las fracciones algebraicas

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha
escrito el Universo”.
Galileo Galilei
ALGEBRA
GRADO OCTAVO
2012
PGF03-R03
INTRODUCCION
El estudio de las matemáticas, potencia nuestra habilidad para el análisis lógico-deductivo, el
cual nos dará herramientas no solo para abordar, las otras ramas de las matemáticas, que
sistemáticamente encontraremos a lo largo de nuestra trasegar académico, sino para la
resolución de todo tipo de situaciones que encontremos en nuestra vida “real”. Sí, aunque
parezca difícil de creer las matemáticas favorecen nuestra capacidad de observación,
nuestra atención, y por ende nuestra capacidad para encontrar soluciones.
En medio del proceso de enseñanza-aprendizaje, como valores agregados, iremos
adquiriendo disciplina y aumentaremos la tolerancia, pues encontraremos cómo nuestros
compañeros proponen formas diferentes de solución, a las propuestas por nosotros mismos,
las cuales iremos aceptando y respetando.
Bienvenidos a este interesante recorrido por las matemáticas. Esperamos disfruten de ellas
y que el aprenderlas les sea divertido y edificante.
Cordialmente,
COMITÉ DE AREA DE MATEMATICAS
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
Contenido
UNIDAD I ............................................................................................................................................. 5
LENGUAJE ALGEBRAICO Y OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ...................... 5
CONJUNTOS NUMERICOS .............................................................................................................. 10
EL LENGUAJE ALGEBRAICO........................................................................................................... 16
MANEJO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ......................................................................... 19
TERMINOLOGÍA BÁSICA: ............................................................................................................. 19
TÉRMINOS SEMEJANTES ............................................................................................................... 27
ADICION O SUMA ......................................................................................................................... 28
SUSTRACCION O RESTA ............................................................................................................. 29
PRODUCTO O MULTIPLICACION: ................................................................................................... 33
DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ................................................................................ 37
UNIDAD II .......................................................................................................................................... 44
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ...................................................................................... 44
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS: ......................................................................... 45
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES: .......................................................... 46
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. ................................. 47
CUBO DE UN BINOMIO. ............................................................................................................... 49
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA 𝒙 + 𝒂𝒙 + 𝒃 ....................................................... 58
COCIENTES NOTABLES. ................................................................................................................. 59
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA
SUMA DE LAS CANTIDADES ....................................................................................................... 59
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA
DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES ............................................................................................ 60
COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES ................ 61
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA
DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES ............................................................................................ 61
UNIDAD III ......................................................................................................................................... 63
FACTORIZACION.............................................................................................................................. 63
FACTOR COMUN .......................................................................................................................... 64
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ............................................................................................ 68
DIFERENCIA DE CUADRADOS .................................................................................................... 72
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PGF03-R03
TRINOMIO DE LA FORMA
x2 + bx + c ..................................................................................... 74
TRINOMIOS DE LA FORMA
ax2 +bx +c ..................................................................................... 78
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION...................................... 81
SUMAS O RESTAS DE CUBOS. ................................................................................................... 83
UNIDAD IV......................................................................................................................................... 92
LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS .................................................................................................. 92
Fracciones algebraicas equivalentes .............................................................................................. 93
Simplificación de fracciones algebraicas ........................................................................................ 94
Amplificación de fracciones algebraicas ....................................................................... 94
Reducción de fracciones algebraicas a común denominador ........................................ 94
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS ...................................................................... 98
Suma de fracciones algebraicas ..................................................................................................... 98
Multiplicación de fracciones algebraicas ....................................................................................... 100
División de fracciones algebraicas................................................................................................ 100
RACIONALIZACIÓN ........................................................................................................................ 109
ECUACIONES ................................................................................................................................. 113
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES .................................................................................... 116
SOLUCION DE ECUACIONES ........................................................................................................ 117
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UNIDAD I
LENGUAJE ALGEBRAICO Y OPERACIONES CON
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
PROPOSITO


Familiarizar a los estudiantes con el manejo de los números, dentro del contexto de
los conjuntos numéricos, logrando una apropiación del lenguaje matemático, que les
permita reescribir en términos matemáticos, expresiones traídas del lenguaje natural y
el proceso inverso.
Manejar con habilidad las operaciones con expresiones algebraicas, usando los
conceptos previos requeridos en su solución, tales como: los términos semejantes, el
producto y el cociente de potencias de bases iguales, leyes de signos, supresión de
signos de agrupación y operaciones con enteros y fraccionarios.
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ENUNCIACION
Hablemos un poco de la utilidad de los números……………
1. La quinta operación
Con frecuencia se denomina al álgebra la «aritmética de las siete operaciones», queriendo
subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra
añade tres más: la elevación a potencias y sus dos inversas.
Comencemos nuestras pláticas algebraicas por la «quinta operación»: la elevación a
potencias.
¿Responde esta operación a una exigencia de la vida práctica? Indudablemente. Con ella
tropezamos a menudo en la vida. Recordemos los innumerables casos en que para calcular
superficies y volúmenes se precisa elevar los números a la segunda o tercera potencia. Otro
ejemplo: la fuerza de gravitación universal, la acción recíproca electrostática y magnética, la
luz y el sonido son inversamente proporcionales al cuadrado de las, distancia. La continuidad
de la traslación de los planetas alrededor del Sol (o, de los, satélites alrededor dé los
planetas) viene expresada también en forma de una potencia dependiente de la distancia
que les separa de su centro de traslación: la relación entre los cuadrados de los tiempos de
traslación es igual a la relación entre los cubos de las distancias.
Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras
potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de
álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar
a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo
conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia.
Asimismo los técnicos hidráulicos se valen de las sextas potencias cuando tratan, de
averiguar la fuerza con que son arrastradas las piedras por el agua: si la corriente de un río
es cuatro veces más rápida que la de otro, el primero es capaz de arrastrar por su lecho
piedras 4 pulgadas, es decir, 4.096 veces más pesadas que el segundo río1.
Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, el
filamento de una lámpara, por ejemplo, y su temperatura, se opera con potencias aún
mayores. Cuando la incandescencia es blanca, su luminosidad general aumenta en relación
a la decimosegunda potencia de su temperatura; cuando es roja, en relación a la trigésima
potencia de su temperatura (siendo ésta «absoluta», es decir, a partir de –273°C).
Esto significa que si calentamos un cuerpo de 2.000° a 4.000° absolutos por ejemplo, o sea,
si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de dicho cuerpo aumentará en 212, es
decir, en más de 4.000 veces. En otro lugar nos ocuparemos de la importancia que tienen
para la técnica de fabricación de lámparas eléctricas estas proporciones tan singulares.
TEXTO DE Patricio Barros 2, tomado de Mecánica Recreativa, capítulo IX.
2. Cifras astronómicas
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Es probable que nadie haga tanto uso de la «quinta operación matemática» como los
astrónomos. Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por
una o dos cifras significativas seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo
expresar con los medios ordinarios tales cantidades, llamadas con razón «astronómicas» y,
sobre todo, operar con ellas. Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda
se representan con la siguiente cifra:
95 000 000 000 000 000 000.
Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con
kilómetros u otras unidades aún mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia
antes referida lleva cinco ceros más:
9 500 000 000 000 000 000 000 000.
La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si
hemos de registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos. La masa del Sol, en
gramos, es igual a:
1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Huelga ocuparse de los inconvenientes que representaría operar con números tan
desmesurados y de lo fácil que sería incurrir en error en tales casos. Además, las cantidades
referidas están muy lejos de ser las mayores en la astronomía.
La quinta operación matemática aligera los cálculos. La unidad seguida de varios ceros se
expresa con el número 10 elevado a una determinada potencia
100 = 102
1.000 = 103
10.000 = 104
etc.
Los enormes números citados anteriormente pueden representarse como sigue:
el primero 950 x 1022
el segundo 1.983 x 1030
Se expresan así no sólo para economizar espacio, sino también para facilitar los cálculos. Si
hubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos número entre sí, bastaría hallar el producto de
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PGF03-R03
950 x 1.983 = 1.883.850 y tras él colocar el factor 10
22+30
= 1052
de la forma siguiente:
950 x 1022
x 1 983 x 1030
= 188 385 x 1053
Es evidente que esto resulta más cómodo que escribir un número seguido de 22 ceros, otro
de 30 ceros y, por último, un tercero acompañado de 53 ceros. Y no sólo más sencillo, sino
también más seguro, por cuanto al escribir tal fila de ceros puede ser omitido alguno,
obteniendo un resultado erróneo.
EJERCITACION.
I .- Escribe en forma usual expresiones dadas en notación científica.
a) 6,24 x 10 -3 = ………………………………………………………………...
b) 3,15 x 10 4 = ……………………………………………………………….
c)
2,8x10 -4. = ………………………………………………………………...
II.- Escribe en Notación Científica a las siguientes cifras.
a) 12.578 = ……………………………………………………………………
b) 245, 0034 = ………………………………………………………………..
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c) 0,045 x 10  2 = …………………………………………………………..…
III.- Escribir la notación científica en cada una de las siguientes medidas
a) 188 cm =……………………………………………………………………….…….
b)
0,00008 min ……………………………………………………………………..…
c) 0,000276 Kg ………………………………………………………………………..
IV .- Expresa en notación científica las cantidades
a) doce mil millones =………………………………………………….……
b) 0,000000000001234 = ………………………………………………...
V .- Lee y responde:
Gonzalo está realizando un trabajo para la asignatura de química. Debe averiguar todo lo
referente al átomo de hidrógeno. Entre la información que recoge, encuentra que su masa es
1,66 · 10-24 gramos y su diámetro mide 4,1 · 10-10 metros.
¿ Cómo consideras que son estas medidas, grandes o pequeñas? ¿ Cuál es grande y
cuál es pequeña ? ¿ Por qué ?
Grande es ……………………………. Pequeña es …………………………
………………………………………………………………………………………....................
……………………………………………………………………………………………………….
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CONJUNTOS NUMERICOS
ENUNCIACION
1) Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta
en el ser humano desde sus inicios.
Características de este conjunto:
Tiene un número infinito de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene
restando uno (-1).
2)
Conjunto de los Números Enteros
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la
sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene
solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto,
la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa
un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto
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PGF03-R03
simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la
izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos: Z +
Enteros Positivos y el Cero: Z 0+
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos
mencionados.
Z = Z ¯ U {0} U Z +
3)
Conjunto de los Números Racionales
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se
presentaban en el conjunto de los Números Naturales y los Números Enteros. Por ejemplo,
sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es
múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este
conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la
cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero
distinto de cero.
El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los
Números Enteros (Z).
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Se expresa por comprensión como:
Q = { a /b tal que a y b
∊
Z; y b ≠ 0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica
en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones
representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones
equivalentes.
4)
Conjunto de Números Irracionales
I =
Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los
conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A
él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que
no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales,
porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos
que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: 1,4142135....
0,10200300004000005....
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PGF03-R03
SIMULACION
1. Asigna un valor de verdad (Falso o verdadero) a cada una de las siguientes
proposiciones, si es Falsa, justifica tu respuesta.
a. Todo número racional puede expresarse mediante un decimal.
( ) _____________________________________________________________
b. En una fracción decimal periódica corresponde al conjunto de los números naturales
( ) _________________________________________________________________
c. los decimales se clasifican en, finitos, infinitos periódicos e infinitos no periódicos.
( ) _______________________________________________________________
c. los decimales se clasifican en, finitos, infinitos periódicos e infinitos no periódicos.
( ) _______________________________________________________________
d. Toda expresión decimal representa un racional. ( ) _______________________________
__________________________________________________________________________
e. Un numero irracional es aquel en que su parte decimal es periódica ( )
__________________________________________________________________________
2– Convierte el denominador de las siguientes fracciones en una potencia de diez y luego
escribe cada fracción en forma decimal.
35
a. −
1
85
b. − 32
1250
7
d. − 25 e.
c. 250
24
5
3– Compara cada pareja de números e identifica el mayor y el menor.
a. −
d.
5
71
39
76
𝑦
𝑦−
42
76
8
73
b. −
58
45
𝑦−
e.
54
8
58
c. 0,0078 y 0.0079
54
𝑦
54
7
f.
7
8
𝑦 1,345
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
EJERCITACION.
Tachar en cada conjunto los elementos que no pertenezcan a él. Ubicar cada uno de los
elementos descartados en el conjunto correspondiente.
R
Q
Z
√5
1,6
√9
1
2
√3
-5
π
3
-4
Q
Tomado de Santillana, Algebra y geometría.
DEMOSTRACIÓN:
Indicar si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique las opciones que den Falso
por respuesta.
a. El conjunto de los números naturales es finito.
b. Todo número entero tiene un número anterior.
c. -√9 es un número racional.
d. Todo número irracional es también un número real.
e.
f.
−4
3
es un número racional.
El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números
naturales.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
g. La intersección entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números
irracionales es un conjunto vacío.
h. √5 no es un número racional.
APLICACIÓN:
(competencia interpretativa)
Al hallar el valor de cada operación y cambiar el resultado por la letra correspondiente se
encontrará el nombre de un matemático.
A=
R=
9
2
1
4
E= 1
T=
S=
−1
2
N=
1
3
O=0
−5
6
OPERACION
LETRA
−1 4 1
+ +
2
3 6
−5 + 6
4
−5 1 2 1
+ ) +
(
2
2
2
(
−7 − 4
) +1
4+2
0,5 −
1
2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
1 4 0 1
− (− + ) +
2 3
2
(2√2 + 3√2)
√2
1
𝑥 (− )
6
2
[(4√3)(2√3)] − (√23)
(√7)2 − 6
3
1
1
√36 + − 5
2
2
√2 √2 √2 1
−
+
−
3
2
6
2
Ejercicio tomado de Santillana, Algebra y Geometría I
EL LENGUAJE ALGEBRAICO.
ENUNCIACION
Realiza con atención la siguiente lectura, que emplearemos como introducción al álgebra.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
1. El arte de plantear ecuaciones
El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o
relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra
lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado
Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la
traducción. He aquí uno de ellos:
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última
ecuación.
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a
base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear
ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el
idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son
de fácil traducción.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
SIMULACION
1. Identifica los términos desconocidos, búscalos en el diccionario y escribe su
significado.
2. Qué entiendes por ecuación.
3. Escribe una definición de “lenguaje algebraico”.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
MANEJO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ENUNCIACIÓN
Familiarizarse con los términos y símbolos básicos del álgebra, es el punto de partida para
un correcto manejo.
PALABRAS CLAVES:
La tabla siguiente, nos muestra formas de leer las operaciones básicas, en un lenguaje
matemático:
La Suma o Adición
(+)
suma
añadir
más
aumentado por
más que
La Resta o Sustracción La Multiplicación La División
(-)
(·)
(÷ )
resta
diferencia
menos
menor que
disminuido por
quitado de
multiplicar
producto
veces
de
dividir
dividido por
cociente
TERMINOLOGÍA BÁSICA:
1. TERMINO ALGEBRAICO:
Un término algebraico consta de las siguientes partes:

Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).

