transparencias - Página personal de César Ignacio García Osorio

P(a)
P(a)
x
x
Normalización
■ Introducción
■ Formas
P(a)
César Ignacio
García Osorio
P(a)
x
normales en lógica de proposiciones.
❚ Forma normal disyuntiva.
❚ Forma normal conjuntiva.
❚ Forma normal clausulada.
■ Formas normales en lógica de predicados.
❚ Forma normal prenexa.
❚ Forma normal de Skolem.
❚ Forma normal clausulada.
x
Formas normales
1
P(a)
Introducción
■A
menudo es necesario transformar una fórmula en otra,
sobre todo transformar una fórmula a su “forma normal”.
Esto se consigue transformando la fórmula en otra
equivalente y repitiendo el proceso hasta conseguir la
forma deseada.
■ En estos transparencias se dan las reglas necesarias para
transformar sintácticamente una fórmula en una forma
normal más adecuada para la demostración automática y
que conserva la semántica de la fórmula original.
■ Por ejemplo se pueden usar estas reglas para derivar la
fórmula a partir de otra dada comprobando así la
inconsistencia de la fórmula original.
César Ignacio
García Osorio
Formas normales
César Ignacio
García Osorio
■
■
■
3
x
Formas normales
2
Introducción
Gracias a las leyes asociativas los paréntesis en (F ∨ (G ∨ H)) o en
((F ∨ G) ∨ H) pueden eliminarse, es decir, se será posible escribir
(F ∨ G ∨ H).
En general se va a poder escribir sin ambigüedad una fórmula D =
(F1 ∨ F2 ∨ ... ∨ Fn) donde F1, F2, ..., Fn son fórmulas. La fórmula D
es cierta cuando lo es al menos una de las Fi, en caso contrario D es
falsa. La fórmula D recibe el nombre de disyunción de las fórmulas
F1, F2, ..., Fn.
De modo análogo se puede escribir C = (F1 ∧ F2 ∧ ... ∧ Fn) que es
cierta cuando lo son F1, F2, ..., Fn, si alguna de las Fi es falsa
también lo es C. La fórmula C se llama conjunción de F1, F2, ..., Fn.
El orden en que aparecen los Fi es indiferente debido a la ley
conmutativa.
César Ignacio
García Osorio
Formas normales
4
P(a)
■
■
■
x
■
Literal, literales complementarios, par complementario: Un
literal es un átomo o la negación de un átomo. Si P, Q, R son
átomos P, ¬P, Q, ¬ Q, R, ¬ R son literales. Dos literales l y l′ son
complementarios si y sólo si l = ¬ l ′. Al conjunto { l, ¬ l ′} se
llama par complementario
Forma normal disyuntiva: Una fórmula F se dice que esta en
forma normal disyuntiva si y sólo si F es de la forma (F1∨F2∨...Fn),
donde cada Fi es una conjunción de literales.
Forma normal conjuntiva: Una fórmula F se dice que esta en
forma normal conjuntiva si y sólo si F es de la forma (F1∧F2∧...Fn),
donde cada Fi es una disyunción de literales.
César Ignacio
García Osorio
P(a)
■
P(a)
Formas normales en lógica de
proposiciones
x
Formas normales
■
■
5
Método de transformación
1 Usar las leyes:
Formas normales en lógica de
proposiciones
Cláusula, cláusula unitaria, cláusula vacía: Una cláusula es una
disyunción de cero o más literales. A veces se utiliza un conjunto de
literales como equivalente a una cláusula suponiendo la disyunción
entre los literales del conjunto. Cuando la cláusula tiene un único
literal se llama cláusula unitaria. Cuando no contiene ningún literal
cláusula vacía, como la cláusula vacía no tiene ningún literal no
puede ser satisfecha por ninguna interpretación, la cláusula vacía es
siempre falsa y se representa al igual que la fórmula siempre falsa
por !.
Forma normal clausulada: Una forma clausulada es un conjunto
de cláusulas entre las que se supone la conjunción1.
Cualquier fórmula se puede transformar en una forma normal. Esta
transformación se lleva a cabo mediante la aplicación de las leyes de
equivalencias.
César Ignacio
García Osorio
P(a)
Formas normales en lógica de
proposiciones
x
x
Formas normales
6
Formas normales en lógica de
predicados
normal prenexa: Una fórmula F de la lógica de
predicados se dice que esta en forma normal prenexa si y
sólo si la F tiene la forma:
■ Forma
(L1) F↔G = (F→G)∧(G→F) y (L2) F→G=¬F∨G
para eliminar las conectivas lógicas ↔ y →.
