T-4 Div. y fact. de polinomios

Colegio “La Inmaculada”
Misioneras Seculares de Jesús Obrero
Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid.
Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96
e-mail: [email protected]
Área de Matemáticas
Académicas
3º de ESO
Apuntes de Área
TEMA 4 – DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN DE
POLINOMIOS
. Objetivos / Criterios de evaluación
O.6.1 Realizar correctamente la división de polinomios, método tradicional y Ruffini
O.6.2 Conocer y saber aplicar los teoremas del factor y del resto
O.6.3 Saber factorizar polinomios calculando sus raíces.
O.7.1 Identificar fracciones algebraicas y saber simplificarlas y calcular su valor numérico.
O.7.2 Realizar correctamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de fracciones
algebraicas
O.7.3 Identificar expresiones radicales, saber simplificarlas y calcular su valor numérico.
O.7.4 Realizar operaciones sencillas con expresiones radicales.
O.7.5 Saber racionalizar fracciones radicales sencillas.
1 División de monomios y polinomios (Página 72)
División entre monomios: para dividir dos monomios se dividen por separado el signo, la parte
numérica y la parte literal restando los exponentes. Si el grado de cada letra es mayor o igual en el
numerador que en el denominador, el resultado es otro monomio, en caso contrario quedarán
exponentes negativos lo que significará que el resultado no es un monomio.
División de un polinomio entre un monomio: para dividir un polinomio entre un monomio se
divide cada monomio del polinomio entre el monomio divisor.
División de un polinomio entre otro polinomio: para dividir dos polinomios entre sí se siguen
los siguientes pasos:
Paso 1 : Se coloca el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encuadrado en el signo de
dividir, ambos deben estar debidamente ordenados por monomios de mayor a menor grado.
Paso 2: Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor y se
coloca el resultado en el cociente.
Paso 3: se multiplica el monomio colocado en el cociente por cada uno de los monomios del
divisor y se coloca el resultado debajo de los monomios del dividendo semejantes, cambiado de
signo para proceder a su resta.
Paso 4: se restan del dividendo los monomios que han ido colocándose calculándose un nuevo
dividendo.
Paso 5: se repiten los pasos 2 a 4 tantas veces como sea posible hasta que el grado del
dividendo sea menor que el grado del divisor. En este caso el dividendo resultante será el resto de
la división.
2. Regla de Ruffini (Página 74)
Para dividir un polinomio cualquiera en x entre un binomio que tenga la forma (x-a) se puede
utilizar la regla de Ruffini.
Paso 1: se identifica “a”.
Tema 4 – División y factorización de polinomios
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Paso 2: se escriben todos los coeficientes del polinomio dividendo, incluso aquellos que valgan
cero.
Paso 3: se baja el primer coeficiente.
Paso 4: se multiplica el primer coeficiente por “a” y se coloca el resultado bajo el siguiente
coeficiente.
Paso 5: se suma el resultado al coeficiente de arriba y se baja el resultado.
Paso 6: se repiten los pasos 4 y 5 mientras queden coeficientes disponibles.
Paso 7: el último número que quede debajo es el resto de la división.
Paso 8: se reconstruye el polinomio cociente añadiendo la parte literal correspondiente a cada
monomio.
http://ima.ucv.cl/mapoyo/polinomios.htm
3. Teoremas del Resto y del Factor (Página 76)
Teorema del Resto: El resto de dividir un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) puede
obtener calculando el valor numérico del polinomio para x=a.
Teorema del Factor: Si el valor numérico de un polinomio para x=a es cero, el polinomio es
divisible entre el binomio (x-a).
4 Cálculo de raíces. Factorización (Página 78)
Def. Raíz de un polinomio son los resultados de la ecuación P(x)=0. También son los valores “a”
tales que P(x) es divisible entre (x-a).
Teorema fundamental del álgebra: Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.
Def. Factorizar un polinomio en x es convertirlo en producto de polinomios más sencillos. Es útil
para simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones y otros problemas matemáticos.
Para factorizar un polinomio se deben buscar todas las raíces enteras posibles del mismo.
Cuando un polinomio no se puede descomponer en factores, se dice que es un polinomio
irreducible.
5. Método de factorización (Página 78)
Paso 1: Se saca factor común a todos los factores posibles, tanto coeficientes como variables.
Paso 2: Cálculo del número máximo de raíces: coincide con el grado del polinomio.
Paso 3: Cálculo de las posibles raíces: que son los divisores enteros del término independiente.
Paso 4: Cálculo de las raíces: se prueban las distintas posibles raíces utilizando el método de
Ruffini y se descartan aquellas que no den como resto cero, seleccionando las que sí.
Tema 6 – División de polinomios. Raíces
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Paso 5: Factorización: se factoriza el polinomio con factores del tipo (x-a) siendo a cada una de
las raíces útiles seleccionadas. El último factor es el cociente de la última división realizada con
resto cero.
6. Fracciones algebraicas (Página 80)
Def. Fracción algebraica: es el cociente indicado entre dos polinomios. El denominador
no puede valer cero.
Def. Valor numérico: de una fracción algebraica es el resultado de sustituir las variables
de los polinomios numerador y denominador por valores determinados.
Def. Fracciones algebraicas equivalentes: son aquellas que tienen el mismo valor
numérico para cualesquiera valores por los que se sustituyan las variables.
Simplificar una fracción algebraica es encontrar otra equivalente más sencilla. Se
realiza dividiendo numerador y denominador por el mismo polinomio no nulo.
Def. Fracción Irreducible es aquella que no puede simplificarse.
7. Operaciones con fracciones algebraicas (Página 82)
Para operar con fracciones algebraicas se actúa de la misma manera que si las
fracciones fueran numéricas.
Para calcular el mínimo común múltiplo de varias expresiones algebraicas, se
factorizan las expresiones algebraicas y se toman los factores comunes y no comunes
con el mayor exponente.
Para sumar o restar fracciones algebraicas se calcula el denominador común y se
suman o restan los numeradores.
Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y los
denominadores entre si.
Para dividir fracciones algebraicas se multiplica el numerador de la primera por el
denominador de la segunda y se coloca en el numerador resultado. Se multiplica también
el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en
el denominador del resultado.
Tema 4 – División y factorización de polinomios