GEOMETRÍA DINÁMICA Y LUGARES GEOMÉTRICOS LUIS

GEOMETRÍA DINÁMICA Y LUGARES GEOMÉTRICOS
LUIS FERNANDO CORREDOR GUTIERREZ
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS
BOGOTA D. C.
2011
GEOMETRÍA DINÁMICA Y LUGARES GEOMÉTRICOS
LUIS FERNANDO CORREDOR GUTIERREZ
Trabajo de grado
Docente:
Mat. MsC. Oscar Eduardo Gómez Rojas
Director Proyecto
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS
MATEMÁTICAS
BOGOTA D. C
Nota de Aceptación
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Jurado
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SANTA FE DE BOGOTA
25 DE NOVIEMBRE DEL 2010
[1]
AGRADECIMIENTOS
Primeramente doy infinitamente gracias a Dios, ya que sin la voluntad de
Él, no se podría hacer nada.
También deseo expresar mi agradecimiento al director de este trabajo de
título, profesor Oscar Gomez, por la dedicación y apoyo que ha brindado
para realizar este documento, quien me dio los lineamientos para
realizarlo, por el respeto a mis sugerencias e ideas, por la dirección y el
rigor que ha facilitado a las mismas.
Igualmente, agradezco el aporte de mis profesores y compañeros, su
apoyo personal y humano, necesarios en los momentos difíciles de este
trabajo.
A la empresa Districalc, que me facilitó la tecnología y los medios para el
desarrollo de este documento.
Finalmente, agradezco a mi familia, amigos y profesores que me
acompañaron en estos años y me apoyaron moralmente para la
culminación de mis estudios.
[2]
CONTENIDO
1. INTRODUCCION
2. RESUMEN
3. OBJETIVOS
3.1 Objetivo General
3.2 Objetivos Específicos
4. Marco Conceptual
4.1 Geometría Dinámica
4.2 Procesadores Geométricos
4.3 La Prueba del Arrastre
4.4 Lugares Geométricos
4.5 Método De Los Lugares Geométricos
4.6 Definición de Mediatriz
5. Cónicas
5.1 La parábola
5.2 La Elipse
5.3 La Hipérbola
5.4 Caso Especial
6. Triángulos Inscritos En Un Círculo
6.1 El Baricentro
6.2 El Incentro
[3]
6.3 El Ortocentro
7. CONCLUSIONES
8. BIBLIOGRAFIA
[4]
1. INTRODUCCION
Los paquetes de cómputo de Geometría Dinámica y la construcción en
computadora de figuras geométricas tienen una nueva dimensión con respecto a
las construcciones clásicas que utilizan lápiz, papel, regla y compás.
La Geometría Dinámica facilita procesos que en el papel son imposibles o que
requieran de muchos dibujos para llegar a una generalización, además enriquece
las tareas de construcción, incorporando una gran variedad de funcionalidades,
asociadas a la simplificación de construcciones fundamentales.
En presencia de nuevas tecnologías hay geometrías emergentes. En nuestro caso
las construcciones incorporadas constituyen un gran enriquecimiento, que
permiten invertir la relación entre el saber geométrico y las construcciones. En el
contexto de la geometría clásica, la construcción con regla y compás es
consecuencia y aplicación de un saber geométrico, mientras que en las
situaciones que se abordan, las construcciones son un método para generar
conocimiento geométrico.
Es importante resaltar que la compresión cabal de la Geometría Dinámica solo es
posible al interactuar con el software. Esto tiene como consecuencia que, a pesar
del esfuerzo comunicativo realizado en el presente texto, éste no pueda reflejar la
totalidad del concepto.
[5]
2. RESUMEN
Este trabajo utiliza el software de Geometría Dinámica para la solución de
problemas geométricos de construcción, el análisis de las secciones cónicas y el
estudio de triángulos inscritos en un círculo.
La idea es partir de ciertas definiciones o teoremas, con la ayuda de Geometría
Dinámica,
llegaremos a nuevas conclusiones o generalidades de una forma
dinámica y práctica.
