6. Análisis estructural - Pàgina inicial de UPCommons

Análisis estructural
91
CAPÍTULO 6.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
6.1 INTRODUCCIÓN
En este apartado de la tesina, se tratará de conjugar la experiencia y los datos
recogidos durante la realización de la campaña experimental con las actuales
herramientas de análisis existentes, dando a conocer parte de la potencialidad de dichas
herramientas para el estudio de elementos de hormigón reforzados con fibras.
El presente capítulo abandona la línea experimental seguida hasta el momento y
presenta un programa de cálculo AESS (Análisis Evolutivo de Secciones Simétricas),
desarrollado por de la Fuente [36], con el que se reproducen los ensayos realizados en el
Laboratorio de Tecnología de Estructuras de la UPC.
El objetivo de este capítulo es, por tanto, presentar la respuesta estructural
sugerida por dicho programa, compararla con los resultados experimentales y valorar la
precisión con la que el programa es capaz de reproducir el ensayo y, consecuentemente,
estimar comportamientos con otras configuraciones de armadura y dosificaciones de
fibras. Para ello, el capítulo se estructura en tres partes.
En la primera parte se lleva a cabo la presentación del programa en el que se
detallan las hipótesis en las que se basa el propio programa para el cálculo, las diversas
aplicaciones que tiene el programa y también se describe brevemente el método de
trabajo seguido.
En la segunda parte se presentan los resultados obtenidos mediante la ejecución
del programa. En primer lugar se realiza una descripción de los pasos previos a la
consecución de los resultados (detallando la introducción de datos y la ejecución de las
Pablo Pujadas Álvarez
92
Capítulo 6
subrutinas). Seguidamente se presentan las gráficas de resultados para cada tipo de fibra
y dosificación obtenidas para dos modelos constitutivos, uno indirecto y otro directo.
En la tercera y última parte se valoran los resultados obtenidos mediante ambos
modelos y se analiza su ajuste a la realidad observada en el laboratorio, siempre
teniendo en cuenta los posibles condicionantes que hayan podido afectar a los
resultados registrados en el laboratorio.
6.2 AESS (ANÁLISIS EVOLUTIVO DE SECCIONES SIMÉTRICAS)
6.2.1 Introducción
AESS (Análisis evolutivo de secciones simétricas) es un programa de análisis no
lineal de secciones simples, compuestas y mixtas con configuraciones de materiales y
formas distintas, escrito en código MATLAB (MATrix LABoratory). El software
contiene los módulos necesarios para la verificación de los estados límite de servicio y
agotamiento, teniendo en cuenta los fenómenos diferidos, la construcción evolutiva y
las principales no linealidades de los materiales para llevar a cabo estas
comprobaciones.
El programa AESS contiene un conjunto de subrutinas que permite analizar una
amplia gama de secciones. Las secciones que se pretende analizar con el software
desarrollado cumplen las siguientes hipótesis:
-
Las secciones inicialmente planas antes de ser sometidas a una acción, continúan
siendo planas después de la aplicación de una carga o de una deformación
impuesta.
-
No se tiene en cuenta las deformaciones por tensiones tangenciales.
-
Se admite adherencia perfecta entre los materiales que constituyen la sección.
Ello es aplicable a distintas tipologías de armaduras (después de la inyección en
el caso de postensados adherentes) y a secciones construidas evolutivamente, ya
sea añadiendo hormigones u otros materiales.
-
Se considera que los esfuerzos se aplican en un plano de simetría de la sección,
originándose una situación de flexocompresión recta.
El algoritmo que calcula el estado tenso-deformacional de la sección para un par
de esfuerzos externos consiste en un esquema iterativo con control de fuerzas basado en
los algoritmos clásicos de búsqueda de ceros de funciones. En el mismo se imponen las
hipótesis básicas de equilibrio y compatibilidad.
Luego, el abanico de secciones y casuísticas que se pueden analizar es
amplísimo, dando una capacidad de cálculo y de estudios paramétricos importantes al
programa. Las aplicaciones de este programa son diversas:
En el caso que nos ocupa, el programa se aplica con el objetivo de reproducir los
ensayos realizados previamente en el Laboratorio de Tecnología de Estructuras de la
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno
Análisis estructural
93
UPC y obtener tanto los campos de deformaciones y curvaturas en los puntos de
integración como la evolución del ancho de fisura en la sección más desfavorable a lo
largo del proceso de carga.
