Contenido De La Unidad 4

Contenido De La Unidad 4
DISTRIBUCIÓN CONTINUAS ......................................................................................................... 2
4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA. ......................................................... 2
4.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA........................................................................... 2
4.3 VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR. ............................................. 6
4.4 DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA. ................................................................................ 7
4.5 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. ........................................................................................... 12
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG) ...................................................................................... 13
4.7 DISTRIBUCIÓN NORMAL....................................................................................................... 16
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG) ...................................................................................... 20
4.8 TEOREMA DE CHÉBYSHEV .................................................................................................. 24
DISTRIBUCIÓN CONTINUAS
4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA.
Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si su
cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de
clase hasta que la distribución se vea como una curva continua. Una función de
densidad de probabilidad, es un modelo teórico para esta distribución.
Si f(y) es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria
continua y entonces la función de densidad f(y) para y es.
f y 
df  y 
dy
La función de densidad para una variable aleatoria continua y que modela
alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua.
Entonces, el área acumulativa bajo la curva entre -y un punto y0 es igual a f(y0).
-+La función de la densidad para una variable aleatoria continua siempre
debe satisfacer las tres propiedades que se indican en siguiente.
Propiedad
1.- f  y   0

 f  y dy  f   1
3.- Pa  y  b   f  y dy , donde a y b son constantes.
2.-

b
a
4.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA.
Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si la
cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de
una clase hasta que la distribución se vea como una curva continua. Una función
de densidad de probabilidad es un modelo teórico para esta distribución.1
Si f(y) es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria
continua y, entonces la función de densidad f(y) para y es.
1
MENDENHALL William, Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencia, Pág. 206
f ( y) 
dF( y)
dy
La función de densidad para una variable aleatoria continúa y que modela alguna
población de datos de la vida real, por lo regular es una curva.
EJEMPLO:
La función de densidad de probabilidad de probabilidad del tiempo de falla ( en
horas) de un componente electrónico de una copiadora.
e  x / 1000
f ( x) 
 Para x>0
1000
Calcule la probabilidad de que:
a) El componente tarde más de 3 mil horas en fallar.
b) El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas.
c) El componente falle antes de 1000 horas.
d) Calcule el de horas en las que fallaron el 10% de todos los componentes.
a)
p(x>3000)= 1- p (0<x<3000)
p(0  x  3000)  
3000
0
e  x / 1000
 1000e  x / 1000
dx 
1000
1000
 e 3000 / 1000  (e 0 / 1000 )  e 3  e 0  e 3  1  
3000

 e
0
2000
1000
e
 x / 1000
2000
  e
 2000 / 1000
2
e
1

e  x / 1000
 1000e  x / 1000
dx 
1000
1000
 (e ( 1000 / 1000 ) ) 
1
1
 1  0.232544 23.25%
2
e
e
c)
1000
p(0  x  1000)  
0
 e  x / 1000
1000
  e
e  x / 1000
 1000e  x / 1000
dx 
1000
1000
1000 / 1000
0
0.6321 63.21%
 (e 0 / 1000 )  e 1  e 0 

1
 1  0.9502
e 3
1000
e
3000
0
b)
p(1000  x  2000)  
 x / 1000
1000

0
2000

1000
d)
p (0  x  w)  
w
0
e  x / 1000
 e  x / 1000  
1000
0
w
 e  w / 1000  (e 0 / 1000 )  e  w / 1000  e 0 
 e  w / 1000  1  0.10
 e  w / 1000  0.10  1
 e  w / 1000  0.90
e  w / 1000  0.90
ln(e  w / 1000 )  ln(0.90)
w
 0.105360
1000
w
 0.105360
1000
w  (0.105360)(1000)
w  105.36
EJERCICIO:
La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de
herbicida químico es igual a f(x)=2 para 49.75<x<50.25 libras.
a) calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.
b) Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.
a) p(x>50)
p(50  x  50.25)  
50.25
50
2dx 2
50.25
50
50.25
dx  2 x