Coeficiente. Si bien en el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede
llamarse coeficiente de los otros factores, se le llama coeficiente a una constante (con
todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
Modelación:
En 7ab2c que es un término algebraico ; 7 es coeficiente de ab2c
a es coeficiente de 7b2c
b2 es coeficiente de 7ac
c es coeficiente de 7ab2

Variable (o parte literal). Es una generalización de una cantidad.

Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o
variable, por sí misma.
Modelación:
a) -2x2;
Signo: negativo
Coeficiente: -2
Variable: x
Exponente: 2
b) ax2y3; Signo: positivo
Coeficiente: a
Variables: x , y
Exponentes: 2 (de la x)
3 (de la y)
2. EXPRESION ALGEBRAICA:
DEFINICION:
Una expresión algebraica consta está conformada por términos (números, variables)
separados por signos de operación, tales como + (suma) y – (resta).
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS
Los términos de las expresiones algebraicas se pueden clasificar en función de las
operaciones que se deben realizar con sus variables, en los siguientes grupos:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
 Expresiones algebraicas racionales. Es el que no tiene radical y tiene como
denominador una variable.
3𝑎2 𝑐−1
Ejemplo:
𝑥−3
;
2𝑏
𝑦+2
Las expresiones racionales, a su vez, pueden ser de dos tipos:
 Expresiones Algebraicas Enteras. Son aquellas en las que no aparecen variables
en los denominadores.
Ejemplo:
1
2
7x + 8y – 2z
x2 + 2y;
 Expresiones Algebraicas fraccionarias. Son aquellas en las que aparece alguna
variable en los denominadores.
𝐱
Ejemplo:
𝐲
𝑥−3
;
𝑦−5
 Expresiones Algebraicas Irracionales. Son aquellas en las que aparece alguna
variable bajo el signo radical.
Ejemplo:
3√𝑥
𝑦
;
5𝑥 − 2√𝑦 + 7
3. Otra forma de clasificación de las expresiones algebraicas (la más usual) se refiere al
número de términos que la integran, así:
Monomios. Si tiene un solo termino
Binomios. Si tiene dos términos.
Trinomios. Si tienen tres términos
Polinomios. Si tiene cuatro o más términos.
4. Grado de un término. Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una
letra.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
 Absoluto: Es la suma de los exponentes de todas las variables que aparecen; así, el
termino 5ab2 es de grado absoluto 3 ya que las variables tienen como exponentes 1 y
2, respectivamente.
 Con relación a una variable: es el máximo exponente de dicha letra, así, 5x2y6 es de
grado 2 con respecto a “x “ y de grado 6 con respecto a “y”.
5. Grado absoluto de un polinomio: es el grado de su termino de mayor grado, así, en
el polinomio x4 – 5x3 + x2 – 3x el primer término tiene el mayor grado, luego el grado
absoluto del polinomio es cuatro.
6. Grado de un polinomio con relación a una variable: Es el mayor exponente de
dicha letra en el polinomio, así, el polinomio 6a4x3 – 3a3x7 + 8a2x2 – 4ax tiene de grado
en “a” cuatro y en “x” 7.
7. Valor numérico de una Expresión Algebraica es el valor que se obtiene al sustituir
las letras por un valor numérico.
8. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte litera y a su vez estos
en una expresión algebraica se puede reducir al adicionar sus coeficientes y
multiplicar por la parte literal.
MODELACION – SIMULACION
1. En cada uno de los siguientes polinomios elige una variable, y ordénalo en forma
decreciente de acuerdo con el grado de esa variable.
a. x3y – x4 + x5y2 – x6y3 + 3xy5
b. 3y5z + 3y4z2 – 8y6z4
c. 8a2b6 – 9ab7 + 10a3b5
d. 6x2y3z3 – 15x9y4z6 + xy12z2
e. ab – a5b2c + 3a4b7c6 – 4a6b6c3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
2. Determina el grado absoluto y el grado con respecto a cada variable en las siguientes
expresiones algebraicas:
a. 15x5 y – 9x4 y
Grado absoluto:
_
Grado con respecto a la variable principal _______
b. 32x8b – 6x5b2 + 12x3 – 4x2b9
Grado absoluto:
__
Grado con respecto a la variable principal__________________
c. 4x3y2
Grado absoluto: ______________________________________
Grado con respecto a la variable y _______________________
d. 6xn3 + 7xn2 – 3xm2n
Grado absoluto:_______________________________________
Grado con respecto a la variable m _______________________
3. Clasifica cada una de la siguientes expresiones algebraicas según el número de
términos que la integran:
a) 5x – 3y – z
c)
10x2y
b) a2 + b3 – c4 + k
d)
𝑥2𝑦3
3
___
e) 2 – x
f) 2x – 3 y2 _________________
g) a2 + ab + b2
h) x +
i) a + b + c +
k)
𝑥
2
–
𝑦
3
–
𝑑
5
𝑧
4
2
𝑦
3
4
__________________
j) h2k2t5 _____________________
l) 152x6 – 75x4y _______________
m) 5m5n + 3m4n2 – 24m3n2 – 8m2n45 + 52mn – 85 ___________________
MATEMÁTICAS - Algebra 8
23
PGF03-R03
MODELACION
Traducir cada frase usando símbolos.
Frase
En símbolos
a. La suma de 2 y un número.
2 + d (la "d" representa el
b. 3 más que un número
x+3
c. La diferencia entre un número y 5
a-5
d. 4 menos n
4-n
e. Un número aumentado en 1
k+1
f. Un número disminuido en 10
z - 10
g. El producto de dos números
a·b
h. Dos veces la suma de dos números
2 ( a + b)
i. Dos veces un número sumado a otro
2a + b
j. Cinco veces un número
5x
k. El cociente de dos números
número)
𝑎
𝑏
MATEMÁTICAS - Algebra 8
24
PGF03-R03
EJERCITACION
A. Traduce usando símbolos:
1. La suma de dos números
____________________
2. 10 más que n
____________________
3. Un número aumentado en 3
____________________
4. Un número disminuido en 2
____________________
5. El producto de p y q
____________________
6. Uno restado a un número
____________________
7. 3 veces la diferencia de dos números
____________________
8. 10 más que 3 veces un número
____________________
9. La diferencia de dos números
____________________
B. Escribe usando símbolos y simplifica el resultado:
1. La suma de 24 y 19
___________________________
2. 19 más que 33
___________________________
3. Dos veces la diferencia de 9 y 4
4. El producto de 6 y 16
__________________________
___________________________
5. 3 veces la diferencia de 27 y 21 ___________________________
6. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado _______________________
7. El cociente de 3 al cubo y 9
_____________________________
8. 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 2 _______________________
MATEMÁTICAS - Algebra 8
25
PGF03-R03
DEMOSTRACION
Los ejercicios que aparecen a continuación, corresponden al cálculo del valor numérico de
una expresión algebraica, el cual consiste en realizar el reemplazo de las variables, por un
valor conocido (o constante).
1. Halla el valor de d en d= 1 t2 g para g= 25, t= 8.
2
2. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes considerando: a=
4; b = -1; c = -7; d = -1; f = -2.
a) 5a2 – 2bc – 3d
b) 7a2c – 8d3
c) 6a3f
d) 2a2 – b3 – c3 – d5
e) d4 – d3 – d2 + d – 1
f) 3/4a – 2/5c
MATEMÁTICAS - Algebra 8
26
PGF03-R03
ENUNCIACION.
La realización de operaciones con expresiones algebraicas, requiere un adecuado manejo
del concepto de términos semejantes para entender cómo a partir ellos puedes realizarse
reducciones (sumas y restas) de los mismos.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos
exponentes, sin importar cuál es su coeficiente.
MODELACION:
2 2 3
xy
3
2x2y3
es semejante a -
-3x5y
es semejante a 2yx5
4xy1/2 es semejante a -
2 1/2
y x
3
4x2y no es semejante a 3xy2
Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo género de suma, por ejemplo:
2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir:
2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas
de igual manera, 3x2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar:
3x2 + 5x2 = 8x2
pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
27
PGF03-R03
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden
sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los
mismos.
Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos
no semejantes, no pueden sumarse ni restarse.
ADICION O SUMA
La suma de expresiones algebraicas se obtiene agrupando los términos semejantes y
reduciendo los coeficientes, poniendo mucha atención a los signos de cada término.
Ejemplo:
( 3x2 + 6x – 4 + 2xy ) + ( 3 – 4x + 3yx – 9x2 ) =
3x2 + 6x + 2xy – 4
– 9x2 – 4x + 3yx + 3
- 6x2 + 2x + 5xy - 1
Si se tienen coeficientes fraccionarios el procedimiento es exactamente el mismo:
( 13 x4 –
2
5
x+6)+ (x4 –
1
3
2
5
2
3
+4x+
x4 ) =
x + 6
1
2
x4 + 4 x -
5
6
x4 +
18
5
1
2
x +
2
3
16
3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
28
PGF03-R03
SUSTRACCION O RESTA
Se realiza la misma agrupación que para la suma, el cambio que presenta la sustracción
es la inversión de signos en cada término del sustraendo.
( - 3 x + 6 x2 – 9 x3 + 6 x y ) - ( 2 x2 + 3x3 – 9 x y + 3 ) =
( - 3 x + 6 x2 – 9 x3 + 6 x y ) - 2 x2 - 3x3 + 9 x y - 3 =
- 9 x3 + 6 x2 - 3 x + 6 x y
- 3 x3 - 2 x2
+9xy-3
-12 x3 + 4 x2– 3 x + 15 x y – 3
MODELACION:
Agrupar términos semejantes, es equivalente a sumar o restar sus coeficientes, las variables
permanecen iguales.
1. 7x+9x
Solución:
(7+9)x = 16x
2. 26a – 7a + 9a
Solución:
(26-7+9)a =28a
3. 12m +9n – 14m + 18n
Solución:
(12-14)m + (9+18)n = -2m + 27n
4. 14m2n + 23mn2 – 10mn2 – 14nm2
Solución:
(14 - 14) m2n + (23 - 10)mn2 = 0m2n + 13mn2 = 13mn2
Si tenemos signos de agrupación, tendremos dos casos:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
29
PGF03-R03
A. Que los términos que estén dentro del signo de agrupación, estén precedidos de un
signo “+”, en este caso, se elimina el signo y todos los términos conservan su signo:
(6x + 9y – 5z) + (7y – 5x – 12z)
= 6x + 9y – 5z + 7y – 5x – 12z
= (6 - 5)x + (9 + 7)y + (-5 - 12)z
= 1x + 16y + (-17)z
= x + 16y – 17z
B. Si los términos dentro del signo de agrupación están precedidos por un signo “
-
”,
todos los términos quedan con signo contrario, luego de eliminar el signo de
agrupación correspondiente (por la ley de signos):
12mn – 16ab + 36ed – (3ab + 12ed – 18mn)
= 12mn – 16ab + 36ed – 3ab - 12ed + 18mn
= (12 + 18)mn + (-16 – 3)ab + (36 - 12)ed
= 30mn + (-19)ab + 24ed
= 30mn – 19ab + 24ed
SIMULACION
Reducir los siguientes términos semejantes:
a. 6x – 7x
b. 7x – x
c. a – 2a
d. 9a+ a
e. 23xy + 9xy
f. 10uv – 36uv
f. -3r – 16r
g. -2a2b - 12 a2b
h. -58 m2n + 35 m2n
2 – En los siguientes polinomios simplificar los términos semejantes:
a. a2 – a – a3 + a2 + a4 – a – a2
b. 0,4a – 0,9 – 0,16a – 11,2b + 5b
c. -17a2b – 9ab2 – 10ab2 – 6a2b
d. 23ax + 17ay + 11ax – 13ax – 14ay
e. 5,7m – 1,2n + 3,8n – 6,5m + 2,7n
f. 2t + 4q – 6p + 8q – 12t – 6p
3 – Simplificar las expresiones algebraicas, suprimiendo signos de agrupación y reduciendo
los términos semejantes:
a. (a - b) + (2a + b)
b. x - (x - 3x) – (x+2x)
e. 0,5x – 7,9y – (1,2x – 3,8y)
f. (3m – 4n) + [ - (4m – 5n) – (7m + n)]
MATEMÁTICAS - Algebra 8
30
PGF03-R03
c. (9x – 7y) + (-8y – 16x)
d. [(12x + 15y) – (6x – 3y )] – [(4x + 8y)+ (8x – 9y)]
EJERCITACION
Hallar la suma de los siguientes polinomios
a. x -1 con 3x – 3
b. 4c2d – 8cd2 con -9 c2d + 5cd
c. (6x+4xy) + (2x + 8xy)
d. (3x2 + 5xy + 5y4 + 16) + (4x3 – 5xy – 2y4 - 7)
e. (4m + 5m2n) + (-3m + 4m2n) + (5m – 2m2n)
f. 24x2y2 – 6xy + 19x – 24y; -4x + 9y + 16x2y2 – 5xy; x – y
g. 10w2v – 5wv2 – 4w3 + 16v3; -10vw2 – 5w2v + v2 – w2
h. 0,1a – 2b + 8c; -3a + 1,5b – 1,3c; a –b + 0,2c; -c + a +b
i.
a – (b +c); -b – (a - c); c- (2a + b); a + b + c
2 – Reduce en cada caso los términos semejantes del polinomio:
a.
3
1
5
4
x  x2  2x2  x  x2
4
6
12
5
4
2 4
8
5
c.  t 5 + t 2   t 2  t 2 
7
3 15
9
6
e. 
g.
6 5 3 2 5 2 3 2 3 3 5 2
a b z 
z b a  b a z
11
22
8
5 4 5 2 2 3 3 5 4 3 2 3
ax y  by x  ay x  by x
7
5
14
10
b. 2 y 4 
d.
2 3 5 4 1 3 1
y  y  y 
3
8
16
4
2 3 4
7 3 4 5
z  z  3z 5 
z  z
5
5
20
7
d. 
1 3 2 3 6
7
1
y z  x w  z 2 y 3  wx 6
2
4
6
8
7
3
7
2
h. - t 3 z  tz 2  tz 2  t 3 z
3
4
12
9
3 - Realiza las siguientes adiciones de polinomios:
a. calcular la suma p + q, si p = 2a+ b y q = a + 2b
b. calcular la suma p - q, si p = m + 2n y q = m - n
c. calcular la suma p - q, si p = x + 5y y q = x – 3y
d. calcular la suma p + q, si p = 2x – 2y y q = 2x – 3y
e. calcular la suma p - q, si p = x – 2y – 2z + w y q = 4a – 4b + 4c
MATEMÁTICAS - Algebra 8
31
PGF03-R03
f. calcular la suma p + q, si p = x – 2y -2z + w y q = 2x + 2y -2z + 5w
g. calcular la suma p - q, si p = x – 3y – a - b y q = -a – b – x – y
h. calcular la suma P + Q, si P = m + 2 (m+n) y Q = m + n
4 - Encuentra el perímetro de cada región de las figuras dadas :
Recuerda: El perímetro de un polígono es igual a la suma de las medidas de todos sus lados.
5 – Encuentra el inverso aditivo de los siguientes monomios
a. 2x2 b. 24a2b
c. 8x2y2z2
d. -9m2n + 4n
e. -15t – 14p
6 – Efectuar las siguientes sustracciones entre polinomios
a. De -14x3 + 12x2 – 17x + 11 restar 24x3 + 46x2 - 13
b. De a4 + 23 a3 + a2- a +1 restar –a4 – 14a3 + 24a2 + 21a +17
c. (-15x4 + 42x3y + 23x2y2 – 16xy3 +y41) – (13x4 + 16x3y + 14x2y2 – 15y4)
d. (52a4b3 – 100a4 + 4ab6 + 5) – (7ab6 + 45a4 + 1)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
32
PGF03-R03
e. Restar 83u3 + 46u2 – 11u + 16 de la suma de 103u3 + 48u2 – 15u + 19 con -47u3 22u2 + 15u -74
f. Restar a2 -9a2b + 14ab2 de la suma de -4a3 - 8a2b + 25ab2 - 16b3
con –a3 + 19a2b - 11ab2 - 30b3
7 – Realizar las siguientes sustracciones
a. de
b. Restar
4 3
x y
5
-
5 3
x y
restar - 6
3 3
7
m de  m 3
8
10
1
c. Restar 45 a3b2 de - a 3 b2
9
PRODUCTO O MULTIPLICACION:
Se pueden presentar tres casos:
Multiplicación de un monomio por un monomio:
Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las
partes literales, teniendo en cuenta la propiedad de los exponentes, relativa a que si tenemos
dos potencias de igual base y se están multiplicando, el resultado es, esa base, elevada a la
suma de los exponentes ((an) (am)= an+m ); igualmente tendremos presente, la aplicación de la
leyes de multiplicación de signos:
Ejemplos
MATEMÁTICAS - Algebra 8
33
PGF03-R03
Multiplicación de un monomio por un polinomio:
Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica cada uno de los términos del
polinomio por el monomio según la propiedad distributiva del producto respecto a la adición o
la sustracción.
Ejemplos:
1. Efectuar: 2a2b (a2 + 2ab + b2)
Solución
(2a2b)( a2) + (2a2b)(2ab) + (2a2b)(b2) Aplicamos propiedad distributiva de los
números reales
2a2b (a2 + 2ab + b2) = 2a4b + 4a3b2 + 2a2b3
2. Efectuar: 2xy por 12x3 -7x2y + 9xy2 – 6y2
Solución
2xy (12x3 -7x2y + 9xy2 – 6y2) = 2xy(12x3 ) – 2xy(7x2y) + 2xy(9xy2) – 2xy(6y2)
= 24x4y -14x3y2 + 18x2y3 – 12xy3
SIMULACION
1. Efectuar las siguientes multiplicaciones
1
2
1
a. a(a - b)
d. 6a2b(a2 - 9)
g. 3 𝑡(3 𝑡 − 4)
b. m3(m - 1)
e. (3a3b – 5a)(-2a3b3)
h. 𝑥( 𝑦 −
c. – 7a(3a - 1)
f. -18w(-3w)+ 2v
5
9
4
8
7
4
1
4
𝑚)
i. − 12 𝑎(− 5 𝑏 − 𝑐)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
34
PGF03-R03
Multiplicación de polinomio por polinomio:
El principio para multiplicar dos polinomios es aplicar la propiedad distributiva tantas veces
como sea necesario.
Ejemplo:
Efectuar el siguiente producto: (2x2 + 3x -2) (3x3 + 4x2 + 8)
Solución:
2x2 (3x3)+ 2x2 (4x2) + 2x2 (8) +3x(3x3)+ 3x (4x2) +3x (8) -2(3x3) - 2 (4x2) -2 (8)
= 6 x5 +8 x4 +16 x2 + 9 x4 + 12 x3 + 24x – 6x3 – 8x2 – 16
Observemos que posterior a esta operación, aparecen algunos términos semejantes, los
cuales agruparemos, entonces la respuesta será:
(2x2 + 3x -2) (3x3 + 4x2 + 8) = 6x5 + 17x4 + 6x3 + 8x2 + 24x - 16
MATEMÁTICAS - Algebra 8
35
PGF03-R03
MODELACION - SIMULACION
1. Efectuar las siguientes multiplicar entre polinomios:
a. (2a - b) (7a – 2b)
b. (8x - y) (8x + y – 6z)
c. (2ab + 3a – 6) (5a + 18)
d. (2xy - 9) (3xy2 + 3x)
e. (-6mn + 2m2n2) (2mn2 – 4m2n)
f. (2m3 + 4m2n – 5n3+ 11) (m2 + 3n2)
2. Hallar una expresión algebraica para indicar el área de la región.
3. Halla una expresión algebraica para indicar el área de la región sombreada en cada
literal de las siguientes figuras.
4 - Multiplicar los siguientes Polinomios
a) a + 3 por a – 1
b) –x + 3 por –x 5
c) 7x – 3 por 4 + 2x
d) x2 + xy + y2 por x - y
e) a3 – a + a2 por a -1
1 2 1
1
2
3y
x  xy  y 2 por x 
g)
2
3
4
3
2
f) x3 + 2x2 - x por x2 -2x + 5
2
5
1
h) x - ypor y  x
5
6
3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
36
PGF03-R03
DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
En la división de expresiones algebraicas al igual que en las divisiones con números reales,
identificamos las mismas partes: Dividendo, o sea el término que se va a dividir, divisor o
término en el que se divide, cociente o resultado y residuo (cuando la división no es exacta).
La ley de los signos, opera de la misma forma que en la multiplicación (+)/(+)=+, (+)/(+)=+,
(+)/(-)=-, (-)/(+)=-.
Al igual que en la multiplicación, encontramos tres casos:
División de monomio sobre monomio:
El procedimiento, es:
1. Dividir los coeficientes
2. luego dividir el factor literal, teniendo en cuenta que si se tienen la misma base se
restan sus exponentes.
Ejemplos:
1. Dividir 4 a3b2 entre -2ab
4 a3b2 / (-2ab) =
4 a 3b 2
=
 2ab
Dividiendo: 4 a3 b2
Divisor: -2ab
Aplicando ley de signos (+)/(-)=Aplicación división de coeficientes:4/(2)=2
Aplicando la propiedad de la división de potencias con igual base, se restan sus exponentes
entre si: a3 / a = a3-1= a2
b2/ b = b2-1 = b
Por lo tanto, se tiene que 4 a3b2 / (-2ab)=
4a 3 b 2
 2a 2 b
 2ab
2. Dividir -5a4b3c entre –a2b
MATEMÁTICAS - Algebra 8
37
PGF03-R03
 5a 4 b 3
-5
c/
2
 a 2b
Dividendo: -5 a4b3c
Divisor: -a2b
Aplicando ley de signos: (-)/(-)=+
a4b3
(-a2b)=
Aplicando división de coeficientes: 5 / (1)=5
Aplicando la división de potencias con igual base, se restan sus exponentes entre si: a 4 / a2 =
a4-2= a2
B3 / b = b3-1= b2
Por tanto, se tiene que -5 a4 b3 c / (-a2b)=
 5a 4 b 3
 5a 2 b 2 c
2
a b
División de un polinomio entre un monomio:
Es equivaloente a dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.
Ejemplos:
1. Dividir 3 a3 – 6 a2b + 9ab2 entre 3a
3a 3  6a 2 b  9ab2
3a
3
2
2
Dividiendo: 3 a – 6 a b + 9ab
Divisor: 3a
3 a3 – 6 a2b + 9ab2 / 3ª =
+3 a3 / 3a= a2
-6 a2 b / 3 a=-2ab
+9ab2 / 3a = -3b2
Por tanto, se tiene que:
3
a3
–6
a2b
+
9ab2
3a 3  6a 2 b  9ab2
/ 3a =
= a2 – 2ab + 3b2
3a
División de dos polinomios
Procedimiento:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra (usualmente, en
forma descendente).
2. Si falta algún término dejamos el espacio correspondiente.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
38
PGF03-R03
3. Se divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el
primer término del cociente.
4. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta
del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de
su semejante y hacemos la reducción.
5. Si algún término de este producto no tiene semejante en el dividendo se escribe en el
lugar que corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor, que
realizamos en el paso 1.
6. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el
segundo término del cociente.
7. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, cambiando los signos.
8. Se divide el segundo término del segundo resto entre el primero del divisor y se
efectúan las operaciones anteriores.
9. Este proceso se continua hasta que el residuo sea cero o no se pueda seguir
dividiendo (el exponente del dividendo, es menor que el exponente del divisor).
Ejemplos:
1. Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2
Dividendo y divisor están organizados en orden descendentes respecto a x.
Dividimos el primer término del dividendo 3X2 entre el primero del divisor x y tenemos 3x2 / x
= 3x y este es el primer término del cociente.
Los resultados del producto entre cociente y divisor los ubicamos debajo del dividendo,
cambiándoles de signo, tenemos: - 3x2 y 6x y hacemos la reducción, nos da -4x y bajamos
el - 8
MATEMÁTICAS - Algebra 8
39
PGF03-R03
Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y obtenemos el
segundo término del cociente: -4/ x = 4
Ahora, el segundo término del cociente,-4, se multiplica por todo el divisor (-4) (x) = -4x y (4) (+2) = -8 y este producto se resta del dividendo, cambiando los signos 4x + 8
Hacemos la reducción, nos da cero, luego la división es exacta.
MODELACION-SIMULACION
1. Efectuar las siguiente divisiones de monomios
-5 a2 entre –a
a2 b entre –ab
-8 a2x3 entre -8 a2 x3
4
3
 a 3b entre  a 2b
5
5
2 5 3
1
xy z entre  z 3
3
6
-xy2 entre 2y
54x2y2z3 entre -6xy2z3
14 a3 b4 entre -2ab2
-a3 b4 c entre a3 b4
1 2
2
x entre
2
3