Las principales características del modelo son las siguientes:
Empleo de cualquier tipo de sección compuesta por uno o varios materiales tipo
hormigón y acero (activo, pasivo, estructural), combinados bajo cualquier
configuración manteniendo un eje de simetría (flexión en un eje).
-
Discretización de la sección en fibras y puntos asignándoles el material y la
ecuación constitutiva correspondiente.
-
Resolución del problema de la construcción evolutiva y de los fenómenos
diferidos del hormigón mediante el esquema del método del coeficiente de
envejecimiento aplicado paso a paso.
-
Consideración de los principales fenómenos no lineal de los materiales y de la
sección: redistribución de esfuerzos, fisuración, abolladura, plastificaciones,
fluencia a altas tensiones.
-
Confección de diagramas Momento – Curvatura y de interacción Momento –
Axil.
-
Presentación de todos los resultados de forma interactiva apoyándose en gráficos
y listados (véase figura 6.1).
Total Force (KN)
300
200
100
0
0
20
40
60
Max Displacement (mm)
80
Max Bending Moment (KNm)
-
100
50
0
0
50
Max Curvature (1/Km)
100
3
Max crack with (mm)
Max Displacement (mm)
-3
0
-20
-40
-60
-80
0
1
2
Cross Section Position (m)
3
x 10
2
1
0
0
100
200
Total Force (KN)
300
Figura 6.1 Presentación resultados AESS (losas sin fibras, sólo armadura tradicional)
Pablo Pujadas Álvarez
94
Capítulo 6
6.2.2 Método de trabajo
Con el objetivo expuesto anteriormente, se ha desarrollado, ad hoc, una rutina
de cálculo para simular el comportamiento a flexión de una viga de hormigón armado
según la configuración presentada en el capítulo 4. Se ha desarrollado de tal manera que
admite un armado formado por barras, fibras o la combinación de ambos.
Salvo en el caso de las características del armado (características del acero,
número de barras y recubrimiento), la entrada de datos necesarios depende de la
ecuación constitutiva empleada para modelar el hormigón reforzado con fibras de acero,
es decir, de si la ecuación es indirecta o directa.
El primer procedimiento, basado en un análisis inverso, parte de unos resultados
obtenidos en unos ensayos a flexión. Éstos, mediante un estudio a nivel seccional,
permiten obtener unas leyes constitutivas a nivel material. Este planteamiento requiere
una campaña previa de tipo experimental, por lo que en proyecto resulta poco
operativo, a no ser que se adopte un diagrama de tipo general, que no precise cuál es la
especificidad de cada tipo y cuantía de fibra. Ello probablemente lleva a posiciones
muy conservadoras en numerosos casos, lo que reduce las ventajas estructurales que la
contribución de la fibra puede tener.
El planteamiento directo a través de una definición de una ecuación constitutiva
mediante un diagrama tensión deformación resulta muy interesante, si bien presenta un
grado de dificultad al tener que dar una función diferente para cada condición de
contorno, principalmente: tipo de hormigón, tipo de fibra y cuantía de fibra. Ello
requiere una campaña previa de contrastación de las formulaciones que se sugieran.
En este caso se trabaja con dos ecuaciones: modelo RILEM (modelo indirecto) y
modelo LARANJEIRA [39] (modelo directo) desarrollado en la UPC.
6.2.3 Rutina SimpleBeam
La rutina SimpleBeam se ha implementado para simular las condiciones de
ensayo en laboratorio con las placas de hormigón armado y reforzado con fibras. En
términos de análisis numérico, atendiendo a la simetría del problema, se pueden hacer
una serie de modificaciones en las condiciones de contorno con el fin de reducir la carga
numérica manteniendo la precisión deseada (milímetros). En la figura 6.2 se recoge el
esquema ideal de la pieza analizada con las variables empleadas para el análisis:
P
Mc = Pa
x
A
B
C
φc = 0
a
l/2
Figura 6.2 Idealización longitudinal de la placa a analizar
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno
Análisis estructural
95
El interés radica en conocer el campo de desplazamientos δ de la placa en los
puntos en que se extiende la discretización; en particular se pretende capturar el
desplazamiento del punto C, pues en esta coordenada es donde se produce la mayor
flecha. Para ello existen varias alternativas: elementos finitos, diferencias finitas,
método de rigidez, método de compatibilidad… si bien todos ellos requieren de un gran
esfuerzo inicial de implementación que no se aplica en este caso, pues el
comportamiento es altamente no lineal, sobretodo, para la etapa de pre – rotura.
