(agregar punto base) Problema 1. Un plano inclinado en ángulo α

(agregar punto base)
Problema 1. Un plano inclinado en ángulo α respecto a la horizontal, rota
en torno al eje z0 vertical con velocidad angular constante de magnitud Ω. Una
particula parte del reposo en O y baja acelerando...
Ω z
0
z
y
O
g
α
x
Considerando el movimiento relativo al sistema rotante Oxyz tenemos que
arel
v rel
r
ω
F
dω
dt
=
=
=
=
ẍı̂ + ÿĵ
ẋı̂ + ẏĵ
xı̂ + yĵ
Ωk̂0 = Ω(cos αk̂ − sin αı̂)
= N k̂ − mg(cos αk̂ − sin αı̂)
= 0
luego usando el teorema de Coriolis despreciando los términos en Ω2
a = 2ω × v rel + +arel
y entonces
N k̂ − mg(cos αk̂ − sin αı̂) = m(2Ωk̂0 × (ẋı̂ + ẏĵ) +
+ẍı̂ + ÿĵ
2ω×v rel = 2Ω(− sin α, 0, cos α)×(vx , vy , 0) = 2Ω (−vy cos α, vx cos α, −vy sin α)
luego las componentes son
g sin α = −2Ωẏ cos α + ẍ
0 = 2Ωẋx cos α + ÿ
N
− g cos α = −2Ωẏ sin α
m
1
g sin α = −2Ωẏ cos α + ẍ
0 = 2Ωẋ cos α + ÿ ⇒ ẏ = −2Ωx cos α
N
− g cos α = −2Ωẏ sin α
m
la primera da
ẍ
ẋ
ÿ
ẏ
y
=
=
=
=
g sin α
gt sin α
−2Ωẋ cos α = −2Ωgt sin α cos α
−Ωgt2 sin α cos α
1
= − Ωgt3 sin α cos α
3
La normal será (despreciando Ω2 )
N
− g cos α = −2Ωẏ sin α
m
N ' mg cos α
Problema 2
Llamemos f1 y f2 las fuerzas de roce (hacia la izquierda). Las ecuaciones de
movimiento son
= −kx1 + k(x2 − x1 ) − f1
ẍ1
1
=
(3M )R2
2
R
= −k(x2 − x1 ) − f2
ẍ1
1
=
(2M )R2
2
R
3M ẍ1
f1 R
2M ẍ2
f2 R
al eliminar las fuerzas de roce
9
ẍ1
2
3ẍ1
k
(x2 − 2x1 )
M
k
= − (x2 − x1 )
M
=
al sustituir x1 = Ae−iωt , x2 = Be−iωt resulta
9
2k
k
(− ω 2 +
)A −
B
2
M
M
k
k
A + (3ω 2 −
)B
M
M
= 0
= 0
EL DETERMINANTE es
2k
k
9
k2
(− ω 2 +
)(3ω 2 −
)+ 2 =0
2
M
M
M
2
x1
x2
cuyas soluciones son
ω 21
=
ω 22
=
1 k
9M
2 k
3M
las razones resultan
A
B
=
A1
B1
=
A2
B2
=
−(3ω 2 −
k
M)
k
M
k
k
−M
)
−( 13 M
k
M
k
k
)
−(2 M − M
k
M
=
2
3
= −1
luego
x1
= A1 e−iω1 t + A2 e−iω2 t =
x2
= B1 e−iω1 t + B2 e−iω2 t
2
B1 e−iω1 t − B2 e−iω2 t
3
de donde se despejan las coordenadas normales
2
ξ − ξ2
3 1
= ξ1 + ξ2
x1
=
x2
ξ1
ξ2
3
3
x2 + x1
5
5
3
2
= − x1 + x2
5
5
=
Problema 3
3
Para un sistema rotante con origen en el centro del aro
a = 2ω × v rel + ω × (ω × r) + arel
1 2
V =
kρ
2
v rel = Rθ̇θ̂
2
arel = −Rθ̇ r̂ + Rθ̈θ̂
ω × (ω × r) = −ω 20 r
luego
m(2ω × v rel + ω × (ω × r) + arel ) = N − kρρ̂
2
m(2ω 0 k̂0 × Rθ̇θ̂ + ω 20 Rk̂0 · r̂k̂0 − ω 20 r − Rθ̇ r̂ + Rθ̈θ̂) = N − kρρ̂
para eliminar la normal multiplicamos ·θ̂ resultando
m(Rθ̈ − ω 20 R cos θ sin θ) = −kρρ̂ · θ̂
m(Rθ̈ − ω 20 R cos θ sin θ) = −kρ cos θ
m(Rθ̈ − ω 20 R cos θ sin θ) = −kR sin θ cos θ
k
θ̈ + ( − ω 20 ) cos θ sin θ = 0
m
Si además existe una fuerza F (θ) = F0 (θ)θ̂
m(Rθ̈ − ω 20 R cos θ sin θ) = −kR sin θ cos θ + F0 (θ)
la coondición θ̈ = 0 conduce a
(kR − mω 20 R) cos θ sin θ = F0 (θ)
4