módulo # 15: óptica geométrica-sfi (lentes) - Ludifisica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 15: ÓPTICA GEOMÉTRICA-SFI (LENTES)Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
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Temas
Introducción
¿Qué es una lente?
Aspecto 1: Propiedades focales para las lentes
Aspecto 2: Fórmula de Gauss para los lentes esféricas
Aspecto 3: Ecuación del constructor para las lentes esféricas
Aspecto 4: Trazado de imágenes en las lentes esféricas
Aspecto 5: Aumento en las lentes esféricas
El ojo
El microscopio
Taller sobre lentes
Introducción
En este módulo se estudiará las lentes esféricas delgadas y en aproximación paraxial. El tema se aborda
analizando la lente como una combinación de dos superficies refractoras esféricas (SRE). Se finaliza el
módulo dando una breve explicación del funcionamiento del ojo y de un microscopio como sistemas
formadores de imágenes (FI).
¿Qué es una lente?
Una lente es un sistema óptico formado por dos superficies refractoras. El sistema es centrado, es decir
los vértices y los centros de curvatura de las superficies están sobre el eje óptico. En este módulo se
considerarán sólo las lentes esféricas, es decir las lentes cuyas superficies son SRE. De acuerdo a la forma
de las SRE se clasifican en: biconvexas, bicóncavas, plano-convexas, plano-cóncavas, meniscos convergente,
menisco divergente. Estas se ilustran en la Figura 1.
Figura 1
La convergencia o divergencia de la lente no sólo queda definida por su geometría (más gruesa o delgada en
su centro) y por su índice de refracción, sino también ésta depende del índice de refracción del medio en el
cual está sumergida. Un simple análisis ondulatorio nos puede indicar si la lente es convergente o
divergente. Si la lente es más gruesa en su centro y su índice de refracción n’ es mayor que el índice n del
medio (n’> n), la onda de luz se demora más en pasar por su centro que por sus borde; por ende, una onda
plana al atravesar la lente se convierte en una onda convergiendo a un punto que se denomina foco imagen
(o equivalentemente, rayos que inciden paralelos se refractan en la lente convergiendo hacia el foco imagen
F’, Figura 2. Es decir será una lente CONVERGENTE.
Figura 2
Si la lente es más delgada en su centro y su índice de refracción n’ es mayor que el índice n del medio (n’>
n), la onda de luz se demora más en pasar por sus bordes que por su centro; por ende, una onda plana al
atravesar la lente se convierte en una onda que parece divergir desde un punto que se denomina foco
imagen (o equivalentemente, rayos que inciden paralelos se refractan en la lente divergiendo de tal forma
que sus prolongaciones pasan por el foco imagen F’, Figura 3. Es decir será una lente DIVERGENTE.
Figura 3
Sin embargo si se invierten la relación de los índices, n’ < n, la lente más gruesa en el centro se convertirá
en DIVERGENTE y la más delgada en su centro en CONVRGENTE. Se deja este análisis para que el
lector lo realice en forma semejante al que se hizo en las Figuras 2 y 3.
2
Una lente se puede también interpretarse como una combinación de prismas y láminas de caras paralelas.
En la Figura 4 se ilustra esto para dos de las lentes de la Figura 1.
3
Figura 4
Suponiendo que el índice de la lente es n’ y el del medio n, con n’> n, se puede hacer el análisis de rayos tal
como se ilustra en la Figura 5. En los borde el rayo rota en la refracción (prisma). En el centro el rayo se
desplaza lateralmente (lámina de caras paralelas). Recordar que estas trayectorias se estudiaron en el
módulo # 12.
Figura 5
En la Figura 5, se observa que la convergencia o divergencia de los rayos se define básicamente en los
bordes de la lente. Hacia el centro de ésta el rayo sólo se desplaza lateralmente. En el presente módulo se
supondrán lentes delgadas, o sea de espesor pequeño comparado con el tamaño de la lente. En estos casos a
los rayos que pasan por el centro de la lente se les despreciará el desplazamiento y se considerarán que
seguirán derecho, Figura 6. Una consecuencia NO DESEABLE en las lentes es que en los bordes al
comportarse como prismas dispersan cromáticamente la luz, Figura 7 (observar que el foco imagen su
ubicación queda dependiendo de la longitud de onda). A este efecto se le denomina ABERRACIÓN
CROMÁTICA y es necesario buscar métodos para compensar esto. En éste módulo se supone que las lentes
carecen de esta aberración.
4
Figura 6
Figura 7
Las lentes delgadas convergentes se representarán como se ilustra en la Figura 8 izquierda y las
divergentes como se ilustra en la Figura 8 derecha.
Figura 8
Aspecto 1: Propiedades focales para las lentes
¿Qué forma deben tener las superficies refractoras de la lente para que rayos paralelos sean desviados
por refracción de tal forma que converjan a un punto (que se denominará foco imagen del sistema)?
Deben ser superficies asféricas como las discutidas en el módulo 13 sobre SRE. Sin embargo en estas
notas se considerarán lentes esféricas (las superficies refractoras son SRE) delgadas bajo aproximación
paraxial.
Aspecto 2: Fórmula de Gauss para las lentes esféricas delgadas
En la Figura 9, se ilustra una lente de índice de refracción n2 y de espesor x sumergida en dos medios de
índices de refracción n1 (medio izquierdo) e índice de refracción n3 (medio derecho), sobre la cual incide un
rayo proveniente de un objeto puntual O ubicado sobre el eje óptico a la distancia s. El rayo atraviesa la
lente y forma la imagen puntual O’ ubicada también sobre el eje óptico a la distancia s’.
5
Figura 9
Esta situación física se puede dividir en dos situaciones separadas pero superpuestas (principio de
superposición):

