Oscilador Armónico

FISICA COMPUTACIONAL
Oscilaciones: del oscilador armónico al
oscilador caótico
Jhon Fredy Carreño Saavedra 2072862
Universidad Industrial de Santander
Escuela de Física
Existen muchas situaciones en las que el movimiento oscilatorio está presente en nuestra
vida cotidiana, como el de una masa suspendida en un muelle elástico, el reloj de péndulo,
un circuito eléctrico, las oscilaciones en las cuerdas de una guitarra. Sin embargo en la
naturaleza las oscilaciones son más comunes de lo que intuitivamente estamos
acostumbrados a pensar, por ejemplo en algunos procesos biológicos tales como la
respiración, las palpitaciones del corazón, las vibraciones de las moléculas. La evolución
temporal de estos sistemas pueden ir de un comportamiento totalmente periódico a un
comportamiento irregular, en el que las oscilaciones nunca se repiten (movimiento caótico).
Este trabajo pretende dar una visión general del comportamiento de sistemas oscilatorios,
de menor a mayor complejidad se empezará con el caso más sencillo el de un oscilador
lineal libre. Debido a la existencia de fuerzas de rozamiento que se oponen a su movimiento
el oscilador finalmente terminará deteniéndose (oscilador amortiguado). Por lo tanto la
existencia de rozamiento hará que las oscilaciones cesen, a menos que haya un aporte
externo de energía en cada oscilación que compense las perdidas por rozamiento (oscilador
amortiguado forzado). Luego se analizará la no linealidad, en general todo oscilador se
comportará de forma no lineal si se aleja lo suficiente de la posición de equilibrio. Mientras
que en las oscilaciones lineales la presencia de rozamiento y de una fuerza periódica externa
únicamente puede producir una respuesta periódica, en un oscilador no lineal la respuesta
puede llegar a ser caótica.
Oscilador Armónico
Fig. 1 masa 𝑚 unida a un resorte de constante elástica 𝑘. [1]
Consideremos el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional 𝐹(𝑥), que
depende de la posición, expandiendo a 𝐹(𝑥) en una serie de Taylor alrededor del punto de
equilibrio ( 𝑥 = 0) se tiene que:
𝑑𝐹
1 2 𝑑2𝐹
1 3 𝑑3𝐹
𝐹(𝑥) ≈ 𝐹(0) + 𝑥 ( )
+ 𝑥 ( 2)
+ 𝑥 ( 3)
+⋯
𝑑𝑥 𝑥=0 2
𝑑𝑥 𝑥=0 6
𝑑𝑥 𝑥=0
(1)
Como 𝑥 = 0 es el punto de equilibrio, el primer término de la ecuación (1) es cero. Si las
oscilaciones en torno a 𝑥 = 0 son lo suficientemente pequeñas, se puede escoger una
aproximación lineal y despreciar los términos de orden superior:
𝑑𝐹
𝐹(𝑥) ≈ 𝑥 ( )
𝑑𝑥 𝑥=0
(2)
En un sistema como el de la figura 1 en el que un cuerpo de masa 𝑚 esta unido a un resorte
sin rozamiento, la ecuación (2) se traduce en la conocida ley de Hooke:
𝐹 = −𝑘𝑥
(3)
Donde 𝑘 representa la constante elástica del resorte y el signo negativo indica que su
sentido es opuesto al movimiento de elongación natural. A partir de la segunda Ley de
Newton se obtiene la ecuación de movimiento de este oscilador:
𝑚𝑎 = −𝑘𝑥
𝑑2𝑥
+ 𝜔02 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
(4)
Donde,
𝜔02 =
𝑘
𝑚
(5)
La solución analítica de la ecuación (4) es de la forma:
𝑥(𝑡) = 𝐴 Cos(𝜔0 𝑡 + 𝜙)
(6)
Donde 𝐴, 𝜔0 , y 𝜙 son constantes que indican respectivamente el desplazamiento máximo
de la masa respecto de la posición de equilibrio, la frecuencia propia o del oscilador y una
fase inicial.