2 4 5
x y entre  2 x 4
9
5m2 entre m2n
2. Dividir:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
40
PGF03-R03
a. a2 –ab entre a
b. 2a3 -5ab2 -6 a2b3 entre -2 a
c. 3x2y3 -5 a2x4 entre -3x2
d. X3 -4x2 +x entre x
e. 4x8 -10x6 – 5x4 entre 2x3
f.
1 2 2
x  x
2
3 entre 2x3
3. Efectuar las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio:
a2–2a-3
x2 – 20 + x
a+1
m 2 – 11m + 30
4x2 + 2x + 1
m - 6
x–1
x4 – 3x3 +x2 + 2x + 7
x + 5
x2 + 15 – 8x
3-x
8x2 + 2x – 28
x+2
x + 2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
41
PGF03-R03
DEMOSTRACION
Preguntas de selección múltiple con única respuesta TIPO I Las preguntas de este tipo
constan de un enunciado y de cuatro probabilidades en las cuales debe escoger la que
consideres correcta.
 Contesta las preguntas 1 y 2. teniendo en cuenta la siguiente figura.
1. El área de la figura es:
A. x + y
B y2
D. x2
C. xy
2. El perímetro de la figura es:
B x2
A. 2x + 2y
C. x + y
D. xy
 Conteste las preguntas 3, 4 y 5. teniendo en cuenta la siguiente figura.
3. El área de la figura es:
A. x + y
B. x2 + 2xy + y2
C. (x+y) (x – y)
D. 2x + 2y
MATEMÁTICAS - Algebra 8
42
PGF03-R03
4. la única expresión que no es cierta para hallar el área del cuadrado es:
A. x + y
B. x2 + 2xy + y2
C. ( x + y )2
D. (x+y)(x+y)
C. 2x + 2y
D. 2x + y
5. El perímetro del cuadrado es:
A. x2 + y2
B. 4x + 4y
1. El perímetro de la siguiente figura es:
A. 6x2 + 4x + 5
C. 3x2 + 7x + 2y – 5
B. 6x2 + 7x - 5
D. 6x2 + 7x + 2y + 5
7. el área de la siguiente figura es:
A. x2 + x + 1
B. 2x4 + 3x3 + 6x2 + 4x - 3
C. 2x2 + x - 3
D. 2x4 + 3x3 – 2x - 3
X2 + x + 1
2x2 + x - 3
8. los dos trinomios que al ser sumados dan como resultado x2y + 2xy son:
A. x2 y + 3xy – 2y
B. 4x2 y – 3x2 + 4xy
C. 5x2y + 2xy
D. 3y2 – 3x y + 2x2y
y
y
y
y
y2 + x2y – xy
3x2 – 3x2 y – 2xy
x2 y + 2x y
4xy – 3y2 – 4x2 y
MATEMÁTICAS - Algebra 8
43
PGF03-R03
UNIDAD II
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
PROPOSITO
Resolver por simple inspección productos y cocientes de expresiones algebraicas,
observando regularidades aplicables a su solución.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
44
PGF03-R03
ENUNCIACION
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la
multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la
resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y recíprocamente.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS:
De acuerdo a lo aprendido en la multiplicación de expresiones algebraicas, el resultado de
(a + b)2:
(a + b)2 = (a + b) . ( a + b)
= a (a + b) + b (a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Usando la expresión anterior, podemos concluir, que
LA REGLA ASOCIADA, SERA: El cuadrado de la suma de dos cantidades, es igual al primer
término al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, más el cuadrado del
segundo término.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
45
PGF03-R03
MODELACION:
a). (3 a2 + 4b3)2 = (3 a2)2 + 2 (3 a2) (4b3) + (4b3)2
= 9 a4 + 24 a2b3 + 16b6
4
1
4
4
1
1
b). ( x 2  y 3 ) 2  ( x 2 ) 2  2( x 2 )( y 3 )  ( y 3 ) 2
5
3
5
5
3
3
16 4 8 2 3 1 6
x  x y  y
=
25
15
9
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
Veamos el desarrollo de: (a - b)2
(a - b)2 = (a - b). (a - b)
= a (a - b) – b (a -b)
= a2 – ab – ba + b2
= a2 – 2ab + b2
(a – b)2= a2 – 2ab + b2
LA REGLA ASOCIADA, SERA:
Cuadrado de una diferencia:
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos dos veces el primero
por el segundo más el cuadrado del segundo.
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
MODELACION
a). (3m – 5n)2 = (3m)2 – 2(3m) (5n) + (5n)2
= 9m2 – 30mn + 25n2
b). (
2 2
4
2
2
4
4
a b  ) 2  ( a 2 b) 2  2( a 2 b) x( )  ( ) 2
3
5
3
3
5
5
MATEMÁTICAS - Algebra 8
46
PGF03-R03
4 4 2 16 2
16
a b  a b
9
15
25
=
c). (x +
2 ) 2  x 2  2( x)( 2 )  ( 2 ) 2
= x2 + 2
2x+2
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.
Desarrollemos: ( a + b ) ( a – b )
(a+b)(a–b) = a(a–b)+b(a–b)
,
= a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
Asociaremos a este producto, LA SIGUIENTE REGLA:
El producto de una suma ( a + b ) por su diferencia ( a – b ), es igual al cuadrado del primer término
(a) menos el cuadrado del segundo término (b):
MODELACION:
Ejemplo 1:
Efectuemos ( xy + 3 a2) ( xy – 3 a2 )
MATEMÁTICAS - Algebra 8
47
PGF03-R03
SOLUCION:
( xy + 3 a2) ( xy – 3 a2 ) = ( xy)2 – ( 3 a2)2
= x2 y2 – 9 a4
Ejemplo 2:
Efectuemos: ( ax + 1 + b y-2 ) (ax+1 – by-2 )
SOLUCION
( ax + 1 + b y-2 ) (ax+1 – by-2 ) = ( ax+1 )2 – (by- - 2 )
= a2x + 2 - b 2y
+ 4
MATEMÁTICAS - Algebra 8
48
PGF03-R03
CUBO DE UN BINOMIO.
El binomio, puede corresponder a una suma o a una diferencia. Veamos.
Desarrollemos (a + b)3
( a + b )3 = (a + b)2 (a + b)= ( a2 + 2ab + b2) (a + b)
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
Por lo tanto, podemos asociar, la siguiente regla, al CUBO DE UNA SUMA:
El cubo de una suma es igual al cubo del primer término, MAS tres veces el cuadrado del
primero por el segundo, MAS tres veces el primero por el cuadrado del segundo, MAS el
cubo del segundo.
(a + b)3 = a3+3 a2b + 3ab2 + b3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
49
PGF03-R03
MODELACION:
(4x + y)3= (4x)3 + 3 (4x)2 (y) + 3 (4x)(y)2 + (y)3
= 64x3 + 3(16x2) (y) + 12xy2 + y3
= 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3
Y la regla asociada al CUBO DE UNA DIFERENCIA, será:
Desarrollemos (a - b)3
(a - b)3 = (a - b)2 (a - b)
= (a2 – 2ab + b2) (a - b)
= a3 – a2b – 2 a2b + 2ab2 + ab2 – b3
= a3 – 3 a2b + 3ab2 - b3
(a - b)3 = a3 – 3 a2b + 3ab2 – b3
Notemos que los signos se alternan, empezando siempre por el signo MAS (+).
SIMULACION
1. Efectuar las siguientes las operaciones indicadas
1. ( x - 1 )2
2. ( x + 1 )2
2
3. (2x + 3)2
5. ( 1 - x )2 - 3x
7. ( a + b + c )2 –(2ab + 2ac + 2bc)
1  1
4 
2
4.  a  b    b 2  a 2 
5   25
9 
3
2
6. [ ( a + 2b)3 ]0 - 1
8. (a + b – c)2- (2ac + 2ab – 2bc)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
50
PGF03-R03
9. (a – b + c)2 – (2ac – 2ab – 2bc)
10. ( 4 – 7 )3
11. (4 + y)2
12. (1 – 3z2)2
13. (m2 + y2)2
14. (
15. (xa + yb)2.
1 6. (3 ax + 1+ 4by – 2)
17. (5 – x)2
18. ( 3m 2 - 5n3)2
19. (2m2 – 3nb)2
20 ( 5x – ay)2
21. (x a + 1 – 3xa – 2 )2
22 ( x-2 – 2y-1)2
4 10
x  3 y 12 ) 2
5
2. Efectuar los siguientes productos aplicando suma por diferencia
1. ( 3 a + 9 ) ( 3 a – 9 )
2. ( x – 2y ) ( x + 2y )
3. ( a2 + b ) ( a2 - b )
4. ( mx + n ) ( mx – n )
5. ( 4x – 3y ) ( 4x + 3y )
6. ( 3m – n ) ( 3m + n )
7. ( y3 + 7 ) ( y3 – 7 )
8. [ ( x + y ) + 5 ] [ ( x + y ) – 5 ]
9. ( 2h – k + 3 ) ( 2h – k – 3 )
10. 
11. ( x2m + 4 ) ( X2m – 4 )
12. ( x + 2y + 4 ) ( x + 2y – 4 )
 1 2  1 2 
 x   x 
 4 3  4 3 
3. Desarrollar por simple inspección los siguientes binomios (aplicando productos notables).
1 ( x + 3 )3
2. ( m + 2 )3
3. ( 3 + y2)3
4. (m – 4n)3
5. (2t + 1)3
6. (0.5 +x)3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
51
PGF03-R03
1
3
7. ( b 3  a ) 3
8. (
2
3
x  y) 3
5
2
9. (0.01 + t2)3
10. (x2m – yn) 3
11. (xt + y3t)3
12. [(a + b) - 2]3
13. [(a – b) + 3c]3
Para resolver binomios, elevados a potencias superiores, usaremos el TRIÁNGULO DE
PASCAL.
La expresión (a + b)n, se llama BINOMIO DE NEWTON. Vamos a descubrir los criterios
básicos para desarrollar el binomio de Newton. Veremos cómo obtener los exponentes. El
signo y el coeficiente de cada término.
Hasta el momento hemos desarrollado estos binomios:
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
Por multiplicaciones sucesivas de (a + b) podemos llegar a:
(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5 a4 b + 10a3 b3 + 5ab4 + b5
Si lo observamos cuidadosamente el desarrollo de estos binomios, podemos escribir conclusiones
como estas:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
52
PGF03-R03
1. El número de términos de resultado, es siempre UNO más que el exponente del binomio.
2. El exponente del primer término del desarrollo, es igual al del binomio.
3. El exponente de “a” disminuye de uno en uno en cada término; en cambio el de “b” aumenta de
uno en uno.
4. El exponente del último término es igual al del binomio.
5. Todos los términos del desarrollo de (a + b)n, son positivos. Si el binomio fuera (a - b)n , los signos
se alternarían así: (+),(-),(+),(-)
6.Para analizar los coeficientes, tomemos uno de los binomios que hemos desarrollado.
( a + b )5 = a5 + 5 a4b + 10 a3 b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes. La simetría de los términos, nos permite
disponer los coeficientes del binomio en forma de un triangulo conocido como TRIANGULO DE
PASCAL. Este triángulo es el que nos permite obtener los coeficientes del binomio de una manera
fácil. Construyamos el triangulo.
( a + b )0 = 1………………………………….. 1
( a + b )1 = 1 a + 1b……………………….1
( a + b )2 = ……………………………..1
( a + b )3 =………………………… .1
1
2
3
1
3
1
MATEMÁTICAS - Algebra 8
53
PGF03-R03
( a + b )4=……………………….1
( a + b )5=…………………..1
(a + b )6 =…………….1
4
5
6
6
10
15
4
10
20
1
5
15
1
6
1
El triangulo de pascal nos indica:
a) los coeficientes de los términos de los extremos son iguales a UNO.
b) Sumando dos elementos consecutivos de una fila, obtenemos un coeficiente de la fila
siguiente; es decir, un coeficiente cualquiera para obtener sumando los que están encima de
él en la fila anterior.
MODELACION
Veamos la aplicación del triángulo en el desarrollo de ( a – 2b)6
SOLUCION:
Ejemplo 1.
Apliquemos cuidadosamente las sugerencias que acabamos de deducir.
( a – 2b)6 = a6 – 6 (a5) (2b) + 15 (a4) (2b)2 – 20 (a3) (2b)3 + 15 (a2) (2b)4 – 6(a).(2b)5
+ (2b)6
= a6 – 12 a5b + 60 a4 b2 – 160 a3b3 + 240 a2b4 – 192 ab5 + 64b6
EJEMPLO 2:
Hallemos el cuarto término de ( 3x – 2y )5
SOLUCION:
a) COEFICIENTES: en el triangulo de Pascal vemos que el coeficiente del cuarto término de ( a
+ b )5 es 10
b) SIGNO: sabemos que los signos se alternan así:
1er término = +
2º término = -
MATEMÁTICAS - Algebra 8
54
PGF03-R03
3º término = +
4º término = c) EXPONENTES:
1º. Término (3x)5
2º término (3x)4 (2y)
3º término (3x)3 (2y)2
4º término (3x)2 (2y)3
Luego, el cuarto término será: - 10 (3x)2 (2y)3 = - 10 (9x2) (8y3) = -720x2 y3
EJERCITACION
1. Desarrollar los siguientes binomios:
b) (2x2 – 3y)5
a) ( m + 2n)6
d) (px – 1)4
g)
3 a
  
