Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros

Tema 02:
Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros
Juan Ignacio Del Valle Gamboa
Sede de Guanacaste
Universidad de Costa Rica
Ciclo I - 2014
MA-1003 Cálculo III (UCR)
Cónicas y cuádricas
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Tabla de Contenidos
1
Curvas cónicas
2
Superficies Cuádricas
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1
Curvas cónicas
2
Superficies Cuádricas
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Secciones cónicas
Las secciones cónicas toman su nombre
pues son las curvas bidimensionales no
degeneradas producidas al intersecar un
plano con un cono circular.
La ecuación algebraica de una sección
cónica es de segundo grado y tiene la
forma:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + Exy + F
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=
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0
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Secciones Cónicas
Cónicas no degeneradas
Para un plano de corte perpendicular al
eje del cono, se produce un círculo.
Para un plano de corte que atraviesa
sólo un lóbulo del cono, se produce una
parábola o una elipse.
Fuente: wikimedia.org, autor anuskafm,
Para un plano de corte que atraviesa
ambos lóbulos del cono, se produce una
hipérbola.
CC-SA-3.0
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Aplicaciones de las cónicas
Fuente: wikimedia.org, autor:Duk, CC-SA-3.0
Sistema triple HD188753. Fuente: NASA
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Ecuaciones paramétricas
Estudiaremos las cónicas tanto mediante sus ecuaciones algebraicas,
como por sus ecuaciones paramétricas.
Recordemos que las ecuaciones algebraicas describen las relación de los
pares ordenados (x, y) que forman parte de la entidad geométrica en
estudio. Ejemplo: Una circunferencia es el conjunto de puntos
equidistantes a uno llamado centro: x2 + y2 = R2 .
Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones vectoriales, en donde se
describe cada variable por separado en función de variables auxiliares
llamadas parámetros.
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Ecuaciones paramétricas
Ejemplo
La ecuación algebraica de una
circunferencia centrada en el origen es:
x2 + y2 = R2 .
El Ojo de Londres. Fuente: wikimedia.org,
¿Describe esta ecuación una función
biyectiva de variable real? ¿Se puede
despejar una variable en función de la
otra?
autor:diliff
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Ecuaciones paramétricas
Ejemplo
Utilizando técnicas del círculo
trigonométrico, es posible construir
ecuaciones separadas para cada variable
geométrica que dependan del ángulo
triigonométrico t.
x = R cos(t)
y = R sin(t)
Cada una de estas ecuaciones por
separado es una función propiamente
definida, en términos del parámetro t.
Son las ecuaciones paramétricas de
una circunferencia.
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Cónicas: circunferencia
(R cost + x0, R sent + y0)
R
y0
x0
Ecuación algebraica
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2
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Ecuaciones
paramétricas
x − x0 = R cos(t)
y − y0 = R sin(t)
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Cónicas: elipse
a
b
y0
x0
Ecuación algebraica
(x−x0
a2
)2
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+
(y−y0
b2
)2
=1
Ecuaciones
paramétricas
x − x0 = a cos(t)
y − y0 = b sin(t)
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Cónicas: parábola
y0
x0
Ecuación algebraica
(y − y0 ) = A(x − x0 )2
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Ecuaciones
paramétricas
x − x0 = t
y − y0 = At2
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Cónicas: hipérbola
a
b
y0
x0
Ecuación algebraica
)2
0
− (x−x
+
a2
(y−y0
b2
)2
=1
Ecuaciones
paramétricas
x − x0 = a sinh(t)
y − y0 = b cosh(t)
El eje de una hipérbola no rotada se identifica con el término negativo en su
ecuación.
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Curvas cónicas
2
Superficies Cuádricas
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Proyecciones sobre los planos coordenados
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Proyecciones sobre los planos coordenados: ejemplo1
Encuentre las proyecciones sobre los planos coordenados del sólido Q
limitado por las superficies z = 1 − x2 , x + y = 1, x = y = z = 0.
1
Tomado de http://www.cidse.itcr.ac.cr/, Wálter Mora y Geovanni Figueroa, ITCR
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Proyecciones sobre los planos coordenados: ejemplo
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Superficies cuádricas
Definición
Las superficies cuádricas están definidas por la ecuación algebraica de forma
general
Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + Gxy + Hxz + Iyz + J = 0
Muchas de ellas pueden visualizarse como las supercicies obtenidas al
girar una curva cónica a lo largo de uno de sus ejes.
Los términos cruzados (aquellos con los coeficientes G, H e I) denotan
superficies cuyos ejes no son paralelos a los ejes coordenados; estas
figuras no se estudiarán en el curso. La traslación de ejes sí será
contemplada.
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Esfera
La ecuación general de una esfera trasladada se describe como:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2
Las proyecciones de una esfera en los planos coordenados son
circunferencias.
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Elipsoide
La ecuación general de un elipsoide trasladada se describe como:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+
+
a2
b2
c2
= 1
Las proyecciones de una esfera en los planos coordenados son elipses y/o
circunferencias.
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Elipsoide
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Paraboloide elíptico (o circunferencial)
La ecuación general de un paraboloide elíptico trasladado se describe como:
z=
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
a2
b2
Las proyecciones de una esfera en los planos coordenados son parábolas,
elipses y/o circunferencias. Observe que si a = b, el paraboloide sería
circunferencial.
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Hiperboloide de una hoja
Se forma al revolucionar una hipérbola a lo largo de su eje principal. La
ecuación general de un hiperboloide de una hoja trasladado se describe como:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+
−
a2
b2
c2
= 1
Las proyecciones de un hiperboloide de una hoja en los planos coordenados
son hipérbolas, elipses y/o circunferencias.
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Hiperboloide de dos hojas
Se forma al revolucionar una hipérbola a lo largo de su eje secundario. La
ecuación general de un hiperboloide de una hoja trasladado se describe como:
−
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
−
+
a2
b2
c2
= 1
Las proyecciones de un hiperboloide de una hoja en los planos coordenados
son hipérbolas, elipses y/o circunferencias.
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Paraboloide hiperbólico
La ecuación general de un paraboloide hiperbólico trasladado se describe
como:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 z − z0
−
−
a2
b2
c
= 1
Las proyecciones de un paraboloide hiperbólico en los planos coordenados
son hipérbolas y elipses.
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Cono circular recto
Características
Su ecuación viene dada por:
(z − z0 )2 =
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+
a2
b2
Las proyecciones de un cono en los planos coordenados pueden ser círculos,
elipses y rectas.
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