Rayo proveniente del objeto O1 = O ubicado a la distancia s1 = s que al refractarse en la SRE1 forma
una imagen intermedia O’1 ubicada a la distancia s’1. Aplicando la fórmula de Gauss para SRE se obtiene,
n 2 n1
n -n
= 2 1
s1
s1
R1
n 2 n1
n -n
= 2 1
s1
s
R1

(1)
Rayo proveniente de la imagen intermedia O’1 que hace el rol de objeto virtual O2 que ubicado a la
distancia s2 de SRE2, con s2 = s’1 - x, que al refractarse en ella forma la imagen definitiva O’2 = O’.
Aplicando la fórmula de Gauss para SRE y suponiendo lente delgada (x0 y por lo tanto s2 = s’1) se
obtiene,
n3 n 2
n -n
= 3 2
s2 s 2
R2
n3 n 2
n -n
= 3 2
s s'1
R2
(2)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
n 3 n1
n3 - n 2
n -n
= 2 1 +
s
s
R1
R2
[1]
Esta es la fórmula de Gauss correspondiente a lentes delgadas.
Caso común En la mayoría de las situaciones, n1= n3 = n y n2 = n’ reduciéndose la ecuación de Gauss a,
1 1  n' - n   1
1 
- =



s s  n   R1 R 2 
[2]
Aspecto 3: Ecuación del constructor para las lentes esféricas delgadas
La expresión que relaciona las distancias focales f y f‘ con los radios de curvatura R1 y R2 de las superficies
refractoras recibe el nombre de ecuación del constructor de lentes. Para obtenerla, se puede recurrir a
los dos siguientes razonamientos:
Razonamiento I - Cálculo de la distancia focal imagen- Si se ubica un objeto en el infinito (s∞), la
imagen dada por la lente queda ubicada en el plano focal imagen (s’= f’) y por tanto, según la ecuación [1] se
obtiene,
n3 - n 2 
1
1  n 2 - n1
=
+


f'
n 3  R1
R2 
[3]
Razonamiento II - Cálculo de la distancia focal objeto- Si el objeto se ubica en el foco objeto (s = f ),
la imagen dada por la lente queda ubicada en el infinito ( s’∞), y por tanto, según la ecuación [1] se
obtiene,
n3 - n 2 
1
1  n 2 - n1
=+


