Bernoulli: aplicaciones de la ecuación

Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
Introducción:
La ecuación de Bernoulli es uno de los pilares fundamentales de la hidrodinámica; son innumerables los
problemas prácticos que se resuelven con ella:
• se determina la altura a que debe instalarse una bomba
• es necesaria para el calculo de la altura útil o efectiva en una bomba
• se estudia el problema de la cavitación con ella
• se estudia el tubo de aspiración de una turbina
• interviene en el calculo de tuberías de casi cualquier tipo
Salida por un orificio: ecuación de Torricelli
El deposito de la figura contiene un liquido, y tiene en la parte inferior un orificio (O) provisto de una tubería
(T) que termina en una válvula (V):
• la superficie libre del deposito se mantiene a una altura (H) constante con relación al plano de
referencia (Z = 0) gracias a que en el deposito entra un caudal (Q) igual al que sale por la tubería
• el área de la superficie libre es suficientemente grande para que pueda considerarse la velocidad del
fluido (V1 = 0)
• en el punto 1, la energía geodesica (Z1 = H)
• se despreciaran las perdidas
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Ecuación de Torricelli: V = V2 =
Apliquemos entre los puntos 1 y 2 la ecuación de Bernoulli:
P1/Pg + Z1 + V21/ = P2/Pg + Z2 + V22/ 2g
O sea
O + H + O = O + O + V22/ 2g
Porque en 1 y 2 reina la presión atmosférica o barométrica que es igual a O (presión relativa)
Esta velocidad:
• es igual a la que adquiriría una partícula de fluido al caer desde una altura H.
• Es independiente del peso especifico del fluido.
• Es la velocidad teórica de salida en condiciones ideales
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Tubo de Pitot
El tubo de Pitot fue ideado para medir la presión total, también llamada presion de estancamiento (suma de la
presión estática y la dinámica)
P1 = Pt = P0 + V20
Pg Pg Pg 2g
Pt : presion total o de estancamiento
P0, V0 : presion y velocidad de la corriente imperturbada
Presion total o de estancamiento: Pt = Pg (l)
Donde: Pt = P0 + P V20
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Instrumentación de medida de velocidades
Entre los instrumentos para medir la velocidad de un fluido, figura el tubo de Prandtl, cuyo fundamento es la
ecuación de Bernoulli.
Es una combinación del tubo de Pitot y un tubo piezometrico; el de Pitot mide la presion total, el piezometrico
mide la presion estática, y el tubo de Prandtl mide la diferencia entre las dos, que es la presion dinámica.
Al ser introducido en el fluido produce una perturbación, que se traduce en la formación en 1 de un punto de
estancamiento, así:
P1 = Pt V1 = 0
Por ser el tubo muy fino y estar la corriente en 2 prácticamente normalizada después de la perturbación en 1,
se tendrá, despreciando también las perdidas:
V2 = Vot
P2 = Po
Vot : velocidad teórica en la sección O
Ecuación de Bernoulli entre 0 y 1 (Z0 = z1, V1 = 0 − punto de estancamiento):
P0 + P Vot2 = P1
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y según Ecs. P1 − P2 = p Vot2
yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, se podrá aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática:
P1 = P2 + pga + pmgl − pgl − pga
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Se deduce finalmente:
P V2ot = (pm − p) g l
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despejando:
Vot = 2g(pm −p) l
P
Anemómetro de eje vertical
El fundamento de este instrumento es el siguiente: cuatro casquetes esféricos están dispuestos en los extremos
de una cruceta, que puede girar libremente. Se comprueba que la resistencia al aire en la parte cóncava es
aproximadamente tres veces mayor que en la convexa, lo que da origen a un par de giro. La velocidad del
viento es aproximadamente proporcional al numero de revoluciones de la cruceta.
Anemómetro de eje horizontal
El anemómetro de paletas, no es mas que una turbina hélice accionada por el viento, que puede girar
libremente en el interior de una caja cilíndrica. La velocidad del aire es aproximadamente proporcional y en
todo caso, función del numero de revoluciones.