50
2(50.25)  2(50)  0.5
b)
w
p(49.75  x  w)  2 x
  2(w)  2(49.75)  0.9
49.75
2w  0.9  2(49.75) 
w  50.2
0.9  99.5
2
Ejercicio 2
Supóngase que f(x)=e-x para 0<x. Determine las siguientes probabilidades.
a) p (1<x)
p (1  x)  1  p (0  x  1)  1  0.6321 0.3678
1
p (0  x  1)   e dx  e
z
0
x
1

0
1
1
 e  (e )  e  1  0.3678 1  0.6321
b)
0
2.5
p(1  x  2.5)   e dx  e
x
x
1
2.5
  e
 2.5
 (e 1 ) 
1
e
 2.5
1
 e  0.082  0.3678 0.2858 28.58%
c)
p( x  3)  0
d)
4
p( x  4)   e dx  e
x
0
x
4
  e
4
 ( e 0 )  e  4  e 0
0
 0.9816  98.16%
e)
p(3  x)
3
p(0  x  3)   e  x dx  e 3  (e 0 )  e 3  e 0
0
 0.0497 1  0.9503
 1  0.9503 0.0497  4.97%
Ejercicio 3
Suponga que f(x)  e ( x 4) para 4<x
a) p(1<x)= no aplicable
b) p(2  x  5)  no aplicable
c) p(4<x)=1
d)
12
p(8  x  12)   e
( x  4)
8
dx  e
( x  4 )
12

8
 (12  4 )
 (8 4 )
4
e
 ( e
)  3.35x10  0.018
 0.0176  1.76%
e)
p ( X  x)  0.90
p ( X  r )  0.90
r
p( X  r )   e
( x  4 )
4
dx  e
( x  4 )
r
  e
( r  4)
 ( e  ( 4  4 )
4
 e
( r  4 )
 1  e
r 4
 1  0.90
 e  r  4  0.90  1
 e  r  4  0.10
e  r  4  0.10
ln(e  r  4 )  ln(0.10)
 r  4  ln(0.10)
 r  2.3025 4
 r  6.3025
r  6.3025
4.3 VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
La media y la varianza de una variable aleatoria continua se define de la
manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones la
integración remplaza a la sumatoria.2
Supóngale que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de
probabilidad fx (x),-<x<.
La media de x, denotada por E (x) o x es
E ( X )  X 

 xf
x
( x)dx

La varianza de X, denotada por V(X) o 2x, es

V ( X )   2 x   ( x  x) 2 f ( x)dx

Así mismo la desviación estándar de X es
 x  v(x)
2
MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pág.168
EJEMPLO:
Con la siguiente función f(x) =0.125x para 0<x<4, calcular la media, la varianza y
la desviación estándar.
Valor esperado:
4
4
4
E ( X )   X  x(0.125x)dx   0.125x 2 dx  0.125 x 2 dx 
0
3 4
0
3
0
3
0.125x
0.125(4)
0.125(0)
8


  2.666

3
3
3
3
0
Varianza:
4
4
8
16X 64  1 
V ( x)   2   ( X  ) 2 0.125x dx    X 2 
  dx 
0
0
3
3
9  8 

4
3
4 X
 X 3  16x 2  64x 
 x4
2 x 2 8x 
2 x 3 8x 3 






dx



dx





0  8  24  72  0  8 3 9   8 * 4 3 * 3 9 * 2  0 
4
 x 4 2 x 3 8 x 2  4  4 4 243 842   0 4 203 802  8