Abordando el problema con otros métodos más sencillos pero sin duda más robustos en
este caso, se alcanzan resultados igual de precisos y con un esfuerzo tanto
computacional como numérico considerablemente menor. Este último hecho es
especialmente interesante porque se deben hacer varias hipótesis de trabajo y, por lo
tanto, varias ejecuciones del modelo, con la carga de tiempo que puede ello acarrear.
Entre las metodologías que conducen a la solución de la tarea perseguida se
encuentra la aplicación estricta de los teoremas de Mohr, tanto el primero, ec. 6.1, como
el segundo, ec 6.2:
 x    
x
K f x 
0
 x    A x  
M f x 
x
0
M f x 
K f x 
dx
(6.1)
 l 2  xdx
(6.2)
Donde:
Mf:
φ:
δ:
l:
Kf:
Es el momento flector.
Giro en la dirección ortogonal al plano que contiene la estructura.
Flecha en el plano de la estructura.
Longitud de la placa.
Rigidez a flexión.
Las ecuaciones 6.1 y 6.2 se pueden combinar para conducir a una ecuación
integral independiente del giro en el punto A 6.3:


 x    x   x dx    x  l 2  x dx
l/2
0
x
0
(6.3)
La ecuación 6.3 se expresa en términos del campo de curvaturas que, a la postre,
es la variable de control del algoritmo.
La ecuación integral 6.3 conduce a un campo de desplazamiento fruto de la
integración, mediante una cuadratura numérica (Simpson), de un campo de curvaturas
cualesquiera. Sin embargo, este campo de curvaturas debe ser compatible con las
condiciones de vinculación establecidas, el nivel de carga y la respuesta
tensodeformacional de la sección. En esta última premisa es dónde el modelo de análisis
seccional AESS toma las riendas del siguiente modo:
1.
Se fija una curvatura χ(x) en cada una de las secciones en las que se ha
discretizado el elemento lineal de la figura 6.2.
Pablo Pujadas Álvarez
96
Capítulo 6
2.
Fijada la curvatura χ(x) y el axil exterior, de valor 0 al tratarse de flexión pura, se
resuelve un sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de Newton –
Raphson, aplicado de forma incremental – iterativa, para obtener el plano de
deformaciones que responde a las condiciones impuestas.
3.
Se integra, aplicando las ecuaciones constitutivas elegidas, el plano de
deformaciones para obtener el momento M respuesta de la sección.
4.
Se calcula la fuerza exterior P que conduce a este estado tensodeformacional de
la pieza. La relación P – M es unívoca y se obtiene como P = MC/a.
Este proceso descrito anteriormente se repite incrementando, paso a paso, la
curvatura en una cantidad dχ que se fija al inicio del proceso incremental. El algoritmo
se detiene cuando el plano de deformaciones o, alternativamente, el par de esfuerzos
(N,M) de la sección más desfavorable interseca con el contorno del diagrama de
interacción de la sección más desfavorable.
Introducción de las
variables constitutivas
de los materiales
 Cargado variables constitutivas de la
sección.
Ejecución del modelo de
análisis seccional AESS
 Definición geométrica de la sección.
 Discretización de la sección.
 Obtención de los esfuerzos últimos de la
sección
 Cálculo paso a paso de la historia P – δ
y P – w de la losa con las condiciones
de carga y apoyo descritas.
Ejecución de la rutina
SimpleBeam
 La subrutina principal trabaja con un
algoritmo con control de las curvaturas
para capturar las pérdidas de rigidez
instantánea (snap – through).
Presentación parcial (en
cada paso) y global de
los resultados
Figura 6.3 Diagrama de flujo programa AESS
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno
Análisis estructural
97
6.2.4 Ecuación constitutiva
Modelo RILEM
Dado que se disponía de los datos de los ensayos normalizados realizados en los
laboratorios de Bélgica, se ha utilizado la ecuación constitutiva propuesta por la RILEM
para simular el ensayo realizado en el laboratorio de estructuras de la UPC. Para esta
ecuación hay que introducir los siguientes inputs:
-
Tensión de fisuración
Tensión asociada a fR,1
Deformación asociada a fR,1
Tensión asociada a fR,4
Deformación asociada a fR,4
La razón por la que se ha trabajado así es porque, sin duda, emplear los picos de
tensión obtenidos en el ensayo es más realista y reproduce mejor el comportamiento
genuino del material que utilizar los sugeridos en la norma para fR1..., que son semi –
empíricos e independientes de la edad de la probeta, dosificación, etc.