Aunque hay una gran cantidad de procesadores geométricos, trabajaremos con el
paquete de cómputo de Geometría Dinámica ¨Cabri-Géomètre II plus¨, por la
facilidad para trabajar con los comandos asociados a los lugares geométricos.
Mostraremos la principal ventaja de trabajar con geometría dinámica, la cual
consiste en que las figuras dejen de ser estáticas, presentándose en forma de
animaciones y diseños interactivos, lo que permite observarlas desde distintos
puntos de vista, e incluso interactuar con ellas al modificar ciertas condiciones en
el diseño y analizar lo ocurrido.
[6]
ABSTRACT
This work use a Dynamic Geometry Software for building geometry
problems solutions, conic sections analysis and the study of triangles
inscribed in a circle.
The idea is to get new conclusions on a dynamic and practical way,
starting from some definitions or theorems, helped by Dynamic Geometry.
Although there are a lot of geometries processors, we will work with
“Cabri-Géomètre II Plus” as well as it is easy to find associated
commands inside those softwares.
We will show the main advantage for work with dynamic geometry: to
manipulate non-static shapes but animated and interactive designs, which
allow us to see it from difference views. We also explain how to change
set up and analyze what happen when you do it.
[7]
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
Con las herramientas que nos ofrecen los ordenadores, podemos mostrar
la geometría de una forma dinámica y práctica, promoviendo la
comprensión del contenido matemático implicado tanto en los enunciados
de los teoremas como en sus justificaciones.
3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Definir y presentar el concepto de Geometría Dinámica.
2. Proporcionar los conceptos más importantes y las herramientas para el
estudio de la Geometría Dinámica.
3. Propiciar la creatividad, a través de construcciones auxiliares, para
elaborar argumentos que llevan a la demostración de definiciones y
teoremas.
4. Mostrar la posibilidad de arrastre de las figuras construidas,
favoreciendo
la búsqueda de rasgos que permanecen invariantes
[8]
durante la deformación a
que sometemos las construcciones
originales.
5. Presentar el llamado ¨método de los lugares geométricos¨ para la
solución de problemas geométricos de construcción.
[9]
4. MARCO CONCEPTUAL
El presente trabajo tiene como objetivo mostrar la utilidad y las aplicaciones
de la Geometría Dinámica, para ello es importante conocer previamente
aquellos conceptos, definiciones y teoremas que con llevan al desarrollo del
mismo.
1. Geometría Dinámica
En si es un espacio virtual en el cual se construyen libremente figuras
siguiendo una serie de pasos y donde cada elemento depende uno del otro en
relación de lo que se quiera hacer.
El mencionado concepto de geometría dinámica fue introducido por Nick
Jackiw y Steve Rasmussen (Goldenberg y Cuoco, 1988) y se aplica a los
programas informáticos que permiten a los usuarios, después de haber hecho
una construcción, mover ciertos elementos arrastrándolos libremente y
observar cómo otros elementos responden dinámicamente al alterar las
condiciones.
[10]
Una figura está compuesta de objetos geométricos (puntos, rectas,
semirrectas, vectores, triángulos, polígonos, círculos, etc.) e igualmente de
otros objetos (números, textos, fórmulas, ejes coordenados, rejillas, etc).
2. Procesadores Geométricos
Se refiere al software utilizado para el trabajo con Geometría Dinámica. Si
bien existe una gran cantidad de procesadores geométricos, la gran mayoría
suele contar con prácticamente los mismos tipos de objetos, como puntos,
rectas, segmentos, semirrectas, circunferencias, etc. Elementos más
específicos y menos frecuentes son los arcos de circunferencia, cónicas,
sectores circulares, y uno particularmente útil (sumamente infrecuente,
también) es el polígono regular.
