La Lección de hoy en sobre La Familia de una Función

La Lección de hoy en sobre La Familia de una Función, hablaremos también de
Traslación y Reflexión.
El cuál es la expectativa del aprendizaje del estudiante NLF.4.A1.4
Primeramente hablaremos de que es una Translación. Es una operación que
cambia un grafico horizontal, vertical o ambas.
Para ilustrar esta definición vamos a usar una grafica.
Compare en la grafica de:
Y= I x I -3
Y= I x I
ye, es igual valor que equis. Y
ye es igual al valor de equis, menos tres. Para llevar a cabo nuestra
grafica necesitamos, hacer una tabla de valores.
Vamos a llevar estas ecuaciones a nuestra tabla para buscar nuestros valores en
(x) equis.
X Y= IxI Y= IxI-3
-3
3
0
-2
2
-1
-1
1
-2
0
0
-3
1
1
-2
2
2
-1
3
3
0
Los valores que les daremos a x serán desde el -3 hasta el 3 positivo. Esto nos
dará una imagen clara de nuestra grafica. Lo primero que haremos es sustituir
estos valores de x en nuestra ecuación.
Y= I x I
Ye es igual al valor absoluto de equis, para darle valores a equis.
Veremos que tenemos orden de pares como el (-3, 3), (-2, 2) y (-1, 1).
Ahora haremos lo mismo con nuestra ecuación y= I x I -3, y ahora tendremos
orden de pares también. Para ver la diferencia claramente de nuestros gráficos
les daremos colores a nuestras ecuaciones, primero le daremos el color rojo a
y=IxI; y el color verde a la ecuación y=IxI-3
Entonces si buscamos cada uno de estos puntos, nuestra grafica seria como esta.
Rojo
Verde
¿Que pasaría con nuestra grafica?
Si tenemos y= I x I,
(ye es igual al valor absoluto de x), y,
y= I x I -3 (ye
es igual al valor absoluto de, negativo tres. ¿Qué pasaría?
Cuando sumas o restas un número al final de una función principal, la grafica
principal se desplaza.
Si el signo enfrente es positivo, la grafica cambia hacia arriba. Si el signo
enfrente del mundo es negativo, la grafica cambia hacia abajo.
Lo ves en nuestra grafica claramente, tenemos y= I x I-3 y el negativo tres
quiere decir que nuestra grafica cambia hacia abajo 3 unidades.
Vamos a hablar del Instrumento de la Función e, Instrumento de la Grafica.
Las más común es y= x este es el Instrumento de nuestras líneas, y es una línea
que va desde el origen y tiene una pendiente de uno.
Nuestro próximo instrumento de Función es muy común es, y= X2 y su centro es
en el origen, algunos estudiantes la llaman la U.
El Tercer Instrumento de una de una Función es y= I x I (ye es igual al valor
absoluto de equis) y el origen es V (ve), de nievo su centro es el origen.
Notaras que todos los instrumentos de la graficas están situados en el mismo
origen, es muy importante que recuerdes esto, ya que estaremos hablando de
Translación, Reflexión, y otras transformaciones.
Ahora, vamos a definir Translación Vertical.
Es cuando mueves una grafica de arriba hacia abajo, por ejemplo, si tenemos el
Instrumento grafico de y= x, y tenemos la ecuación y= x-2. Necesitamos
sustraer el 2, y este afectaría el valor de Y (ye). Quiere decir que toda la grafica
y= x, se movería dos unidades hacia abajo. Esto es muy fácil de entender,
porque la y (ye) intercepta. Entonces y= I x I (ye es igual al valor absoluto)
tiene una intercepción de cero, ahora, nuestra y= x-2 tiene una intercepción de
cero, ahora, nuestra y= x-2 tiene una intercepción de dos unidades hacia abajo
desde nuestro punto de origen.
Otro ejemplo seria: y= I x I +4 ¿Cómo esta se compara con el instrumento de la
función y=I x I?
De nuevo, el numero a cambiado al final, ahora, tenemos positivo cuatro.
¿Qué quiere decir? Quiere decir que, la grafica cambiara hacia arriba, cuatro
unidades. Ahora y= I X I esta en el origen, nuestra y= I x I +4 ha cambiado,
cuatro unidades hacia arriba desde nuestro centro de origen.
Ahora, hablaremos de Translación Horizontal.
Solo quiere decir que moveremos nuestra grafica de izquierda a derecha en el
instrumento de la grafica. Esto quiere decir, que el valor de x cambiaria y la y
(ye) se mantendría intacta.
Una ilustración de este seria:
Veremos el instrumento de la grafica, y= x2, la translación horizontal seria como
poner el positivo 3 dentro del paréntesis de la raíz cuadrada con la x. Ahora,
¿Qué pasaría?
Primeramente, hablaremos de la Translación Vertical. Recuerda, la translación
vertical que hablamos anteriormente, es cuando tu sumas o restas el numero de
afuera, y si sumas el numero de afuera, ira hacia arriba cuantas unidades
tengas. Si restamos el numero de afuera, ira hacia abajo cuantas unidades
tengas.