 
   0.8888
 
  
9
18  0  32
9
18   32
9
18  9
 32
Desviación estándar:
x 
8
 0.9428
9
4.4 DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA.3
La distribución continua más sencilla es análoga a su contraparte discreta, una
variable aleatoria continua X con función de probabilidad.
f x  
1
,
b  a 
Tiene una distribución uniforme continua.
3
Ibíd. Pág.170
a X b
f(x)
1/b-a
x
Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme continua.
La media de la variable aleatoria uniforme continua X es:
E x   
b
a
x
0.5 x 2
ab
dx 


ba
ba a
2
b
La varianza de X es
( a  b) 2
( a  b)
)
(x 
)b
(b  a) 2
2
2
dx 

ba
3(b  a) a
12
3
v( x)  
(x 
b
a
Estos datos pueden resumirse de la siguiente manera.
La media y la varianza aleatoria uniforme continúa X sobre a  x  b están dadas
por:
x  E ( X ) 
( a  b)
2
(b  a) 2
 x  v( x) 
12
2
y
EJEMPLO:
Suponga que X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo
[1.5, 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estancar de X.
b) Cual es la probabilidad de p(x<2.5).
f ( x) 
1
1
1

  0.25
b  a 5.5  1.5 4
.30
.20
.10
1
a)
2
3
4
5
6
x 
5.5  1.5 7
  3.5
2
2
 2x 
(5.5  1.5) 2 4
  1.33
12
3
x 
4
 1.1547
3
b) P( X  2.5)  
2.5
1.5
2.5
1
x
2.5 1.5
dx   

 0.25  25%
4
4 1.5 4
4
EJEMPLO 2:
Suponga que X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [-1, 1]
a) Obtenga la media la varianza y la desviación estándar.
b) Calcule el valor de X talque p(-x < X < x)=0.90
0,05
0,45 0,45
-1
f ( x) 
0,05
1
1
1
1

  0.5
b  a 1  (1) 2
x 
11
0
2
a)  2 x 
x 
(1  (1)) 2
4 2

  0.333
12
12 6
2
 0.577
6
b) p(-x< X <x)=0.90
1
x
r 1
1 2dx  2 1  2  2  0.05
r
r
r
r
 0.05  0.5   0.45
2
2
r  0.45(2)  0.90
x 1
p ( x  X  x)   dx  0.90
x 2
x
x
x x
 dx   
 0.90
2 x 2 2
x  0.90
EJEMPLO 3:
La variable X se desarrolla en el intervalo [2 , 8].
a) Obtenga la media de la distribución.
b) Calcule la probabilidad p(x<X<x)=0.85
c) Calcule la probabilidad de p(x<X)=0.70
0,16
0,75
0,75
0
f ( x) 
a) x 
1
2
3
X
4
5
6
1
1
1

  0.166
ba 82 6
8  2 10

5
2
2
7
8
X
9
b)
p(2  X  x)  
x
2
x
1
x
x 2
dx      0.075
6
62 6 6
x
2
 0.075 
6
6
2
x  (0.075  )6
6
x  2.45
com provación :
7.55
1
x
7.55 2.45
dx   

 0.85
2.45 6
6 2.45
6
6
p (2.45  X  7.55)  
7.55
c)
p ( x  x)  0.70  p (2  X  x)

x
2
x
1
x
x 2
x
2
2
dx      0.30   0.30   x  (0.30  )
6
62 6 6
6
6
3
x  3.8
p ( x  X  8)  
8
x
x
8
 0.70 
6
6
8
x  (0.70  )6
6
x  3.8

8
1
x
8 x
dx      0.70
6
6x 6 6
4.5 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.4
La familia de las distribuciones exponenciales proporciona modelos de
probabilidad que son ampliamente utilizados en ingeniería y ciencias.
Se dice que X tiene una distribución exponencial si la pdf de X es
e  x
f ( x;  )  
x  0 de otra manera donde >0
0
La pdf exponencial es un caso especial, de gamma general, en la que =1 y  ha
sido sustituida por 1/, [algunos autores emplean la forma (1/)e-x/]. La media y la
varianza de X entonces son:
1
1
   ç 
 2   2  2


