
en el espacio-tiempo
siendo
! una geodésica !
sobre una s uperficie n spacio-­‐tiempo , z, representación se dS de = cdt
1 Гestudiar +
εγ!!
cierto detenimiento c urva e matemática, e l e este movimiento y [16] la x, ymanzana ct. Para con compararlo g!! g!" g!" g!"
ción matemática,
la(sometido manzana sea muey, z, ct, es la manzana.
g!" g!"x,b.-­‐La referencia x, y, z, ct la aceleración g resp
ct. Para estudiar con cierto detenimiento este movimiento y compararlo g !"
g !" g !"
g !" g !! g
curvatura de la superficie sobre la que se mueve la manzana !!
de superficie sobre !
referencia a la aceleració
con el movimiento preconizado mediante la Teoría de Campos según los siendo g
un tensor en el que cada b.-La
una b.-­‐La de curvatura
sus curvatura ve
en
referencia
y, z, ctsegún de
superficie
so-1 +preconizado dSla!con =el la movimiento cdt
εγ
el
la sistema
que x, se de
la y, mueve z, ct de (sometido la Campos x,
[manzana 16] !
!" g !" g !! g !"
!!
g !" g !"
Teoría los ensemos tlenemos: Si eterminada dividimos la em
xpresión aa nterior , pYmediante or dctT) referencia X
, Z
, ibre d
e a
cciones e
xteriores y, po
!" g !! g !!
g !" g !" g
g !"
criterios d
e l
a M
ecánica C
lásica p
q
ue: está d
eterminada p
or l
a asa d
e l
T
ierra. está d
p
or l
a m
asa d
e l
a T
ierra. siendo g (simétricas uque
n tensor en elal criterios qmanzana
ue cada una de sus (sometido
a la aceleración
respecto
bre la
se mueve
está
referencia X, qYue: , Z, cT) glibre de acciones exterior
de la Mecánica Clásica pensemos gg!!
dieciséis componentes ) e!"
s función de las !" = g !"g
!" g !"ya que !
de na eodésica Гtreferencia
s obre una sY,uperficie curva en el es
al gsistema
de
Z,una cT)superficie determinada
deexpresión la Tierra.
un tensor
en el que
cada una
dePsus
tenemos: Si !"
dpor
ividimos aunterior por cuatro coordenadas del punto . ! la masala 1.-­‐ En Mecánica Clásica, un punto material de masa m se mueve en de u na gdd
eodésica Г sX,
obre curva gcurvilíneas !id
!" g !" g !" g !!c.-­‐ Ec.-­‐ l c
uadrado d
el ntervalo e
ntre u
n p
unto P
e l
a g
eodésica y
o
tro 1.-­‐ En Mecánica Clásica, un punto material de masa m se mueve en E
l c
uadrado el i
ntervalo e
ntre u
n p
unto P
d
e l
a g
eodésica y
o
tro 1 + εγ!!
un Para campo libre
estudiar gravitatorio de
[17] acciones
y, por
lo y libre delc intervalo
entre
dieciséis
componentes
(simétricas
ya a: c.- El cuadrado =
ct. con cierto detenimiento este (en exteriores
el espacio de Euclides de movim
otra Esta ecuación en forma condensada quedaría reducida !"
estudiar con cierto detenimiento este
!g !" = g !" ) un dieciséis componentes (simétricas yPa +dP q!"
ue e s función dtanto,
e lct. as aPara campo gravitatorio (en el largo
espacio de Euclides y libre de otra lo
de
una
geodésica
⎡
un
punto
P
de
la
geodésica
y
otro
que dSgik!=g
)
es
función
de
las
cuatro
punto d
e l
a m
isma v
ale !
acción e
xterior) c
ayendo e
n línea r
ecta y
s
egún l
a d
irección z
d
e tal punto P
+dP d
e l
a m
isma v
ale !
!
ki
= g !" dx dx [13] movimiento preconizado mediante la Teoría de
= c 1 +acción εγ!!exterior) con el c ayendo con [17] e
n línea r
ecta y
s
egún l
a d
irección z
d
e t
al el movimiento preconizado mediante la T
!"
sobre
una
superficie
en de el espapunto
P+dP
de Pla. Por misma
vale parte manera coordenadas
curvilíneas
del puntocurvilíneas P.
cuatro coordenadas del punto que la variación unidad tiempo de su energía otra y de acuerdo con por la curva
respuesta de Einstein, en siendo i, k = x, y, z, ct. de la de M
Clásica pensemos que: manera criterios que la cio-tiempo
variación por de tiempo de con
su energía x,ecánica y,unidad ct.MPara
estudiar
para
Esta ecuación en forma condensada
para OO:: representación cinética procede la z,
variación, también por unidad de tiempo, para O: criterios d
e l
a ecánica C
lásica p
ensemos que:
matemática, la manzana se respuesta mueve en de el sistema en de Puede concretarse todo lo anterior diciendo que: Por otra parte y de acuerdo con también la de Einstein, procede de la detenimiento
variación, por unidad tiempo, Esta reducida
ecuación a: cinética cierto
este
movimiento
quedaría
a: en forma condensada quedaría reducida del potencial escalar del campo gravitatorio. Es decir: del campo gdravitatorio. Eg s drespecto ecir: en el ! pct 1.-­‐ El tensor g !" (llamado tensor de los potenciales de Einstein) z, a manzana la 1.-­‐ En Mecánica Clásica, un punto mater
aceleración sistema de de !referencia matemática, se movimiento
mueve dS !dS= representación −=dZ
cdT
otencial ! (sometido e [scalar con1 el
pre- al sistema [14]
− !dZ+ !x, +y, del cdT
14] y 1.-­‐ En Mecánica Clásica, un punto material de m
compararlo
[la 14] representa la métrica !con la mv! ! + mgz = 0 d 1
!