f
n1  R1
R2 
[4]
Caso común En la mayoría de las situaciones, n1 =n3 = n y n2 = n’ reduciéndose las ecuaciones [3] y [4] a,
 n' - n   1 - 1 
1
=

f'
n
R1 
 R2
1
=
f
 n' - n 
n
 1
1


R1 
 R2
[5]
[6]
6
Observar que en las lentes delgadas f = -f’, es decir los focos imagen y objeto no coinciden como en los
espejos: los focos de las lentes están a lados diferentes de ésta. En la lente convergente el foco objeto F
se ubica en la parte frontal de la lente y el foco imagen F’ se ubica en la parte de atrás (son focos
REALES), intercambiándose esto para las lentes divergentes (son focos VIRTUALES). Puede verse además
que en las lentes delgadas los focos equidistan de ella y por lo tanto se habla en este caso de una sola
distancia focal f.
Fórmula básica Combinando las ecuaciones [5] y [6] con la ecuación [2] se obtiene,
1 1
1
- =
s s
f'
[7]
1 1
1
- =s s
f
[8]
Potencia de una lente Se define como,
P=
1
f'
[9]
donde sí f‘ se mide en m la potencia queda expresada en dioptrías.
Ejemplo 1
Hacer un bosquejo de las diferentes lentes delgadas posibles que se pueden obtener al combinar dos
superficies de radios de curvatura de 10,0 cm y 20,0 cm. ¿Cuáles son convergentes y cuáles divergentes?
Encontrar la distancia focal en cada caso. Suponer primero que las lentes son de vidrio sumergidas en aire
y luego que las lentes son de aire sumergidas en vidrio. Tomar como índice de refracción del vidrio 1,50.
Solución:
En la Figura 10 se ilustran cuatro bosquejos de lentes construidas con SRE de radios 10,0 cm y 20,0 cm.
Como los índices de las lentes son mayores que el del medio donde están sumergidas las más gruesas en el
centro son convergentes y las más delgadas divergentes.
Para calcular la distancia focal se emplea la expresión [5] o [6]. Se empleará la [5] la cual se aplica bajo las
normas DIN.
 n' - n   1 - 1 
1
=

