INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.
Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que
obtenemos con las soluciones.
eje mp l os
1 x 2 − 6x + 8 > 0
x 2 − 6x + 8 > 0
x 2 − 6x + 8 = 0
P (0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0
P (3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P (5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
S = ( -∞ , 2)
(4, ∞ )
2 x 2 + 2x +1 ≥ 0
x 2 + 2x +1 = 0
(x + 1) 2 ≥ 0
Todo núm ero el ev ad o al cuadr ado es m a yo r o i gu al que ce ro .
S =
Pasos p ara r esol ver i n ecu aci on es d e segu n d o grad o
1º Igu al am os el pol i nom i o del pri m er m i em bro a cero y
obt enem os l as raí c e s de l a ecu aci ón de segundo grado.
2º R epresent am os es t os val ores en l a re c t a real . Tom am os un
punt o de cada i nt e rv al o y eval uam os el s i gno en cada i nt e rva l o:
3º La sol uci ón est á com puest a por l os i nt erval os (o e l
i nt erval o) que t en ga n el m i sm o si gno que el pol i nom i o.
S i el d i scri m i nant e es i gual a ce ro:
S ol u ci ón
x 2 + 2x +1 ≥ 0
(x + 1) 2 ≥ 0
x 2 + 2x +1 > 0
(x + 1) 2 > 0
x 2 + 2x +1 ≤ 0
(x + 1) 2 ≤ 0
x 2 + 2x +1 < 0
(x + 1) 2 < 0
x = − 1
C uando no t i ene raí ces re al es, l e dam os al pol i nom i o
cual qui er val o r si :
El si gno obt eni do coi nci de con el de l a desi gual dad, l a
s ol uci ón es
.
El si gno obt eni do n o coi nci de con el d e l a d esi gu al dad, n o
t i ene sol uci ón.
S ol u ci ón
x 2 + x +1 ≥ 0
x 2 + x +1 > 0
x 2 + x +1 ≤ 0
x 2 + x +1 < 0
Método gráfico: en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan
inecuaciones de la forma
La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico,
conocido coloquialmente como el "Método de las cruces o del cementerio". La eficacia
del "Método de las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de
grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma
Procedimiento en el método gráfico
1. Se factoriza el polinomio
2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la
parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo
3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el
resultado
4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor
5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso
anterior
6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz
7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un
signo menos y a la derecha con un signo más
8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los
signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar
correspondiente de la recta real de resultados
9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos
los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si
el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos
señalados con el signo menos.
Ejemplo
Inecuaciones simultáneas que contienen inecuaciones cuadráticas:
La técnica para hallar la solución de inecuaciones en la que aparecen inecuaciones
cuadráticas es similar a la que utilizamos para solucionar sistemas de dos o tres
inecuaciones lineales simultáneas. Debemos trazar las gráficas de las inecuaciones
cuadráticas como se mostró en el apartado anterior, y las inecuaciones lineales como ya
aprendimos con anterioridad; la solución del sistema será entonces la intersección de
todas las regiones que se generaron como soluciones de cada inecuación particular.
En algunos de los ejercicios resueltos que presento a continuación se ejemplariza la
forma de solucionar sistemas de inecuaciones en la que aaparecen inecuaciones
cuadráticas.
V IDEO D E P AS OS C OMO S E R ES UE LVE UNA EC U AC IO N DE
S EGUNDO GR ADO EN LA S IGU IE NTE P AG INA W EB
http://matematicasies.com/?Inecuaciones-de-segundo-grado-con
Inecuaciones cuadráticas:
Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:
El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver cuaciones
cuadráticas.
EJEMPLOS
Solu ciones