Aplicaciones

ANALISIS
MATEMATICO
BASICO.
APLICACIONES DE LAS SERIES.
Ya estamos preparados para probar que los numeros reales
son equellos que se pueden escribir como parte entera y parte decimal, periodica o no.
Observaci
on. 1. Si tenemos un numero x = a; a a : : : an : : : ; con parte
entera a 2 Z y parte decimal 0; a a : : : an : : : ; donde an 2 f0; 1; 2; : : : ; 8; 9g;
Numeraci
on.
1
1
2
2
lo que queros decir es que
x=a+
(o con signo
a
an
+
+
+
10 10
10n + : : : :
a
1
1
2
( ) si x es negativo). Los numeros de esta forma son numeros
reales ya que la serie
1 a
X
n
1
X
n
n
=1
10n 9
=1
1 =9
10n 1
1
10
1
=1
10
es una serie de terminos positivos con sumas parciales acotadas, por tanto
convergente a un n
umero real.
Ahora lo que nos queda ver es que todo numero real se puede escribir
de esa forma. Dado un numero real x 2 R; sabemos que existe un entero
a 2 Z; de modo que a x < a + 1: As x = a + (x a): Es claro que
r = x a 2 [0; 1): Luego si vemos que todo numero real entre 0 y 1 se puede
escribir de forma decimal habremos completado nuestro problema.
Teorema. 1. Para todo numero real r
con an
2 f0; 1; 2; : : : ; 8; 9g;
2 [0; 1); existe una serie
de modo que la serie converge a r,
1 a
X
n
1 a
X
n;
n
=1
10n
10n = r:
Demostraci
on: Sea r 2 [0; 1): Si dividimos el intervalo [0; 1) en diez partes
iguales, r caera en alguna de esas partes. Es decir
n
=1
1
2
C. RUIZ
para N = 1 sea a 2 f0; 1; 2; : : : ; 8; 9g de modo que
a
a +1
r<
10
10 :
1
1
1
Figura 1.
r
entre decimas.
a a +1
;
Si dividimos el intervalo [ 10
10 ) en diez partes iguales, r caera
en alguna de esas partes. Es decir
para N = 2 sea a 2 f0; 1; 2; : : : ; 8; 9g de modo que
a
a
a
a +1
10 + 10 r < 10 + 10 :
Aplicando la lupa:
1
1
2
1
2
1
2
2
Figura 2.
2
r
entre centesimas.
Si repetimos el proceso para N = 3; 4; : : : ; por induccion, supuesto que
para N
N a
N
X
n r < ( X an ) + aN + 1 ;
n
n
10N
n 10
n 10
entonces, dividiendo por diez,
para N + 1 sea aN 2 f0; 1; 2; : : : ; 8; 9g de modo que
N a
N a
X
X
aN
n
( 10n ) + 10N r < ( 10nn ) + aN10N + 1 :
n
n
1
=1
=1
+1
+1
+1
+1
=1
+1
=1
1
X
Este proceso nos premite construir una serie 10ann ; donde los an se selecn
cionan del modo anterior, la cual converge a r: Veamoslo.
N a
N
N
N
X
n j = r X an ( X an ) + aN + 1 X an
jr
n
n
n
10N n 10n
n 10
n 10
n 10
=1
1
=1
=1
=1
=1
APUNTES MMI
3
= 101N !N !1 0
+ P1n n ?
Demostraci
on: Es facil decir que r = 0; 1b3; un numero con parte decimal
mixta, donde 3 es el periodo. Pero ademas
1 1
1 3
1+3X
1 +X
=
r=
10 n 10n 10 10 n 10n
sumando la serie geometrica que aparece
= 101 + 103 1
= 101 + 103 19 = 909 + 903 = 152
Ejemplo. 1. >Que numero real r representa la serie
1
3
=2 10
10
=1
=2
1
10
1
10
1 xn
X
Funciones dadas por series. Consideramos la serie
; donde x es
n
n!
un numero real cualquiera. Observemos que variando x obtenemos distintos
valores de la suma de la serie, si converge para tal x: Esto lo podemos ver
como una funcion
f : R ! R
P1n xn :
x ! f (x) =
n
donde f esta denida por una serie y cuyo dominio
=0
1 xn
X
Domf = fx 2 R : la serie
n
=0
n!
=0
!
es convergente g
son los puntos los x para los cuales la serie es convergente. En este caso, si
aplicamos el criterio del cociente a la serie en valor absoluto
jxjn+1
n! jxjn
jxj = 0;
n
l
m
=
l
m
=
l
m
n
n
n!1 jxj
n!1 (n + 1)! jxj
n!1 n + 1
n
el valor nulo del lmite, menor que 1; nos dice que la serie converge absolutamente para todo x 2 R:
Mas adelante, en el Tema de Representacion Polinomica de Funciones,
veremos como algunas funciones se pueden representar por series, como por
ejemplo:
1 xn
X
x
e =
;
n 1n!
X n n
cos x = ( (21)n)!x ; y que
n
(
+1
+1)!
!
=0
2
=0
4
sen x =
C. RUIZ
1 (
X
n
=0
Ejemplo. 2. Sean
1)nx n
(2n + 1)!
2
P1n
=0
+1
an y
:
P1n
=0
bn dos series absolutamente convergen-
tes. Entonces para todo x 2 R la serie
1
X
a
n
n cos nx + bn sen nx
()
=0
es absolutamente convergente.
Demostraci
on: Lo anterior es claro ya que
jan cos nx + bn sen nxj janjj cos nxj + jbnjj sen nxj janj + jbnj;
y la serie P1n janj + jbnj es convergente por ser suma de series convergentes.
=0
Luego tiene sentido denir una funcion f por
f (x) =
1
X
a
n
n cos nx + bn sen nx
para todo
x 2 R:
=0
En cursos superiores de Analisis Matematico se puede ver por ejemplo que
1 4( 1)n
X
x =
3 + n n cos nx para todo x 2 [ ; ]:
Una funcion f que se puede escribir con una expresion del tipo (); se dice
que esta expresada en su serie de Fourier. Lo importante de este modo
de escribir una funcion es que se puede encontrar la serie de Fourier de
funciones dadas de forma experimental, es decir de funciones que vienen
dadas por muestras de una magnitud obtenidad por medicion en intervalos
de tiempos iguales ().
2
2
2
=1
Figura 3.
Funcion experimental, obtenida por muestreo.
APUNTES MMI
5
Este tipo de procesos es la base matematica de los populares archivos
informaticos multimedia: .mp3, .jpg,...etc.
Pn n = 1; de suma 1 como sabemos,
Probabilidad. La serie geometrica 1
da pie a la llamada Distribucion de Probabilidad Geometrica.
1
=1 2
Referencias
lisis Matema
tico, Facultad de Matema
ticas, UniverDepartamento de Ana
sidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address :
Cesar [email protected]