f'
n
R1 
 R2
[5]
7
8
Figura 10
Para la lente superior izquierda de la Figura 10 se tiene:
n = 1,00
n' = 1,50
R1 = 10,0 cm
R 2 = - 20,0 cm
Por lo tanto,
f '= 13,33 cm
Para la lente superior derecha de la Figura 10 se tiene:
n = 1,00
n' = 1,50
R1 = - 20,0 cm
R 2 = - 10,0 cm
Por lo tanto,
f '= 40,0 cm
Para la lente inferior izquierda de la Figura 10 se tiene:
n = 1,00
n' = 1,50
R1 = -10,0 cm
R 2 = 20,0 cm
Por lo tanto,
f '= -13,33 cm
Para la lente inferior derecha de la Figura 10 se tiene:
n = 1,00
n' = 1,50
R1 = 20,0 cm
R 2 = 10,0 cm
Por lo tanto,
f '= - 40,0 cm
En la Figura 11 se ilustran cuatro bosquejos de lentes construidas con SRE de radios 10,0 cm y 20,0 cm.
Como los índices de las lentes son menores que el del medio donde están sumergidas las más gruesas en el
centro son divergentes y las más delgadas convergentes.
9
Figura 11
Para la lente superior izquierda de la Figura 10 se tiene:
n = 1,50
n' = 1,00
R1 = 10,0 cm
R 2 = - 20,0 cm
Por lo tanto,
f '= - 20,0 cm
Para la lente superior derecha de la Figura 10 se tiene:
n = 1,50
n' = 1,00
R1 = - 20,0 cm
R 2 = - 10,0 cm
Por lo tanto,
f '= - 60,0 cm
Para la lente inferior izquierda de la Figura 10 se tiene:
n = 1,50
n' = 1,00
R1 = -10,0 cm
R 2 = 20,0 cm
Por lo tanto,
f '= 20,0 cm
Para la lente inferior derecha de la Figura 10 se tiene:
n = 1,50
n' = 1,00
R1 = -10,0 cm
R 2 = -20,0 cm
Por lo tanto,
f '= 60,0 cm
Aspecto 4: Trazado de imágenes en las lentes esféricas delgadas
Los tres rayos notables para las lentes esféricas son,
Rayo 1 Rayo que incide paralelamente al eje óptico al atravesar la lente se dirige real o virtualmente hacia
el foco imagen.
Rayo 2 Rayo que incide real o virtualmente por el foco objeto al atravesar la lente continúa paralelo al eje
óptico.
Rayo 3 Rayo que incide en la dirección del centro de la lente, al atravesarla continúa sin desviarse.
Formación de imágenes Para formar la imagen de un objeto puntual basta con trazar la trayectoria
seguida por sólo dos rayos, y donde se corten REAL o VIRTUALMENTE queda ubicada la imagen puntual
correspondiente. Es útil emplear dos de los tres rayos notables. Observando la Figura 12, donde se ilustra
la formación de imágenes de objetos REALES con las lentes esféricas delgadas. Se observa que en el caso
de las lentes convergentes es posible obtener de objetos REALES imágenes REALES mayores, iguales y
menores al objeto; imágenes VIRTUALES mayores que el objeto y si el objeto se ubica en el foco no se
forma la imagen (es decir, se forma en el infinito). Para el caso de lentes divergentes sólo es posible
obtener de objetos REALES imágenes VIRTUALES de menor tamaño que el objeto.
En las Figura 13 se ilustra la gráfica de (1/s’) vs (1/s) tanto para lentes convergentes como para lentes
divergentes (ver ecuación [7]). De ellas se puede concluir:

Con una lente convergente se pueden obtener de objetos reales imágenes virtuales y reales;
también se puede obtener de objetos virtuales imágenes reales. Sin embargo, no es posible obtener
de objetos virtuales imágenes virtuales.

Con una lente divergente se pueden obtener de objetos reales sólo imágenes virtuales y no es
posible de este tipo de objetos obtener imágenes reales. También es posible obtener de objetos
virtuales imágenes tanto reales como virtuales.
10
11
Figura 12
Figura 13
Simulaciones:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondientes a la formación de imágenes con lentes más gruesas
en el centro y con lentes más delgadas en el centro. Para acceder a ellas hacer clic con el mouse en el ítem
señalado en la Figuras 14 y 15. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los
resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 14
Figura 15
12
Aspecto 5: Aumento en las lentes esféricas delgadas
Suponer que frente a la lente se ubica un objeto extendido de altura y, y que se obtiene una imagen de
altura y’. Siguiendo el razonamiento empleado para discutir la situación involucrada en la Figura 9, se
tendrá una imagen intermedia de altura y’ 1. Reemplazando en la ecuación de aumento lateral para una SRE
(obtenida en el módulo # 13), se obtiene,

