PROGRAMACIÓN LINEAL (2014-15) Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones en el plano y determinar los vértices de la región factible: r1 : 2 x 3 y 600 r2 : x y 500 1) r3 : 2 x y 400 r : x 0 4 r5 : y 0 r1 : 3 x 2y 30 r2 : 3 x 4 y 48 2) r3 : 30 x 10 y 240 r : x 0 4 r5 : y 0 r1: 2 x y 90 r2 : x 2y 90 3) r3 : x y 70 r : x 0 4 r5 : y 0 r1 : x 2y 9 r2 : 3 x 2y 12 4) r3 : 4 x 2y 24 r : x 0 4 r5 : y 0 r1 : 4 x 6 y 120 r2 : 2 x 2 y 56 5) r3 : 1,5 x y 24 r : x 0 4 r5 : y 0 r1 : x 50 r2 : y 25 6) r : x y 75 3 2 2 x y r4 : 25 8 4 1) 2) 2) 5) 4) 6) 1. Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren sacar a la oferta 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos, empaquetándolos de dos formas distintas: en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6,50 y 7,00 euros, respectivamente. ¿Cuántos paquetes les conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? a) Escribir el problema de programación lineal. b) Resolverlo gráficamente. Sol.: 150 paquetes del primer tipo y 100 del segundo tipo. Unos beneficios de 1675,00 €. 2. La Consejería de Sanidad del Gobierno de Canarias dispone de 30 médicos, 48 enfermeras y 240 millones de pesetas para construir centros asistenciales en los barrios de Guanarteme y de Escaleritas. Los requerimientos de cada centro vienen dados por la siguiente tabla: Zonas Médicos Enfermeras Millones Guanarteme 3 3 30 Escaleritas 2 4 10 Si las autoridades consideran prioritario prestar atención sanitaria al mayor número de personas y, además, si en cada centro de Guanarteme se proporciona asistencia a 1500 personas (de media) y cada centro de Escaleritas puede atender a 600 personas de media, ¿cuántos centros hay que poner en cada barrio? PAU-J00 Sol.: 6 centros en ambos barrios. 3. En una fábrica de piensos se utilizan tres ingredientes, A, B y C, para la elaboración de alimento para el ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de pienso M 1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, y una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M1, se vende a 1200 € y cada una de M2 a 1000 €, ¿cuántas toneladas de cada pienso M1 y M2 deben facturarse para obtener un beneficio máximo? Sol.: 30 toneladas de cada pienso; con unos ingresos de 66000 €. 4. Una compañía petrolífera necesita 9 t, 12 t y 24 t de crudo de calidad alta, media y baja, respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente 1 t, 3 t y 4 t de petróleo de calidades alta, media y baja, respectivamente. La refinería B produce 2 t de cada una de las tres calidades. El gasto diario de cada una de las refinerías es de 12 000 €. ¿Cuántos días debe trabajar cada refinería para que el gasto sea mínimo? Sol.: 5 días con la refinería A y 2 días con la refinería B. 5. La fábrica de papel [email protected] en la que trabajan diariamente 120 operarios, produce papel de escritura y de ordenador. Para fabricar una tonelada (T) de papel de escritura se necesita el trabajo diario de 4 operarios, mientras que para fabricar 1 T de papel de ordenador se requiere el trabajo diario de 6 operarios. Para fabricar 1 T de papel, sea del tipo que sea, se utiliza 2 T de madera, pero la papelera sólo dispone diariamente de 56 T de madera. La papelera está situada cerca de un río que suministra el agua necesaria en todo el proceso de producción. Este es un proceso altamente contaminante, la fabricación de 1 T de papel de escritura vierte 1,5 kg de clorina en el río, y en el caso del papel para ordenador esta cifra es de 1 kg de clorina. Si la ley establece un vertido máximo de 24 kg de clorina diario, el beneficio neto por fabricar 1 T de papel es de 960 € si es de escritura, y de 1600 € si es de ordenador, determina la cantidad de papel de ordenador y de escritura que debería fabricar la papelera para maximizar sus beneficios. Sol.: Sólo 20 toneladas de papel de ordenador. 6. Mario´s Pizza es un productor de pizzas congeladas de dos tipos A y B. Obtiene un beneficio de 1 € por cada pizza A que produzca y 1,50 € por cada pizza de tipo B. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno, según se indica en el siguiente cuadro: Pasta de Mezcla de Beneficio harina relleno Pizza A 1/2 kg 1/8 kg 1€ Pizza B 1/2 kg 1/4 kg 1,50 € Un día cualquiera, se dispone de un máximo de 75 kg de pasta de harina y de 25 kg de mezcla de relleno y según los pedidos anteriores Mario´s debe vender diariamente por lo menos 50 pizzas de tipo A y por lo menos 25 pizzas de tipo B. ¿Cuántas pizzas A y B deberá fabricar diariamente para maximizar los beneficios? Calcular dichos beneficios. Sol.: 100 pizzas tipo A y 50 del tipo B. Los beneficios ascienden a 175 €.