Si solucionamos la ecuación (4) en forma numérica utilizando el método de Runge-Kutta de
cuarto orden y se procede a graficar esta solución en un espacio de coordenadas 𝑥 − 𝑡, el
comportamiento periódico del movimiento de la masa 𝑚 dado por la ecuación (6) describirá
la trayectoria representada en la figura 2.
Fig. 2 Oscilador armónico con 𝑚 = 1, 𝑘 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales 𝑥(0) = 1,
𝑣(0) = 0 (curva roja) y 𝑥(0) = 0.5, 𝑣(0) = 0 (curva verde).
Otra forma muy útil de visualizar este movimiento es a través del espacio de fases este nos
permite representar el estado del sistema en cada instante. Bajo esta perspectiva se
representa la velocidad 𝑣 del cuerpo en el eje vertical en función de su posición como se
observa en la figura 3.
Fig. 3 Espacio de fase con 𝑚 = 1, 𝑘 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01. Con condiciones iniciales 𝑥(0) = 1,
𝑣(0) = 0 (curva roja) y 𝑥(0) = 0.5, 𝑣(0) = 0 (curva verde).
Se observa que el espacio de fases del oscilador armónico el cuerpo describirá trayectorias
elípticas que dependerán de las condiciones iniciales 𝑥(0) = 𝑥0 y 𝑣(0) = 𝑣0 como se
muestra en la figura 3. Es así ya que en ausencia de rozamiento la energía mecánica total
del oscilador debe permanecer constante 𝐸 = 𝑐𝑡𝑒.
1
1
𝐸 = 𝑘𝑥 2 + 𝑚𝑣 2
2
2
(7)
Esta imagen de trayectorias cerradas es típica en los que se conserva la energía y que en
consecuencia se llaman sistemas conservativos.
Oscilador Armónico Amortiguado
Desde un punto de vista experimental el oscilador armónico es solo una idealización, un
sistema oscilante siempre está sometido a algún tipo de fuerza disipativa, cuyo efecto
consiste en producir una pérdida de energía hasta que deja de oscilar.
Consideremos nuevamente el sistema mostrado en la figura 1 y supongamos que sobre la
masa 𝑚 existe una fuerza proporcional a la velocidad del objeto y en sentido contrario a su
movimiento. Como se hizo en el caso anterior se encontrará la ecuación de movimiento
utilizando la segunda ley de Newton.
𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
+ 2𝛾
+ 𝜔02 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑡𝑡
(8)
Donde,
2𝛾 =
𝑏
𝑚
(9)
Y 𝜔02 es la frecuencia propia del oscilador sin rozamiento. La ecuación (8) tiene la siguiente
solución analítica:
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
(10)
En el caso que 𝜔02 > 𝛾 2 . 𝐴 es la amplitud máxima y 𝜔2 = 𝜔02 − 𝛾 2 , como se puede observar
de la solución (10), el efecto del rozamiento es el de reducir exponencialmente con el
tiempo la amplitud de la oscilación a cero. Resolviendo la ecuación (8) de forma numérica
con el método de Runge-Kutta de cuarto con un paso de tiempo de 𝑑𝑡 = 0.01 se observa
el comportamiento de este oscilador figura 4.
Fig. 4 Oscilador armónico amortiguado con 𝜔02 = 1, 𝛾 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones
iniciales 𝑥(0) = 1, 𝑣(0) = 0.
Recordemos que en el caso del oscilador armónico, las trayectorias en el espacio de fase
estaban representadas por elipses cuyo tamaño dependían de la energía. En el caso del
oscilador amortiguado la amplitud disminuye a medida que aumenta el tiempo, de modo
que intuitivamente podemos visualizar sus trayectorias en el espacio de fase como una
circunferencia cuyo “radio” disminuye en cada oscilación, es decir, estamos ante el caso de
una espiral figura 5.
Fig. 5 Espacio de Fase con 𝜔02 = 1, 𝛾 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales 𝑥(0) = 1,
𝑣(0) = 0.
