Sucesiones

1/58
Sucesiones
<
>
≪
≫

i
?
P
2/58
Concepto de sucesión
Es más fácil reconocer una sucesión que definirla. Decimos, por
ejemplo, que:
n
1
;
xn D 1 C
n
yn D n sen.1=n/;
1
1
zn D 1 C C C
2
n
<
son sucesiones. Para cada n 2 N los números reales xn ; yn ; zn están
>
≪
correctamente definidos. Suele usarse la notación fxn g, fyn g, fzn g
≫
para representar a las sucesiones.

i
?
P
3/58
Una sucesión no se identifica con los valores que toman sus elementos sino que debemos considerar el orden en que esos valores
se toman.
Por ejemplo, los elementos de las sucesiones f. 1/n g yf. 1/nC1 g
toman los mismos valores 1 y
<
1 pero en la primera valen 1 en
>
≪
los lugares pares y 1 en los impares y al revés en la segunda: son
≫
sucesiones distintas.

i
?
P
4/58
Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N de los números naturales en R.
Por tanto, el símbolo fxn g indica una aplicación, la que a
<
>
cada n 2 N hace corresponder el número xn 2 R.
≪
≫

i
?
P
Sucesiones convergentes
5/58
Una sucesión fxn g se dice que converge a un número real x si, dado
cualquier número real " > 0, existe un número natural m" tal que si
n es cualquier número natural mayor o igual que m" se cumple que
jxn
xj < ". Simbólicamente:
8" > 0 9m" 2 N W n > m" ) jxn
<
xj < "
>
≪
Se dice también que el número x es límite de la sucesión fxn g, y
≫
se escribe lKım fxn g D x o, simplemente, lKımfxn g D x e incluso, si
no hay posibilidad de confusión, fxn g ! x.

n!1
i
?
P
6/58
Teniendo en cuenta que la desigualdad jxn
la doble desigualdad x
xn 2x
xj < " equivale a
" < xn < x C " o, lo que es igual,
"; x C "Œ, la definición anterior lo que dice es que fxn g
converge a x cuando, dado cualquier intervalo abierto x "; x C "Œ,
<
se verifica que todos los términos de la sucesión a partir de uno en
>
adelante están en dicho intervalo.
≪
≫
Una sucesión convergente tiene un único límite.

i
?
P
Ejemplos
7/58
La sucesión f1=ng es convergente a cero.
Dado un número real x 2
1; 1Œ, se verifica que la suce-
sión de las potencias de x, fx n g, converge a cero.
<
Dado x 2
1; 1Œ, se verifica que la sucesión
>
≪
f1 C x C x 2 C C x n g
llamada serie geométrica de razón x, converge a
≫
1
1
x
.

i
?
P
Sucesiones convergentes y estructura de orden de R
Supongamos que lKımfxn g D x , lKımfyn g D y y que existe m 2 N
8/58
tal que para todo n > m se tiene que xn 6 yn . Entonces se
verifica que x 6 y.
Principio de las sucesiones encajadas. Supongamos que fxn g,
fyn g, fzn g son sucesiones tales que lKımfxn g D lKımfzn g D ’ y
<
>
existe un número natural m0 tal que para todo n > m0 se veri-
≪
≫
fica que
x n 6 yn 6 z n
entonces se verifica que lKımfyn g D ’.

i
?
P
9/58
Una consecuencia inmediata de este resultado es que si cambiamos arbitrariamente un número finito de términos de una
sucesión, la nueva sucesión así obtenida es convergente si lo
<
>
era la de partida y con su mismo límite.
≪
≫

i
?
P
10/58
Ejemplos
p
La sucesión f n ng es convergente a 1.
<
p
Si a > 0 la sucesión f n ag es convergente a 1.
>
≪
≫