Análogamente, incorporan una gran cantidad de construcciones y es en éste
punto donde se empiezan a diferenciar unos de otros. Las construcciones de
rectas
perpendiculares
y
paralelas,
bisectrices
y
puntos
medios,
circunferencias con radios dados, etc, son las más comunes, sin embargo,
existen otros tipos de construcciones menos usuales, como las asociadas a las
cónicas y cúbicas, rectas tangentes y las transformaciones geométricas (no
sólo las isométricas).
[11]
Una de las características más avanzadas de los procesadores geométricos son
las
denominadas
¨macro-construcciones¨
que
permiten
memorizar
construcciones intermedias, y así extender las funcionalidades del software.
Puede definirse como una macro al conjunto de instrucciones agrupadas,
que pueden repetirse seleccionando los correctos objetos iníciales.
3. La Prueba del Arrastre
Antes de construir cualquier figura se debe entender el concepto de la prueba
de arrastre, que consiste en que no se pierdan ciertas propiedades al manipular
dicha figura.
En principio podemos identificar dos elementos fundamentales que
distinguen a los procesadores geométricos y los diferencian de otros
programas con funcionalidades de dibujo:
 Permiten realizar construcciones geométricas, es decir, dibujos
definidos por relaciones geométricas.
 Las construcciones geométricas son dinámicas, es decir, es posible
interactuar con los distintos objetos que las componen (puntos,
[12]
segmentos, etc.) de manera que se respetan las relaciones geométricas
que subyacen a los dibujos.
Las actividades que se suelen realizar con los procesadores geométricos
consisten
en
realizar
construcciones y mediciones asociadas, de
manera que al arrastrar puntos móviles (vértice de un triángulo, pie de una
perpendicular, centro de una circunferencia, etc.), se observen las
relaciones que se mantienen invariantes.
Un ejemplo seria la construcción de un simple cuadrado:
Aunque este documento no es un manual de un software de Geometría
Dinámica mostraremos los pasos a seguir en los siguientes 2 ejemplos
para que el lector se familiarice con la elaboración de construcciones con
procesadores geométricos.
Se podría comenzar con la construcción con un segmento de recta
simplemente seleccionando el comando o la herramienta Segmento, que
permite construir un segmento a partir de dos puntos.
[13]
Figura 1
Después construir una recta perpendicular seleccionando el comando
Recta perpendicular, el segmento y un punto.
Figura 2
Construir una circunferencia utilizando el comando Circunferencia
seleccionando los dos puntos.
[14]
Figura 3
Ahora
construimos
otra
perpendicular
con
el
comando
Recta
perpendicular, seleccionando la recta y la intersección entre la recta y la
circunferencia.
Figura 4
[15]
Repetimos el procedimiento construyendo otra recta perpendicular
seleccionando el segmento de recta y el punto de intersección entre el
segmento de recta y circunferencia.
Figura 5
El siguiente paso sería activar el comando polígono, seleccionando los
cuatro puntos de intersección entre las tres rectas y el segmento de recta.
[16]
Figura 6
Ocultamos lo que no queremos ver con el comando Ocultar/Mostrar.
Figura 7
[17]
Esta figura va a conservar ciertas propiedades, así la manipulemos,
dilatemos, rotemos y deformemos siempre va ser un cuadrado.
Figura 8
Figura 9
Como podemos observar esta figura pasa la prueba de arrastre porque no
importa cómo se manipule, siempre será un cuadrado.
[18]
Técnicamente los objetos geométricos son estáticos, de hecho el concepto
de movimiento no es esencialmente relevante en la geometría euclidiana.
Al trasladar el cuadrado no se trata de una figura que cambia de posición
en un intervalo de tiempo, sino de dos cuadrados congruentes que se
relacionan por ésta transformación isométrica.
4. Lugares Geométricos
Otro tipo de construcciones interesantes son los lugares geométricos, tema
que en la geometría dinámica es sumamente relevante, pues se trata de un
contexto en donde los objetos son móviles, dependiendo de condiciones
geométricas. Un punto sobre una circunferencia, puede moverse sólo
alrededor de ésta, es decir se trata de un punto cualquiera de la
circunferencia, concepto que responde justamente al de lugar geométrico.