Oscilador Forzado
En los sistemas amortiguados la amplitud de las oscilaciones va decreciendo con el tiempo,
para poder mantenerlas hay que suministrar energía al sistema mediante la aplicación de
una fuerza externa que compense las pérdidas de energía. Las oscilaciones se mantienen si
se ejerce un impulso en cada periodo. Para un sistema como el de la figura 1 con
amortiguamiento y mediante una fuerza periódica de amplitud 𝐹0 y frecuencia 𝜔𝑓 la
ecuación de movimiento, haciendo uso de la segunda ley de newton, viene dada por:
𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣 + 𝐹0 cos(𝜔𝑓 𝑡)
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
+
2𝛾
+ 𝜔02 𝑥 = 𝐹0 cos(𝜔𝑓 𝑡)
𝑑𝑡 2
𝑡𝑡
(11)
Resolviendo la ecuación anterior en forma numérica y realizando un gráfico de posición vs
tiempo se tiene que:
Fig. 6 Oscilador forzado con 𝜔02 = 1, 𝛾 = 0.1, 𝜔𝑓 = 2, 𝐹0 = 0.85 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con
condiciones iniciales 𝑥(0) = 1, 𝑣(0) = 0.
El movimiento resultante se compone de una parte transitoria inicial que depende de las
condiciones iniciales y de una parte estacionaria que es independiente de estas y está
caracterizada por oscilar armónicamente con la frecuencia 𝜔𝑓 . Respecto a la amplitud del
estado estacionario no solo depende de la amplitud 𝐹0 de la fuerza externa periódica sino
también de la frecuencia 𝜔𝑓 . Cuando la frecuencia impulsora es igual o se aproxima a la
frecuencia natural de oscilación 𝜔0 se produce el fenómeno de resonancia. Entonces la
amplitud de las oscilaciones del sistema se hace mucho mayor que la amplitud de la fuerza
externa impulsora, y la transferencia de energía es máxima.
Oscilador libre no lineal
Todos los sistemas oscilantes se acercan a la no linealidad si se los aleja suficientemente de
la posición de equilibrio. Un ejemplo paradigmático de oscilador no lineal es el péndulo
simple, donde una partícula de masa 𝑚 cuelga de una cuerda inextensible y si masa de
longitud 𝑙 (figura 7). La no linealidad proviene de la fuerza que tiende a llevarlo de nuevo al
equilibrio ya que esta no es proporcional al desplazamiento proporcional al desplazamiento
𝜃 con respecto a la vertical, si no al sin(𝜃).
Fig. 7 Esquema péndulo simple
La ecuación de movimiento para este oscilador es:
𝑚𝑙𝛼 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑑2𝜃 𝑔
+ sin(𝜃) = 0
𝑑𝑡 2 𝑙
(12)
Para pequeños desplazamiento angulares la ecuación (12) se aproxima a un oscilador
armónico, es decir, sin(𝜃) ≈ 𝜃 obteniéndose en el espacio de fase las mismas trayectorias
cerradas. Solucionando numéricamente la ecuación (12) se obtienen las siguientes
trayectorias en el espacio de fase para diferentes condiciones iniciales (figura 8).
Fig. 8 Espacio de fase con 𝜔02 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales (a) 𝜃(0) = 𝜋/8,
𝜔(0) = 0. (b) 𝜃(0) = 𝜋/4,𝜔(0) = 0.(c) 𝜃(0) = 𝜋/2, 𝜔(0) = 0. (d) 𝜃(0) = 3𝜋/4, 𝜔(0) = 0. (e) 𝜃(0) = 𝜋,
𝜔(0) = 0.
Como se observa en la figura 8 para desplazamientos angulares pequeños el oscilador se
comporta como un oscilador armónico, pero a partir de un ángulo inicial 𝜃 = 3𝜋/4 el
oscilador exhibe un comportamiento diferente, graficando la posición vs tiempo, para un
ángulo inicial 𝜃 = 𝜋 la ecuación de movimiento (12) tiene la siguiente solución numerica
(figura 9)
Fig. 9 Oscilador no lineal con 𝜔02 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales 𝜃(0) = 𝜋,
𝜔(0) = 0.