i
?
P
11/58
Ejercicio teórico
a) Sea fxn g una sucesión y supongamos que hay números 20; 1Œ,
p 2 N, tales que para todo n > p es jxnC1 j 6 jxn j . Prueba que
lKımfxn g D 0.
<
b) Sea fxn g una sucesión de números no nulos verificando que
jxnC1 j
lKım
D , donde 0 6 < 1. Prueba que lKımfxn g D 0.
jxn j
Aplicación. Dados a 2
>
≪
≫
1; 1Œ; k 2 N, prueba que lKım fnk an g D 0.
n!1

i
?
P
12/58
Ejercicio
Estudia la convergencia de las sucesiones siguientes.
n n
p
1 C . 1/
2
a/ xn D n C 3n C 2
n b/ xn D n
3
n
p
2 1Cn
c/ xn D n
d/ xn D n an C b n .a > 0; b > 0/
3n
n
X
1
xn
f / xn D
.x 2 R/
e/ xn D p
n!
k C n2
<
>
≪
≫
kD1

i
?
P
Definiciones
Una sucesión fxn g se dice que es:
13/58
Mayorada o acotada superiormente si su conjunto imagen está
mayorado, es decir, si hay un número 2 R tal que xn 6 para
todo n 2 N.
Minorada o acotada inferiormente si su conjunto imagen está mi<
norado, es decir, si hay un número 2 R tal que 6 xn para todo
>
n 2 N.
≪
Acotada si su conjunto imagen está mayorado y minorado, equi-
≫
valentemente, si hay un número M 2 RC tal que jxn j 6 M para
todo n 2 N.

i
?
P
14/58
Creciente si xn 6 xnC1 para todo n 2 N.
Estrictamente creciente si xn < xnC1 para todo n 2 N.
Decreciente si xn > xnC1 para todo n 2 N.
Estrictamente decreciente si xn > xnC1 para todo n 2 N.
<
Monótona si es creciente o decreciente.
>
≪
Estrictamente monótona si es estrictamente creciente o decrecien-
≫
te.

i
?
P
Toda sucesión convergente está acotada.
15/58
Ejemplo de no acotación
Serie armónica
La sucesión fHn g definida para todo n 2 N por:
Hn D
<
n
X
1
kD1
1 1
1
D 1 C C C C
k
2 3
n
>
≪
≫
no está mayorada y por tanto no es convergente.

i
?
P
Convergencia de las sucesiones monótonas
16/58
Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Más concretamente, si una sucesión fxn g es:
i) Creciente y mayorada, entonces lKımfxn g D ˇ, donde
ˇ D supfxn W n 2 Ng:
<
>
≪
ii) Decreciente y minorada, entonces lKımfxn g D ˛, donde
≫
˛ D Kınffxn W n 2 Ng:

i
?
P
17/58
Ejemplo
La sucesión fxn g definida por
2n
X
1
1
1
1
xn D
D
C
C C
k
nC1 nC2
2n
<
>
kDnC1
≪
es convergente.
≫

i
?
P
El número e
La sucesión
1
xn D 1 C
n
n
18/58
es creciente y la sucesión
1
yn D 1 C
n
nC1
es decreciente. Como 0 < yn , se sigue que fyn g es convergente.
<
Puesto que
>
1 1
n
xn D yn 1 C
D yn
n
nC1
se sigue que fxn g también es convergente y lKımfxn g D lKımfyn g. El
valor común de este límite es un número real que se representa con
el símbolo e.
≪
≫

i
?
P
Desigualdades útiles que debes recordar
19/58
(
)
n
mC1
1
1
1C
e D sup 1 C
W n 2 N D Kınf
W m2N
n
m
<
En consecuencia, para todos n; m 2 N se verifica que:
n
mC1
1
1
1C
<e< 1C
n
m
>
≪
≫

i
?
P
Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R
20/58
Dadas dos sucesiones fxn g e fyn g, se define su suma como la sucesión fxn C yn g y su producto como la sucesión fxn yn g.
El producto de una sucesión convergente a cero por una sucesión
acotada es una sucesión convergente a cero.
<
Supongamos que lKımfxn g D x y lKımfyn g D y. Entonces se verifica
>
≪
que:
≫
lKımfxn C yn g D x C y;
lKımfxn yn g D xy :
Si además suponemos que y ¤ 0, entonces lKımfxn =yn g D x=y.