Porque es un signo de desigualdad entre la y (ye) y el numero. Con la x no
sucederá a sí. En la x no tenemos un signo de desigualdad. Entonces, ¿Que
pasaría? En vez de hacer lo mismo que el signo indica, con la traslación
horizontal, hacemos lo opuesto. Básicamente lo que queremos decir es: si tienes
un signo positivo dentro del paréntesis, indica que moverás a la izquierda, que
sería negativa dirección de x. Entonces, este positivo tres actualmente cambiaria
la grafica a la izquierda tres unidades.
Vamos hablar de este con otro instrumento de grafica.
Haremos y= I x I y tendremos y= I x -2 I.
¿Qué haríamos aquí?
De nuevo, el negativo dos está dentro del valor absoluto agrupado con x.
Entonces, moverás la x en cualquiera dirección de izquierda o la derecha.
De nuevo, no tenemos un signo de igualdad entre la variable y el número.
Entonces haremos lo opuesto de lo que el signo indica.
Entonces, un signo negativo dentro de símbolo de valor absoluto, indica que
moverás la grafica a la derecha. Entonces en esta moverás la grafica a la
derecha dos unidades.
Para recordar esto, necesitas tener en cuenta, cuando sumas o restas el número
dentro del paréntesis o del símbolo de valor absoluto en los instrumentos de una
función, la grafica se moverá horizontalmente. Quiere decir lo opuesto a lo que
el signo indica.
Si una translación vertical hace exactamente lo que el signo indica, si es positivo,
se moverá hacia arriba, y si es negativo, se moverá hacia abajo.
Con la translación horizontal hacemos lo opuesto.
Hablamos un poco de translación, ahora, hablaremos de Reflexión.
Reflexión es cuando tienes un signo negativo en frente de los instrumentos de la
función. La grafica de refleja sobre el eje x. Entonces, Si, tenemos y+ x2 este es
un problema simple que iría hacia arriba desde el centro de origen.
Ahora compararemos este con y= -x2.
Este negativo es lo que llamamos reflexión, y esta reflexión, lo invierte sobre el
eje equis. ¿Qué queremos decir? Tu, estas en el origen y ahora la parábola se
invierte, quiere decir (hacia abajo).
Ahora, podemos cambiar toda esta información que estudiamos
automáticamente como Translación. Entonces, este es y= -x2, aquí, sabemos que
ira hacia abajo, por el negativo, y el positivo uno. Notaras, que se suma al final
y cambia el valor de y (ye). Entonces, va hacer una parábola de ira hacia
abajo, pero hacia arriba una unidad. Entonces, en vez de comenzar en el centro
o el origen, es centro en el punto (0,1).
Otro ejemplo seria: y= -(x-1)2
Tenemos: un número dentro de la raíz cuadrada que hace x-1, recuerda, que si el
valor se encuentra agrupado con x, se hace lo opuesto. Tenemos un cuadrado
negativo, entonces, vamos a tener una parábola hacia abajo, pero el negativo
de x, hace lo opuesto que es, moverlo a la derecha una unidad.
Hasta ahora hemos trabajado con una translación a la vez. ¿Podemos trabajar
con dos a la vez? Si, podemos y llamamos e esta:
Una Translación Diagonal: en esta moveremos nuestra grafica horizontal y
vertical al mismo tiempo.
Veremos un ejemplo,
Y= I x-21 I +3
( ye es igual, al valor absoluto de equis, menos dos, mas tres).
Notaremos que hay dos números con signos de suma y resta. Entonces, sabemos
que y= I x I (ye es igual al valor absoluto de, es la V (ve) que su origen es en el
centro, en el eje (0,0) que esta hacia arriba.
+
¿Cómo cambiamos esto? Recuerda, en orden de hacer nuestra grafica el -2 que
se agrupa con x, debe ser el lado opuesto, entonces en vez de negativo será
positivo. Lo que quiere decir es, que la grafica va hacia arriba a la derecha dos
unidades. En el mismo tiempo tenemos un positivo tres fuera. Este cambiara el
valor de Y, y hacemos lo mismo que el signo indicaría, entonces, +3 quiere decir,
vamos a la derecha, tres unidades desde nuestro punto de origen, y será como
una V (ve), hacia arriba.
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*
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Veremos otro ejemplo:
Y= - I x+1 I -2
(ye es igual al negativo, valor absoluto de equis, mas uno,
Menos dos). Este es similar al que acabamos de hacer. Sera, será una V (ve), y
ahora tenemos mucho más que hacer. Tenemos dos translación y Reflexión,
quiere decir, que la V, se invierte hacia abajo. ¿Por cuál punto? Aquí es donde
usaremos nuestra traslación, recuerda el positivo uno está dentro del grupo de
equis, entonces hará lo opuesto al signo. Y lo opuesto de positivo seria, negativo
uno, y quiere decir, que lo moveremos hacia la izquierda una unidad.
Lo próximo seria, el negativo dos está fuera de las barras de los valores
absolutos, no está agrupada con X. Entonces, Y cambiara, y si esta cambia
hacemos exactamente que dice, si dice negativo dos, vamos hacia abajo dos
veces en la dirección negativo X. Entonces, buscamos estos puntos -1 y -2 y
ahora tendremos una “v” invertida por el signo negativo enfrente. Entonces
nuestra “V” será como esta.
-2
-1
-1
-2