!que el observador O mide, en su propio !
2
dt
un campo gravitatorio (en el espacio de Eucli
mediante
dSsistema =de greferencia cT, el [13]
cuadrado del intervalo dx
! dx ! referencia referencia [13] X
, cct T) (sometido libre dconizado
e acciones pde
or Camlo tanto, a lo largo mv
+ mgzla Teoría
= 0 !" dx dx
!exteriores X, Y, Z, x, , Yy, , Zz, a la aceleración g y, respecto al sistema de d
un campo gravitatorio (en el espacio dt
y desarrollando e2sta ecuación: de
y xyp
ara medido por el observador o en su sistema de referencia , ypara
, zy , ct. pos
según
los
criterios
la
Mecánica
o:: de poara ou: na geodésica acción e
xterior) c
ayendo e
n línea r
ecta y
s
egún sobre uperficie curva en el eor spacio-­‐tiempo yrecta , z, ee sta cuación: exteriores referencia X, Y, y Zd, esarrollando cГT) libre udna asecciones lo tanto, a lo xl, argo dv! y, p c
1
acción eque:
xterior) ayendo en línea siendo Clásica
siendo
i, k i=, kx, =y, xz,, yct., z, ct. 2.-­‐ Cada una de las componentes de este tensor depende, en cada + mgv! =por 0 dv! m2v
1 pensemos
! variación manera que la unidad de !
!
ct. Para estudiar con cierto detenimiento este movimiento y compararlo dt
2 c+urva m2vmanera mgv
=n 0 ela de superficie l un
espacio-­‐tiempo , y, ztiem
, de x, y, z, ct, todo
del movimiento relativo entre el ds
sistema de !
!
!e
cdt
g eodésica ! [15]
Clásica,
punto
Puedepunto concretarse
lo anterior
ds=
=una cdt
[ 15] Г s [obre 15] una 1.que variación por xunidad dt
2En Mecánica
referencia x, y, z, ct, en el que está ubicado el observador o, cinética procede de la variación, también por
con el movimiento preconizado mediante la Teoría de Campos según los Puede c
oncretarse t
odo l
o a
nterior d
iciendo q
ue: de
masa este mprocede se movimiento y muevede enla un variación, diciendorespecto al sistema de referencia X, Y, Z, cT, asociado al observador que:
ct. Para estudiar con cierto material
detenimiento compararlo cinética tamb
d.-­‐ Como en este caso se trata de un campo gravitatorio muy débil, campo
gravitatorio
(en
el
espacio
de
1.- El O tensor
tensor
de los
d.- d.-­‐ Como en este caso se trata de un campo gravitatorio muy débil, Como
en
este
caso
se
trata
debiendo (llamado
tener presente que: del otencial e
scalar d
el c
ampo g
ravitatorio. Es d
criterios d
e l
a M
ecánica C
lásica p
ensemos q
ue: con el movimiento preconizado mediante la Teoría de Campos según los escalar del campo gravitato
tensor de los potenciales de Einstein) 1.-­‐ El tensor g !" (llamado Euclides
ydel librepotencial de otraante acción
extepotenciales
de Einstein)
representa
la
de
uncomparado campo
gravitatorio
muyposibles débil,
comparado con los los posibles campos gravitatorios masas a.-­‐En el caso de la Teoría de la Relatividad Especial, en que dicho con campos gravitatorios ante masas d 1
dposibles
e Ola m
Mide, ecánica Clásica ensemos ue: recta
1 mgz! = 0 movimiento relativo slimplemente una O
traslación uniforme ee
n l el ocriterios rior) pcayendo
enqlínea
y según
métrica con
la que
eles observador
con los
campos
mvd! ! +
representa a métrica con lcomparado
a que bservador en su propio 1.-­‐ En Mecánica Clásica, un punto material de masa m se mueve en grandísimas como las existentes en las proximidades, por dt
ejemplo, mv! + mgz
como las existentes en las proximidades, por ejemplo, espacio y constante en el tiempo, este tensor es el tensor ugrandísimas nitario 2
la! dirección
z de tal manera que la vamide, enen su
propio
sistema
de refe- un gravitatorios
ante masas grandísimas
2 de !
dt
todos los puntos por referencia los que vaya pasando material un campo gravitatorio (en el espacio de Euclides y libre otra dx
sistema de X, Y, punto Z, cT, el cuadrado del intervalo dx
1.-­‐ En Mecánica Clásica, un punto material de masa m se mueve en y propuso desarrollando eel sta tensor ecuación: que de de los agujeros Einstein para para que los agujeros Einstein propuso el tensor riación
pory dunidad
de
tiempo
de
su
rencia X,que Y, Z,
cT,
el cuadrado
como
las existentes
ennegros, las negros, proximidase m
oviera en x, y, z, ct. del interesarrollando esta ecuación: exterior) ayendo en línea recta y según lvariaa ddv
irección z de tal medido pla or el observador odes,
en por
srelaciona u sejemplo,
istema dacción e rlos
eferencia xne, y c, los z, cenergía
t. 1
un campo (en el del espacio de Euclides y libre de otra cinética
procede
de
la (para valo medido
por
o en General, de
agujeros
relaciona los los valores de gravitatorio los cuadrados intervalo (para el valores de cuadrados del intervalo b.-­‐ En el caso elde observador
Teoría de la Relatividad si dicho dv!! = 0 1 ! el m2v
+
mgv
!