2 Usar repetidamente la ley
(Q1x1)(Q2x2)··· (Qnxn) M[x1, x2, ..., xn]
(L10) ¬(¬F) = F
donde los Qi son cuantificadores: o bien ∃ o bien ∀, y
M[x1, x2, ..., xn] es una fórmula que no contiene
cuantificadores cuyas únicas variables (que son libres) son
x1, x2, ..., xn. (Q1x1)(Q2x2)··· (Qnxn) se llama prefijo y a M
se le llama matriz de la fórmula F.
y las leyes de De Morgan:
(L11.a) ¬(F∧H) = ¬F∨¬G y (L11.b) ¬(F∨H)=¬F∧¬G
para disminuir el alcance de la negación a un único literal.
3 Usar de forma repetida las leyes distributivas:
(L5.a) F∧(G∨H)=(F∧G)∨(F∧H) y (L5.b) F∨(G∧H)=(F∨G)∧(F∨H)
y las otras leyes para obtener la forma normal.
César Ignacio
García Osorio
Formas normales
7
César Ignacio
García Osorio
Formas normales
8
P(a)
■
P(a)
FN en lógica de predicados:
FNP
x
las variables ligadas si fuese necesario (para poder
aplicar las leyes L15).
4 Usar las leyes
las leyes
(L1) F↔G = (F→G) ∧ (G→F) y (L2) F→G = ¬F ∨ G
(L12.a) G∨ (Qx)F[x] =(Qx)(G∨F[x])
(L12.b) G ∧ (Qx)F[x] = (Qx)(G ∧ F[x])
(L14.a) (∀x)F[x] ∧ (∀x)H[x] = (∀x)(F[x] ∧ H[x])
(L14.b) (∃x)F[x] ∨ (∃x)H[x] = (∃x)(F[x] ∨ H[x])
(L15.a) (Q1x)F[x] ∨ (Q2x)H[x] = (Q1x)(Q2z)(F[x] ∨ H[z])
(L15.b) (Q3x)F[x] ∧ (Q4x)H[x] = (Q3x)(Q4z)(F[x] ∧ H[z])
para eliminar las conectivas lógicas ↔ y →.
2 Usar repetidamente la ley
(L10)
¬(¬F) = F
las leyes de De Morgan:
(L11.a) ¬(F ∨ H) = ¬F ∧ ¬G y (L11.b)
¬(F ∧ H) = ¬F ∨ ¬G
para mover los cuantificadores a la izquierda de la fórmula para
obtener la forma normal prenexa. En este último paso es
conveniente cuando que los cuantificadores existenciales queden
lo más a la izquierda posible. Los motivos de esto se verán más
adelante (cuando se introduzca el concepto de funciones de
Skolen).
y las leyes
(L13.a) ¬(∀x)F[x] = (∃x)(¬F[x]) y (L13.b) ¬((∃x)F[x]) = (∀x)(¬F[x])
para llevar los signos de negación inmediatamente delante de los
átomos.
César Ignacio
García Osorio
P(a)
■
■
■
x
Formas normales
9
Sean Qs1, Qs2, ..., Qsm todos los cuantificadores universales que
aparecen delante de Qr (1 ≤ S1 < S2 ... Sm < r ).
• elegir una función m-aria fr que no ocurra en M.
• reemplazar todas las ocurrencias de xr en M por fr(s1, s2, ..., sm).
César Ignacio
García Osorio
Formas normales
César Ignacio
García Osorio
P(a)
FN en lógica de predicados:
FN de Skolem
Sea G una fórmula que ya está en forma normal prenexa (Q1x1)(Q2x2)
... (Qnxn)M[x1, x2, ..., xn], donde M(x1, x2, ..., xn) está en forma normal
conjuntiva.
Sea Qr un cuantificador existencial del prefijo (1≤r≤n).
Qr se elimina del prefijo y se realizan los siguientes cambios:
❚ No hay ningún cuantificador universal delante de Qr.
• elegir una constate c que no ocurra en M.
• reemplazar todas las ocurrencias de xr en M por c.
❚
FN en lógica de predicados:
FNP
3 Renombrar
Transformación de una fórmula a su forma normal prenexa.
1 Usar
x
11
x
Formas normales
10
FN en lógica de predicados:
FNS y forma clausulada
Sea G una sentencia y Gs su forma estándar de
Skolem. G es inconsistente si y sólo si Gs es inconsistente.
■ La forma clausulada para la lógica de predicados se define
como para la lógica de proposiciones.
■ Teorema:
❚
❚
❚
❚
Literal: En lógica de predicados será un átomo o su negación.
Cláusula: Disyunción de literales.
Forma normal conjuntiva: Conjunción de cláusulas.
Forma clausulada: Conjunto de cláusulas entre las que se
supone la conjunción y se asume que todas las variables están
cuantificadas universalmente. Los pasos de obtención son:
1 obtener la FNP
2 obtener la FNS
3 poner la matriz en FNC
El conjunto de cláusulas obtenido es inconsistente sii la sentencia
original es inconsistente.
César Ignacio
García Osorio
Formas normales
12