Práctica N ◦ 6 Modelos de Programación Lineal Entera 6.1 Una empresa textil fabrica 3 tipos de ropa: camisas, pantalones y shorts. Las máquinas necesarias para la confección deben ser alquiladas a los siguientes costos: 200$ por semana la máquina de camisas 150$ por semana la máquina de shorts 100$ por semana la máquina de pantalones Se dispone de 150 horas hombre y 160 m de tela. Los requerimientos, costos y precio de venta de cada tipo de ropa son los siguientes Horas Hombre 3 2 6 Camisas Shorts Pantalones m de tela 2 1 3.5 Costo 6 4 8 Precio de Venta 12 8 15 Formular un modelo que maximice las ganancias. 6.2 Una compañı́a usa 5 máquinas (Mi ) para fabricar 3 productos (Pi ). El proceso de cada uno es el siguiente: P1 : P2 : P3 : M2 (2horas) M1 (1hora) M3 (2horas) −→ −→ −→ M1 (1 12 hora) M3 (1hora) M2 (3horas) −→ −→ −→ M4 (1hora) M4 (2horas) M5 (1hora) −→ M5 (3horas) La producción está sujeta a las siguientes restricciones: Dos máquinas no pueden trabajar simultáneamente en un producto Cada máquina debe finalizar el proceso en un producto antes de empezar otro Se requiere formular un modelo que determine el proceso de producción que minimice el tiempo necesario para procesar todos los productos. 6.3 Una empresa produce 3 tipos de autos: E1 , E2 , E3 . E1 y E2 difieren en muy poco y sólo se requieren pequeı̈¿ 21 os cambios en el proceso de ensamblado para hacer un modelo u otro. E3 requiere grandes ajustes en el proceso. Es polı́tica de la empresa, (para evitar continuos cambios en el proceso de ensamblado) en el caso de producir E1 y/o E2 hacerlo en cantidades superiores a 100. Los recursos necesarios y el beneficio de cada auto son los siguientes: E1 E2 E3 Acero(t) 1.5 1.6 5 Horas hombre 35 38 45 Beneficio ($) 2000 2300 4200 Si se dispone de 8000 toneladas de acero y 80000 horas hombre, formular un modelo que maximice las ganancias. 6.4 Una destilerı́a produce dos tipos de gasolina a partir de dos tipos de petroleo crudo. Cada galón de GAS1 debe contener al menos 50 % del primer tipo de petroleo y cada galón de GAS2 debe contener 60 % del mismo. Cada galón de GAS1 puede ser vendido a 12 centavos y cada galón del GAS2 a 14 ctvs. En la planta hay 500 galones de pretóleo 1 y 1000 de petróleo 2. Se pueden comprar 1500 galones de petroleo 1 a los siguientes precios: los primeros 500 galones a 25ctvs, los siguientes 500 a 20ctvs por galón, los siguientes 500 a 15ctvs por galón. Formular un problema de P E que sirva para maximizar el beneficio de la empresa. 1 6.5 Un estudiante debe cursar al menos dos materias (Mi ) de cada una de las tres áreas (Ai ) de su carrera. Las áreas son: A1 : M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 A2 : M 2 , M 4 , M 5 , M 6 A3 : M 3 , M 6 , M 7 Existen prerrequisitos para cursar las materias: M1 correlativa de M4 M7 correlativa de M6 y M3 M4 correlativa de M5 Formular un modelo para minimizar el número de materias necesarias para cumplir con los requisitos. 6.6 Se desea acceder a 5 archivos (Ai ) que se encuentran guardados en 10 discos (Dj )(X significa que el Ai se encuentra en Dj ): A1 A2 A3 A4 A5 Costo D1 X X D2 X D3 D4 X D5 X D7 D8 X D9 X D10 X 2$ X 2$ X X X X X 3$ D6 X 5$ 1$ X 2$ 1$ X X X 4$ X X 3$ 1$ a) Formular un modelo que minimice costos. b) Modificar el modelo si existe la obligación de comprar D2 si se compra D3 y D4 . c) Modificar el modelo si hay una promoción que al comprar D3 y D5 , D2 viene de regalo. 