movimiento tiene alguna aceleración, cada una de las ción, e
también
por
unidad
tiempo,
su sistema de referencia x, y, z, ct.
gros,
Einstein propuso
para
el otro tensor
manera que variación por tiempo de energía m2vsu +tmgv
exterior) cobservador ayendo n línea recta yde sdel egún la tensor dirección de al dt
2de
observador O acción y O para el o) unidad la suma tensor ! z
observador y para el la otro observador o) la suma del componentes tensor es diferente en los distintos puntos y 2.-­‐ Cada una de las componentes de este tensor depende, en cada dt
2
del potencial
escalar
del
campo
gravi2.- Cada
una dedel las
componentes
que relaciona
los cinética valores deprocede los cua- de la variación, también por unidad de tiempo, depende, además, de la curvatura de la superficie en cada uno manera que la variación por unidad de tiempo de su energía unitario y otro tensor también de dieciséis componentes simétricas unitario y otro tensor también de dieciséis componentes simétricas tatorio.
de este tensor
pun-del movimiento drados
del intervalo
(para
el observade x, eny, cada
z, ct, relativo entre el sistema de Es decir:
de dpunto ichos depende,
puntos. del p
otencial e
scalar d
el c
ampo g
ravitatorio. E
s d
ecir: cinética procede de la aunque variación, por unidad de tiempo, εγ
siendo εel uotro
na antidad constante muy mptambién equeña. εγ
to de
x, y, z, ct,
del movimiento
y!"para
o)claonstante sestá iendo ε ucobservador
na cantidad uy pequeña. Aplicación areferencia la caída de la manzana x, y, relativo
z, ct, en dor
el !"O
que ubicado el observador o, aunque 1
d
entre el sistema de referencia x, y, z, ct,
suma del tensor unitario
y otro tensor
del potencial escalar del campo mv!g!ravitatorio. + mgz = E0 s decir: respecto al sistema de referencia X, Y, Z, cT, asociado al observador en el que está
ubicado el observador
también
de
dieciséis
Por Por lo tanto, la relación entre el cuadrado del intervalo de un 2
dt
lo tanto, la componentes
relación entre el cuadrado del intervalo de un d 1
!
ebiendo tener presente q
ue: o, respecto O al dsistema
de referencia
X,
simétricas
εγ
siendo
ε
una
cantidad
mv
+
mgz
=
0 y d
esarrollando e
sta e
cuación: !
ij
desplazamiento infinitesimal de la manzana visto por Newton y el mismo desplazamiento infinitesimal de la manzana visto por Newton y el mismo 2
dty desarrollando
esta ecuación:
Y, Z, cT, asociado al observador O deconstante aunque muy pequeña.
dv
1
!
cuadrado intervalo visto por el esta observador solidario a la manzana y desarrollando cuación: cuadrado del intervalo visto el eobservador la manzana biendo tener a.-­‐En el caso de la Teoría de la Relatividad Especial, en que dicho presente que:
Por del lo tanto,
la
relación
entre
el por cuam2v! solidario + mgv! =a 0 dt
2
dv
1
dada, de acuerdo la extrapolación Riemann a las a.-En el movimiento caso de la Teoría
de vendría laes svendría drado
del
intervalo
de
un con desplazadada, de acuerdo con la eextrapolación Riemann a las ! de de relativo implemente una traslación uniforme n el m2v!
+ mgv! = 0 Relatividad Especial, en que dicho
miento
infinitesimal
de
la
manzana
visconclusiones d
e G
auss, p
or: dt
2
conclusiones de Gauss, por: expresión: !"
!"
du!
[11]
2.-­‐ Riemann había generalizado todas las ideas de Gauss a un Desarrollando la egcuación se puede escribir que: espacio de cualquier número d!!
e coordenadas g!" [11] du! u
! , u! … … … u! y, por dS ! = du! du! g
[11] lo tanto, proporcionó la geometría utilizar en los espacios !" g !" a du
!
!
dS ! d=
+ 2g!" du! du! + g !! du! ! [12] temporales e cg
uatro dimensiones. !! du
!
16
espacio y constante en el tiempo, este tensor es el tensor unitario en todos los puntos por los que vaya pasando un punto material anales de mecánica y electricidad / marzo-abril 2014
que se moviera en x, y, z, ct. b.-­‐ En el caso de la Teoría de la Relatividad General, si dicho mientras que con la Teoría de la Relatividad General la ecuación [22], en el ue con la de l[a 22], Relatividad mientras que con la Teoría de la Rmientras elatividad qG
eneral la Teeoría cuación en el mismo caso de la caída de la manzana, se puede expresar diciendo que mientras q
ue c
on l
a T
eoría d
e l
a R
elatividad Gene
mismo caso de la caída de la manzana, se
mismo caso de la caída de la manzana, se puede expresar diciendo que η
τ
!! !! una ! de ! las cuatro ! ! ! ! !γ!!
y, análogamente, x
representa también cada !
!
c
Г
=
0; p
ero c
omo q
uiera q
ue Г
=
−
ε
(
esto e
stá f
uera Eliminando factores comunes y te-x η !y, la+análogamente, variación
(en
la
unidad
de
intervaτ
!γ
!
!
!!
!!
!
!
!
mismo caso de la caída de la manzana, se pue
xГ !representa también cada una !! ! cuatro !
!!
!c !las +de Г!!