Muchos procesadores geométricos permiten la visualización de lugares
geométricos de varias maneras. La más básica consiste en que un punto
deje un rastro a medida que se mueve, en algunos casos denominada traza.
En otros casos el software estima cuál sería dicho rastro y lo dibuja
automáticamente. El manejo de lugares geométricos también es un
elemento diferenciador, dado que sólo en pocos casos se pueden marcar
intersecciones con éstos o modificarlos dinámicamente.
[19]
De forma general, un lugar representa el conjunto de las posiciones
tomadas por un objeto X cuando un punto M libre varia sobre un objeto.
Normalmente en la construcción de X se hace intervenir el punto M.
El objeto X puede ser de uno de los tipos siguientes: punto, recta,
semirrecta, segmento, vector, círculo, arco, cónica. El punto M puede ser
un punto libre sobre cualquier tipo de objeto rectilíneo o de curva, incluso
un lugar, puede ser también un punto libre sobre una rejilla. El objeto X
puede igualmente ser un lugar, y se construye en consecuencia un
conjunto de lugares.
La
construcción
de la cicloide
es
un
ejemplo
interesante,
recordemos la definición: Imagine que un círculo, de radio arbitrario, se
hace rodar, sin que se resbale, sobre una línea recta y que en el borde del
círculo hay un punto que se destaca. Pues bien, la cicloide es la curva que
traza tal punto en el plano del movimiento del círculo. Esta definición
puede parecer muy complicada, pero resulta fácil de entender mediante
nuestra construcción.
Vamos a construimos una recta seleccionando el comando Recta, que
permite crear una recta libre que pasa por un punto; se selecciona en
primer lugar un punto, luego haciendo clic, se fija la posición de la recta
que gira alrededor del punto.
[20]
Figura 10
Después se construye una recta perpendicular a la recta ya construida,
seleccionando el comando Recta perpendicular, la recta y un punto que
pertenezca a la recta.
Figura 11
[21]
El siguiente paso sería construir una circunferencia con el comando
Circunferencia, centro en el punto O y dando un clic en el punto M.
Figura 12
Ahora encontramos la distancia entre los puntos A y M, seleccionando el
comando Distancia o longitud y dando clic en los puntos A y M.
Figura 13
[22]
Con la herramienta Transferencia de Medidas transferimos la magnitud
sobre la circunferencia, seleccionando la medida, la circunferencia y el
punto M.
Ocultemos lo que no queremos ver, simplemente activando el comando
Ocultar/Mostrar y seleccionando lo que queremos ocultar.
Figura 14
[23]
Figura 15
Observemos que la transferencia se hizo en sentido contrario a las
manecillas del reloj, pero en este caso se necesita que sea al contrario.
Para ello nos valemos del comando Simetría axial, seleccionando el punto
que se creó en la transferencia de medidas y la recta perpendicular.
Figura 16
[24]
Tenemos dos formas de representar el lugar geométrico, la primera es
activando el comando Traza que permite al punto X dejar una huella a
medida que manipulamos al punto M, simplemente activamos el comando
y después damos un clic en el punto X.
Figura 17
La segunda forma seria activar el comando Lugar, dando un clic en el
punto X y en el punto M respectivamente.
Figura 18
[25]
5. Método De Los Lugares Geométricos
En resumen, el método de los lugares geométricos, se aplica en momentos
en los cuales se deben satisfacer varias condiciones, de manera que se
omite una de estas (normalmente una condición de posición o
pertenencia). Esto genera un lugar geométrico, que intersectado con algún
objeto permite generar la solución [1].
La esencia del método consiste en lo siguiente: supongamos que al
resolver un problema matemático debemos construir un punto P tal que
satisfaga una serie de condiciones generalmente dos o mas, las cuales son
enumeradas; el lugar geométrico que cumple la condición 1 es una figura
F1, el lugar geométrico que cumple la condición 2 es otra figura
F2,….Entonces el punto buscado P debe permanecer simultáneamente a
las figuras F1, F2, esto es, si se encuentra en la intersección de las figuras
[2].