6.7 Una fábrica de impresoras abastece a 6 ciudades (Ci ). Como una mejora del servicio al cliente proyecta establecer 2 talleres de reparaciones. Por las leyes impositivas vigentes sólo las primeras 4 ciudades son candidatas a ser cede de los talleres. Según estudios de mercado que ha realizado la empresa, en cada ciudad las ventas aumentan si existe un taller de reparaciones en un radio de 150 km de la misma. Actualmente, ninguna de las ciudades tiene un taller a menos de 150 km. Cada impresora tiene un costo de 500ysevendea1000. En las tabla A se muestran las distancias entre las ciudades y en la tabla B los estimados de venta. Formular un modelo para maximizar ganancias. C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 0 222 310 441 47 350 Tabla A C2 C3 200 310 0 89 89 0 241 146 186 255 123 82 Tabla B Existe taller en radio 150 km? C1 C2 Si 700 1000 No 500 750 C4 441 241 146 0 376 178 C3 900 700 C4 800 450 C5 400 200 C6 450 300 6.8 Se quieren grabar canciones en un cassette. Cada lado tiene una longitud entre 14 y 16 minutos. La duración de las canciones esta dada en la tabla. Existen ciertas restricciones: a) Cada lado debe tener exactamente 2 baladas 2 b) El lado 1 debe tener al menos 3 tangos c) La canción 5 o la 6 debe estar en lado 1 d ) Si las canciones 2 y 4 están en lado 1, entonces la canción 5 debe ir al lado 2 Explicar (usando ppl entera) si existe manera de satisfacer las restricciones. Canciones 1 2 3 4 5 6 7 8 Tipo Balada Tango Balada Tango Balada Tango Clásico tango/balada Duración 4 5 3 2 4 3 5 4 6.9 Un centro de conferencias tiene tres salones de 50 asientos, dos de 100 y dos de 150. El costo de los salones es de 100 veces la cantidad de horas pedidas. Los pedidos de salones son: Cantidad de asientos 50 150 100 50 Horario 14-17 hs 13-16hs 17-18hs 13-15hs Cantidad de salones 3 1 1 2 Se debe decidir como asignar los salones teniendo en cuenta que en la tabla se informa en cuanto se multiplica el costo original que debe pagarse por asignar salones más grandes a los pedidos. asientos pedidos 50 100 150 salón asignado 50 100 150 1 2 4 no 1 1 no no 1 6.10 Sea la siguiente red: 2 6 - 4u u H * @ HH @ 3HH 3 ju H u @ 1 H * 6 H 6 5 4 2 @ HH @ H R @ ju H u 3 3 5 Formular un PPL entero para encontrar el camino más corto entre 1 y 6. 6.11 Sea un tablero de ajedrez de 4x4 casillas. Formular un modelo para: a) Maximizar el número de reinas de tal manera que ninguna ataque a otra. b) Minimizar el número de reinas de tal manera que toda casilla quede atacada por lo menos por una reina. 6.12 Supongamos que un PPL tiene las restricciones x1 + 5x2 + 8x3 ≤ 40 x1 , x2 , x3 ≥ 0 y además 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 12 ó x1 + x2 + x3 ≤ 3 Formular el problema como un PPL entero. 3 6.13 Escribir un ppl entero para el siguiente problema 3 x1 +4x2 −3x3 Max x1 + x2 +4x3 ≤60 s.a. − x1 +2x2 + x3 ≥12 2 x1 + x2 +3x3 ≤ 7 x1 , x3 ≥ 0 x2 , y si x2 + x3 > 0 entonces x1 + x3 ≤ 54 6.14 Supongamos que u y v son variables binarias. Deducir desigualdades o igualdades que aseguren que: a) Exactamente una variable vale 1 b) Al menos una variable vale 1 c) Si u = 1 entonces v = 1 d ) Si v = 0 entonces u = 0 6.15 Los costos de envı́o de encomiendas entre dos ciudades varı́an según el peso: Peso menos de 5 kg más de 5 kg y a lo sumo 15 kg más de 15 kg y a lo sumo 25 kg Costo 2$ 5$ 7.5$ Modelizar una función objetivo que pueda ser usada en un PPL entero. 