Oscilador amortiguado no lineal
Para el sistema mostrado en la figura 6 ahora supongamos que sobre la masa 𝑚 actúa una
fuerza proporcional a la velocidad del cuerpo entonces la ecuación de movimiento se
escribe como:
𝑑2𝜃
𝑑𝜃 𝑔
+
2𝛾
+ sin(𝜃) = 0
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 𝑙
(13)
En las siguientes graficas se representa la solución numérica de la ecuación anterior, el
espacio de fase y se compara con el oscilador amortiguado. (Figura 10 y 11). Como se
observa el movimiento del oscilador se afecta debido a que la fuerza restauradora ya no es
proporcional a 𝜃 sino a 𝑠𝑖𝑛(𝜃).
Fig. 10 (a) Oscilador amortiguado con 𝜔02 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales 𝜃(0) =
𝜋, 𝜔(0) = 0. (b) Oscilador amortiguado no lineal con 𝜔02 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones
iniciales 𝜃(0) = 𝜋, 𝜔(0).
Fig. 11 Espacio de Fase (a) Oscilador amortiguado con 𝜔02 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones
iniciales 𝜃(0) = 𝜋, 𝜔(0) = 0. (b) Oscilador amortiguado no lineal con 𝜔02 = 1 y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01
Con condiciones iniciales 𝜃(0) = 𝜋, 𝜔(0).
Oscilador amortiguado forzado no lineal
Este surge cuando un oscilador no amortiguado es forzado periódicamente. La ecuación de
movimiento de un péndulo con tales condiciones se escribe como:
𝑑2𝜃
𝑑𝜃
+
𝛾
+ 𝜔02 sin(𝜃) = 2𝐹0 cos(𝜔𝑓 𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(14)
Fig. 12 Oscilador forzado no lineal con 𝜔02 = 1 𝛾 = 0.01 𝜔𝑓 = 2 𝐹𝑜 = 1.15 , y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01 Con
condiciones iniciales 𝜃(0) = 0.001, 𝜔(0) = 0.
Fig. 13 Espacio de fase oscilador forzado no lineal con 𝜔02 = 1 𝛾 = 0.01 𝜔𝑓 = 2 𝐹𝑜 = 1.15 , y paso de tiempo
𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales 𝜃(0) = 0.001, 𝜔(0) = 0.
En el caso de oscilaciones pequeñas (comportamiento lineal) hemos visto que la aplicación
de una fuerza externa periódica puede dar lugar a fenómenos de resonancia. Las soluciones
de la ecuación (14) van a depender mucho de los parámetros y de las condiciones iniciales.
El comportamiento de este oscilador es caótico ya que si cambiamos una de las condiciones
que se utilizaron para obtener la figura 9 esto tendrá efectos en el comportamiento del
sistema (figura 10).
Fig. 14 Oscilador forzado no lineal con 𝜔02 = 1 𝛾 = 0.01 𝜔𝑓 = 3 𝐹𝑜 = 1.15 , y paso de tiempo 𝑑𝑡 = 0.01
Con condiciones iniciales 𝜃(0) = 0.001, 𝜔(0) = 0.
Fig. 15 Espacio de fase oscilador forzado no lineal con 𝜔02 = 1 𝛾 = 0.01 𝜔𝑓 = 3 𝐹𝑜 = 1.15 , y paso de tiempo
𝑑𝑡 = 0.01 Con condiciones iniciales 𝜃(0) = 0.001, 𝜔(0) = 0.
Otros osciladores no lineales
Oscilador de Van der Pol
El oscilador de Van der Pol es un sistema dinámico que incluye retroalimentación positiva y
un elemento resistivo no lineal. En su aplicación original, a principios del siglo pasado, el
oscilador eléctrico con un elemento no lineal se utilizó como precursor de los primeros
radios comerciales. Un circuito de este tipo favorece las oscilaciones pequeñas y amortigua
las grandes.
En sistema dinámicos, el oscilador de van der Pol es un oscilador con amortiguamiento no
lineal. Su evolución temporal obedece a la siguiente ecuación de movimiento.
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
− 𝜇(1 − 𝑥 2 )
+𝑥 =0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(15)
Para diferentes valores de 𝜇 se obtienen diferentes resultados, solucionando la ecuación
(15) por el método de Runge-Kutta cuarto orden se obtiene lo siguiente:
Fig. 16 Oscilador de Van der Pol con 𝜇 = 0.2 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0.