a 3
e)
 x3

  y 
 2

c) (4 – x4)3
6
f)
x y
  
4 5
i)
z

5  
5

6
h) ( y – pq)8
5
6
2. En los siguientes binomios hallar el término indicado:
a) Quinto término de: (x2 – 2y)5
b) Séptimo término de : ( a + b2)7
c) Sexto término de : (4x3 – 5y2)10
d) último término de: ( 5 – x3)7
3. En los siguientes ejercicios del 1 al 8, seleccionar la letra que corresponde a la respuesta
correcta.
1. la diferencia de dos cuadrados es igual a:
a) una diferencia elevada al cuadrado
b) una suma elevada al cuadrado
c) suma de raíces cuadradas por la diferencia de las mismas
MATEMÁTICAS - Algebra 8
55
PGF03-R03
d) diferencia de raíces cuadradas
2. una suma de dos términos elevada al cuadrado es igual a:
a) suma de dos cuadrados más un doble producto.
b) suma de dos cuadrados menos un doble producto.
c) diferencia entre dos cuadrados
d) suma de dos cuadrados solamente
3. El número de términos del desarrollo de (a + b)n es:
a) n – 1
b) n + 1
c) n
d) 2n
4. Los signos del desarrollo de ( a – b )n son:
a) todos positivos
b) todos negativos
c) alternados empezando con ( -)
d) alternados empezando con (+)
5. En el desarrollo de ( a + b )n, con ≥ 1, el coeficiente del segundo y del
penúltimo termino es:
a) n
b) 2n – 1
c) n – 1
d) n + 1
6. El resultado de: (a - b)2 + 2 ab es:
a) a2 – b2
b) a2 + b2
c) a + b
d) a – b
7. El resultado de ( 3 +
2 ) (3 - 2 ) es:
a) 7
b) 9 +
2
c) 11
d) 9 -
2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
56
PGF03-R03
8. El resultado de: ( a – b )2 – (a + b ) ( a – b ) es:
a) – 2ab
b) 2b2 – 2ab
c) A2- 2ab
d) A2 + 2ab
9. calcular las siguientes potencias:
 1