6.16 Cómo se podrı́a usar programación entera para resolver el siguiente problema: Max 3x2 +y 2 + 2xy x+ y ≤ s.a. 1 x, y ∈ {0, 1} 6.17 Una compañı́a farmaceutica debe determinar cuantos visitadores médicos debe asignar a cada uno de 4 distritos de ventas. El costo de tener n visitadores en un distrito es 88000$ + 80000$ n. La siguiente tabla muestra el tiempo en horas que le lleva a un representante que tiene su base en un distrito dado visitar a un doctor de otro distrito. Distr1 Distr2 Distr3 Distr4 Distr 1 1 4 5 7 Distr2 4 1 3 5 Distr3 5 3 1 2 Distr4 7 5 2 1 Cada visitador trabaja hasta 160 hrs por mes. La siguiente tabla muestra cuantos doctores se deben visitar en cada distrito. Distrito 1 2 3 4 Nro. De Llamadas 50 80 100 60 4 Determinar cuantos visitadores se deben asignar a cada distrito para minimizar los costos. Resolver con LINDO. 6.18 La compañı́a QED debe diseñar un programa de producción para las próximas 9 semanas. Cada trabajo dura varias semanas y una vez que se empezó no puede interrumpirse. Cada semana se requiere un cierto número de trabajadores calificados para trabajar full-time en un trabajo. Entonces si el trabajo i dura pi semanas, se requieren li,u trabajadores en las semanas u con u = u1 , . . . , upi . En la semana t hay Lt trabajadores disponibles. Abajo se muestra una tabla tı́pica de cómo son los datos que se tienen para planificar. Trabajo 1 2 3 4 5 Duración 3 2 4 4 3 Sem1 2 4 2 3 9 Sem2 3 5 4 4 2 Sem3 1 0 1 2 3 Sem4 0 0 5 2 0 a) Formular el problema de encontrar un programa de producción factible. b) Formular un PLE para minimizar el máximo número de trabajadores usados por semana. c) Agregar la restricción de que el trabajo 1 debe empezar al menos 2 semanas antes que el trabajo 3. d ) Agregar la restricción de que el trabajo 4 debe empezar no más de una semana después del trabajo 5. e) Agregar la restricción de que los trabajos 1 y 2 no pueden hacerse al mismo tiempo porque necesitan la misma máquina. 6.19 Formular un modelo de PLE para el siguiente problema de diseño de una red de comunicaciones a costo mı́nimo. Se tiene un conjunto V de lugares que tienen que estar interconectados por la red y un costo fijo cl asociado a la instalación de un link entre cada par de localidades entre las cuales es posible ponerlo. Hay requerimientos de supervivencia en los nodos de la red expresados de la siguiente forma: para cada par de nodos s y t de V , la red tiene que tener rst = mı́n{rs , rt } caminos disjuntos en los nodos entre s y t. 6.20 Dadas las siguientes formulaciones para un conjunto X ⊂ B 4 decidir si hay alguna que sea mejor que las demás. Demostrar. P1 = {x ∈ R4 /97x1 + 32x2 + 25x3 + 20x4 ≤ 139; 0 ≤ x ≤ 1} P2 = {x ∈ R4 /2x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 139; 0 ≤ x ≤ 1} P3 = {x ∈ R4 /x1 + x2 + x3 ≤ 2; x1 + x2 + x4 ≤ 2; x1 + x3 + x4 ≤ 2; 0 ≤ x ≤ 1} 6.21 Formular como P E los siguientes problemas: a) Problema de las N reinas. b) Árbol generador mı́nimo en un grafo conexo (o bosque en un grafo no conexo). 6.22 Supongamos que una persona está interesada en elegir entre un conjunto de inversiones (Ii ) y quiere hacer un modelo 0-1 para tomar la decisión. Modelar las siguientes restricciones: a) No se puede invertir en todas. b) Hay que elegir al menos una de ellas. c) Si se elige I3 no se puede elegir I1 . d ) La inversión I4 se puede elegir sólo si se elige la I2 . e) O se eligen las inversiones I2 y I5 o ninguna de las dos. f ) Se puede elegir al menos una de las inversiones I1 ,I2 ,I3 o al menos 2 de entre I2 ,I4 ,I5 ,I6 . 5