=−
0; p εero !!c omo qeuiera que Г!!
+
= 0; psigno ero como (esto stá fuera !! =
!que Г!!
niendoEliminando en cuenta el signo
de vzcomunes podelo)
en cada
de!!cada
una
de las
omponentes del desplazamiento del punto material y en cada punto de factores y teniendo en ccuenta el de v!!!q !!uiera !!!τpunto
! !!!
!!!! !!
componentes del desplazamiento del punto material y en cada punto de η
!
!
!
!
!
del a
lcance d
e e
ste a
rtículo y
s
e d
educe f
ácilmente a
p
artir d
e l
os s
ímbolos y, análogamente, x representa también una de las cuatro +
cestá
= 0; pero qduiera ue Г!!!
=
mos decir
que: decir qxue: componentes
del desplazamiento
a lo cada del
de este
!!
!!
!!
!!deduce del aГlcance de ealcance
ste rtículo se q
educe fácilm
geodésica. del alcance de este artículo y s!!
e (esto
ffuera
ácilmente a cpaomo artir e yl os sdímbolos !!
podemos la g
eodésica. de C
hristoffel), d
icha e
cuación [
22] a
lcanzará l
a f
orma: largo
de
⎡.
artículo
y se deduce
fácilmente
a par-cuatro τ
componentes del desplazamiento del punto material y en cada punto de η análogamente, x η τ xy, representa también de ecuación las de y, Canálogamente, x τe cuación representa cada una de cuatro !! !
del ade lcance dcada e elste adrtículo y se las deduce fácilment
ácilmen
Csímbolos
hristoffel), icha hristoffel), dxicha [22] atambién lcanzará a funa orma: !!η !!
[18]
tir
de
los
de
Christoffel),
di- [22] alcanzará
A
partir
de
[19],
pasando
al
pará+
g
=
0 [
18] !!η !!τ
!
!
!
!
la g
eodésica. !
!
representa la variación de la componente x
en función de la Г
!!
representa la variación de la componente x
en función de la ητ
!γ
componentes del desplazamiento del punto material y en cada punto de ! !!"metro
η componentes del desplazamiento del punto material ητ !" !"
de una Cecuación
hristoffel), dalcanzará
icha ey en cada punto de cuación [22] alcanzará la fo
! !
! τ! representa x!"
−c
y, de
análogamente, cada de las [22]
cuatro cha
la forma:
referencia
!
! = −c xtiempo,
=
Г!!
!ε !!se
puede
! también ! [24] !γ!! !! !!
!
!unidad ! !de las ! ! !γ!!
!! intervalo) !!! la !!
variación (en la de en cada punto de cada una !
componentes del desplazamiento del punto material y en cada punto de η
τ
=
−c
Г
= −
c
ε
[24] =
−c
Г
= −
c
ε
[
24] g
eodésica. 2.- Ende la teoría
relativista
Einstein
por
lado,
la geodésica. !!
!!
ariación (en la unidad intervalo) en !de
cada punto obtener,
de cada de las !!la correlación
!!
! un
! !
Eliminando factores comunes y teniendo en cuenta el signo !!!
!!una !!! v!
! de !!
!γ!!!
!! !γ
!!!! !!!! !!
representa la variación de la componente x
en función de la Г
la g
eodésica. !
!
!!
ητ
!
!
componentes d
el d
esplazamiento a
l
o l
argo d
e Г
. 2.-­‐ En la teoría relativista de Einstein un punto material (nuestra punto material a(nuestra
manzana,
entre la ecuación del movimiento a la
!"
= −cque: Г!!
[24]
[24] !! = −c !! ε !!
omponentes del un
desplazamiento lo largo de Г!". luego, η !!τη
c!!
omparando [23] y [24], puede escribirse !!
!!!!
podemos d ecir qvariación ue: !!τ
!!Mecánica
! ! unidad ! las ! !!!!
!! ! !!
por ejemplo)
se mueve
bajo
un con-(en luz
de
la
Relativista
y
bajo
! uede la de intervalo) en cada punto de cada una de manzana, por ejemplo) se mueve bajo un conjunto de representa la variación de la componente x
en función de la Г
luego, c
omparando [
23] y [24], puede escrib
luego, c
omparando [
23] y
[
24], p
e
scribirse q
ue: en función de la Гητ
representa la variación de la componente x
Г representa la variación de la componente x
ητpartir A de !"[19], pasando al parámetro de referencia tiempo, se en función de la !!
!"
!"ητ!"!"
!"
!circunstancias
junto
de
muy
diferentes;
luego,
comparando
[23]
y
[24],
puela
óptica
de
la
Mecánica
Clásica
y,
por
!!
+ g =al 0 parámetro m
componentes d iferentes; [18] A partir de [19], circunstancias pasando de se variación la unidad de en dcada de cada de las dcvariación dvariación esplazamiento aintervalo) lo largo Г. punto luego, comparando [cada 23] y [una 24], puede escribirse
uy itemos etiempo, ntre e!!
llas: puede por un lado, la correlación entre la una ecuación del !
!!referencia el =obtener, (en (en la unidad de intervalo) en cada punto de de las (en la unidad de e dintervalo) en cada de cada una de las !! punto !!otro,
!
citemos !!
entre
ellas:
que:
apartado
siguiente)
valo!(ver
componentes d el desplazamiento alos
lo largo e Г. de escribirse
!!
=
!!
=
!!
