parcial 1 - Jos Luis Quintero D vila

sssss
PREGUNTA 1
5
PUNTOS
U.C.A.B.
F.I.U.C.A.B.
PROBABILIDADES – PRIMER PARCIAL (30%)
C.I.:
Profesor:
Nombre y
Apellido:
Sábado
26/04/14
Sean A, B y C tres eventos no vacíos tales que P(A) = 1 2 , P(A ∪ B) = 3 4 y P(C) = 1 4 . Por otra parte, se
tiene que la probabilidad de que
• ocurran simultáneamente los eventos A ∪ B y C es cero
• ocurra el evento B y no ocurra el evento A es 1 4
• ocurra el evento A y no suceda el evento B es 1 4
Calcule la probabilidad de que ocurran los eventos B o C.
SOLUCIÓN.
Codificación de la información proporcionada:
1
3
1
1
1
P(A) = , P(A ∪ B) = , P(C) = , P((A ∪ B) ∩ C) = 0, P(A ∩ B) = , P(A ∩ B) =
2
4
4
4
4
P((A ∪ B) ∩ C) = 0 ⇒ P((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) = 0 ⇒ P(A ∩ C) = 0, P(B ∩ C) = 0
Codificación de la información solicitada:
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = P(B) +
1
1
− 0 = P(B) +
4
4
Cálculo de P(B):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ⇒ P(B) = P(A ∪ B) + P(A ∩ B) − P(A) =
Cálculo de P(A ∩ B) :
3
1
+ P(A ∩ B) −
4
2
P(A ∪ B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) + P(A ∩ B) ⇒ P(A ∩ B) = P(A ∪ B) − P(A ∩ B) − P(A ∩ B)
=
3 1 1 1
− − =
4 4 4 4
Por lo tanto
3
1 3 1 1 1
+ P(A ∩ B) − = + − =
4
2 4 4 2 2
1
1 1 1 3
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = P(B) + − 0 = P(B) + = + =
4
4 2 4 4
P(B) = P(A ∪ B) + P(A ∩ B) − P(A) =
ss
PREGUNTA 2
5
PUNTOS
U.C.A.B.
C.I.:
F.I.U.C.A.B.
PROBABILIDADES – PRIMER PARCIAL (30%)
Profesor:
Nombre y
Apellido:
Sábado
26/04/14
El código de área de un número telefónico se compone de tres dígitos. Se están considerando los dígitos
del 1 al 5 para formar dichos códigos de área, seleccionando un dígito a la vez de forma aleatoria y sin
repetición. Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
a. El código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados
SOLUCIÓN.
(1 punto)
Evento de interés: A: el código está compuesto por dígitos sucesivos no necesariamente ordenados.
Por dígitos sucesivos se entienden tres posibles casos: que en el código aparezcan los dígitos 1,2,3 o
los dígitos 2,3,4 o los dígitos 3,4,5 en cualquier orden. Luego el número de casos a favor sería:
NA : 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 + 3 × 2 × 1 = 18
Por otro lado se tiene que el número total de formas como se escogen 3 dígitos de 5 disponibles
viene dado por 5 × 4 × 3 = 60 , de modo que NS = 60 . Por lo tanto
NA 18
3
=
=
NS
60 10
P(A) =
b. El código es un número par
(1 punto)
SOLUCIÓN.
Evento de interés: B: el código es un número par
Para que el código sea un número par debe terminar en 2 o en 4. Luego el número de casos a favor
sería: NB : 4 × 3 × 1 + 4 × 3 × 1 = 24 . Por lo tanto
NB
24 2
=
=
NS 60 5
P(B) =
c. El código no debe tener ni 1 ni 4
(1 punto)
SOLUCIÓN.
Evento de interés: C: el código no debe tener ni 1 ni 4
Si el código no debe tener ni 1 ni 4 implica que tenga entonces 5, 2 y 3 en cualquier orden. Luego el
número de casos a favor sería: NC = 3! = 6 . Por lo tanto
NC
6
1
=
=
NS 60 10
P(C) =
d. El digito 3 no aparece en el código
(1 punto)
SOLUCIÓN.
Evento de interés: D: El dígito 3 no aparece en el código. ND = 4 × 3 × 2 = 24 . Por lo tanto
P(D) =
ND 24 2
=
=
NS
60 5
e. La suma de los dígitos es igual a 6
(1 punto)
SOLUCIÓN.