6. Definición de Mediatriz.
La definición de mediatriz es muy importante ya que gracias a ella es
posible realizar un sinnúmero de construcciones, además interviene en
muchos de los casos donde se trabaja con lugares geométricos.
[26]
Dados dos puntos A y B, podemos construir el segmento AB que los une.
Se llama mediatriz del segmento AB a la recta que es perpendicular a este
segmento y que pasa por su punto medio. La mediatriz divide al segmento
AB en otros dos segmentos de igual longitud.
La recta mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia de
cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos extremos del segmento
AB es la misma.
Teorema 1: La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos del
plano que están a la misma distancia de los puntos extremos del segmento.
Demostración:
Caso 1
Si C es el punto medio de AB se tiene, de manera inmediata, que la
longitud del segmento AC es igual a la longitud del segmento BC (Figura
19).
Figura 19
.
[27]
Caso 2
Sea D cualquier otro punto de la mediatriz del segmento AB diferente del
punto medio C
Figura 20
Entonces AC es congruente con CB por definición de punto medio.
Además el segmento CD es común en los triángulos ADC y CDB.
Como los dos triángulos ADC y CDB tienen dos lados y el ángulo
comprendido entre estos dos lados respectivamente iguales (90 grados),
entonces los dos triángulos son iguales (criterio L.A.L).
Luego, el segmento AD es congruente con el segmento BD por semejanza
de triángulos.
En realidad el teorema es una equivalencia. Esto es, también se tiene la
contra recíproca: si un punto P no pertenece a la mediatriz del segmento
AB entonces no equidista de los extremos del segmento.
[28]
Demostración: Sea P un punto que no pertenece a la mediatriz. En este
caso P pertenece al semiplano que contiene a B. Demostraremos que P
está más cerca de B que de A. Unimos P con A, la intersección de este
segmento con la mediatriz determina el punto D. Sabemos que AD es
congruente con BD.
Figura 21
La longitud del segmento PB es menor que la suma de las longitudes de
los segmentos DP y DB por desigualdad triangular (
).
Como el segmento AD es congruente con el segmento BD entonces la
longitud del segmento PB es menor que la suma de las longitudes de los
segmentos DP y AD (
).
Tenemos que la longitud del segmento PB es menor que el segmento AP
(
). Se concluye que
.
Lo cual demuestra que P no equidista del punto A y el punto B, de modo
que AP ≠ BP, lo que termina la demostración.
[29]
Teorema 2: La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la
circunferencia y por los puntos medios de los arcos que subtiende.
Figura 22
[30]
5. CÓNICAS
En esta sección mostraremos a las cónicas generadas bajo su definición o
condiciones especiales que las determinan, recordando que una cónica es
la curva de intersección de un plano con un cono circular recto.
Figura 23
1. La parábola
Recordemos la definición geométrica de la parábola: Es el conjunto de los
puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F
(que se llama foco) y de una recta también fija d (que se llama directriz).
[31]
La construcción que vamos a realizar sigue la filosofía propia de la
Geometría Dinámica, representa por lo tanto una alternativa al enfoque de
la Geometría Analítica.
Primero construimos un punto arbitrario (Foco) y una recta (directriz) la
cual no pasa por el punto.
Figura 24
Como el dominio de la parábola son todos los reales, sabemos que sobre
cada punto de la directriz hay un punto que pertenece al lugar geométrico,
por lo tanto construimos una perpendicular en cualquier punto de la
directriz. Esta perpendicular contiene un punto de la parábola, por
definición ese punto debe equidistar del foco y de la directriz, lo cual
[32]
equivale a que equidista del foco y del pie de la perpendicular. Por el
teorema 1 debe estar contenido en la mediatriz del segmento que une el
foco con el pie de la perpendicular, en consecuencia el punto que
pertenece a la parábola queda determinado por la intersección de la
mediatriz y la perpendicular a la directriz.
