SUCESIONES

SUCESIONES
SUCESIONES ARITMÉTICAS
Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados, de tal manera, que no exista
duda de cuál es el primero de ellos, cuál es el segundo, o cualquier otro.
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales:
{1, 2, 3, …}.
Sucesión aritmética. Es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos
consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión
aritmética es
+ , en donde a y b son constantes, y n es el número del término
deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.
Si sumamos n términos de la sucesión con término general
+
obtendremos el
valor:
( + ) + (2 + ) + (3 + ) + ⋯ + (
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+ )=
( + )+
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Ejemplo 1: Se tiene la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
1. La diferencia entre cualquier término y el anterior es 3, de modo que el término
general sería 3 + .
2. Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
3(1) +
=8→3+
=8→
= 8−3 →
= 5, por lo tanto b = 5.
+ .
3. El término general de la sucesión es:
4. Encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:
→ 3(25) + 5 → 75 + 5 → 80. De modo que el término 25 de la sucesión
+
tiene el valor de 80.
5. Encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la
( + )+
fórmula
, con a = 3, b = 5 y n = 12:
3
3
3
→ 12(12 + 1) + (5)(12) → 12(13) + 60 → 156 + 60 → 234 + 60
2
2
2
( + )+
=
Ejemplo 2:
Se tiene la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…
1. La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general
sería −
+ .
2. Encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
−
+
→ −6(1) +
= −13 → −6 +
= −13 →
= −13 + 6 →
= −7,
por lo
tanto b = –7.
3. El término general de la sucesión es: −
− .
4. Encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en el término general:
5. −
−
→ −6(16) − 7 → −96 − 7 = −
. De modo que el término 16 de la
sucesión tiene el valor de –103.
6. Encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la
fórmula
( + )+
( + )+
→
, con a = –6, b = –7 y n = 30:
−6
−6
−6
(930) − 210
30(30 + 1) + (−7)(30) →
30(31) − 210 →
2
2
2
→ −2790 − 210 = −
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Ejemplo 3:
Sea la sucesión aritmética: –7, –1, 5, 11, 17, 23, 29, …
1. La diferencia entre cada término y el anterior es 6, de modo que el término general
sería
+ .
2. Encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
+
→ 6(1) +
= −7 → 6 +
3. El término general de la sucesión es:
−
4. Encontrar el término 24.
= −7 →
= −7 − 6 →
=−
−
→ 6(24) − 13 → 144 − 13 →
5. Encontrar la suma de los primeros 32 términos, donde a = 6; b = -13 y n = 32
( + )+
6
6
6
→ 32(32 + 1) + (−13)(32) → 32(33) − 416 → (1056) − 416
2
2
2
→ 3168 − 416 =
Ejemplo 4:
Sea la sucesión aritmética: –3.5, –7.5, –11.5, –15.5, –19.5, –23.5, –27.5, …
1. La diferencia entre cada término y el anterior es 6, de modo que el término
general sería −4 + .
2. Encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
−4 +
→ −4(1) +
= −3.5 → −4 +
= −3.5 →
= −3.5 + 4 →
= .
3. El término general de la sucesión es: −4 + .
4. Encontrar el término 33. −4 + .
→ −4(33) + 0.5 → −132 + 0.5 → −131.5
5. Encontrar la suma de los primeros 32 términos. Donde a = -4; b = 0.5 y n = 32.
( + )+
→
−4
−4
−4
(1056) + 16
32(32 + 1) + (0.5)(32) →
32(33) + 16 →
2
2
2
→ −2112 + 16 = −2096
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SUCESIONES GEOMÉTRICAS
Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos
consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión
∗
geométrica es
, en donde “a” y “r” son constantes, y “n” es el número del
término deseado. Específicamente, la constante “r” es el cociente entre un término y
el anterior.
∗
Si sumamos “n” términos de la sucesión geométrica con término general
obtendremos el valor:
+
+
+
+⋯+
(
=
− )
−
Ejemplo 1: Notemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …
1. Cociente entre dos términos consecutivos, = 2 es 2,
∗
2. Término general:
3. Encontrar el valor de “a” se puede utilizar el primer término, en donde n = 1.
∗
→
∗2
=3→
∗2 =3 →
∗1 =3→
→
=
3
→
1
=3
∗
4. Término general de la sucesión es:
5. Encontrar el término 13 de la sucesión:
∗
→ 3. 2
→ 3. 2
→ 3 ∗ 4096 = 12288
6. Encontrar la suma de los primeros 9 términos de la sucesión, con a = 3, r = 2 y n =
13,
(
=
− )
⟶
−
3(2 − 1)
3(8192 − 1)
⟶
=
⟶
2−1
1
24573
=
→
= 24573
1
⟶
=
=
3(8191)
1
OBSERVACIÓN:

=

=

=
ó Instituto Nacional Santa Lucía
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ó
ó
ó .
