Compara las intensidades de las dos primeras líneas de emisión de

Compara las intensidades de las dos primeras líneas de emisión de la serie de Lyman del átomo de hidrógeno, Ly
Ly .
y
Solución:
Tenemos que las líneas son
Ly : 2p ! 1s
y
Ly : 3p ! 1s
La probabilidad de emisión, integrada sobre todas las direcciones y sumada sobre los dos estados de polarización es
P =
4 e2 ! 3
2
jhf j ~r jiij
3 }c3
La intensidad de una línea espectral (energía por segundo) es porporcional a !P , de tal manera que para las dos líneas
en consideración tenemos la siguiente razón entre las intensidades
I
=
I
4
E
E
h1sj ~r j2pi
h1sj ~r j3pi
2
Tenemos que
E =
1
2
1
3
=
8
8
1
2
1
4
=
18
9
y
E =
Ahora
1
j1si = p exp ( r)
1
j2p; m = 0i = p r exp ( r=2) cos
4 2
j3p; m = 0i =
4
p
27 2
r
r2
6
exp ( r=3) cos
No importa el valor de m.
Para más fácil usamos,
= x + iy = r sin exp (i )
=x
iy = r sin exp ( i )
z = r cos
h1sj j2pi !
R2
0
exp (i ) d = 0
h1sj j2pi = 0
h1sj j2pi = 0
h1sj j3pi = 0
h1sj j3pi = 0
1
R
R2
1 R1
drr4 exp ( 3r=2) 0 d sin cos2 0 d
h1sj z j2pi = p
0
4 2
R
1 R1
= p 0 drr4 exp ( 3r=2) 0 d sin cos2
2 2
R
0
sin cos2 d =
2
3
1 R1
h1sj z j2pi = p 0 drr4 exp ( 3r=2)
3 2
R1
0
r4 exp ( 3r=2) dr =
256
81
1 256
128 p
h1sj z j2pi = p
=
2
243
3 2 81
h1sj z j3pi =
=
R
0
27 2
sin cos2 d =
R1
r3 r
h1sj z j3pi =
I
=
I
E
E
R1
0
8 R1
p
drr3 r
27 2 0
h1sj z j3pi =
0
4
p
r2
6
exp ( 4r=3)
exp ( 4r=3)
2
3
16 R 1
p
drr3 r
81 2 0
r2
6
r2
6
drr3 r
r2
6
exp ( 4r=3) dr =
R
0
R
0
d sin cos2
d sin cos2
exp ( 4r=3)
2187
1024
27 p
16 2187
p
=
2
128
81 2 1024
4
h1sj ~r j2pi
h1sj ~r j3pi
2
=
3=8
4=9
4
1
128 p 2
2
C
B 243
@ 27 p A = 3: 16
2
128
0
2
R2
0
d