Molinete hidráulico
Consiste en una hélice de 6 a 12 cm de diámetro que arrastra por intermedio de un tornillo sinfín una rueda
dentada provista de un contacto eléctrico, el cual cierre el circuito de un timbre o de un registrador de banda
de papel. La velocidad del fluido es directamente proporcional al numero de revoluciones de la hélice, e
inversamente proporcional al tiempo entre los timbrazos.
Anemómetro de hilo caliente
Consiste en un conductor de metal inerte soldado a dos electrodos. Uno de los conductores se introduce en la
corriente de fluido y se calienta mediante una resistencia eléctrica. La corriente de fluido que baña el
conductor la calienta, con lo que su resistencia eléctrica varia, esta variación, permite medir la velocidad del
fluido.
El sifón
El dibujo representa un sifón que descarga agua por encima de una presa.
La altura total en la sección 1 es:
H = P1/pg + Z1 + V21/2g
Pero: P1/pg = 0 V1 = 0
Luego O + Z1 + O = H
La constante de Bernoulli vale, por tanto: H = Z1
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Al despreciar perdidas, la altura total en el punto 2 valdrá:
H = P2/pg + Z2 + V22/2g
Pero
P2/pg = 0
Luego
O + Z2 + V22/2g = H
V22/2g = H − Z2
V = 2g (H − Z2)
Si el sifón es de sección transversal constante V2 = V será la velocidad del agua en todo el sifón.
En el punto A que es el mas alto del sifón, la H valdrá:
PA + ZA + V2 = H
Pg 2g
Y:
PA = H − ZA − V2
Pg 2g
Y siendo V2 = V
PA = H − ZA − H + Z 2= −(ZA − Z2) < 0
pg
El eyector
El eyector acelera o desacelera una corriente de fluido produciendo una depresión o compresión. Se llama
inyector si se usa para producir una depresión y eyector para vacío
P1/pg + V21/2g = P2/pg + V22 /2g
P2/pg = Pt/pg − V22 − V21
2g
aplicando la ecuación de continuidad:
V2 = 4Q V1 = 4Q
d2 D2
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donde Q = caudal de aire, y por tanto:
V12/2g = 8Q2 V22/2g = 8Q2
gd4 gD4
llevando estos valores a la ecuación tendremos:
P2 = P1 − 8Q2 D4 − d4
pg pg g D4 d4
Instrumentación de medición de volúmenes
Instrumentos volumétricos:
Miden el volumen en un intervalo de tiempo. Los principales se clasifican en:
• tanques volumétricos
• tanques gravimetricos
• contadores de volumen gastado
los dos primeros son los únicos medidores primarios.
Entre los contadores de volumen gastado se distinguen dos tipos:
• contadores de desplazamiento positivo: se construyen de muchos tipos; el rotor y la cámara de
medición son de un fenol resinico muy resistente
• contadores de turbina: el rotor es igual al de una turbina hidráulica accionada por el mismo caudal
Instrumentación de medición de caudales
Los instrumentos para medir caudales se llaman caudalimetros y son un instrumento que mide el flujo
instantáneo.
Se pueden medir en flujo cerrado o tuberías o en flujo abierto o canales.
Caudalimetros de flujo cerrado: se reúnen en dos grupos:
• de área de paso constante: es el mas importante, consta de un elemento deprimogeno y un
manómetro diferencial. El caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión. Los
elementos deprimogenos mas importantes son:
♦ tubo de Venturi: su función es crear diferencia de presiones, consta de tres partes: una
convergente, una divergente y otra de sección mínima
♦ toberas de medida: son conductos divergentes en la dirección del flujo que producen un
aumento de velocidad y una disminución de la presión.
♦ Diafragmas: es una placa de metal que lleva un orificio circular concéntrico con el eje de la
tubería.
♦ Otros elementos deprimogenos: codos, cámaras espirales, válvulas
• de área de paso variable: los mas importantes son los rotametros, que consta de un tubo cónico
vertical abierto por arriba y abajo un flotador, el cual tiene ranuras inclinadas en su periferia
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• electromagnéticos
• de ultrasonido
Índice:
• Ecuación de Torricelli
• Tubo de Pitot
• Instrumentación de medida de velocidades
• Instrumentación de medición de volúmenes
• Instrumentación de medición de caudales
2gH
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