a)   a 2 bc3 
 4

2
b) ( - 3ab2 m3 n)3
 2

c)   m 2 nuv
 3

4
d) ( - 2x2 ym2 n3 p)3
10. desarrollar los siguientes binomios
a) (1 – x)3
b) ( 1 + xy)2
c) (2x -7y )2
d) (mn – a)2
11. Efectuar [( a + b ) – ( a – b)]2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
57
PGF03-R03
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del
término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se
añade el producto de los términos diferentes.
MODELACION
Agrupando términos:
Luego:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
58
PGF03-R03
COCIENTES NOTABLES.
ENUNCIACION.
Se denomina cocientes notables, a aquellos cocientes que sin efectuar la operación de
división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes
exactos.
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS
CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es
igual a la diferencia de las cantidades.
MODELACION.
Ejemplo 1:
a) La raíz cuadrada de x2 es x
b) La raíz cuadrada de 16 es 4
Entonces:
Ejemplo 2:
a) La raíz cuadrada de 100x4 es 10x2
b) La raíz cuadrada de 169y2 es 13y
Entonces:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
59
PGF03-R03
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS
CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades
es igual a la suma de las cantidades.
MODELACION.
Ejemplo 1:
a) La raíz cuadrada de x2 es x
b) La raíz cuadrada de 64 es 8
Entonces:
Ejemplo 2
a) La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2
b) La raíz cuadrada de 225y2 es 15y
Entonces:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
60
PGF03-R03
COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS
CANTIDADES
La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda más el
cuadrado de la segunda cantidades.
MODELACION
x3 + 64
Ejemplo 1: --- -- --- =
x +4
a) La raíz cubica de x3 es x
b) La raíz cubica de 64 es 4
x3 + 64
Entonces: --- -- --- = x2 - (x)(4) + 42 = x2 - 4x + 16
x +4
125x3 + 343y3
Ejemplo 2: ------ -- ------ =
5x
+ 7y
a) La raíz cubica de 125x3 es 5x
b) La raíz cubica de 343y3 es 7y
125x3 + 343y3
Entonces: ------ -- ------ = (5x)2 - (5x)(7y) + (7y)2 = 25x2 - 35xy + 49y2
5x
+ 7y
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES
ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
MATEMÁTICAS - Algebra 8
61
PGF03-R03
La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es
igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda, más
el cuadrado de la segunda cantidad.
z3 - 1000
Ejemplo 1: --- -- ------ =
z - 10
a) La raíz cubica de z3 es z
b) La raíz cubica de 1000 es 10
z3
- 1000
Entonces: --- -- ------ = z2 +(z)(10) +102 = z2 + 10z+ 100
z - 10
216x3 - 8y3z3
Ejemplo 2: ------ -- ------ =
6x
- 2yz
a) La raíz cubica de 216x3 es 6x
b) La raíz cubica de 8y3z3 es 2yz
216x3 - 8y3z3
Entonces: ------ -- ------ = (6x)2 +(6x)(2yz) + (2y)2 = 36x2 + 12xyz + 4y2
6x
- 2yz
EJERCITACION.
Resolver:
1.
𝑎2 −16
𝑎+4
𝑥 9 +𝑦 6
3. 3
𝑥 +𝑦 2
1.
2.
4.
25𝑥 2 −49𝑦 2
5𝑥+7𝑦
8𝑎12 −125𝑏15
2𝑎4 −5𝑏5
9−36𝑥 4
3−6𝑥 2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
62
PGF03-R03
UNIDAD III
FACTORIZACION
PROPOSITO:
Reconocer y aplicar estrategias matemáticas para la factorización de expresiones
algebraicas, comprendiendo la importancia de este procedimiento como herramienta de
simplificación aplicable a otras áreas de las matemáticas tales como la trigonometría y el
cálculo, entre otros.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
63
PGF03-R03
ENUNCIACION-MODELACION.
Observa los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Como x2 – 4 = (x + 2 ) (x – 2) entonces x + 2 y x – 2 son FACTORES del polinomio x2 – 4.
Ejemplo 2:
Como x3 – 9x2 + 18x = x (x – 3) (x – 6) entonces x, x – 3 y x – 6 son FACTORES de x2 +
18x..
EN GENERAL: si un polinomio puede escribirse como el producto de otros polinomios,
entonces cada uno de estos polinomios es un FACTOR de polinomio dado.
Los casos de factorización más usados en la matemática son los siguientes:
FACTOR COMUN
MODELACION - SIMULACION
 Identifica el factor numérico o literal que está en TODOS los términos de polinomios.
3x + 3y + 3z – 3w
 Haz lo mismo en este polinomio:
2xy3 - 2xz + 2xw
 En el primer caso el factor común es 3 y en el segundo caso es 2x.
El factor común de un polinomio (si lo tiene) se encuentra así:
 El factor numérico es el M.C.D de los coeficientes del polinomio.
 El factor literal está formado por aquellas letras que están en TODOS los términos y
elevadas al MENOR exponente.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
64
PGF03-R03
EJEMPLOS:
1. El factor común de 4x2 – 2xy se obtienen así:
NUMERICO: 2
FACTOR COMUN:2x
LITERAL: x
2. Hallemos el factor común de 4x2 y 3 + 8x2 y2 – 16x3 y 4
SOLUCION:
 El M. C. D. de 4,8 y 16 es 4 ¿ por qué?
 El M: C: D: de x2 y3; x2 y2 ; x3 y4 es x2 y2, ya que se toman los factores comunes con el
menor exponente.
 Por lo tanto, el factor común del polinomio dado es 4x2 y2
OTRA FORMA
 Factoricemos el polinomio 4x2 y 3 + 8x2 y2 – 16x3 y 4
 Ya sabemos que este polinomio tiene un factor común: 4x2y2 por lo tanto:
4x2 y 3 + 8x2 y2 – 16x3 y 4 = 4x2y2
Para obtener el otro factor sólo tenemos que dividir cada termino del polinomio dado entre el
factor común; así :
4x 2 y 3
 y;
4x 2 y 2
8x 2 y 2
 2;
4x 2 y 2
 16x 3 y 4
 4 xy 2
2 2
4x y
Por lo tanto
4x2y3 + 8x2 y2 – 16x3y4 = 4x2y2 . ( y + 2 – 4 xy2 )
3. Factoricemos: 3x2 y – 2xy + 5x2y2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
65
PGF03-R03
SOLUCION:
3x2 y – 2xy + 5x2y2
= xy ( 3x - 2 + 5xy)
4. Factoricemos: m ( a + b ) + n ( a + b )
SOLUCION:
m(a+b)+n(a+b) = (a+b)(m+n)
5. Factoricemos ax + by – bx – ay
SOLUCION
Agrupemos el primer y el tercer término:
ax + by – bx – ay
= (ax – bx) + (by – ay )
= x ( a – b ) – y ( ( a – b )………(a – b )es el factor común
= (a–b) ( x–y)
SIMULACION.
a. FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
1. 2 a + 2b
11. 10 a 2 c – 2c
2. 4x2y + 8z2
12. 4xy2 – 9x2y
3. rs + 4 st
13. 8b2 m2 + 32b2 m + 6bm2
4. 4u2 – 2 ub
14. -3x2y + 12x2y
5. 3 a2b2 – 6 a2b
15. 3x3y2 + 9x2y2
6. 10xy + 15xy2
16. 5abc2 - 10ab2c - 25 a2bc
MATEMÁTICAS - Algebra 8
66
PGF03-R03
7. 30x2y2 – 15xy
17. 16m 2 np + 4mn2p - 8mnp2
8. -8 a2 bc - 4 abc
18. 18x3y – 9x2y + 27x2y
9. 8t2 – 64
19. 26 a4 – 39a3x + 13 a3
10.
1
1
a b
2
2
20. 51x2 y2 - 34xy2 - 17xy
EJERCITACION
b. Factorizar los siguientes polinomios. En estos ejercicios el factor común es un binomio o
un trinomio (Este es un caso, que se encuentra dentro del factor común, y en este caso, lo
denominaremos FACTOR COMUN POLINOMIO):
21. x(m+n) + y (m+n)
22. 5y(3x+7) – 2m(3x+7)
23. 3 a2(x2 + 2y) – 12ab(x2 + 2y)
24.3x (4-3y) + 8xy(4-3y)
25. x (a3 + b3 + c3 ) – y (a3 + b3 + c3 )
26. 3x +9y +c (x+3y)
27. 2x – 4y + x ( x – 2y)
28. 3x (x-1) – 2y (x-1) + z (x – 1)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
67
PGF03-R03
MODELACION-SIMULACION
En los siguientes ejercicios es necesario agrupar algunos términos antes de factorizar (Este
caso, también corresponde al caso general, FACTOR COMUN y se denomina, FACTOR
COMÚN POR AGRUPACION DE TERMINOS) .
29. ( a + b – 1) ( a2 + 1) – a2 – 1
30. x (a + 2) – a -2 + 3 (a + 2)
31. am + bn – bm –an
32. 3(a-b)2 – a2 + 2 ab – b2
33. (1 –x) (3 + a) + 2 (x – 1) – 1 + x
34. max + mby + mbx + may
35. x – y + a (y – x) – may + max
36.(a –b)2 + 3 a – m 2 b – 3 b + m2a
37. (x +y) 2 – (1 – x)(x + y) + (x – 1)( x + y)2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
RECORDEMOS
Desarrollemos los siguientes binomios al cuadrado:
(2 a2 +3b)2 = 4 a4 + 12 a2 b +9b 2
(5x – 7y)2 = 25x2 -70xy + 49y2
Como vemos, al cuadrado de un binomio es siempre un TRINOMIO, que tiene estas
propiedades:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
68
PGF03-R03

dos de sus términos son positivos y son CUADRADOS PERFECTOS (tienen
raíz cuadrada)

el otro término puede ser positivo o negativo y es igual a 2 veces el producto de
las raíces cuadradas de los otros dos términos.
Veamos:
Según estos ejemplos, todo trinomio cuadrado perfecto es idéntico a un binomio elevado al
cuadrado.
4 a2 + 12 a2b + 9b2 = ( 2 a2 + 3b)2
25 x2- 70 xy + 49 y2
= (5x – 7y)2
Todo trinomio cuadrado perfecto es idéntico a un BINOMIO AL CUADRADO, en el cual;


Sus término son las raíces cuadradas ( positivas) de los cuadrados
perfectos.
El signo coincide con el del doble producto.
Ejemplo:
Factoricemos 9x2 - 48x + 64
MATEMÁTICAS - Algebra 8
69
PGF03-R03
SOLUCION:
a) sacamos la raíz cuadrada positiva de 9x2 y 64 que son los cuadrados perfectos
9x 2  3
64  8
b) separamos las raíces por el signo menos (-) y el binomio obtenido lo
elevamos al cuadrado
9x2 - 48x + 64 = (3x - 8 )2
Otra manera:
SIMULACION
1. completar el término que falta para que el trinomio sea cuadrado perfecto:
a. x2 +2xy + ____
b. a2+ ____ + 25
c. 9x2 +18xy + ____
d. m2
_____ + n2
e. 81a 2 – 18ab + ____
f. 4x2 ______ + 9
MATEMÁTICAS - Algebra 8
70
PGF03-R03
g. ____ + 4ab + b2
h. 9y2 + 6xy + ____
i.
100 a2 ______ + 16
j.
Z2 – 12zx + ____
2. determinar cuáles de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
m2 – 2m + 1
t2 – 10t + 25
z2 – 6z + 9
x2 – 3x + 6
p2 – pq + q2
4b2 – 4b + 1
4x2 – 12x + 9
81u2 – 9uv + v2
EJERCITACION
Factorizar los siguientes trinomios:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
9x2 + 12xy +4x2
a2b2 – 20ab + 100
121x2 + 220x + 100
25t2 – 40st + 16s2
3 a2 + 6a + 3
2 a2 – 28 a + 98
12x2 – 12x + 3
9 ax2 + 6ax + a
(a- 1)2 – 2 (a – 1) + 1
( a + b )2 + 2 ( a + b ) (m +n ) + (m + n )2
75b4 mx2 – 180 mab2x + 108 a2m
MATEMÁTICAS - Algebra 8
71
PGF03-R03
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de los términos,
multiplicada por la diferencia de las mismas.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
MODELACION
1. Factoricemos: 225 a6 – 81b4
SOLUCIÓN:
a) Hallemos la raíz cuadrada positiva de cada término.
225a 6 = 15 a3 ;
81b 4 = 9b2
b) multiplicamos suma de raíces por diferencias de las mismas:
225 a6 – 81b4 = ( 15 a3 + 9b2 ) ( 15 a3 – 9b2)
r2 t2

2. Factoricemos:
100 36
SOLUCION:
2
r2 t2  r   t 

    
100 36  10   6 
2
 r t  r t 
=     
 10 6  10 6 
2. Factoricemos: m2 – ( 1 + n )2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
72
PGF03-R03
SOLUCION:
m2 - ( 1 + n )2 = [ m + ( 1 + n )] [m – ( 1 + n )]
= [ m + 1 + n ] [ m – 1 - n]
2. Factoricemos : ( m – n )2 – ( p + q )2
SOLUCION:
(m – n )2 – (p + q )2
=
[ ( m – n ) + ( p + q ) ] [ (m – n ) – ( p + q )]
= [m - n + p + q ] [ m – n – p - q ]
3. Factoricemos: 3 a3 – 27 ab2
SOLUCION:
Saquemos factor común 3 a :
3 a3 - 27 ab2 = 3 a ( a2 – 9b2 )
= 3 a ( a + 3b ) ( a – 3b )
4. Factoricemos: ( x 2 + 2xy + y2 ) - ( 4 a2 - 12 ab + 9b2 )
SOLUCIÓN:
Cada paréntesis contiene un trinomio cuadrado perfecto.
( x2 + 2xy + y2 ) – (4 a2 – 12 ab + 9b2 ) = ( x + y )2 – ( 2 a – 3b)2
= [ ( x + y ) + ( 2 a – 3b )] [ ( x + y ) – ( 2 a – 3b) ]
= [x + y + 2 a – 3b ] [ x + y – 2 a + 3b]
MATEMÁTICAS - Algebra 8
73
PGF03-R03
SIMULACION
Factorizar los siguientes polinomios:
a. x2 – 16
m. ( x - a )2 – (x + b )2
b. a2 – 4b2
1
c. a2 25
2
d. 16x – 25y2
n. (y2 – 6y + 9 ) – x2
ñ. 4x2 y2 z2 – 9 a2 b2 c2
o. (x2 + 8x + 16 ) – (y2 +2y + 1 )
e. a2 x2 – b2 y2
x2 y2
f. 2  2
a
b
g. x2a – y2b
p. 4 a2 – ( b2 – 2bx + x2 )
q. (25m2 – 20 mn + 4n2) – 36p2
h. a4 b4 – 625c8
s. (1 – a )2 – a6
i. x4 – 81
t. ( a – b + 1 )2 – ( 1 – a – b )2
j. 16 t4 - x4
u. a2 – x2 + 2x – 1
k. a4 x2 – 81x6
v. 2 am – a2 – m2 + 1
r. (x2 y2 – 2xy + 1 ) – ( 36 a2 – 12ax + x2)
l. (2x – 5 )2 – ( 3x – 5 )2
TRINOMIO DE LA FORMA
x2 + bx + c
Al estudiar el producto notable (x+a)(x+b), “ multiplicación de binomios con un término igual”,
se llega a la siguiente conclusión.