!!
uede obtener, por un lado, correlación entre la los
ecuación del !m
movimiento a el la luz dde la Mecánica y bajo la Гóptica En la rla epresentación m
atemática punto se mRelativista ueve a lao alargo laa.-­‐ !el a.- En
representación
matemática
res
potenciales
correspondiencomponentes daterial esplazamiento d!!
e !!
componentes el esplazamiento lo largo d. !tiempo, e ! Г. de la A partir de de
[19], pasando al d(ver parámetro referencia se A partir de por [19], pasando al apartado parámetro de de !!
referencia tiempo, se de los =
Mecánica Clásica y, otro, siguiente) los valores !!
!!
y c
omo !
!
movimiento a la elluz de la Mecánica Relativista bajo la óptica de la punto2.-­‐ material
mueve
a geodésica lo largo de tes
a cada una punto
de la material geodésica.
Enen el lo largo de una Г Einstein sobre superficie curva !!
En la seteoría relativista un punto (nuestra puede obtener, por un lado, la correlación entre la ecuación del y c
omo y c
omo puede obtener, por un lado, la parámetro,
correlación la ecuación del tiempo, correspondientes apasando cada pla
unto e gparámetro eodésica . En referencia efecto, potenciales gpara
A de [19], al dentre parámetro de se se ⎡cuadrimensional sobre
superfiyla como
cambiar
de
!" partir A partir de pasando al de referencia tiempo, Mecánica Clásica de
y, una
por geodésica
otro, (ver apartado siguiente) valores de los Mecánica [19], espacio x, yse , efecto,
zmovimiento , los ct. a la bajo luz de la Relativista de y bajo la óptica de la manzana, por unaejemplo) mueve un conjunto y c
omo g
=
1
+
εγ
movimiento a la luz de la Mecánica Relativista bajo la óptica de la cpuede ambiar d[19]
e parámetro, la epor cuación [19] sla e transformará n: entre !!
cie curva en el espacio cuadrimensio-para ecuación
sey, transformará
en:
!!los obtener, por un apartado lado, la ecuación Clásica otro, (ver siguiente) valores ede los entre puede un lado, la correlación la ecuación del gdel a cada unto de la geodésica . eEntre n obtener, efecto, otenciales g !" correspondientes gcorrelación b.-­‐ En el cálculo no se introduce la acción de la gravedad ya que !! = 1 + εγ!!
mpuy diferentes; cMecánica itemos epor llas: !! = 1 + εγ!! nal x, y, z,circunstancias ct.
c
orrespondientes a
c
ada p
unto d
e l
a g
eodésica .
E
n e
fecto, potenciales g
Mecánica Clásica y, por otro, (ver apartado siguiente) los valores de los !"
! !! !!!
η
τluz !de la Mecánica Relativista y bajo la óptica de la movimiento a la !!
!
!!
!!
movimiento a la luz la Mecánica Relativista bajo la óptica de ! el +la εγ!!
gdel
la latemática entre la componente del de los potenciales de = 1
ara cambiar de parámetro, la ea cuación [19] se tp
ransformará e! n: !!
sido sustituida a relación apara celeración d
sistema d=e de !!
!!
b.- En ésta ela.-­‐ cálculo
no
se
introduce
laor relación
la y componente
[20]
[ 19] ueve g[s20] a la tensor Ehn la representación m
e+l dpГe unto m
aterial s0 re eferencia m
!! ambiar la !ecuación e transformará n: entre
ητparámetro, ! c!!
!!orrespondientes !" !" a
!!
la gerelación entre la componente g !! de la relación entre la componente del tensor de los potenciales c
c
ada p
unto d
e l
a g
eodésica .
E
n e
fecto, potenciales g
!!
!"
Mecánica Clásica y, por otro, (ver apartado siguiente) los valores de los Mecánica Clásica y, por otro, (ver apartado siguiente) los valores de los del t
acción dex, lay, gravedad
yauna queaésta
ha Einstein tensor
deplos
y! e!l p!!otencial g, ravitatorio vendrá dada or: potenciales de Einstein y el
z
, c
t r
especto l s
istema d
e r
eferencia X
, Y
, Z
c
T. lo largo de geodésica Г sobre una superficie curva en el !!
!!
!!
!
!
!
η
τ
!
!
!! !! !!
! ! !!
relación la componente g !!
tenso
+
Гla =
s e g
p
[e 20] e potencial
scribir a el e otencial g. ravitatorio endrá da
cuación ecuación l !"potencial vunto p
or: cambiar dpotenciales e Yparámetro, a [0 19] s ravitatorio transformará e d n: e!!n Einstein cuenta uede qendrá ue: entre ητy
!! vdel por=la0 aceleración
teniendo
en
ecuación
gravitatorio
dada
!! g
!!la [17] ccuenta
cla ada pEinstein e dylada gpeodésica Epor:
n .e Efecto, +sido
Г!ητ sustituida
para [20] del
Y x t, eniendo a cada punto d
lvendrá
a geodésica n efecto, potenciales gee!"orrespondientes !"curva !" correspondientes c.-­‐ Por sobre una superficie los sistemas ade espacio c
uadrimensional y
, z
, c
t. !!! !!!
!" !"
!!! desplazarse !Φ
sistema de referencia x, y, z, ct respec- g! ! [17]
se+puede
Einstein yse etl ransformará potencial gravitatorio =Y !t1
c uenta τescribir
ηd !!
e lτ! a p d earámetro, cuación que:
p
[25] eniendo eη n [17] se la puede eescribir q[ue: [ 19] cambiar ecuación 19] en: en: vendrá dada po
! !! ! !!
! para !!!