i
?
P
Sucesiones parciales y valores de adherencia
Sea fxn g una sucesión; dada una aplicación W N ! N estrictamente
21/58
creciente, la sucesión que a cada número natural n hace corresponder el número real x.n/ se representa por fx .n/ g y se dice que es
una sucesión parcial o una subsucesión de fxn g.
Observa que fx.n/ g no es otra cosa que la composición de las apli-
<
>
caciones fxn g y , esto es, fx .n/ g D fxn g ı .
≪
Se dice que un número real x es un valor de adherencia de la
≫
sucesión fxn g si hay alguna sucesión parcial de fxn g que converge
a x.

i
?
P
Si lKımfxn gDx, toda sucesión parcial de fxn g también converge
22/58
a x. En particular, una sucesión convergente tiene como único
valor de adherencia su límite.
Como consecuencia de la proposición anterior, para probar que
una sucesión no converge, es suficiente probar que tiene algu<
na sucesión parcial no convergente o que tiene dos sucesiones
>
≪
parciales que convergen a límites diferentes.
≫
Por ejemplo, para la sucesión xn D . 1/n se tiene que x2n D 1
y x2n

1
D 1. Por tanto dicha sucesión no es convergente.
i
?
P
23/58
Teorema de Bolzano - Weierstrass
Toda sucesión acotada de números reales tiene alguna su<
cesión parcial convergente.
>
≪
≫

i
?
P
24/58
Teorema de completitud de R
Se dice que una sucesión fxn g satisface la condición de Cauchy, si para cada número positivo, " > 0, existe un número
natural m" , tal que para todos p; q 2 N con p > m" y q > m" se
verifica que jxp
<
xq j < ".
>
≪
Teorema de completitud de R Una sucesión de números reales
≫
es convergente si, y sólo si, verifica la condición de Cauchy.

i
?
P
25/58
Ejercicio
Dados 0 < a1 < b1 , definamos para todo n 2 N:
p
an C bn
; anC1 D an bn :
bnC1 D
2
<
Justifica que las sucesiones así definidas son monótonas y con-
>
vergen al mismo número (media aritmético-geométrica de a1
≪
y b1 ).
≫

i
?
P
26/58
Ejercicio
Estudia la convergencia de la sucesión:
p
xn D 2 n
n
X
1
p
k
kD1
<
>
≪
≫

i
?
P
Ejercicio teórico
27/58
Para cada n 2 N sea
1
1
xn D1C C C
2
n
log.n/;
yn D xn
1
:
n
Prueba que fxn g es estrictamente decreciente e fyn g es estrictamente creciente. Deduce que ambas sucesiones convergen a un mismo número. Dicho número se llama la
constante de Euler, se representa por la letra griega ”.
1 C 1=2 C C 1=n
D 1.
n!1
log.n/
1
1
1
b) Justifica que lKım
C
C C
D log 2:
n!1 n C 1
nC2
2n
(
)
nC1
1 1 1
. 1/
c) Justifica que lKım 1
C
C C
D log 2:
n!1
2 3 4
n
<
a) Deduce que lKım
>
≪
≫

i
?
P
Ejercicio
28/58
Estudia la convergencia de las siguientes sucesiones.
p
a) x1 D 1, xnC1 D 3xn .
3 C 3xn
.
b) x1 D 3, xnC1 D
3 C xn
c) Dado a > 0, definimos x1 D
d) x1 D 0, xnC1 D
1
3
p
a, xnC1 D
p
a C xn .
<
>
.
2
≪
xn
≫
1
a
e) Dado a > 0 y a ¤ 1, definimos x1 D a, xnC1 D
2xn C 2 .
3
xn