Tanto la media como la desviación estándar de la distribución exponencial son
iguales a 1/. Las gráficas de las variables pdf exponenciales aparecen en la
figura siguiente.
La diferencia de pdf gamma general, la pdf exponencial se pueden
integrar
fácilmente. En particular, la pdf de X es
EJEMPLO.
Sea X el tiempo en horas de un sistema de cajeros de atención a usuarios. La
atención puede modelarse como un proceso de Poisson por una media de 25
accesos por hora ¿cuál es la probabilidad de que no halla acceso en un intervalo
de 6 minutos?
=25 usuarios / hora
=2.5 usuarios / 6 minutos

0.1
0
25e
 25 x
0.1
dx  25 e
0
 25 x
25e 25 x
dx 
 25
0.1
  e
0
 25 x
0.1
  e
 25 ( 0.1)
 (e  25( 0 ) ) 
0
 2.5
P(x0.1)=  e  1  0.9179
p( x  0.1)  1  P( x  0.1)  1  0.9173 0.08208 2.8%
4
DEVORE, Jay L., Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencia. Pág.171
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG)5
Aumenta la distribución ya que se puede utilizar para resolver muchos problemas
en ingeniería y en la ciencia, hay aun numerosas situaciones que requieren
diferentes tipos de funciones de densidad. Dos de estas funciones de densidad,
las distribuciones gamma y exponencial, se estudian en esta sección.
Resulta que la distribución exponencial es una cosa especial de la distribución
gamma. Ambas encuentran un gran número de aplicaciones .Las distribuciones
exponencial y gamma juegan un papel importante en teoría de colas y problemas
de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempo
de falla de partes componentes y sistemas eléctricos, a menudo quedan bien
moldeadas mediante la distribución exponencial. La realidad entre la gamma y la
exponencial permite que la gamma se involucre en tiempos de problemas
similares.
La distribución gamma, deriva su nombre de la bien conocida función gamma, que
se estudia en muchas áreas de las matemáticas. Antes de que procedemos con la
distribución gamma, revisemos esta función y algunas de sus propiedades
importantes.
La función gamma se define como:
Al integrar la formula u=𝑥𝑎 − 1 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑒 − 𝑥 𝑑𝑥 obtenemos
Para 𝑎 > 1, que produce la formula recursiva
5
MONTGOMERY, Douglas . Pág.155
La aplicación repetida de la fórmula de recursividad da
Y así sucesivamente. Nótese que cuando 𝑎 = 𝑛, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 es un entero positivo
Sin embargo por la definición
Y de aquí
Una propiedad importante de la fusión gamma, se deja al lector para su
verificación.
Inclinaremos ahora la fusión gamma en nuestra difusión de la distribución gamma.
La variable aleatoria continua x tiene una distribución gamma, con parámetros
𝑎 𝑦 𝐵 , si su fusión de densidad está dada por
En la figura 6.28 se muestran graficas de varias distribuciones en gamma para
ciertos valores específicos de los parámetros 𝑎 𝑦 𝐵.La distribución gamma
especial para la que 𝑎 = 1se llama distribución exponencial.
La variable aleatoria continua x tiene una distribución exponencial, con parámetro
B, si su función de densidad está dada por
El siguiente teorema y corolario dan la media y la varianza de las distribuciones
gamma y exponencial.
La media y la varianza de la distribución gamma son
Para encontrar la media de la distribución gamma escribimos
Ahora bien, 𝑦 = 𝑥/𝐵, que da
Para encontrar la varianza de la distribución gamma, procedemos como antes
para obtener
Y entonces
La media y la varianza de la distribocion especial son
4.7 DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es la más importante en probabilidad y estadística.
Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar con
mucha aproximación mediante una curva normal apropiada. Como ejemplos
pueden citarse la estatura, peso y otras características físicas (el famoso artículo