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Ejemplo 2: Notemos la sucesión: 0.5, –1.5, 4.5, –13.5, 40.5, –121.5, 364.5,…
.
1. Cociente entre dos términos consecutivos . = −3 es -3
2. Término general sería: ∗ −
3. Encontrar el valor de “a”, utilizar el primer término, en donde n = 1.
∗−
→
∗ −3
= 0.5 →
∗ −3 = 0.5 →
∗ 1 = 0.5 →
=
0.5
→
1
= 0.5
4. Término general de la sucesión es: . ∗ (− )
OBSERVACIÓN: Si el valor de r es negativo, los términos alternan entre positivo,
negativo, positivo, etc.
5. Encontrar el término 9 de la sucesión, sustituimos 9 en la anterior fórmula:
= . ∗ (− )
→
→ = 0.5 ∗ (−3)
= 3280.50
→
= 0.5 ∗ (−3) →
= 0.5 ∗ 6561
6. Encontrar la suma de los primeros 6 términos de esta sucesión, con a = 0.5, r = –3 y
n = 6, obtenemos –91.
(
=
− )
0.5(−3 − 1)
→
=
→
−
−3 − 1
→
=−
=
0.5(729 − 1)
→
−4
=
0.5(728)
→
−4
364
−4
=
Ejemplo 3: Sea la sucesión geométrica: 0.4, 1.2, 3.6, 10.8, 32.4, 97.2, 291.6, …
.
1. Cociente entre dos términos consecutivos . = 3 es 3
2. Término general sería: ∗
3. Encontrar el valor de “a”, utilizar el primer término, en donde n = 1.
∗
→
∗3
→
= 0.4 →
∗3
= 0.4 →
∗ 3 = 0.4 →
∗ 1 = 0.4 →
=
= .
0.4
1
4. Término general de la sucesión es: . ∗
5. Encontrar el término 11.
= . ∗
=
.
→
= 0.4 ∗ 3
→
= 0.4 ∗ 3
→
= 0.4 ∗ 59049 →
6. Encontrar la suma de los primeros 8 términos. Con a = 0.4; r = 3 y n = 8
=
(
− )
0.4(3 − 1)
→
=
→
−
3−1
→
=
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=
0.4(6561 − 1)
→
2
8
=
0.4(6560)
→
2
=
2624
2
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Ejemplo 4: Sea la sucesión geométrica: –0.6, 1.2, –2.4, 4.8, –9.6, 19.2, –38.4, …
.
1. Cociente entre dos términos consecutivos . = −2 es -2
2. Término general sería: ∗ (− )
3. Encontrar el valor de “a”, utilizar el primer término, en donde n = 1.
∗ (− )
→
∗ (−2)
→
= −0.6 →
∗ (−2) = −0.6 →
∗ 1 = −0.6 →
=
−0.6
1
= −0.6
4. Término general de la sucesión es: − . ∗ (− )
5. Encontrar el término 19.
= − . ∗ (− )
→
= −0.6 ∗ (−2)
= −0.6 ∗ 262144 →
→
=−
= −0.6 ∗ (−2)
→
.
6. Encontrar la suma de los primeros 13 términos. Con a = -0.6; r = -2 y n = 13
=
(
− )
−0.6(−2 − 1)
−0.6(−8192 − 1)
→
=
→
=
→
−
−2 − 1
−3
−0.6(−8193)
4915.8
=
→
=
→
=−
.
−3
−3
INTERPOLAR MEDIOS ARITMÉTICOS
La palabra interpolar que equivale a intercalar, insertar,… quiere decir, tratándose de
números, a situarlos, intercalarlos, entre otros dos.
Ejemplo 1: Supongamos que nos dicen que entre 6 y 10 tenemos que interpolar o
intercalar 3 términos y que además, tanto el 6 como el 10 y los tres números que han
de estar entre ellos, se encuentren en progresión aritmética.
Así que, decimos que son medios porque están entre otros dos y aritméticos por
tratarse de progresiones aritméticas.
Si se dice que entre el valor 6 y el valor 10 debes interpolar 3 números o medios
aritméticos, la nueva progresión tendrá 5 términos: ,
,
,
,
.
Al hablar de interpolar medios, se debe calcular la nueva diferencia o razón “d”.