i
?
P
Sucesiones divergentes
29/58
Una sucesión fxn g se dice que es:
Positivamente divergente, y escribimos fxn g ! C1, si para todo
número real K > 0 existe un número natural mK 2 N, tal que para
todo n 2 N con n > mK se verifica que xn > K.
Negativamente divergente, y escribimos fxn g !
1, si para todo
<
número real K < 0 existe un número natural mK 2 N, tal que para
>
≪
todo n 2 N con n > mK se verifica que xn 6 K.
≫
Diremos que una sucesión es divergente para indicar que es positi-

vamente o negativamente divergente.
i
?
P
30/58
“Divergente” no es lo mismo que “No convergente”
<
>
≪
≫

i
?
P
Propiedades de las sucesiones divergentes
31/58
fjxn jg ! C∞ si, y sólo si, f1=xn g ! 0.
La suma de una sucesión positivamente divergente con una sucesión acotada es una sucesión positivamente divergente.
La suma de una sucesión positivamente divergente con una su-
<
>
cesión minorada es otra sucesión positivamente divergente. En
≪
≫
particular, la suma de dos sucesiones positivamente divergen-
tes es otra sucesión positivamente divergente.

i
?
P
32/58
Propiedades de las sucesiones divergentes
El producto de dos sucesiones positivamente divergentes es
otra sucesión positivamente divergente.
El producto de una sucesión positivamente divergente por una
<
>
sucesión que converge a un número positivo es otra sucesión
≪
≫
positivamente divergente.

i
?
P
Indeterminaciones
33/58
xn D 2n;
yn D nI
fxn C yn g D fng ! C∞
xn D n;
yn D 2nI
fxn C yn g D f ng !
xn D n C 1;
yn D nI
fxn C yn g D f1g ! 1
∞
xn D. 1/n Cn; yn D. 1/n nI fxn C yn g D f2. 1/ng
<
>
En consecuencia, las sucesiones del tipo fxn C yn g donde
≪
fxn g ! C∞, fyn g !
∞,
≫
requieren un estudio particular en cada
caso. Tales sucesiones suele decirse que son una indeterminación
del tipo “∞
∞”.

i
?
P
34/58
Indeterminaciones
Análogamente, si sabemos que fxn g ! 0 y que fyn g es divergente,
ello no proporciona ninguna información sobre el comportamiento
de la sucesión fxn yn g; la cual se dice que es una indeterminación
del tipo “ 0 ∞”. Las indeterminaciones que aparecen al estudiar el
<
>
cociente de dos sucesiones divergentes o de dos sucesiones que con-
≪
vergen a cero, las llamadas indeterminaciones de los tipos “∞=∞”,
≫
“ 0=0”, pueden reducirse a una indeterminación del tipo “ 0 ∞”.

i
?
P
35/58
Criterio de Stolz
Sea fyn g una sucesión positivamente divergente y estrictamente creciente y sea fxn g cualquier sucesión. Supongamos que
xnC1 xn
!L
ynC1 yn
donde
2 R , o L D C ∞, o L D
L
xn
! L:
que
yn
∞.
<
>
Entonces se verifica también
≪
≫

i
?
P
36/58
Criterio de la media aritmética
Supongamos que fan g ! L donde L es un número real, o
L D C ∞, o L D
∞.
Entonces se verifica que
a1 C a2 C C an
! L:
n
<
>
≪
≫

i
?
P
Criterio de la media geométrica
37/58
Supongamos que fan g ! L donde fan g es una sucesión de
números positivos y L es un número real o bien L D C∞.
Entonces se verifica que
˚p
n
a1 a2 : : : an ! L:
<
>
xnC1
Supongamos que
! L donde fxn g es una sucesión
xn
de números positivos y L es un número real o bien L D C∞.
p
Entonces se verifica que f n xn g ! L:
≪
≫

i
?
P
Sucesiones y límite funcional
Sea f W A ! R una función y sean a; L 2 R [ fC∞;
∞g.
38/58
Equivalen las afirmaciones:
a) lKım f .x/ D L.
x!a
b) Para toda sucesión fxn g de puntos de A tal que fxn g ! a
con xn ¤ a, se verifica que ff .xn /g ! L.
<
>
Una consecuencia inmediata de este resultado es que todo lí-
≪
≫
mite funcional que conozcas te va a permitir resolver muchos
límites de sucesiones. En particular, de la lista de límites básicos que debes conocer se deducen los siguientes resultados.