Figura 25
En la figura 25 se muestra un punto M que pertenece a la directriz, un
punto X que pertenece al lugar geométrico que es la intersección entre la
perpendicular y la mediatriz. Además se indica la distancia entre el foco y
el punto X, y entre el punto X y el punto M.
[33]
Se traza entonces el lugar geométrico de dichos puntos cuando M recorre
toda la directriz (Figura 26).
Figura 26
Al observar en la figura la mediatriz mencionada (recta r) que se muestra
en la Figura 26 pareciera que fuera la recta tangente en cada uno de los
puntos del lugar geométrico. ¿La recta r será la recta tangente?
Supongamos que la parábola hace referencia a la función
entonces la recta tangente r y la recta w cumplen lo siguiente: Dadas dos
rectas que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser
igual a
-1,
. Encontremos la pendiente de la recta w,
,
,
[34]
.
Si la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta
tangente, entonces la derivada de la función
es
.
Si sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados es:
, y nos damos cuenta que la pendiente en ambos
casos es la misma y sabiendo que pasa por el punto (x,y) comprobamos
que r es la recta tangente del lugar geométrico.
2. La Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una
constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices. Definimos la
distancia entre los vértices como 2a (la longitud del eje mayor), un punto
que pertenezca al lugar geométrico E y los puntos fijos como F y F’.
Para garantizar que la distancia sea constante trazamos una circunferencia
con un radio 2a y centro en F. Construimos un punto F’ de tal manera que
el radio debe ser mayor que la distancia entre F y F’.
Activamos punto sobre objeto para definir un punto C de la circunferencia
y trazamos los segmentos que unen este punto con F y F’.
[35]
Con la herramienta mediatriz dibujamos la mediatriz del segmento CF’ y
definimos como E el punto de intersección de esta recta con el segmento
CF.
Figura 27
¿Pero para que dibujar la mediatriz?
Recordemos que la longitud del segmento FC es igual a 2a (
+
=2a).
Si el punto E pertenece al lugar geométrico entonces la suma de las
longitudes FE y F’E es igual a 2a.
[36]
Por el teorema 1 la longitud del segmento EC es igual a la longitud del
segmento F’E. Cumpliendo así con la definición de elipse.
Activamos traza para el punto E y animación para el punto C, así cuando
el punto C recorre la circunferencia, el punto E describe la elipse de la
figura, también se puede dibujar la elipse sin activar animación,
desplazando el punto C con el puntero por la circunferencia.
Figura 28
Otro aspecto interesante similar a la parábola es que la recta r pareciera ser
la recta tangente al lugar geométrico.
[37]
Para ello nos valemos de la propiedad de reflexión de la elipse,
recordemos el siguiente teorema:
Teorema 3: Sean E un punto de elipse, r la recta tangente a la elipse en
el punto E, y EF y EF’ las rectas que unen a E y a los focos F y F’ de la
elipse. Entonces, el ángulo de incidencia α y el ángulo de reflexión β,
formados por r y este par de rectas, son iguales.
Figura 29
Demostración: Como r es la recta bisectriz del triangulo CEF’ entonces el
ángulo α’ es igual ángulo β. Por ángulos opuestos por el vértice, el ángulo
α es igual al ángulo β.
[38]
3. La Hipérbola
Si en la figura 29 trasladamos el punto F’ fuera de la circunferencia
entonces el lugar geométrico se convierte en una hipérbola.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor
absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la
distancia entre los vértices. Definimos la distancia entre los vértices como
2a, un punto que pertenezca al lugar geométrico E y los puntos fijos como
F y F’.
Para garantizar que la distancia sea constante trazamos una circunferencia
con un radio 2a y centro en F. Construimos un punto F’ de tal manera que
el radio debe ser menor que la distancia entre F y F’.
Activamos punto sobre objeto para definir un punto C de la circunferencia
y trazamos la recta que unen este punto con F y el segmento que unen
este punto con F’.
[39]
Figura 30
Igual que en la situación anterior ¨La Elipse¨ la construcción de la recta
mediatriz nos garantiza la definición.