Quedara una progresión aritmética de primer término 6, último 10 y tres
interpolados, en total 5 términos.
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Primero y último más los interpolados, en total
+
términos siendo n el número de los
interpolados. Siempre que se interpolan términos, la nueva progresión tiene
+
términos, los interpolados más los dos entre los cuales se intercalan.
En la fórmula:
+( − )
=
Se tiene que despejar “d” de la siguiente forma:
+ ( − 1) →
=
= ( − 1) →
−
=
−
−
Esta fórmula es correcta cuando no tenemos que interpolar, pero para el caso de
interpolación no es aplicable, porque en lugar de n términos, tenemos
+ .
En la fórmula para el cálculo del valor de “d”, tendremos que sustituir n por
=
=
Con la fórmula
−
→
+2−1
=
+ :
−
+
se puede halla la diferencia de las progresiones que se
pidan.
=
Volviendo al ejemplo:
Donde:
→
=Ú
=
=
ú
= →
=
La diferencia o razón es d = 1.
Nueva progresión: 6. 7. 8. 9. 10
Ejemplo 2: Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80
Encontrando diferencia o razón:
=
−
+
→
=
80 − 26
→
5+1
=
54
→
6
=
Nueva progresión: 26, 35, 44, 53, 62, 71,80.
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Ejemplo 3: Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la
suma de todos los términos.
Encontrando diferencia o razón:
−
+
=
→
=
165 − 65
→
9+1
=
100
→
10
=
Nueva progresión: 65, 75, 85, 95, 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165.
Suma de todos sus términos:
= 65 + 75 + 85 + 95 + 105 + 115 + 125 + 135 + 145 + 155 + 165 →
= 1265
Fórmula para sumar “n” términos de una progresión:
+
=
∗
OBSERVACIÓN: Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una
progresión aritmética sino para sumar cuales quiera n términos consecutivos.
+
2
=
∗
→
=
65 + 165
∗ 11 →
2
=
230
∗ 11 →
2
= 115 ∗ 11 →
=
Ejemplo 4: Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión.
Encontrando diferencia o razón:
−
+
=
→
=
−35 − (−5)
→
5+1
=
−35 + 5
→
6
=
−30
→
6
=−
Nueva progresión: -5, -10, -15, -20, -25, -30, -35.
Ejemplo 5: Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de
todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?
=
+
∗
→
→
+ 86
∗ 11 →
2
→ 561 =
→ 1122 = 11
=
176
→
11
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=
→ (561)(2) = (
+ 946 → 11
+ 86)(11)
= 1122 − 946 → 11
= 176
ñ
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INTERPOLACIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS
Se trata de calcular la razón para que los términos a interpolar entre dos números
dados formen una progresión geométrica.
Cuanto se dijo en la interpolación de medios aritméticos es válido, únicamente debes
tener en cuenta que de la fórmula del último término de una progresión geométrica,
despejamos la razón y el número de términos será igual a los dos que nos dan: primero
y último más el número de los medios geométricos, total
=
→
→
=
→
+
términos:
→
=
Ejemplo 1: Calcula la razón para interpolar entre 11 y 5632, ocho medios geométricos, y
después, escribe la progresión.
Donde:
=8+2 →
=
;
=
= 5632;
→
= 11
5632
→
11
=
= √512 →
=
 Respuesta: r = 2;
 Progresión es: 11, 22, 44, 88, 176, 352, 704, 1408, 2816, 5632
Ejemplo 2: En la progresión geométrica: 3: 6: 12:…………el producto de dos términos
consecutivos es 1152. ¿Cuáles son estos términos?
Solución:
1. Sea “x” el primero de los términos que nos piden.
2. El segundo será: 2 ∗
3. Razón:
= →
=2
=2
4. Si el tercer término vale 12 y la razón 2, el cuarto será:
5. El 5º término valdrá
Respuesta: 4º y 5º términos:
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= 24 ∗ 2 →
∗
=
= 12 ∗ 2 →
=
.
=
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Ejemplo 3: La suma de dos términos consecutivos de la progresión 6: 18: 54: …. es
157464. ¿Cuáles son estos términos?
1. Sea “x” el primero de los términos que nos piden.
2. El segundo termino será: 2∗
3. Razón:
=
→
=2
=3
4. Si el tercer término vale 54 y la razón 3, el cuarto será:
5. El 5º término valdrá
6. El
= 1458;
= 162 ∗ 3 →
= 4374;
=
= 13122;
= 54 ∗ 3 →
=
.
= 39366 y
= 118098
Respuesta: 9º y 10º términos: 39366+118098=
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