i
?
P
Límites que debes saber de memoria
39/58
Para toda sucesión fxn g ! 0 se verifica que:
sen xn
D1
n!1 xn
tg xn
lKım
D1
n!1 xn
1
xn sen xn
D
lKım
n!1
6
.xn / 3
lKım
arc sen xn
D1
n!1
xn
arc tg xn
lKım
D1
n!1
xn
.1 C xn /˛ 1
lKım
D˛
n!1
xn
lKım
cos xn
1
D
n!1
2
xn2
exn 1
lKım
D1
n!1
xn
log.1 C xn /
lKım
D1
n!1
xn
lKım
1
<
>
≪
1
tg xn xn
lKım
D
n!1
3
.xn /3
log.1 C xn /
lKım
n!1
xn2
xn
≫
1
D
2

i
?
P
Estrategia
Una estrategia para calcular límites de sucesiones consiste en convertir
40/58
el límite de la sucesión que tienes que calcular en un caso particular
de un límite funcional. El por qué de esta estrategia es que para calcular
límites de funciones disponemos de muchas más herramientas que las
que tenemos para trabajar directamente con sucesiones.
<
Según esta estrategia, para calcular el límite de una sucesión fyn g lo que
>
hay que hacer es relacionar dicho límite con un límite funcional. Debe-
≪
mos inventarnos una función, f , y una sucesión convergente, fxn g ! a,
≫
de forma que se tenga yn D f .xn /. Entonces, podemos asegurar que si
lKım f .x/ D ˛, también es lKımfyn g D ˛.
x!a

i
?
P
41/58
Ejemplos
Se trata de calcular el límite de las sucesiones:
log.n/
˛
a/ yn D p
; b/ yn D n sen.1=n/; c/ yn D n .1 C 1=n/ 1
n
n. n 1/
<
>
≪
≫

i
?
P
Continuidad y sucesiones
42/58
Sea f WA ! R una función y sea a 2 A. Equivalen las afirmaciones:
a) f es continua en a.
b) Para toda sucesión fxn g de puntos de A tal que fxn g ! a, se
verifica que ff .xn /g ! f .a/.
<
Podemos expresar este resultado como sigue: la continuidad per-
>
muta con el límite secuencial, esto es, si f es continua entonces:
≪
lKım f .xn / D f
n!1
lKım xn
≫
n!1

i
?
P
Sucesiones de exponenciales y logaritmos
43/58
fxn g ! x ” fexn g ! ex .
fxn g ! C1 ” fexn g ! C1.
fxn g ! 1 ” fexn g ! 0.
<
Para toda sucesión de números positivos fxn g se verifica que:
>
fxn g ! x > 0 ” flog.xn /g ! log x.
≪
fxn g ! C1 ” flog.xn /g ! C1.
fxn g ! 0 ” flog.xn /g ! 1.

≫
i
?
P
44/58
Sucesiones asintóticamente equivalentes
Diremos que fxn g es asintóticamente equivalente a fyn g, y
escribiremos simbólicamente fxn g fyn g, si fxn =yn g ! 1.
p
Por ejemplo, las sucesiones flog n g y fn. n n 1/g son asintó-
<
>
≪
ticamente equivalentes.
≫

i
?
P
Sucesiones asintóticamente equivalentes
Sean fxn g e fyn g sucesiones asintóticamente equivalentes y
45/58
fzn g una sucesión cualquiera. Se verifica que:
a) fxn zn g es convergente si, y sólo si, fyn zn g es convergente,
en cuyo caso ambas sucesiones tienen el mismo límite.
b) fxn zn g es divergente si, y sólo si, fyn zn g es divergente, en
<
>
cuyo caso ambas sucesiones son divergentes del mismo tipo.
≪
≫
En particular, fxn g es convergente (resp. divergente) si, y sólo
si, fyn g es convergente (resp. divergente), en cuyo caso ambas
tienen igual límite (resp. son divergentes del mismo tipo).

