1.4 Teorema de existencia y unicidad

1.4 Teorema de existencia y unicidad
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1.4 Teorema de existencia y unicidad
Teorema 1.4.1 Suponiendo que tenemos una función de valores reales que depende de 2
variables, f ( x, y ) , contínua en alguna región del plano ( x, y ) , al cual pertenece el punto
( xo , yo ) . [11]
Dado un problema de valor inicial
dy
= f ( x, y )
dx
(1)
Con condiciones iniciales
y ( xo ) = yo
(2)
Suponiendo que f y su derivada parcial con respecto a y , son contínuas en un rectángulo
R , donde R = {( x, y ) | a < x < b, c < y < b} es decir (a, b) .
Conteniendo al punto ( xo , yo ) indicado en (2), entonces el problema de valor inicial tiene
una solución única f ( x) en algún intervalo xo − ∂ < x < xo + ∂ donde ∂ es un número
positivo. [13]
El teorema indica dos puntos importantes
a).- Si una ecuación satisface la hipótesis del teorema anterior se tiene la certeza de que la
solución al problema de valor inicial existe.
b).- Si se satisfacen las hipótesis existe una solución única del problema con valor inicial
O sea, si el problema tiene solución, esa solución es única para el problema con valor
inicial, es decir, en una ecuación de primer orden no puede ocurrir que se crucen dos
soluciones en el rectángulo indicado por el rango de valores xo − ∂ < x < xo + ∂ . [11]
En el siguiente ejemplo deberíamos de aceptar que existe solución y que además es única?
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres
1.4 Teorema de existencia y unicidad
Ejemplo 1.4.1 Siendo
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dy
= t 2 − ty 3 con condiciones iniciales y (1) = 6
dt
Teniendo la función que depende de dos variables
f (t , y ) = t 2 − ty 3
(3)
Y su derivada parcial como
∂f
= −3ty 2
∂y
(4)
Las funciones (3) y (4) son contínuas en cualquier rectángulo que contenga al punto (1, 6)
de modo que cumple con la hipótesis del teorema, el problema de valor inicial tiene una
solución en un intervalo con centro x = 1 de la forma 1 − ∂ < x < 1 + ∂
Lo cual no ocurre en el siguiente ejemplo.
2
dy
Ejemplo 1.4.2 Siendo
= 3 y 3 con valores iniciales y (2) = 0 , teniendo la función
dx
que depende de dos variables
f ( x, y ) = 3 y
2
3
(5)
Su derivada parcial como
1
−
∂f
= 2y 3
∂y
(6)
Observamos que la derivada parcial no es continua para el valor de y = 0 por lo que no
existe rectángulo que contenga al punto (2, 0) donde la función y su derivada sean
contínuas, de modo que no cumple con la hipótesis del teorema, y no se puede utilizar para
determinar si el problema de valor inicial tiene una solución única o no.
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Amalia C. Aguirre Parres
1.4 Teorema de existencia y unicidad
Ejemplo 1.4.3 Suponiendo
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dy
y
= 2 con condiciones iniciales y (−1) = 1 ,
dx
x
Teniendo la función que depende de dos variables
f ( x, y ) = 2
y
x
(7)
Su derivada parcial como
∂f
= −2 x −1
∂y
(8)
Podemos observar que las funciones (7) y (8) son continuas para todos los valores excepto
en x = 0 , por lo tanto tiene solución única en algún punto de la región en donde x ≠ 0 .
Como también podemos presuponer fácilmente como solución y = cx 2
Sustituyendo los valores iniciales tenemos 1 = c(−12 ) , o sea el valor de c = 1 , sabiendo
que x ≠ 0 , manejamos dos regiones, para valores positivos y negativos de x , hay que
notar que la solución es continua para cualquier valor de x .
Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas
Amalia C. Aguirre Parres