El producto de dos binomios que poseen un término en común es un trinomio
El primer término del trinomio es el cuadrado del término en común.
El segundo termino tiene por coeficiente la suma de los términos no comunes y
por parte literal el término común.
El tercer término es igual al producto de los términos no comunes.
Ejemplo: (x - 3)(x+7) = x2 + (-3+7)x + ((-3)(7))
= x2 +4x - 21
MATEMÁTICAS - Algebra 8
74
PGF03-R03
Si queremos factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c debemos llegar al producto de los
binomios que dieron origen a este trinomio, siguiendo estas reglas:
a. El trinomio se factoriza en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada del
primer termino del trinomio.
b. Para encontrar el segundo término de los binomios, se buscan dos numero que
multiplicados me den el tercer término o sea el termino independiente y a la vez que
sumados me den el coeficiente del término dos. Entonces formamos los binomios que
dan origen al producto entre ellos así:
Ejemplo
X2 – 5x – 24
(x
)(x
) sacamos la raíz del primer término y lo ubicamos en cada paréntesis
Ahora los signos se determinan así: el primer signo es el signo del primer término del
trinomio, en este caso -.
El segundo signo es el producto de los dos signo, en este caso (-)(-) = +
(x - ) (x + ) ahora se buscan los números que multiplicados me den 24 y como los signos
son diferentes los del paréntesis entonces que restados den el coeficiente del segundo
término o sea 5
Los números son 8 y 3, ya que 8x3 = 24 y además 8 – 3 = 5, entonces la factorización queda
de la forma:
(x - 8 ) (x + 3 ) el número más grande va en el primer paréntesis y el menor en el segundo
término.
SIMULACION
1. Encuentra los números que cumplan:
a. El producto es 11 y su suma es 12
b. La resta es 7 y el producto es 30
c. El producto es 30 y la resta es 1
MATEMÁTICAS - Algebra 8
75
PGF03-R03
d. La suma es 15 y el producto es 56
e. El producto es 20 y la suma es 9
3. Factorizar las siguientes expresiones
a. s2 + 13 s + 36
b. z2 + 16z + 28
c. t2 - 5 t – 66
d. v 2 – 19 v – 66
e. q 2 + 2q – 8
f. m 2 -14m + 49
g. y2 + 5y – 300
h. x 2 – 15x + 56
i.
z2 + 5z + 6
j.
x2 + 3x -28
4. Aplica la regla para calcular los siguientes productos
a. (x + 3)(x - 1)
b. (y + 5)(y + 2)
c. (m - 6)(m + 4)
d. (t - 8) (t + 5)
e. (c + 4) (c + 3)
f. (a - 12)(a + 10)
DEMOSTRACION
Resolver los siguientes trinomios.
01)
x2 + 8x + 15
02)
n2 + n - 20
03)
m2 - 12m + 27
MATEMÁTICAS - Algebra 8
76
PGF03-R03
04)
x2 - 2x - 24
05)
x2 + 20x + 75
06)
y2 + 16y - 80
07)
x2 - 25x + 100
08)
y2 - 6y - 72
09)
10)
11)
x2 + 0.6x - 2.16
12)
y2- 0.2y - 1.95
13)
x2 + 35x + 300
14)
y2 + 10y - 600
15)
z2 + 12z - 693
16)
w2 - 69w + 1080
17)
x2y2 + 34xy + 120
18)
z2 - 2.3z + 1.26
19)
w2 + 0.8w + 0.15
20)
403 - 44x + x2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
77
PGF03-R03
TRINOMIOS DE LA FORMA
ax2 +bx +c
Deseamos factorizar trinomios como estos:
3x2 +17 + 10
5x2 – 17x + 6
2x2 + 7x – 15
6x 2 - 4x – 10
ax2n ± bxn + c
Estos trinomios se factorizan fácilmente si los llevamos a la forma .
x2 +bx +c
1. ax2n +bxn + c………………………………….trinomio dado
2. = a (ax2n + bxn + c) ……………multiplicamos y dividimos por a.
a
3.= a2 x2n + abxn + ac …………………………..propiedad distributiva
a
4. = (axn)2 + b (axn) + ac ……………………….ya que a2 x2n es = (axn)2
a
Este trinomio es de la forma x2 +bx +c y lo podemos factorizar como en el caso anterior.
MODELACION.
1. Factoricemos: 3x2 + 17x + 10
SOLUCION:
Sigamos los pasos que acabamos de indicar:
3x2 + 17x + 10……multipliquemos y dividamos por 3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
78
PGF03-R03
= 3( 3x2 + 17x + 10 )
3
= 32x2 + 17 (3x) + 30
3
= (3x)2 + 17 (3x) + 30 ……………….. porque 32x2 = (3x)2
3
= (3x +
) (3x +
)
3
= (3x + 15 ) ( 3x + 2)
3
= 3 ( x + 5 ) (3x + 2 )
3
2
3x + 17x 10 = (x + 5 ) ( 3x + 2 )
2. Factoricemos: 5x2 – 17x + 6
SOLUCION:
5x2 – 17x + 6 = 25x2 – 17 ( 5x) + 30
5
2
= (5x) – 17 ( 5x +30 )
5
= (5x – 15) ( 5x – 2)
5
= 5 ( x – 3 )( 5x-2)
5
= (x-3) (5x – 2)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
79
PGF03-R03
3. Factoricemos: 2x2 + 7x -15
SOLUCION:
2x2 + 7x -15 = 4x2 + 7 (2x) – 30
2
= ( 2x ) 2 + 7 ( 2x) + 30
2
=(2x + 10 ) ( 2x – 3)
2
=2( x + 5 )( 2 x – 3)
2
= (x +x5)(2x-x3)
4. Factoricemos: 10m3 - 6 m
2–
4m
SOLUCION:
10m3 - 6 m
2–
4m = 2m [5 m2 - 3 m - 2]
= 2m [25m2 – 3 ( 5m ) - 10]
5
= 2m [ ( 5m)2 – 3 ( 5m ) - 10]
5
= 2m ( 5m – 5) (5m + 2 )
5
= 2m. 5(m-1)(5m+2)
5
= 2m (m-1)(5m+2)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
80
PGF03-R03
SIMULACION.
1. factorizar los siguiente polinomios:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3x2 - 2 x – 16
2t2 - 5 t -25
3x2 – 17 x+ 10
6m 2 – 28m- 10
8t2 – 13 t -33
6x2 – 11x – 10
g. 4a2 – 9a – 9
h. 2x2 + 6x + 4
i. 6x2 – 8x + 2
j. 4x2 – 26x - 14
k. 8x 2 – 10x - 3
l. 5x2 – 3x – 2
EJERCITACION
Relacionar los trinomios con su correspondiente factorización.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2x2 + 3x – 2
2x2 + 5x + 2
2x2 + 29x + 90
2x2 + x – 1
2x2 – x – 1
2x2 – 6x – 20
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
(x + 2)(2x + 1)
(x – 1)(2x + 1)
(2x – 1)(x +2)
(x – 5)(2x + 4)
(x + 10)(2x + 9)
(2x – 1)(x + 1)
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
Para estudiar este caso debemos tener bien claro el proceso para factorizar un trinomio
cuadrado perfecto ya estudiado en esta unidad, a partir del tema de factorización.
Existen trinomios que a la hora de factorizarlos no cumplen ya que le falta o le sobra cierta
cantidad en el segundo término, por medio del siguiente proceso podemos completar el
trinomio para poder factorizarlo, así:
Ejemplos:
1. Factorizar la siguiente expresión 4x4 + 3x2 + 9; es un trinomio entonces vamos a
factorizarlo como un trinomio cuadrado perfecto, así:
4x4 + 3x2 + 9
2x2
3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
81
PGF03-R03
2(2x2)( 3) = 12x2
Ahora notamos que la comprobación 2(2x2)( 3) = 12x2 no dio el segundo término del trinomio
inicial 12x2 ≠ 3x2 , por tanto debemos sumarle a la expresión original 9x2 , ya que 9x2 + x2 =
12x2 que es lo que debe aparecer, entonces queda de la siguiente manera:
x4 + 3x2 + 9 + 9x2 ; pero como le sume 9x2 también le resto la misma cantidad para no alterar
la expresión original, así:
x4 + 3x2 + 9 + 9x2 - 9x2
Ahora realizamos la operación 3x2 + 9x2 = 12x2 entonces la expresión toma la forma:
x4 + 12x2 + 9 - 9x2
ahora los tres primeros términos ya podemos factorizarlos como trinomio cuadrado perfecto
Así:
x4 + 12x2 + 9 = (x2 + 3)2 ahora le agregamos el cuarto término que nos sobro -9x2,
(x2 + 3)2 – 9x2
aplicamos diferencia de cuadrados
[(x2 + 3) – 3x] [(x2 + 3) + 3x]
Entonces la respuesta
4x4 + 3x2 + 9 = [(x2 + 3) – 3x] [(x2 + 3) + 3x]
2. Factorizar la siguiente expresión 9x8 – 2x4 + 16
Solución
9x8 – 25x4 + 16
3x4
4
2(3x4)(4) = 24x4
MATEMÁTICAS - Algebra 8
82
PGF03-R03
Factorización trinomio cuadrado perfecto, debemos sumarle x4, ya que
–25x4 + x4 = 24x4, y como se lo sumamos también lo restamos, así:
= 9x8 – 25x4 + 16 + x4 – x4
= 9x8 – 24x4 + 16 – x4
= (3x4 - 4)2 – x4
ahora factorizamos los tres primeros términos
Y ahora factorizamos con diferencia de cuadrados
= [(3x4 - 4)) – x2] [(3x4 - 4)) + x2]
SIMULACION
1. Factorizar las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
a4 + 2a2 + 9
9x8 + 3x4 + 4
4x4 – 20x2 + 16
25m12 + 41m6 + 25
y4 – 3y2 + 1
16m4n4 + 15m2n2 + 4
x8y8 + 2x2y2 + 81
36k4 – 21k2m2 + m4
49x8 + 59x4y4 + 36y8
100m4 – 340m2 + 144
SUMAS O RESTAS DE CUBOS.
SIMULACION
Se propone al grupo productos como los siguientes y luego analizaremos los factores y el
resultado, en conjunto.
PRIMER PRODUCTO
(x + y ) ( x2 – x y + y2 )
= x3 – x2 y + xy2 + x2 y – xy2 + y3
= x3 + y3
Si invertimos el orden de los miembros de la igualdad nos queda:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
83
PGF03-R03
x3 + y3 = ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )
SEGUNDO PRODUCTO
(x - y ) ( x2 + x y + y2 )
= x3 – x2y + xy2 - x2y + xy2 - y3
= x3 - y3
Invirtamos el orden de los miembros de esta igualdad:
X3 - y3 =
(x-y)
por ( x2 + xy + y2 )
SUMA O RESTA DE CUBOS
a. Una suma o resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio
b. el binomio está formado por la suma o la resta de las raíces cubas
c. el trinomio consta de : cuadrado de la primera raíz; producto de las dos raíces y
cuadrado de la segunda raíz.
d. los signos del trinomio son:
a) para suma de cubos ( +) , (- ), (+ ).
b) Para diferencia de cubos: ( + ) , (+ ) , ( + ).
X3 + y3 = ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )
X3 – y3 = ( x – y ) ( x2 + xy + y2 )

Veamos la interpretación geométrica de una diferencia de cubos:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
84
PGF03-R03
MODELACION
1. Factoricemos X3 - 27
Solución
Esta es una diferencia de cubos
X3 - 27
X3 - 27
= X3 - 3 3
= ( x – 3 ) ( x2 + 3x + 9 )
2. Factoricemos 8 y3 + 1
Solución
8y3 + 1 = (2y)3 + 1 : suma de cubos
= (2y + 1 ) ( 4 y2 – 2y + 1 )
3. Factoricemos:
27 a15 b12 + 216
Solución
MATEMÁTICAS - Algebra 8
85
PGF03-R03
27 a15 b12 + 216
= ( 3 a5 b4 )3 + 63
= ( 3 a5 b4 + 6 ) [ ( 3 a5 b4 )2 – 6 ( 3 a5 b4 ) + 62 ]
= ( 3 a5 b4 + 6 ) ( 9 a10 b8 – 18 a5 b4 + 36 )
SIMULACION
Llenar los espacios en blanco de manera que se cumpla la igualdad:
a) ( 2 + y ) (
) = 8 + y3
b) ( 5 – m ) (
) = 125 – m3
c) ( 4 – 3z ) (
) = 64 - 27 z3
d) ( 2 a + 4b ) (
) = 8 a3 + 64b3
e) ( 2p + 5 ) (
) = 8 p3 + 125
f) (
) ( y2 – 5 y + 25 ) = y3 + 125
g) (
) ( 4 a2 – 6 a + 9 ) = 8 a3 + 27
1
i) (  a  4 a2 ) (
4
) =
1
 8a 3
8
En los ejercicios del 2 al 20 factoricemos el polinomio cuando sea posible.
2. a3 + 1
11. t12 – t6
3. x3 - a3
12. y9 – x3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
86
PGF03-R03
4. 8 a3 + 1
13. ( x – a )3 + b3
5. 64 + 8 y3
14. 8 – ( m + n )3
6. 216 - 27x6
15.
7. 1000 + a3 x3
16. t9 + y9
8. x6 – y6
17. t12 – x12
9.
1
 y3
64
10.
y3
1