1903 de Biométrica analizó muchos de este tipo), errores de medición en
experimentos científicos, mediciones antropométricas efectuadas en fósiles,
tiempo de reacción en experimentos psicológicos, mediciones de inteligencia y
aptitud, calificaciones de diversas pruebas y numerosas medidas e indicadores
económicos. Aun cuando la distribución fundamental sea discreta, la curva normal
proporciona con frecuencia una aproximación excelente. A demás cuando las
variables individuales no están normalmente distribuidas, en condiciones
apropiadas las sumas y promedios de las variables tendrán aproximadamente una
distribución normal.6
La distribución normal aparece en el estudio de muchos fenómenos físicos
básicos. Por ejemplo, el físico James Maxwell desarrollo la distribución normal a
partir de hipótesis muy sencillas con respecto a las velocidades de las moléculas.7
Una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad
fx( x,  ,  ) 
1
( x )2
  x 
2
Tiene una distribución normal con parámetros , donde -<<, y >0.
Así mismo E(x)= y v(x)=2
La deducción de la media y la varianza de una variable aleatoria normal que
aparece al final de esta sección. Los valores de  y  determinar la forma de la
función de densidad de probabilidad. La función de densidad de densidad de
probabilidad es una curva simétrica con forma de campana. El valor de 
determina el centro de la función de densidad de probabilidad, mientras que el de
la  determina la dispersión. Es evidente que fx(x,,) es no negativa.
c
2 2
Es una distribución continua que tiene por propiedades.
1.- Es simétrica.
2.- Se extiende en ambos sentidos del eje x.
3.- Es asintótica.
EJEMPLO:
a)
6
7
Ibíd. Pág.155
MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pág.175
P0  Z  1  0.84134 0.5  0.34134
b)
P 1  Z  2 
P  0.34134 0.47725 0.81859
0.81859*100%  81.85
c)
P(0.16  Z  1.06
P  0.06356  0.35543  0.41899
d)
P1.03  Z  2.33 
P  0.49010  0.34849 
e)
P 2.43  Z  z   0.9675
z  1.99
f)
P z  Z  z   0.99
0.99
 0.4950 0.5  2.58
2
z  2.58
P
g)
Pz  1.73ó1.73  z  
1  0.045818 0.04182 2 
0.08364 ó 8.36%
h)
P 2.75  Z ó 3.66  Z  
1  0.99702 0.00278
1  0.99987 0.00073
0.00278 0.00073 0.00311
0.00311 ó 0.31%
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA (ERLANG)
4.7.1 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A NORMAL
8
Considere la variable aleatoria binomial y con par5ametros n y p. recuerde que y
tiene una media de μ=np y una varianza de Ϭ=npq.
Hemos demostrado que el número de los éxitos en n pruebas que se pierden
considerar como una suma de n valores de 0 y 1, donde cada 0 y 1 representa e3l
resultado de una prueba en particular, es decir
Entonces, según el teorema del límite central para las sumas, la distribución y la
probabilidad binomial p (y) deberá acercarse a la notabilidad conforme n aumente
la aproximación normal de una distribución de ‘probabilidad binomial es
razonablemente aceptable incluso para nuestros pequeños, digamos, n=10
cuando p = .5 y la distribución de y es, por tanto simétrica alrededor de su medio
µ= np cuando p de acerca a 0 la dispersión de la probabilidad binomial tiende a
sesgarse hacia la derecha o a la izquierda pero esta simetría desaparecerá
conforma aumente n . En general la aproximación será buena cuando n sea lo
bastante grande como para que tanto µ-2Ϭ=np+2npq queden entre 0 y n.
Sea y una distribución de probabilidad binomial con n = 10 y p = .5.
a. Grafique p(y) y trace sobre la misma grafica una distribución normal con
μ=np y Ϭ = npq.
b. Utilice la tabla 1 del apéndice 2 para obtener p(y≤4).
c. Utilice la aproximación normal a la distribución de probabilidad binomial
para obtener una aproximación a p (y≤ 4) .
a. Las gráficas de p(y)y una distribución normal con
8
MORRIS H. Probabilidad y estadística pag.113.