Con la herramienta mediatriz dibujamos la mediatriz del segmento CF’ y
definimos como E el punto de intersección de esta recta con la recta CF.
[40]
Figura 31
Recordemos que la longitud del segmento FC es igual a 2a (
-
=2a).
Si el punto E pertenece al lugar geométrico entonces la resta de las
longitudes FE y F’E es igual a 2a.
Por el teorema 1 la longitud del segmento EC es igual a la longitud del
segmento F’E cumpliendo así con la definición. Para visualizar el lugar
geométrico podríamos activar Lugar para el punto E y la ruta para el punto
C.
[41]
Figura 32
Otro aspecto interesante es que en todas las cónicas, la recta r pareciera ser
la recta tangente al lugar geométrico.
La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse:
Teorema 4: Sean E un punto de la hipérbola, r la recta tangente a la
hipérbola en el punto E, y EF y EF’ las rectas que unen a E y a los focos F
y F’ de la elipse. Entonces, el ángulo de incidencia α y el ángulo de
reflexión β, formados por r y este par de rectas, son iguales.
Demostración: En la figura 33 se ve que r es la recta bisectriz del
triangulo CEF’ entonces el ángulo α’ es igual al ángulo β.
[42]
Por ángulos opuestos por el vértice, el ángulo α es igual al ángulo β.
Figura 33
4. Caso Especial
Una de las ventajas que tiene la geometría dinámica, es el poder manipular
ciertos elementos y así poder sacar nuevas conjeturas, este es el caso de la
elipse y la hipérbola.
En la figura 34 se puede observar, cuando el punto F’ está dentro de la
circunferencia, el lugar geométrica es una elipse y cuando está afuera es
una hipérbola. ¿Pero qué pasa cuando F’ hace parte de la circunferencia?
[43]
Figura 34
Si se acerca el punto F’ a la circunferencia el lugar geométrico parece
convertirse en un segmento de recta. ¿Será un segmento de recta?
Figura 35
[44]
La solución es muy sencilla, como vimos en los ejemplos anteriores, los
lugares geométricos dependían de la intersección de la recta que pasaba
por el centro de la circunferencia (punto F) y un punto que pertenecía a la
circunferencia (punto C) con la mediatriz.
Si F’ pertenece a la circunferencia igual que el punto C, la mediatriz
necesariamente pasa por el centro de la circunferencia por el teorema 2.
La intersección entre dos rectas es un punto, que en este caso es el centro
de la circunferencia, de esta manera queda resuelta nuestra pregunta.
Figura 36
[45]
6. TRIÁNGULOS INSCRITOS EN UN CÍRCULO
1. El Baricentro
Tenemos un triángulo inscrito en una circunferencia con su baricentro la
idea es mover uno de sus vértices sobre la circunferencia y analizar su
comportamiento.
Con la herramienta "lugar geométrico" seleccionar primero el punto que
describe el lugar geométrico (el baricentro) y, después, el punto del que
depende la construcción (el vértice). Inmediatamente podemos ver el lugar
geométrico correspondiente.
Caso 1
El caso más fácil, es cuando un lado del triangulo pasa por el centro de la
circunferencia, como se ve en la figura 37. El lugar geométrico parece ser
una circunferencia. ¿El lugar es una circunferencia?
[46]
Figura 37
Si trazamos la recta mediatriz del segmento EF y sabemos que el
baricentro es el centro de gravedad de un triángulo por lo tanto el
segmento OC mide la tercera parte de la longitud OB, como el segmento
OB es el radio de la circunferencia y el segmento OA también lo es,
entonces el segmento OD tiene la misma longitud del segmento OC.
Caso 2
Para cualquier triangulo inscrito en la circunferencia encontremos el radio
del lugar geométrico y la razón de éste con la circunferencia.
[47]
Dividimos los segmentos PA’ en tres partes iguales ¨x¨ y el segmento DP
¨y¨. Encontremos el radio del lugar geométrico, tenemos que:
.