Para la SRE 1,
M1 =

13
y1
n s
= 11
y
n 2s
Para la SER 2,
M2 =
n s
y
= 2
y1
n 3s1
Combinando estas dos ecuaciones se obtiene el aumento para el sistema óptico (lente),
M = M1M 2 =
n1s1 n 2s
×
n 2s n 3s1
y n1s
=
y
n 3s
M=
Caso común En la situación en que n1 = n3 = n, se obtiene,
M=
y
s
=
y
s
[10]
Ejemplo 2
La potencia de una lente es de 5,00 dioptrías. (a) Si a 10,0 cm a su izquierda se coloca un objeto de 2,00
mm de altura, hallar la posición y el tamaño de la imagen: hacer el cálculo y el análisis gráfico. (b) Si dicha
lente es de vidrio (n = 1,50) y una de sus caras tiene un radio de curvatura de 10,0 cm, ¿cuál es el radio de
curvatura de la otra?
Solución:
Como la potencia es positiva entonces la lente es CONVERGENTE cuya distancia focal imagen es,
P=
1
f
f =
1
P
f =
1
= 20,0 cm
5,00 m 1
En la Figura 16 se ilustra la construcción gráfica de la imagen.
Figura 15
Analíticamente se calcula la distancia imagen con ecuación [7],
1
1
1
=
s'
s
f'
Reemplazando s = -10,0 cm, f’= 20 cm se obtiene,
s' = - 20,0 cm
Para calcular el tamaño de la imagen se emplea la ecuación [10],
M=
y s
=
y
s
[6]
Reemplazando s = -10,0 cm, s’ = -20, cm, y = 2,00 mm se obtiene,
y' = 4,00 mm
Como la lente es CONVERGENTE y n’ > n al menos una de las SRE debe ser convexa, por ejemplo la SRE 1,
R1= 10,0 cm). Para calcular el radio de curvatura de la SRE 2 de la lente se emplea la ecuación del
constructor,
14
 n' - n   1 - 1 
1
=