Nótese que alguno de estos valores han sido modificados ya que se debe tener en
cuenta el hecho de que el campo de tensiones normales no es preferentemente
unidireccional sino que tiene una componente transversal no despreciable (ancho de un
metro) y que conduce a una merma de los picos fRi obtenidos en el ensayo Belga.
Acudiendo a esta consideración se han obtenido las gráficas de carga-flecha y ancho de
fisura que, como se verá más adelante, se ajustan correctamente a las obtenidas en los
ensayos.
Modelo LARANJEIRA
El modelo LARANJEIRA es un modelo directo desarrollado en la UPC y que a
diferencia de los modelos indirectos no precisa realizar ensayos previos para obtener los
datos que se deben introducir. Para este modelo basta introducir la tensión de cedencia
de las fibras fy, el módulo de elasticidad Ey, la esbeltez, la densidad del material ρy
(todos ellos datos suministrados por el fabricante) y algunos datos de orientación y
eficiencia espacial de la fibra genuinos del modelo constitutivo.
Una de las principales ventajas del modelo directo respecto al indirecto es que
éste trabaja con variables constitutivas directamente relacionadas con el material
empleado, método de dosificación, forma de la fibra y proceso de fabricación, como las
comentadas anteriormente. Asimismo, no se requiere de una experimentación previa
para la tipificación del material sino que esta tarea se confía a los datos facilitados por el
fabricante de fibras y, por tanto, se obtienen los resultados deseados con un menor
coste económico y temporal.
6.3 ANÁLISIS ESTRUCUTRAL
Introducción de datos: parámetros del armado (características del acero, número
de barras y recubrimiento), parámetros generales del hormigón (resistencia
Pablo Pujadas Álvarez
98
Capítulo 6
característica del hormigón), parámetros de tracción del hormigón (ecuación
constitutiva a emplear en tracción, separación media entre fisuras) y los parámetros del
hormigón reforzado con fibras de acero (dependiendo si se trata del modelo RILEM o
LARANJEIRA se introducen los datos descritos en el apartado anterior).
Descripción de la sección:
Las características de las losas se especifican detalladamente en el capítulo 4 de
esta tesina, recordemos que la sección de dichas losas es de 1m x 0,2m. Se ejecuta la
subrutina de análisis seccional y se introduce la geometría de la sección.
Section Plot
Section Plot
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 6.4 Geometría de la sección y armadura concentrada en un punto
Resultados del análisis:
Haciendo uso de la técnica de los diagramas de pivotes y utilizando las
ecuaciones constitutivas correspondientes, se obtiene el diagrama de interacción de la
sección.
200
150
Bending (KNm)
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-2000 -1000
0
1000
2000 3000 4000
Axial (KN)
5000
6000
7000
8000
Figura 6.5 Diagrama de interacción de la sección synmix55 2,28kg/m3
Todos los pares de esfuerzos (N, M) que están dentro de la superficie de
interacción pueden ser resistidos por la sección pero para este caso concreto interesa
conocer un punto singular, el que corresponde a la flexión pura N= 0 con el que se
obtiene el Mu que puede ser resistido por la sección. A continuación se presentan las
gráficas obtenidas. (Verde para RILEM, rojo para Laranjeira y azul para la campaña
experimental).
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno
Análisis estructural
99
synmix55 (2,28Kg/m3)
250
Total Force (KN)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
Max Displacement (mm)
100
120
Figura 6.6 Curva carga-flecha para synmix55 2,28kg/m3
synmix55 (2,28Kg/m3)
4
3.5
Max crack with (mm)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
Total Force (KN)
200
250
Figura 6.7 Curva ancho de fisura-carga para synmix55 2,28kg/m3
RILEM
Tensión de fisuración (MPa)
Tensión asociada a fR,1
Deformación asociada a fR,1
Tensión asociada a fR,4
Deformación asociada a fR,4
Parámetros según
NORMATIVA
4,34
0,340
0,24%
0,130
2,5%
Parámetros
PROPUESTOS
0,400
0,320
0,170
0,144
10,5
Laranjeira
Esbeltez de la fibra
Orientación de las fibras
Eficiencia espacial
Coeficiente multiplicador
Factor de reducción