Figura 38
Este hecho nos garantiza que el radio del lugar geométrico equivale a la
tercera parte del radio de la circunferencia.
[48]
2. El Incentro
Ahora con el mismo triángulo ABC inscrito en la circunferencia,
probemos con las bisectrices encontrando el lugar en el punto I (El
incentro) y ruta en el punto A.
Figura 39
Aparentemente el lugar geométrico son 2 arcos de circunferencia, como lo
apreciamos en la figura 39.
[49]
Figura 40
Como se muestra en la figura 40 Intentemos sobreponer una
circunferencia al lugar geométrico. Encontremos la recta mediatriz del
segmento BC e indiquemos las intersecciones entre la recta y la
circunferencia, y entre la recta y el lugar geométrico. Después construimos
una circunferencia con centro en la intersección O y seleccionamos el
punto P para el radio.
Para demostrar que es un arco de circunferencia, tenemos que probar que
el segmento OI y el segmento OC tienen la misma longitud o que el
triangulo OIC es isósceles.
Como r es una bisectriz los ángulos α y α’ miden igual.
[50]
Figura 41
Para el triangulo IAC llamemos β a uno de los ángulos y el otro como la
suma de los ángulos internos 180 grados, entonces será 180-(α+ β).
Figura 42
El ángulo  será 180 – 180 – (α+β) = α+β, también sabemos por la
bisectriz que β y β’ miden lo mismo.
[51]
Recordemos que todos los ángulos inscritos en una circunferencia, que
abarcan el mismo arco son iguales.
Figura 43
En consecuencia  mide lo mismo que α.
[52]
Figura 44
Si el triangulo OIC tiene dos ángulos iguales (α+β) entonces es isósceles,
y si es isósceles los segmentos OI y OC tienen igual longitud.
La demostración para la otra parte del lugar geométrico es análoga.
3. El Ortocentro
Sean A, B y C puntos sobre una circunferencia. Llamemos H al ortocentro
del triángulo ABC, analicemos el lugar geométrico de H al mover A sobre
la circunferencia.
[53]
Aplicando Lugar en el punto H y la ruta en el punto A nos damos cuenta
que el lugar geométrico parece ser una circunferencia, con el mismo radio
que la circunferencia ya construida. ¿El lugar geométrico es una
circunferencia?
Figura 45
Figura 46
[54]
En la figura 46 analicemos el triangulo ADC, un cateto c y el otro (a-b),
por proporcionalidad de triángulos tenemos un nuevo triangulo RTC un
cateto c/2 y el otro (a-b)/2.
Trazamos la mediatriz a la cuerda AC, esta mediatriz necesariamente pasa
por el centro, entonces T es punto medio de AC.
Figura 47
Revisando los ángulos, nos damos cuenta que hay 3 triángulos semejantes,
BDF con catetos (a+b) y h, GIH con catetos (a-n) y m, GTR con catetos an+b+(a-b)/2 y c/2.
[55]
Tenemos que demostrar que los segmentos O’F y O’C tienen la misma
longitud.
Por semejanza de triángulos tenemos:
(1)
(2)
(3)
[56]
Por (1)
(4)
Por (3) y (4)
(5)
Por (2) y (5) encontremos (
(6)
Tenemos que demostrar que
es igual a
Por (6)
[57]
(7)
Por (5)
+
(8)
Como (7) y (8) son iguales queda demostrado.
[58]
7. CONCLUSIONES
 Con la geometría dinámica y mediante la observación se puede
llegar a conclusiones, generalidades y demostraciones de manera
más inmediata que con la geometría clásica.
 Con la geometría dinámica es posible presentar la información
matemática de varias formas y sobre todo de forma dinámica e
interactiva.
[59]
 En
general
la
herramienta
de
lugares
geométricos
es
suficientemente útil para explorar trayectorias en situaciones
geométricas.

El desarrollo y el trabajo con procesadores geométricos, constituye
una fuerte herramienta de visualización. La interpretación
geométrica de manera dinámica, permite ver
varios conceptos.
[60]
más claramente