Se muestran en la figura 7.13. Observe que tanto np = 5 como nq = 5 son mayores
que 4. Por tanto, la función de densidad normal con μ=5 y Ϭ =1.58 constituye una
buena aproximación a p(y)
b. De la tabla 1 del apéndice 2, obtenemos
c. Si examinamos la figura 7.13, podremos ver que p(y≤ 4 ) es el área bajo la
curva normal que está a la izquierda de y =4.5. observe que el área a la
izquierda de y =4 no sería apropiada porque omitiría la mitad del rectángulo
de probabilidad para compensar el hecho de que estamos utilizando una
distribución de probabilidad continua para aproximar una distribución de
probabilidad discreta. El valor .5 se denomina factos de corrección por
continuidad para la aproximación normal a la probabilidad binomial. El valor
z que corresponde al valor corregido y = 4.5 es
El área entre z =0 y z =.32, dada en la tabla 4 del apéndice 2 es A = .1255.
Así que
Por tanto, la aproximación normal a p (y≤4 ) = 3.77 es bastante buena,
aunque n = 10 es relativamente pequeño. El tamaño de la muestra tendría
que ser mayor para aplicar la aproximación si p no fuera igual a .5.
Corrección por continuidad para la aproximación normal
A una probabilidad binomial
Sea y una variable aleatoria binomial con parámetros n y p y sea z una
variable aleatoria estándar. Entonces,
Sea y una variable aleatoria binomial con n = 5 y p =.3.
a. Utilice la tabla 1 del apéndice 2 para obtener p(y≤8).
b. Utilice la aproximación normal a la distribución de probabilidad binomial
para calcular una aproximación a p(y≤8). Compare su respuesta con la
del inciso a.
Consumer reports (febrero de 1992) descubrió una contaminación muy
extendida de pescado y mariscos en supermercados de Nueva York y
Chicago.
a. Utilice la aproximación normal a la distribución binomial para calcular
la probabilidad de que menos de 2 a los 20 trozos de pez espada
tengan niveles de mercurio por encima del límite de la FDA.
b. Utilice la aproximación normal a la distribución binomial para calcular
la probabilidad de que más de la mitad de los 20 trozos de pez
espada tangan niveles de mercurio por encima del límite de la FDA .
c. Utilice las tablas binomiales para calcular las probabilidades exactas
de los incisos a y b. ¿es la distribución normal una buena
aproximación a la distribución binomial?
El proceso de incorporación de un carril continuo de una autopista
constituye un aspecto importante de la operación del tráfico en los
cruces de autopistas. Un estudio de rampas de intercambio paralelas
en Israel develo que muchos conductores no utilizan toda la longitud
de los carriles paralelos para acelerar, si no que tan pronto como
pueden buscan un hueco apropiado en el flujo principal del tráfico a
fin de incorporarse. En un lugar , 54% de los conductores utilizan
menos de la mitad de la longitud de carril disponible antes de
incorporase. Suponga que planeamos vigilar los patrones de
incorporación de una muestra aleatoria de 330 conductores en
Yavneh.
a. ¿Qué probabilidad aproximada hay de que menos de 100 de los
conductores utilicen menos de la mitad de la longitud del carril de
aceleración antes de incorporarse?
c. ¿qué probabilidad aproximada hay de que 200 o más de los
conductores utilicen menos de la mitad de la longitud del carril de
aceleración antes de incorporarse?
Ocupational Outlook quarterly informo que 1% de todos los instaladores
de pared seca empleados en la industria de la construcción son mujeres
a. Aproxime la probabilidad de que más de 100 de una muestra
aleatoria de 500 instaladores de pared seca sean mujeres
b. Aproxime la probabilidad de que cinco o menos de muestra aleatoria
de 500 instaladores de pared seca sean mujeres
Una de las claves para crear sistemas de información exitosos es