! arámetro, !Φ
para e cuación s+
e t!Φ
ransformará !!!!!
!cT.
!!
!!c
referencia para cada componente de su velocidad van cambiando ! !!
+
Гambiar =
0 l a [ 21] b.-­‐ En el cálculo no se introduce la acción de la gravedad ya que g
=
1
[25]
[25] to
al
sistema
de
referencia
X,
Y,
Z,
g
1
+
[
25] ητ =
! !! !!εγ
! =
!!
!!
+
Г
0 [
20] !
!
!!
!"
!"
!!εγ
!
teniendo en cuenta la ecuación [17] se puede !!e!scribir ητ ! !" !" ! !!
! ue: ! !!
!Φ
!!! q
!!!!! ! ! !! = 0 [21] !Φ !
Гητ
c.- Por al desplazarse
sobre
una super! !! +!!!
! el ηd
τηr[21]
!
pasar un sustituida punto a optro. !
!
τ
!
g
=
1
+
[25] ésta ha dse ido or l
a a
celeración d
s
istema e eferencia !!
!
!!
!!
!!
!!εγ
!"
!"
!!εγ
!
!
!!
!!
Conclusiones ! ! !!+ Г!+ Г! !! !! !!= Conclusiones
0 =
0 Conclusiones [ Г20] !! η !!!!
τ es ! !!
[
20] ! !!
η curva
τ
ητla !"caída ficie
los
sistemas
de
referencia
! el !!
!
!la manzana, ητ
!
!
!
nulo Ahora bien, en caso de de Conclusiones !!
!
!!
!
!!
!"
!!
!!
!!
!" !!
d.-­‐ En cada punto de la geodésica puede definirse un cuadrivector Y en cduenta la een cuación 17] e !"
puede escribir Гq! ue: nulo !! ητ
!! !"
x, y, z, ct =
respecto l sistema e referencia , Y, Z[de , cla T. scaída + Г!ητpara
0 de
t eniendo su
[a21] es !"
Ahora bien, el Xel
caso de la manzana, cada
veloAhora
bien,η en
caso de
caída
De ητtodo
!" !"lo anterior podemos deducir,
!! !! !!εγ!!
!" !"
!!εγ!!
!! componente
τanterior ! lapodemos ! de
Conclusiones De todo lo deducir, al relacionar = x
= c
t y
x
=
x
=
ct, luego [
21] s
e c
onvierte en: la genial excepto c
uando x
η curva τde las ! coordenadas !
con una componente en cada c.-­‐ Por desplazarse sobre una superficie de xn = ccuenta t yllos a x lo xanterior ct, luego ce onvierte en: todo xuna t!eniendo c= e=cuación [17] srelacionar
e spe suede egenial
scribir qal ue: relativista
podemos cidad vanvelocidad cambiando
al pasar
laY excepto manzana,
al[[21] laDe respuesta
ηcuando Y teniendo l sistemas a e=cuación 17] puede escribir qanterior ue: lo relacionar dedu
De todo podemos deducir, la genial !!
!! !! de !un
!!τ en !euenta respuesta de E=instein la propuesta determinista ddeterminista
e Newton, + !Гητ
0 c [on 21] !!rηelativista !!τ !
curvilíneas. punto a otro.
de Einstein
con
la
propuesta
! !! !!εγ!! !!
referencia para cada componente de su velocidad van cambiando !! !!"! !
!
!!
!"
!!εγ
!
De lo anterior deducir, respuesta relativista de Epodemos instein con la propu
es hora bien, en el caso de la caída de la manzana, respuesta de Einstein con la ptodo ropuesta determinista de N
ewton, a
!! ! + !
cГ!ητ
0 nulo [ r 22] c=
Г!!0 =
!!
elativista [22] !Г+
τ
!!"
!!!η !!
! !!o
!!"uchas !!
!!ηlas !!!
!! m
!
!!τd!os c!onclusiones d.- En e.-­‐ cada
punto
de
laptomar geodésica
de0 Newton,
otras muchas posibles,
entre tras p!osibles, sentre
iguientes: En lugar de el tiempo como parámetro de referencia +
Г
=
[
21] al p
asar d
e u
n unto a
o
tro. +
Г
=
0 [
21] ητ
e Epinstein con a os propuesta
!
ηelativista τ muchas entre tras osibles, las ld
conclusi
!!!εγ
! !!εγ
entre tras m!"ητ
uchas p!!εγ
osibles, lrespuesta as dos
dos conclusiones sdiguientes: !!
!"
!!!
!!ro
!!
!" !!!"
!excepto
!! !!εγ
= x τ = ct y xun
=cuadrivector
x ! =Ahora ct, luego s!el e nulo
c!caso onvierte ela n: xcepto cuando x ηpuede
definirse
velo-ecuación es
cuando
las
siguientes:
ecuación en la oMecánica Relativista caída de !!
!! la !!
! la !!
en la Mecánica Relativista para la caída de manzana la manzana es nulo bien, [21] en de caída de la para manzana, Гconclusiones
para f
ormular e
l m
ovimiento d
e l
a m
anzana, s
e h
a d
e c
onsiderar e
l ητ
d.-­‐ En cada punto de la geodésica puede definirse un cuadrivector !"
!"
equivalente a
l
a e
cuación [
18] e
n l
a M
ecánica C
lásica. entre o
tras m
uchas p
osibles, l
as d
os c
onclusiones
a.-­‐ El estudio matemático de la gravedad puede hacerse cidad con una componente en cadaequivalente a la ecuación [18] en la Mecánica Clásica. a.- El estudio matemático de
laτηgra-τ
η
! !!