Tabla 6.1 Parámetros para losas con fibras synmix55 2,28kg/m3
Pablo Pujadas Álvarez
Parámetros
PROPUESTOS
70
15,5
0,5
1,5
0,1
100
Capítulo 6
synmix55 (4,55Kg/m3)
300
Total Force (KN)
250
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
Max Displacement (mm)
100
120
Figura 6.8 Curva carga-flecha para synmix55 4,55kg/m3
synmix55 (4,55Kg/m3)
5
4.5
Max crack with (mm)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
Total Force (KN)
200
250
300
Figura 6.9 Curva ancho de fisura-carga para synmix55 4,55kg/m3
RILEM
Tensión de fisuración (MPa)
Tensión asociada a fR,1
Deformación asociada a fR,1
Tensión asociada a fR,4
Deformación asociada a fR,4
Parámetros según
NORMATIVA
4,34
0,470
0,24%
0,325
2,5%
Parámetros
PROPUESTOS
0,540
0,400
0,170
0,144
10,5
Laranjeira
Esbeltez de la fibra
Orientación de las fibras
Eficiencia espacial
Coeficiente multiplicador
Factor de reducción
Tabla 6.2 Parámetros para losas con fibras synmix55 4,55kg/m3
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno
Parámetros
PROPUESTOS
70
25,5
0,4
1,5
0,1
Análisis estructural
101
strux90/40 (2,28Kg/m3)
250
Total Force (KN)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
Max Displacement (mm)
100
120
Figura 6.10 Curva carga-flecha para strux90/40 2,28kg/m3
strux90/40 (2,28Kg/m3)
6
Max crack with (mm)
5
4
3
2
1
0
0
50
100
150
Total Force (KN)
200
250
Figura 6.11 Curva ancho de fisura-carga para strux90/40 2,28kg/m3
RILEM
Tensión de fisuración (MPa)
Tensión asociada a fR,1
Deformación asociada a fR,1
Tensión asociada a fR,4
Deformación asociada a fR,4
Parámetros según
NORMATIVA
4,340
0,520
0,24%
0,320
2,5%
Parámetros
PROPUESTOS
0,250
0,250
0,350
0,200
15,5
Laranjeira
Esbeltez de la fibra
Orientación de las fibras
Eficiencia espacial
Coeficiente multiplicador
Factor de reducción
Tabla 6.3 Parámetros para losas con fibras strux90/40 2,28kg/m3
Pablo Pujadas Álvarez
Parámetros
PROPUESTOS
90
22,5
0,15
1,5
0,1
102
Capítulo 6
strux90/40 (4,55Kg/m3)
250
Total Force (KN)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
Max Displacement (mm)
100
120
Figura 6.12 Curva carga-flecha para strux90/40 4,55kg/m3
strux90/40 (4,55Kg/m3)
5
4.5
Max crack with (mm)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
Total Force (KN)
200
250
Figura 6.13 Curva ancho de fisura-carga para strux90/40 2,28kg/m3
RILEM
Tensión de fisuración (MPa)
Tensión asociada a fR,1
Deformación asociada a fR,1
Tensión asociada a fR,4
Deformación asociada a fR,4
Parámetros según
NORMATIVA
4,340
0,720
0,24%
0,320
2,5%
Parámetros
PROPUESTOS
0,450
0,450
0,170
0,400
15,5
Laranjeira
Esbeltez de la fibra
Orientación de las fibras
Eficiencia espacial
Coeficiente multiplicador
Factor de reducción
Tabla 6.4 Parámetros para losas con fibras synmix55 4,55kg/m3
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno
Parámetros
PROPUESTOS
90
45,5
0,25
1,5
0,1
Análisis estructural
103
6.4 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Tal y como se aprecia en las figuras anteriormente presentadas, la herramienta
de cálculo utilizada proporciona valores prácticamente idénticos a los obtenidos en los
ensayos. Por tanto, el programa simula a la perfección el comportamiento de cualquier
elemento independientemente del tipo de fibra y dosificación.
Cabe mencionar sin embargo que las tensiones introducidas como inputs no son
exactamente las propuestas por el RILEM por ser éstas excesivamente conservadoras.
Sin embargo, nótese que los inputs propuestos son apreciablemente inferiores a los
recomendados por el RILEM. Esto es debido, tal y como ya se ha comentado, a la
considerable distorsión que se produce a consecuencia del efecto bidireccional que
supone trabajar con elementos tipo losa, relación l/b<4 (las recomendaciones del
RILEM son para vigas y no para losas).
Asimismo, tal como se reproduce en los ensayos, parece que existe una prefisuración de la losa, quizás debida al impacto dinámico durante el transporte o a las
operaciones de izado del elemento. Nótese que ya en el capítulo 5 (Análisis de los
resultados experimentales) se apuntó esta hipótesis.
Pablo Pujadas Álvarez
104
Capítulo 6
Durabilidad del hormigón con fibras de polipropileno