f'
n
R1 
 R2
[5]
Reemplazando n = 1,00, n’ = 1,50, R1= 10,0 cm, f’ = 20,0 cm, se obtiene,
R2  
15
Es decir la SRE 2 es plana. La lente entonces es plano-convexa, Figura 16.
Figura 16
Ejemplo 3
Dos lentes de distancias focales imagen iguales a 4,00 cm y -12,0 cm, están separadas 30,0 cm. Un objeto
de 7,00 mm se sitúa a 5,00 cm delante de la primera. ¿Dónde se forma la imagen? ¿Cuál es su tamaño?
Solución:
En la Figura 17 se ilustra la formación de la imagen. El resultado es una IMAGEN VIRTUAL.
Figura 17
La primera lente forma una imagen REAL de un objeto REAL. Esta imagen es un objeto REAL para la
segunda lente, la cual en definitiva forma una imagen VIRTUAL.
Analíticamente se emplea la ecuación,
1
1
1
=
s'
s
f'
Para la primera lente,
1
1
1
=
s1
s1
f1
Reemplazando s1 = - 5,00 cm, f’1 = 4,00 cm se obtiene,
s1 = 20,0 cm
El aumento es,
M=
y1
s
= 1
y1
s1
Reemplazando s1= - 5,00 cm, s’1= 20,0 cm, y= 7 mm,
y1 = - 28 mm
Es una imagen invertida, REAL y de mayor tamaño.
Para la segunda lente’
1
1
1
=
s2
s2
f 2
Reemplazando s2 = -(30,0 cm – 20,0 cm) = - 10,0 cm, f’2 =-12,0 cm se obtiene,
s2 = - 5,45 cm
El aumento es,
M=
y2
s
= 2
y2
s2
Reemplazando s2= - 10,00 cm, s’2= - 5,45 cm, y= - 28 mm,
16
y2 = - 15, 3 mm
Es una imagen invertida (derecha sobre respecto al objeto de esta lente) respecto al objeto de todo el
sistema. VIRTUAL y de mayor tamaño.
El ojo humano
17
El ojo humano es un sistema óptico conformado por una SRE (la córnea) y una lente (el cristalino) que en
conjunto proyectan las imágenes de los objetos (que pueden ser objetos o imágenes de otros sistemas
ópticos) sobre la retina.
La córnea refracta los rayos de luz y el cristalino actúa como ajuste para enfocar bien la imagen de los
objetos situados a difernetes distancias en la retina. Para esto varía su distancia focal cambiando la
curvatura de sus superficies refractoras: de esta tarea se encargan los denominados músculos ciliares.
Para enfocar las imágenes de objetos próximos los músculos ciliares se contraen aumentando el grosor del
cristalino y por ende acortando su distancia focal. Para objetos lejanos se hace el proceso contario. Este
mecanismo se denomina la ACOMODACIÓN del ojo.
El ojo sano y normal ve los objetos situados en el infinito sin acomodación enfocados en la retina. Esto
quiere decir que el foco está en la retina y el llamado punto remoto (Pr) está en el infinito.
Se llama punto remoto la distancia máxima a la que puede estar situado un objeto para que una persona lo
distinga claramente y punto próximo a la distancia mínima.
Un ojo normal será el que tiene un punto próximo a una distancia de 25 cm, (para un niño puede ser de 10
cm) y un punto remoto situado en el infinito. Si no cumple estos requisitos el ojo tiene algún defecto.
El ojo miope tiene exceso de convergencia. Sin acomodación enfoca delante de la retina, Figura 18. La
persona miope no ve bien de lejos.
Figura 18
Para corregir la miopía se emplean lentes divergentes, Figura 19. El foco de estas lentes debe estar en el
punto remoto.
18
Figura 19
El ojo hipermétrope tiene defecto de convergencia. Sin acomodación enfoca atrás de la retina, Figura 20.
La persona hipermétrope no ve bien de cerca.
Figura 20
Para corregir la hipermetropía se emplean lentes convergentes, Figura 21.
Figura 21
Ejemplo 4:
Un hombre tiene su punto próximo a 50,0 cm del ojo. ¿Qué lente necesita para corregir su defecto de
visión?
Solución:
El hombre padece de hipermetropía y es necesario acercarle su punto próximo hasta su valor normal (25,0
cm). La lente usada debe ser tal que un objeto colocado a 25,0 cm debe generar una imagen virtual a 50,0
cm (que le parezca al hombre que allí se encuentra el objeto). Por lo tanto,
1
1
1
=
s'
s
f'
Reemplazando s’ = - 50,0 cm, s = -25,0 cm se obtiene,
f  = 50,0 cm
y el poder de convergencia de lalente es,
P=
1
f
P = 2 dioptrías
que corresponde a una lente CONVERGENTE
Ejemplo 5:
Un hombre tiene su punto remoto a 250,0 cm del ojo. ¿Qué lente necesita para corregir su defecto de
visión?
Solución:
El hombre padece de miopía y es necesario alejarle su punto remoto hasta su valor normal (∞). La lente
usada debe ser tal que un objeto colocado en el ∞ debe generar una imagen virtual a 250,0 cm (que le
parezca al hombre que allí se encuentra el objeto). Por lo tanto,
1
1
1
=
s'
s
f'
Reemplazando s’ = -250,0 cm, s = ∞ cm se obtiene,
f  = -250,0 cm
y el poder de convergencia de lalente es,
P=
1
f
P = -0,4 dioptrías
19
que corresponde a una lente DIVERGENTE
El microscopio
En la Figura 22 se ilustra el microscopio compuesto. La muestra que se desea observar se ubica cerca del
foco de la lente denominada objetivo: aquí se genera una imagen REAL (y’ 1) de mayor tamaño y ubicada
entre el foco de la segunda lente denominada ocular y ésta. Esta imagen se comporta como un objeto REAL
para el ocular y por su posición respecto a éste, se genera una imagen VIRTUAL (y’) de mayor tamaño.
Figura 22
Taller sobre lentes
1. Completar la tabla 1 para lentes delgadas bajo aproximación paraxial. Todas las distancias están en mm.
f’ es la distancia focal imagen, s la distancia objeto, s’ la distancia imagen. Resolver analítica y
gráficamente.
Tabla 1
TIPO
f’
CONVERGENTE
DIVERGENTE
96
CONVERGENTE
DIVERGENTE
FIN.
-120
480
s
s’
-300
288
-150
-60
-120
-96
240
∞
Focos
reales o
virtuales
¿Imagen
real o
virtual?
Imagen
derecha o
invertida?
Aumento
-36
REAL
180
170
3
2,5
20