!!matemático !!
! !!! !!
a.-­‐ estudio de la
ηde τ
!El ! coordenadas a.-­‐ estudio matemático de la El gravedad puede hacerse intervalo c
omo d
icho p
arámetro r
eferencia. velocidad con una componente en cada una de las ! !
una
de
las
coordenadas
curvilíneas.
vedad
puede
hacerse
considerando
= x
= c
t y
x
=
x
=
ct, luego [
21] s
e c
onvierte e
n: excepto c
uando x
que
es nulo Ahora bien, en el caso de la caída de la manzana, Г
es nulo Ahora bien, en el caso de la caída de la manzana, Г
ητ
considerando que la masa M de la Tierra determina una curvatura +
c
Г
=
0 [
22] ητ !"
!!
!"
!
!"
!"
!
a.-­‐ El estudio matemático de la la gr
considerando que la masa M de Ti
considerando que la masa M de dela laTierra una curvatura e.- En curvilíneas. lugar de tomar
la masa
M
Tierra determina determina una
!el! tiempo η
τ
τ yy l a xp!ropuesta ! x ! d=
!ct, luego en cada punto de la representación del espacio-­‐tiempo x, y, z, ct en = x
= c
t =
[
21] s
e c
onvierte e
n: excepto c
uando x
Relación entre la respuesta dηe E= instein e N
ewton x
= c
t y
x
=
x
=
ct, luego [
21] s
e c
onvierte e
n: excepto c
uando x
!
!
Como consecuencia de todo lo anterior, la ecuación [18] con el !
!
como parámetro de referencia
luego
se
convierte en:
curvatura
en en cada punto de la representación de
cada punto de
la represenconsiderando que la masa M de la Tierra en cada punto de la representación del espacio-­‐tiempo x, y, z, ct en + para
cla Гel = 0 de e ntre como [21]
l a rmanzana [espuesta 22] cuación en la Mecánica Relativista para caída la !!
e.-­‐ movimiento
En lugar de tiempo parámetro de (aplicando referencia !tomar dla e Newton Egeodésica instein y la pEsta ropuesta de Nespacio-tiempo
ewton !!
que mueve la manzana. curvatura permite calcular las formular el escalar de
la man-Relación tación
del
x,
y,
z, ct en
En !se la propuesta de la posterior Teoría de potencial g se convierte, en cada punto de del !
!
!
! ! ! ! ! ! ! que en cada punto de la representación del esp
que se mueve la manzana. se mueve la manzana. Esta curvatura permite calcular Esta las cu
! 0 quivalente a la ecuación [
18] e
n l
a M
ecánica C
lásica. para f
ormular e
l m
ovimiento d
e l
a m
anzana, s
e h
a d
e c
onsiderar e
l Campos) se obtenía, para la caída de la manzana en el espacio X, Y, Z de +
c
Г
=
[
22] zana, se ha dedconsiderar
el intervalo
[22]
que
seposterior mueve la Teoría Esta ecurvatu+ !!
c Г!! d=
0 Newton g (aplicando !" [22] de los pla otenciales dmanzana.
e Einstein n dicho componentes el tensor ! la !propuesta !!
movimiento e la manzana, en: en la En de de !!
ecuación Mecánica Relativista para la caída de la manzana se potenciales mueve la dmanzana. Euclides, que: componentes del tensor e curvat
los po
componentes el tensor de calcular
los e Einstein n dicho g !" que como dicho
parámetro
de referencia.
las componentes
del geEsta !" intervalo como dicho parámetro de referencia. punto y [18] estas componentes de ra gpermite
Campos) se obtenía, para la caída de la manzana en el espacio X, Y, Z de !" miden, para cada uno de equivalente a
l
a e
cuación e
n l
a M
ecánica C
lásica. !
Como
tensorpara gcomponentes ecuación
en
Mecánica
Relativista
de
los
depara Einstein
! !
!Φ la
los pde otenc
destas el tensor g !" ecuación en la Mecánica Relativista la gpotenciales
caída de la manzana punto y componentes g!
uno punto estas componentes de ecuación Relativista la miden, caída de la cada manzana !!η !!τ de todo lo
!! !consecuencia
!" de ik para !" = − e l en la y Mecánica [23 qlaue: nosotros, !!
!! movimiento (la caída) de la manzana. Г!ητ
= 0 po todo Euclides, [19] para
anterior,!!
la! +
ecuación
caída
de
la
manzana
equivalente
en
dicho
punto
y
estas
componentes
de
Como consecuencia lo anterior, la ecuación [18] con el !" [18]
!" con elde estas componentes de g !" equivalente anosotros, la ae cuación [18] en la Mla ecánica Cnosotros, lásica. el m
ovimiento (la caída) de
el m
ovimiento (M
la ecánica cpunto aída) dCy e lásica. la manzana. la ecuación [18] en !" mid
elación entre la rtencial
espuesta de gEse
instein y la en
propuesta d!lae Nequivalente ewton !!
escalar
convierte,
cada
aen ecuación
[18] en la
Mecánica
Clásica. del gik miden, para cada uno de nosotros, el
!Φpunto potencial escalar g se convierte, cada de la geodésica =
−
[
23 el de
mde ovimiento (la caída) de la m
b.-­‐ La !!ecuación [25], que relaciona el nosotros, movimiento una señal !
ecuación n la que: del movimiento
punto de laegeodésica
movimiento
(la
la manzana.
l!!
b.-­‐ caída)
La [25], b.-­‐ La ecuación [25], que drelaciona el ecuación movimiento de que una relaciona señal espuesta En la propuesta de Newton (aplicando la posterior Teoría de movimiento d
e l
a m
anzana, e
n: Relación e
ntre a r
d
e E
instein y
l
a p
ropuesta e N
ewton Relación
entre
la
respuesta
) con el potencial gravitatorio (dado cualquiera (por medio de g !!
de la manzana, en:
b.- La ecuación [25], que relaciona
b.-­‐ La ecuación [25], que relaciona el m
!