i
?
P
46/58
Observación
Es importante observar que en una suma de sucesiones no se
puede, en general, sustituir una sucesión por otra asintóticamente equivalente. Por ejemplo, si xn D n C1, yn D n C 1=n y
<
>
zn D n, es claro que fxn g fyn g pero fxn C zn g D f1gn2N no
≪
≫
es asintóticamente equivalente a fyn C zn g D f1=ng.

i
?
P
Sucesiones de potencias
47/58
xnyn D exp.yn log.xn //;
Es una indeterminación cuando fyn log.xn /g es una indeterminación del tipo “ 0 ∞”, lo que ocurre cuando:
<
>
1
a) fxn g ! 1, fjyn jg ! C∞ (indeterminación “1 ”)
≪
≫
b) fxn g ! C1, fyn g ! 0 (indeterminación “∞0 ”)
c) fxn g ! 0, fyn g ! 0 (indeterminación “ 0 0 ”)

i
?
P
Criterio de equivalencia logarítmica
Permite resolver en muchos casos las indeterminaciones “11 ”
48/58
y “ 0 1”.
Sean fxn g una sucesión de números positivos distintos de 1 que
converge a 1, fyn g una sucesión cualquiera y L un número real.
<
Entonces se tiene que:
yn
lKımfxn g
y
fxn n g
! C1 ” fyn .xn
y
fxn n g
! 0 ” fyn .xn
>
D e ” lKımfyn .xn
L
≪
1/g D L.
≫
1/g ! C1.
1/g ! 1.

i
?
P
49/58
Ejercicio
Sea ˛ >
1. Calcula el límite de la sucesión:
1˛ C 2˛ C 3˛ C C n˛
xn D
n˛C1
<
>
≪
≫

i
?
P
50/58
Ejercicio
Sea k 2 N, k > 2 y aj 2 R; 1 6 j 6 k. Calcula el límite de la
sucesión:
<
>
p
xn D k .n C a1 /.n C a2 / .n C ak /
≪
n
≫

i
?
P
51/58
Ejercicio
Sean a > 0, b > 0 y ˛; ˇ 2 R con ˛ C ˇ ¤ 0. Calcula el límite
de la sucesión:
<
!
p
n
p
n
n
˛ aCˇ b
xn D
˛Cˇ
>
≪
≫

i
?
P
52/58
Ejercicio
Sea p 2 N. Calcula el límite de la sucesión:
n
p=n
p=n
p=n 1 C 2 C 3 C C p
xn D
p
<
>
≪
≫

i
?
P
53/58
Ejercicio
Calcula el límite de la sucesión:
xn D n
1
1C 3
n log.1 C 1=n/
n
<
1
>
≪
≫

i
?
P
54/58
Ejercicio
Calcula el límite de la sucesión:
1
2
log 1 C C C
xn D
log.log n/
1
n
<
>
≪
≫

i
?
P
55/58
Ejercicio
Calcula el límite de la sucesión:
xn D log n
log.n C 1/
log n
n
<
1
>
≪
≫

i
?
P
56/58
Ejercicio
Sean p; q 2 N. Calcula el límite de la sucesión:
s
xn D
n
<
.pn/!
.q n/p n
>
≪
≫

i
?
P
57/58
Ejercicio
Calcula el límite de la sucesión:
p
n
e esen.1=n/
xn D n
1 n sen.1=n/
<
>
≪
≫

i
?
P
Ejercicio
Se considera la función f W RC ! R definida para todo x > 0
por f .x/ D log x
58/58
x C 2.
a) Prueba que f tiene exactamente dos ceros, ˛ y ˇ, con
˛ < 1 < ˇ.
b) Dado x1 2˛; ˇŒ, se define la siguiente sucesión por recu-
<
>
rrencia:
≪
≫
xnC1 D log xn C 2 ; 8n 2 N:
Prueba que fxn g es una sucesión monótona creciente y acotada que converge a ˇ.

i
?
P