Fig. 17 Espacio de fase oscilador de Van der Pol con 𝜇 = 0.2 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0.
Fig. 18 Oscilador de Van der Pol con 𝜇 = 1 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0.
Fig. 19 Espacio de fase oscilador de Van der Pol con 𝜇 = 1 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0.
Fig. 20 Oscilador de Van der Pol con 𝜇 = 5 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0.
Fig. 21 Espacio de fase oscilador de Van der Pol con 𝜇 = 0.2 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0
Se puede observar que si 𝜇 = 0 la ecuación (15) se reduce a la ecuación de un oscilador
armónico.
Oscilador de Duffing
El oscilador de doble pozo es muy referenciado, como ejemplo de oscilador no lineal, en la
literatura científica dedicada al estudio del caos, atractores extraños, soluciones no
periódicas. Para determinadas soluciones se asemeja a un sistema caótico, sensible a
pequeñas perturbaciones externas y por tanto se comporta de forma impredecible, a pesar
de estar definido por ecuaciones deterministas, como veremos a continuación
El oscilador de doble pozo puede describirse matemáticamente mediante la denominada
ecuación de Duffing:
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
+𝑏
− 𝑥 + 𝑥 3 = 𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(16)
A continuación se mostraran tres resultados que se obtuvieron al solucionar
numéricamente la ecuación (16) utilizando el método de Runge-Kutta cuarto orden:
Fig. 22 Oscilador de Duffing con 𝑏 = 0.25 𝐹0 = 0.22 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1, 𝑣(0) = 0.
Fig. 23 Espacio de fase Oscilador de Duffing con 𝑏 = 0.25 𝐹0 = 0.22 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.1,
𝑣(0) = 0.
En la figura 22 se observa que el sistema oscila describiendo un movimiento periódico.
Fig. 24 Oscilador de Duffing con 𝑏 = 0.25 𝐹0 = 0.25 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.2, 𝑣(0) = 0.1.
Fig. 25 Espacio de fase Oscilador de Duffing con 𝑏 = 0.25 𝐹0 = 0.25 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.2,
𝑣(0) = 0.1.
En el segundo caso se observa el espacio de fases (figura 25) que el sistema ya ha empezado
a tener un comportamiento caótico, las trayectorias, aunque oscilantes en torno a los dos
puntos de equilibrio, -1 y 1, ya no son predecibles.
Fig. 26 Oscilador de Duffing con 𝑏 = 0.25 𝐹0 = 0.4 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.2, 𝑣(0) = 0.1.
Fig. 27 Espacio de fase Oscilador de Duffing con 𝑏 = 0.25 𝐹0 = 0.4 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 0.2,
𝑣(0) = 0.1.
Por último la gráfica 27 no dice que el sistema tiene un comportamiento caótico puro con
trayectorias que convergen en unos tramos y divergen en otros de forma completamente
impredecible. El salto de soluciones periódicas a no periódicas se realiza de forma abrupta
y es difícil de precisar cuando ocurre.
Conclusiones
En los cursos de física casi siempre se hace mención a los sistemas lineales, tal vez porque
se considere que los sistemas no lineales son muy complejos de estudiar, la idea que se ha
introducido en este trabajo sirve para estudiar los sistemas no lineales, incluyendo el
comportamiento caótico, a través de ejemplos sencillos de movimiento oscilatorio.
Bibliografía
[1] Página web. http://ific.uv.es/~nebot/Oscilaciones_y_Ondas/Tema_1.pdf
[2] P. A Tipler, Física para la ciencia y la Tecnología. Ed. Reverté. Vol. 1, cuarta Edicion,
Barcelona, 1999
[3] M. Alonso, y E. J. Finn. Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware, 1995.
[4] R. P. Feyman, R. B. Leighton, y M. Sands, Física. Addison-Wesley Iberoamericana, Vol. 1,
Delaware, 1987
[5] Página web. http://mathworld.wolfram.com/vanderPolEquation.html
[6] H Gould, J. Tobochnik, y W Christian. An Introduction to computer simulation methods,
third edition.