) con e
cualquiera (por medio de g !!
potencial gravitatorio (dado medio g !! ) con de Einstein
ycualquiera laaterial propuesta
de
ampos) se obtenía, para la caída de la manzana en el espacio X, Y, Z de x es la c!omponente del desplazamiento d
el punto m
en (por cada pEdinstein unto elde movimiento
deel una
señal
cualquiera
η !!τ
por Φ) en el punto por donde se mueva la señal, justifica el cambio Relación e
ntre l
a r
espuesta d
e y
l
a p
ropuesta d
e N
ewton Relación e
ntre l
a r
espuesta e E
instein y
l
a p
ropuesta d
e N
ewton !!
! !!
En la propuesta de Newton (aplicando la posterior Teoría de !
Newton
) con el pot
cualquiera (por medio de g
por Φ) en el punto por donde se mue
por Φ) en el punto por donde se mueva la señal, justifica el cambio (por medio de
g44) con el potencial gra- !!
+ Гητuna de =
0 [19]
[19] uclides, que: y sobre !!cada al desplazarse el punto !
!" !" las cuatro coordenadas de frecuencia de una señal cuando abandona el enSol, con por
un !!
Campos) se obtenía, para la caída de la manzana en el espacio X, Y, Z de En la En propuesta
de
Newton
(aplivitatorio
(dado
por
Φ)
el
punto
por Φ) en el punto por donde se mueva la
la propuesta de Newton (aplicando la posterior Teoría de frecuencia de una señal de frecuencia de una señal cuando abandona el Sol, de con un de cuando
material (la manzana) a lo largo de la geodésica En Г. la propuesta de Newton (aplicando la posterior Teoría !! !
!Φ ecuación ecuación e
enn lala que:
cando la posterior Teoría de Campos)
donde se mueva la señal, justifica el camq
ue: Euclides, q
ue: de frecuencia de una señal cuando ab
= − i [23 Campos) se obtenía, para la caída de la manzana en el espacio X, Y, Z de Campos) se obtenía, para la caída de la manzana en el espacio X, Y, Z de !!!
!!
x es la componente del desplazase obtenía,
para la caída de la manzana
bio de frecuencia de una señal cuando
!!
Euclides, que: miento
punto materialden
en
espacio
X,qY,ue: Zaterial de Euclides,
que: punto abandona el Sol, con un potencial gra!pun!ΦelEuclides, x ! es ldel
a componente el cada
desplazamiento en cada = − d el p unto m
[23 !
!!
!!
to y sobre cada una de las cuatro coorvitatorio ΦS, y cuando la misma llega
y sobre cada una de las cuatro coordenadas desplazarse !! ! !! ! al !Φ
!Φ [23] el punto denadas al desplazarse el punto material
a la Tierra, con un campo gravitatorio
=
−
[
23 =
−
[
23 !!! !!Г!. !! !!
material mlargo
anzana) lo largo ⎡.de la geodésica (la
manzana)(la a lo
de la ageodésica
Φ << Φ . Así Einstein dio respuesta a
η
τ
! !
! !
!
η
!
!
!
!
η
!
τ
!
τ
!
!!
!!
η
τ
! !
!
!
!
S
T
xη y, análogamente, xτ represenmientras que con la Teoría de la Rela desviación hacia el rojo de cualquier
η
τ
x
y, análogamente, representa también una de ta también
cada una de lasx cuatro
latividad
Generalcada la ecuación
[22],las en cuatro emisión cuando pasa de un potencial
componentes
del desplazamiento del
el mismo
caso
de
la
caída
de
la
mangravitatorio aGotro
potencial
gravitatorio
componentes del desplazamiento del punto material y en cada punto de mientras que con la Teoría de la Relatividad eneral la ecuación [22], en el punto material y en cada punto de la
zana, se puede expresar diciendo que
menor. Esta desviación no tenía explicala geodésica. mismo caso de la caída de la manzana, se puede expresar diciendo que geodésica.
ción satisfactoria para la Física Teórica
! !!
!γ
!
!
!
!
!!
antes
geniales, aunque a veces
!!η !!τ
+ c ! Г!! = 0; p!ero como quiera que de Гlas
!! = − ! ε !! (esto está fuera !!!
Г!ητ !" !" representa la variación de la componente x
en función de la !conclusiones
aparentemente extrañas,
representa la variación
i
del a
lcance d
e e
ste a
rtículo y
s
e d
educe f
ácilmente a
p
artir de los símbolos devariación la componente
en función
de
pero
(en la xunidad de intervalo) en como
cada quiera
punto que
de cada una de de
las Einstein.
Christoffel), componentes del desplazamiento a lo de largo de Г. dicha ecuación [22] alcanzará la forma: !! !!
!
!
!γ
La manzana de Newton vista por Einstein
!!
A partir de [19], pasando al parámetro tiempo, = −c ! Гde = −c ! ε !!
se [24] !! referencia !!!
!
!
puede obtener, por un lado, la correlación entre la ecuación del 17