Evento de interés: E: La suma de los dígitos es igual a 6
Se tiene que NE = 3 × 2 × 1 = 6 . Por lo tanto
P(E) =
NE
6
1
=
=
NS 60 10
PREGUNTA 3
5
PUNTOS
U.C.A.B.
F.I.U.C.A.B.
C.I.:
PROBABILIDADES – PRIMER PARCIAL (30%)
Nombre y
Apellido:
Profesor:
Sábado
26/04/14
Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produce una enfermedad es 0.6. Se sabe
que cierta vacuna impide, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y expuesta al virus
contraiga la enfermedad producida por el virus. Una persona no vacunada tiene probabilidad 0.9 de
sufrir la enfermedad si entra en contacto con el virus. Dos personas, una vacunada y otra no, son
capaces de realizar cierta tarea muy especializada en una compañía. Suponga que estas personas no
están en la misma localidad, no están en contacto con las mismas personas ni pueden contagiarse entre
sí. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad?
SOLUCIÓN.
Experimento aleatorio: Escoger una persona al azar
Propósito: Determinar si se encuentra sana o se encuentra enferma
Eventos:
E: Hubo exposición al virus que produce una enfermedad
A: El empleado vacunado contrae la enfermedad
B: El empleado no vacunado contrae la enfermedad
Información suministrada: P(E) = 0.6 , P(A / E) = 0.2 , P(B / E) = 0.9
Se pide:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 − P(Ac ∩ Bc ) = 1 − P(Ac ).P(Bc )
P(A c ) = P(A c ∩ Ec ) + P(A c ∩ E) = P(Ec ).P(A c / Ec ) + P(E).P(A c / E) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.8 = 0.88
P(Bc ) = P(Bc ∩ Ec ) + P(Bc ∩ E) = P(Ec ).P(Bc / Ec ) + P(E).P(Bc / E) = 0.4 × 1 + 0.6 × 0.1 = 0.46
De modo que
P(A ∪ B) = 1 − P(A c ).P(Bc ) = 1 − 0.88 × 0.46 = 1 − 0.4048 = 0.5952
PREGUNTA 4
5
PUNTOS
U.C.A.B.
F.I.U.C.A.B.
C.I.:
PROBABILIDADES – PRIMER PARCIAL (30%)
Profesor:
Nombre y
Apellido:
Sábado
26/04/14
Dos profesores (A y B) están interesados en estudiar los
hábitos de sueño de sus 20 estudiantes en las clases
que cada uno dicta. Ambos profesores registran el
tiempo (en minutos) que demoran en quedarse
dormidos sus alumnos desde que empieza la clase. El
diagrama de caja y bigotes del gráfico 1 muestra los
tiempos que demoran en quedarse dormidos los
alumnos del profesor A.
a. A partir del gráfico 1 halle la cantidad de
alumnos que se demoran entre 15 y 17 minutos
en quedarse dormidos, el rango intercuartil y el
porcentaje de datos atípicos.
SOLUCIÓN.
(1 punto)
Cantidad de alumnos que se demoran entre 15 y
17 minutos en quedarse dormidos: 5
Rango intercuartil: 3 minutos
Porcentaje de datos atípicos: 5%
b. Los datos referidos
siguientes:
al
profesor
B
son
10.5
11.3
11.9
12.0
12.3
12.3
13.8
12.5
14.2
12.7
14.8
13.4
15.1
13.7
15.3
16.7
16.8
18.8
20.8
20.8
los
Gráfico 1. Tiempos referidos al profesor A
Construya un diagrama de caja y bigotes correspondiente a los tiempos en que se quedan
dormidos los alumnos en la clase del profesor B y establezca conclusiones si se compara con el
diagrama de caja y bigotes del profesor A.
SOLUCIÓN.
(4 puntos)
20 * 25
20 * 75
Q1 : m <
≤ m + 1 ⇒ m = 5 ⇒ Q1 = x5 = 12.3 , Q3 : m <
≤ m + 1 ⇒ m = 14 ⇒ Q3 = x15 = 15.3
100
100
x10 + x11 13.7 + 13.8
=
= 13.75 , RI : Q3 − Q1 : 15.3 − 12.3 = 3
2
2
Li = Q1 − 1.5RI = 12.3 − 1.5 × 3 = 7.8 ; L3 = Q3 + 1.5RI = 15.3 + 1.5 × 3 = 19.8
Me =