8 27
1
1

x3
64 1000
18. a12 – ( a2 – 1 )3
19. x3m – y6n
20. ( x – 1 )3 – ( 1 – x )3
DEMOSTRACION
En los ejercicios del 1 al 9 , seleccionar la letra que corresponde a la respuesta correcta.
1. factorizar un polinomio significa convertirlo en:
a) un producto de dos factores
b) un producto de tres factores
c) un producto de cuatro factores
d) un producto de ciertos números de factores.
2. una sola de las siguientes afirmaciones es correcta:
a) una suma al cubo equivalente a una suma de cubos.
b) El factor común siempre es un monomio o un binomio.
c) Una diferencia de cubos no equivalente a una diferencia al cubo.
d) Una diferencia de cuadrado equivalente a x2 - y2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
87
PGF03-R03
3. una de las siguientes afirmaciones es correcta:
a) una diferencia de cuadrados es siempre un cuadrado perfecto.
b) una suma al cuadrado es siempre un cuadrado perfecto
c) una suma de cuadrados siempre es un cuadrado perfecto.
d) una diferencia de cubos es siempre un cubo perfecto.
4. en la expresión x2n + bxn + c, el exponente del cuadrado perfecto es :
a) siempre un número par.
b) siempre un número impar.
c) puede ser par o impar.
d) Nadase puede afirmar
5) si multiplicamos la suma de las raíces cuadradas de dos expresiones algebraicas
Por la diferencia de las mismas, obtenemos:
a) un trinomio cuadrado perfecto
b) una diferencia al cuadrado
c) una suma al cuadrado
d) una diferencia de cuadrados
6) los términos de una diferencia de cuadrados:
a) deben ser monomios
b) pueden ser dos polinomios cualesquiera
c) deben ser un monomio y un binomio
d) deben ser dos binomios
7) Para factorizar “ a - b “ como una diferencia de cubos:
a) puede hacerse en el conjunto de las racionales, siempre.
b) solo puede hacerse en los reales
c) puede hacerse en los enteros, siempre
d) no puede hacerse en ningún conjunto
8) acerca de la expresión “ a6 - b6 “ podemos afirmar:
a) solo es factorizable como diferencia de cuadrados
b) solo es factorizable como diferencia de cubos.
c) es factorizable como diferencia de cuadrados y cubos
d) no es factorizable
MATEMÁTICAS - Algebra 8
88
PGF03-R03
9) en una diferencia de cuadrados perfectos los exponentes:
a) deben ser pares
b) debes ser impares
c) pueden ser pares o impares
d) ninguna de las anteriores
en los ejercicios del 10 al 55 factorizar completamente la expresión:
10. 4 a2 x2 - 25x2
33. n2 + n - 42
11. m7 – 8m5 + 10m3
34. x6 - 4x3 -480
12. x4 - y4
35. 32n - 3n - 20
13. a2 + 12abx + 36b2x2
36. 4 - 4.3n + 32n
14. ( a - b )2 - ( x - y )2
15. ( x + y - 8 )2 - ( x - 8 )2
37. 3p2 – 3p - 18
38. a10 - a8 + a6 - a4
16. 1 - x2 - 2xy - y2
17. a6 + 729t3
18. a3 + b3 + a + b
19. a2 - 9b2 + a + 3b
20. 84y3 - 105y2 + 21y
21. ( x + 3 )2 - 7 ( x + 3 ) + 12
22. x5m - x3m b4m
23. 9 a3 - 12 a2 b + 4ab2
24. x3 + x2 - 4x - 4
25. 25x2 - 80xy + 64y2
26. 9 a2 - 6 a + 1
27. 27 a3 + 8b3
28. x2 - 2xy + y2 - xz + yz
29.mn - n2 + mx - nx
30. x2 + 2yx + y2 - xz - yz
31. a2 + 2ab + b2 - a3 - b3
32. 81 a8 - 64b12
39. 3 a2 b2 - 12 a2 bc + 18ab2c
40. 32n + 2. 3n + 1
41. – a9 - a6
42. 8x6 + 7x3 - 1
43. a3 - 9b2 - 27b3 + a2
44. 2x2 - xyn - y2n
45. x4 + 3x2 - 4
46. a4 b4 + 4 a2b2 - 96
47. x3 - y3 + x - y
48. x2m + 2 - x2 y2n
49. x - xy + 1 - y2
50.( a2 + a )2 + 7 ( a2 + a ) + 12
51. a4 + a3 - 9 a2 - 9 a
52. x5 - 40x3 + 144x
53. x17 - x
54. x21 y3 - x3 y21
55. m12 - 1
MATEMÁTICAS - Algebra 8
89
PGF03-R03
Factorizar los ejercicios 56 al 61, sumando y restando previamente una cantidad para formar
un trinomio cuadrado perfecto
56. a4 - 7 a2 b2 + b4
57. m4 + 4
58. x4 - 7x2 + 9
59. 4x4 + y4
60. 9x8 + 8x4 y4 + 4y8
61. x4n + 16 + 4x2n
DEMOSTRACION
DESARROLLO DE COMPETENCIAS
Responde las siguientes preguntas, de acuerdo con la información que se presenta a continuación:
Un matemático consagrado, realiza un mapa de un terreno en el que hay cuatro fincas que se
comunican por caminos de herradura.
Observar, y responder:
Finca El Sol
X2- 3x - 15
X2- 3x - 15
Finca la Montaña
X2- 3x - 15
X2- 3x - 15
Finca La Luna
X2- 3x - 15
Finca Las Estrellas
1. Los factores que representan la distancia que separa las Fincas El Sol y La Luna son:
a.(x+3)(x+3)
b. (x-4)(x+4)
c. (x-5)(x+3)
d. (3x+5)(3x+5)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
90
PGF03-R03
2. La distancia que separa las fincas La Montaña y Las Estrellas es:
a. Trinomio cuadrado perfecto.
b. Diferencia de cuadrados.
c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
d. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
3.Es un trinomio cuadrado perfecto la distancia que separa las fincas:
a. El Sol y La Montaña.
b. La Luna y Las Estrellas.
c. Las Estrellas y La Montaña.
d. El Sol y La Luna
Ejercicio Tomado de Algebra y Geometría I, Editorial Santillana.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
91
PGF03-R03
UNIDAD IV
LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS
PROPOSITO:
Obtener las habilidades y preconceptos algebraicos relacionados con el
manejo de las fracciones algebraicas y el análisis y solución de
ecuaciones sencillas, necesarios para el proceso académico.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
92
PGF03-R03
ENUNCIACION.
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se
representa por:
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
son fracciones algebraicas equivalentes porque:
(x + 2) · (x − 2) = x 2 − 4
MATEMÁTICAS - Algebra 8
93
PGF03-R03
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y
el denominadorde dicha fracción por un mismopolinomio distinto de cero,
la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y
el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de
ambos.
Amplificación de fracciones algebraicas
Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y
el denominador de la fracción por unpolinomio.
Reducción de fracciones algebraicas a común denominador
1Se descomponen los denominadores en factores para hallarles
el mínimo común múltiplo, que será el común denominador.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
94
PGF03-R03
x 2 − 1 = (x+1) · (x − 1)
x 2 + 3x + 2 = (x+1) · (x + 2)
m.c.m.(x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x − 1) · (x + 2)
2Dividimos el común denominador entre los denominadores de las
fracciones dadas y el resultado lomultiplicamos por
el numerador correspondiente.
SIMULACION
Los talleres que presentamos a continuación, tienen el propósito de fortalecer los
criterios planteados previamente.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
95
PGF03-R03
Recuerda que por ser una simulación es un trabajo colaborativo. Aprovecha al
máximo este espacio.
1. Completar para que se cumpla la igualdad:
i.
 3x  6 x 2 y

y2
ii.
a 2b 3

xy
5abx3 y 2
15a 2 b 2 x 3
3x
9bx4
x m x m1 y 2
iv.

xy m1
iii.
v.
vi.

x y

x 2 y 2  xy 3
x 2 y 2  xy 3
a mb n
a 2m b n  a m b 2n

am  bn
2. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
12x 2 y
8x 3
50a 3b 4 c 2
ii.
24a 2 b 5 c 2
15x 5 y 4 z
iii. 
25xy 5 z 2
i.
60a 4 b 5
12a 5 b 4
18a 2 x b ( x 3)
v.
a xb x
iv.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
96
PGF03-R03
x 4 a  3 y a 5
vi.
x 2 a 1 y a 7
a2  b2
vii.
5a  5b
2x 2  2 y 2
viii.
4x  4 y
z 2 1
ix.
z 2  4z  5
2 x 2 y  3xy 2
x.
4x 2  9 y 2
x 2  2 x  15
2 x 2  50
a 2  9a  8
xii. 2
a  5a  24
2 x 3  8 x 2  42x
xiii.
4 x 5  32x 4  24x 3
4 x 2  20x  25
xiv.
4 x 2  25
5a 4 b  15a 2 b 2
xv. 4
a  6a 2 b  9b 2
18 p 3  48 p 2  32 p
xvi.
36 p 3  64 p
xi.
xvii.
xviii.
xix.
x 4  16
x 4  3x 2  4
a 2x  b2x
2a 2 x  2a x b x
a 2 x 3  a x 3
a 2x  a x
MATEMÁTICAS - Algebra 8
97
PGF03-R03
3. Amplificar cada una de las siguientes fracciones por la expresión indicada:
i.
4x
amplificar por 5xy
3y
 a 2b c
ii.
amplificar por 4a3b2
5
2x 2 y 2x 2 y
iii.
amplificar por (-x3y2z).
3z 3 3z 3
3
xn
yn
2a  3b
v.
ab
x2  y2
vi.
xy
ab
vii.
ab
2n  2
viii.
2
iv.
amplificar por x2yn.
amplificar por a2b
amplificar por (x2 – y2)
amplificar por (a + b)
amplificar por 2(1-n)
Tomado de http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Suma de fracciones algebraicas
 Con el mismo denomiminador
MATEMÁTICAS - Algebra 8
98
PGF03-R03
 Con distinto denomiminador
En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común
denominador, posteriormente se suman los numeradores.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
99
PGF03-R03
Multiplicación de fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
MATEMÁTICAS - Algebra 8
100
PGF03-R03
EJERCITACION.
Calcula la adición o sustracción de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica cuando sea posible:
1)
9 5 7
 
x x x
5)
4m
5m  6 7 m  8


2m  5 2m  5 2m  5
8)
5m  8n 7 m  9n 5m  15n


3m  2n 2n  3m 2n  3m
10)
a5
7
1
a5
a5
2)
4
5
9
 2  2
2
a
a
a
6)
11)
3)
6x
4

3x  2 3x  2
7
2a  5
 2
a  3a  4 a  3a  4
2
9)
4)
7)
2x  3
7x  8

2 x  15 2 x  15
a3
9
1


a2 a2 a2
3 p  12 p 2
p  10 p 2
5p  9 p2


20 p 2  7 p  6 20 p 2  7 p  6 20 p 2  7 p  6
m4
m 2  3m
7  2m 2


m 2  2 m  3 m 2  2m  3 m 2  2m  3
Para reforzar los procedimientos matemáticos aplicados, puedes basarte en los
siguientes ejemplos, resueltos paso a paso:
Modelación de fracciones algebraicas
Simplificar las fracciones algebraicas
MATEMÁTICAS - Algebra 8
101
PGF03-R03
1
2
3
MATEMÁTICAS - Algebra 8
102
PGF03-R03
4
5
Suma las fracciones algebraicas
MATEMÁTICAS - Algebra 8
103
PGF03-R03
Resta las fracciones algebraicas
MATEMÁTICAS - Algebra 8
104
PGF03-R03
Multiplica las fracciones algebraicas
1
2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
105
PGF03-R03
Opera
Efectúa las operaciones.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
106
PGF03-R03
Realiza las operaciones.
DEMOSTRACION
1. Calcula las siguientes sumas o restas y simplifica cuando proceda:
1)
9
5 3