implementar en diseño y técnicas de programación estructurados. La
tecnología de ingeniería de software asistida por computadora
(CASE) proporciona varias herramientas automatizadas que pueden
facilitar las técnicas estructuradas. El journal of system management
Informo que 60% de los profesionales en sistemas de información
utilizan extensamente diagramas de flujo de datos en su trabajo. En
una muestra de 150 profesionales de sistemas de información, ¿Qué
probabilidad aproximada ahí sé que al menos la mitad utilicen
extensamente diagramas de flujo de datos?
El control de calidad es un problema cuando se producen artículos
en masa. Es preciso vigilar el proceso de producción a fin de
asegurar que la proporción de artículos defectuosos de mantenga
en un nivel aceptablemente bajo. Un método para resolver este
problema es el muestreo de aceptación de lote, en el que se
selecciona una muestra aleatoria de los artículos producidos y se
prueba cuidadosamente cada uno de los artículos de la muestra.
Suponga que un fabricante de calculadoras de bolsillo escoge al azar
200 circuitos impresos de la producción de un día y determina y, el
número de circuitos defectuosos en la muestra. Si se considera
aceptable una proporción de artículos defectuosos de 6% o menos y,
sin que el fabricante lo sepa, 8% de la producción total de circuitos
de ese día tiene defectos, calcule la probabilidad aproximada de que
el lote de circuitos impresos será rechazado.
¿Qué tan bien un título universitario en ingeniería prepara a los
estudiantes para el trabajó? Una encuesta de 2 años a nivel
nacional de ingenieros y gerentes de ingeniería estadounidenses en
industrias “específicas de alta demanda “ reveló que solo 34%cree
que sus compañías aprovechan bien los conocimientos y habilidades
que adquirieron. En una muestra aleatoria de 50 ingenieros y
gerentes en ingeniería, considere el número y de los que creen que
su empleador aprovecha bien sus antecedentes universitarios en
ingeniería, calcule la probabilidad aproximada es que
.
4.8 TEOREMA DE CHÉBYSHEV
Para demostrar cómo  o 2 son indicadores de la dispersión de la
distribución de una variable aleatoria, probaremos ahora el teorema siguiente,
conocido como teorema de Chébyshev. Este teorema ofrece una especie de
garantía mínima acerca de la probabilidad de una variable aleatoria a suma un
valor dentro de k desviaciones estancar alrededor de la media. Aunque la garantía
no siempre es muy precisa, la ventaja de este teorema es su generalidad por
cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de
probabilidad, ya sea discreta o continua.
Teorema de Chébyshev si  y  son, respectivamente, la media y la
desviación estándar de la variable aleatoria X, entonces para una constante
positiva k cualquiera la probabilidad es cuando menos 1-1/k2 de que X tomara un
valor contenido en k desviaciones estándar de la media; en la forma simbólica que
se tiene.9
1
p ( X    k )  1  2
k
9
MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pág.101
EJEMPLO:
Si la densidad de la probabilidad de la variable aleatoria X esta dada por
630 x 4
f ( x)  
0
Para 0<x<1
en
otra
parte
determine la probabilidad de que X tome un valor contenido en dos desviaciones
estándar de la media y compárela con el limite inferior proporcionado por el
teorema de Chébyshev.
La integración directa muestra que = ½ y 2= 1/44, de manera que = 0.15 por
tanto, la probabilidad de que X tome un valor contenido en dos desviaciones
estándar de la media, es la probabilidad de que tome un valor entre 0.20 y 0.80, es
decir,
p(0.20  X  0.80)  
0.80
0.20
630x 4 (1  x) 4 dx  0.96
Obsérvese en el enunciado la probabilidad es de 0.96 es mucho mas especifico
que la probabilidad es cuando menos de 0.75, enunciando, proporcionando por el
teorema de Chébyshev.