5x 2x x
2)
5
m 1
6)
5) m  2 
9)
11)
6
x
2

7
5

2x 3x
7
 a 1
2a - 3
6(d  1)
d 1
d

 2
d -3 d 3 d 9
p  17
p  p  12
2

p 1
p  5p  6
2
3)
7)
6
p  2p  8
2
2
2

4)
3a
8)
2
a -1 a - a - 2
10)

m - 2 3m - 1

8m
5m
x  6 2x  5

8x
12x
2xy
y
x


x - 2y x 2 - 2xy x
2
9
4x  5


x 2  10x  24 18 - 3x - x 2 x 2  x  12
12)
3d

7
2d  d  1 6d  d  2
2
2

1
3d  5d  2
2
2. Multiplica y simplifica las expresiones
MATEMÁTICAS - Algebra 8
107
PGF03-R03
3(a  b)  17 (a  b)
·
2x
19 x 3
1)
2 xy 4 5 x 3 y
·
3a 3 b 7ab4
5)
a 2  9a  18 a 2  7a  10
·
a 2  8a  15 a 2  11a  18
9)
x 2  9 x 2  7 x  12 x 2  7 x  12
·
·
x 2  6 x  9 x 2  8 x  16 x 2  2 x
2)
 x3 y 4 x7 y8
·
x 4 y 5  x 15 y 3
3)
4)
z 2  10z  16 z 2  10z  21
·
z 2  9 z  14 z 2  2 z  15
7)
10)
8)
2a 2  7a  6 2a 2  17a  8
·
2a 2  9 a  9 4 a 2  9 a  2
x 2  y 2 x 2  2 xy  y 2 x 2  xy  y 2 3x  3 y
·
·
·
5x  5 y 30x  30y
x 3  y 3 x 2  2 xy  y 2
3. Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas:
1)
5)
6)
35a 3 14ab 2
:
18b 3 9b 3
2)
a 5b8c7
4
6 10
:
a b c
a 6 b8c9
3
:
2 5
6x 2  9xy
a b c
m 2  8m  16 m 2  2m  3
:
m 2  2m  8 m 2  3m  2
x 3  y3
3)
x 2  y2
x 2  2xy  y 2 x 2  2xy  y 2
6)
a
3p 2  p  2
:
3
:
a
14x  21x 2 y
3
3p 2  8p  4
7)
4p 2  7p  3 4p 2  5p  6
9)
x 3  x x 1
:
x 1 x 1
10)
4
x 4  y4
:
x2  y2
x 2  2xy  y 2 x 2  2xy  y 2
m 2  3m  2 m 2  6m  16
:
m 2  5m  4 m 2  m  20
4. Simplifica las fracciones complejas:
1)
x2
y
y

2
y
x
x
5
x 
25
4 2
x
2
2)
3)
1
1
1
2
y

4)
x y x y

x y x y

x 2  xy  y 2
1
x2  y2
MATEMÁTICAS - Algebra 8
108
PGF03-R03
1
1
1
5)
1
1
x 1 
1
6)
1
1
x 1
1
1
1
x
1
2
x4

7)
x
x2
 2
x 1 x 1 
1
1
x 1
Tomado de: www.colegiosantacruzriobueno.cl
Departamento de Matemática
RACIONALIZACIÓN
ENUNCIACIÓN
Podemos identificar tres casos.
1. Racionalización del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
109
PGF03-R03
2. Racionalización del tipo
Se multiplica numerador y denominador por
3. Racionalización del tipo
.
, y en general cuando el denominador sea
un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador
(Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente
que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por
la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.)
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
110
PGF03-R03
También tenemos que tener en cuenta que: " suma por diferencia es igual a
diferencia de cuadrados".
MATEMÁTICAS - Algebra 8
111
PGF03-R03
SIMULACION-EJERCITACION
Racionalizar:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
112
PGF03-R03
7)
8)
ECUACIONES
LECTURA AFECTIVA.
El arte de plantear ecuaciones
“El idioma del álgebra es la ecuación”.
“Para resolver un problema referente a números o a relaciones abstractas de cantidades, basta
traducir dicho problema, del idioma que hablamos, al idioma algebraico...” (Isaac Newton –
1765).
Lo afirmado por Newton, encierra el logro final de lo que siempre buscaron los matemáticos
antiguos: una forma de expresar algebraicamente las incógnitas que podía contener un problema.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
113
PGF03-R03
Uno de los primeros pasos lo dio el celebre matemático árabe
kuaritzmi, quien designa a la incógnita con el nombre de “LA
que en árabe es “XAI” y cuya letra inicial “x” se tomo
posteriormente para representar a la incógnita.
Al–
COSA”
Leonardo de Pisa, mas conocido como Fibonacci (1175) es el
autentico representante del álgebra en la edad media. El hizo
un
viaje de estudios al Oriente y es precisamente a su regreso
que
introduce en Europa la numeración y el álgebra indoarábigos
que
practicaban los “cosistas” (así llamaban en el Oriente a los
matemáticos), tales conocimientos los publico en su libro
“Liber Abacci” en donde resolvía problemas usando métodos prácticos para operar con soltura tanto con
cantidades conocidas como con desconocidas.
Aquí va un ejemplo de cómo razonaba Fibonacci:
* Un devoto rogó Júpiter que le duplicara el número de monedas que tenia en el bolsillo y que por
ello le pagaría 8 monedas. Así se hizo. Entonces rogó a Venus que hiciera igual milagro, volvió a
ocurrir y pago 8 monedas, finalmente rogó a Mercurio que le duplicara el numero de monedas. Así
ocurrió y pago 8 monedas, pero se encontró finalmente poseedor de nada. ¿Cuántas monedas
tenia al principio?
Solución de Fibonacci:
Llamemos cosa al capital inicial: lo duplico tuvo dos cosas, pago 8 monedas y le quedaron dos
cosas menos 8 monedas, lo duplico por segunda vez y tuvo cuatro cosas menos 16 monedas, pero
como pago 8 monedas le quedaron cuatro cosas menos 24 monedas. Lo duplico por tercera vez y
tuvo entonces ocho cosas menos 48 monedas; pero como volvió a pagar 8 monedas, le quedaron
ocho cosas menos 56 monedas”.
Por consiguiente: “8 cosas = 56 monedas”
de donde
: “cosa = 7 monedas”
El ejemplo expuesto, contribuirá seguramente a que usted que ya conoce las técnicas modernas,
intente con más optimismo la solución de otros problemas en donde se tenga que utilizar las
ecuaciones que son las herramientas más poderosas del matemático.
Autor: PROFESOR: Lic. Marco A. Vega Mucha
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
ENUNCIACION.
Recordemos que……..
Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan
números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.
Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos
por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la
expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los
factores del término 5x2 de la expresión algebráica 5x2 + 3x3y3z .
Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de
x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el
coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente
numérico.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado
del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
AHORA………………….Las ecuaciones son igualdades.
OJO
Existe una diferencia entre identidad y ecuación. Cuando dos expresiones son iguales para
cualquier valor que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión es una
identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es
una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
a) Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x
+ 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 +
z = 8 tiene tres incógnitas.
Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el
eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas
como curvas en un espacio de tres dimensiones.
b) Por el grado de la incógnita.
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la
incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las
fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no
se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del
grado que sea, se puede resolver de esta forma:
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes
ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3
..................................
x1x2...xn = (-1)nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos
permitiría obtener las soluciones.
c) Por el número de términos

Ecuaciones binómicas:
Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones
binómicas.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
116
PGF03-R03

Ecuaciones polinómicas:
Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y
aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de
términos, se suelen llamar polinómicas.
SOLUCION DE ECUACIONES
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes
reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema
fundamental del álgebra.
D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se
considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa.
a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x.
Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una
variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría
ax = -b
-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro
caso x = -b/a.
b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta
aplicar la siguiente fórmula:
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra
solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
117
PGF03-R03
c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena
aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más
cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado,
las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 +
bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m =
b/a y n = -c/a)
El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se atribuye
a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.
El método es el siguiente:
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes.
Quedareis muy bien si además citais el libro en que apareció por primera vez y el autor
(Libro: Ars Magna. Autor:Girolamo Cardano).
c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita
El método mas frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la
ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si
tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor
que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado 'disfrazada' . Lo vereis con un ejemplo:
3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x 2 = t, nos queda 3t2 +
2t - 5 = 0. En este caso, haceis el cambio de variable, resolveis la ecuación de segundo
grado y despues despejais la x (calculando la raiz cuadrada del valor que hemos obtenido
para t).
Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprendereis a vuestro profesor
resolviendo la ecuación por este método:
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes
ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3
..................................
x1x2...xn = (-1)nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos
permitiría obtener las soluciones.
SIMULACION
1. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones fraccionarias:
a)
x x
 5
2 3
b)
x 1 5x
 
3
3 2 6
c)
7
8
9 1 31 7x
 
 
2x 3x 4x 3
6x
d)
x  3 x  4 1 x  1 2x  1

 

4
9
2
4
9
e)
12
7
4
1



5( x  3) 10 3( x  3) 30
f)
5
3
4
7

3

2(2 x  1) 3(2 x  1)
3(2 x  1) 6
g)
x 1 x  3

2
x  3 x 1
MATEMÁTICAS - Algebra 8
119
PGF03-R03
h) x 
i)
x
b
a
x a x b

2
b
a
2. Resuelva las siguientes ecuaciones y problemas aplicados antes de comenzar a resolver fíjese con cuidado
en las operaciones que puede realizar en cada lado de la ecuación. Una vez que haya simplificado las
expresiones a ambos lados continúe. En los problemas plantee una ecuación y luego resuelva.
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
25)
26)
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PGF03-R03
27)
28)
3. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo orden:
1. x 2  100
2. x 2  225  0
3. x 2  1225
4. x 2  50
5. x 2  3c 2  0
6. x 2  10  71
7. x 2  23  167
8. 6x 2  27  5x 2  73
9. 7 x 2  252
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PGF03-R03
10. 2x 2  35  1315 3x 2
11. x 2  a 2  25b 2  10ab
4
9
12. x 2  m 2  mn 
9 2
n
16
13. x(2x  3)  3(5  x)  83
14. (2x  5)(2x  5)  11
15. (7  x) 2  (7  x) 2  130
16. (3x  5)(4x  3)  (5x  3)(2z  9)  80x  20
17. (2x  3)(3x  4)  (x  13)(x  4)  40
18. (3x  4)(4x  3)  (2x  7)(3x  2)  214
19. 8(2  x) 2  2(8  x) 2
20.
2x 2  8
2
3
2
2
21. x  6  x  4  5
2
22.
4
5x  3 7  x

x
x2
DEMOSTRACION
1. Si a y b son números naturales, completar el siguiente cuadriculado con las expresiones
1
y
(𝑎+𝑏)
𝑎
𝑎𝑏
expresión
de tal modo que en cada fila y en cada columna aparezca sólo una vez la
MATEMÁTICAS - Algebra 8
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PGF03-R03
¿Qué condiciones debe satisfacer a y b para que el cuadriculado
1/b
sea un cuadrado mágico?
1/b
1/b
2.- Demuestra que:
a)
a+b
__
a–b
b
=
2
b
3.- Resuelve:
a) a + b . ab
. a2 – 2ab + b2
a2 – b2
a+b
3ab
d) x – y .
x2
e) 3x – 6
x
(x–y)
2x – 6
g) -x3y4
x4y5
.
x7y8
-x15y3
b) x2 + 2xy + y2 .
. x2 – 9
x2 – 4
.1
3
1
x+y
f) 3(a – b)
2x
h) x – 2
x–3
c) a . 2b
b 3a
. -17(a – b )
19x3
. ( x – 3 )2
x2 – 4
4. Descubre la figura a través de las ubicaciones de estos pares ordenados, en un gráfico cartesiano.
Comienza una nueva línea para cada grupo de pares ordenados y sombrea en los casos marcados
con negrita.
COMENZAR
(6,5; -10)
(-1, 9)
(-8, 16)
(-5, 3)
(8, -10)
(-2, 8)
(-12, 16)
MATEMÁTICAS - Algebra 8
124
PGF03-R03
(-5, 2)
(10, -9)
(-3, 8)
(-13, 15)
(-3, -2)
(12, -7)
(-4, 10)
(-12, 12)
FIN DE LINEA
(13, -4)
(-5, 15)
(-10, 10)
(-4, 0)
(13, 2)
(-6, 19)
(-9, 8)
(-5, -4)
(12, 5)
(-8, 22)
(-8, 3)
(-5, -8)
(9, 7)
(-10, 22)
(-6,5; 4,5)
(-4, -13)
FIN DE LINEA
(-11, 21)
FIN DE LINEA
(-4, -22)
(6, 7)
(-10, 20)
(-2, 11)
(-2, -23)
(7, 6)
(-9, 20)
(-2, 10)
(0, -22)
(9, 5)
(-8, 18)
(-3, 10)
(0, -12)
(9, 7)
(-8, 10)
(-2, 11)
(1, -10)
(10, 10)
(-7, 6)
FIN DE LINEA
(2, -12)
(11, 12)
(-6, 4)
(1, 11)
(2, -22)
(13, 14)
(-5, 3)
(1, 10)
(4, -23)
(13, 16)
(-2, 2)
(2, 10)
(6, -22)
(11, 17)
(-1, 2)
(1, 11)
(6, -13)
(7, 17)
(1, 3)
FIN DE LINEA
(7, -8)
(3, 15)
(2, 4)
(7, -4)
FIN DE LINEA
FIN DE LINEA
(6, 0)
(4, 13)
(1, 3)
FIN DE LINEA
(3, 15)
(0, 1)
(7, -10)
(1, 17)
(-2, 0)
(8, -12)
(-2, 17)
(-1, 2)
(8, -18)
(-3, 16)
FIN DE LINEA
MATEMÁTICAS - Algebra 8
125
PGF03-R03
(9, -19)
(-4, 14)
(-2, 0)
(11, -18)
(-5, 15)
(-3, 0)
(11, -9)
FIN DE LINEA
(-1, -2)
(12, -7)
FIN DE LINEA
FIN DE LINEA
1. Grafica las funciones y = 2x + 1 e y = -3x -1, dándole a la variable independiente, o sea a la x,
los valores -3, -1, 0, 2, 4. ¿Qué ocurre con la grafica cuando el coeficiente de x es positivo o
es negativo? ¿qué señala el punto 1 y -1 en las funciones dadas?
2. Determina el las funciones siguientes los valores de la pendiente y del coeficiente de posición:
a) y = -3x + 2
b) y = 4x – 5
c) y = -x – 1
d) y = x
e) y = -2
f) 3x – y = 2
g) -2x + 4y = -3
h)
x  5y
3
4
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PGF03-R03
WEBGRAFIA




www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones
www.el-profesor.8m.com/teoria_de_enteros.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
www.vitutor.com/ - España
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