Restos cuadráticos

EJERCICIOS DE RESTOS CUADRATICOS
1.- El número 839.243 es igual a 977 x 859 . Calcular el cuadrado que genera como resto cuadrático “R” , sabiendo que R â ¡ 591 (módulo 859 ) y R â ¡ 598 ( mód. 977 ).
2.-Sabiendo que el resto , R(x) = 304 , y que el resto R(x+10) = 536 , encontrar otro
resto cuadrático , R(y) , que multiplicado por R(x) , nos dé R(x+10) , módulo 1037.
3.-Igualmente,sabiendo que R(x) = 304, y que R(x+10) = 536, hallar el resto cuadrático
R(z) en el que R(x) / R(z) ⠡ R(x+10) ( módulo 1037 ).
4.-Dado un número , N= 22257 = 61 x 37 , y un resto cúbico R(3) 2246, hallar el cubo
que lo genera.
5.-Partiendo de N = 1591 = 43 x 37 ,determinar los cuadrados que generan “1” como
resto cuadrático.
6.-Se trata de un número compuesto,N= 714.641 = 983 x 727 . Hallar los cuadrados que
tiene como residuo cuadrático las bases de dichos cuadrados.
7.-Calcular el cuadrado que para módulo 47 ,tiene de resto 37 ,sabiendo que 37 elevado
elevado al cubo es congruente 9 ² , módulo 47.
8.-Hallar el cuadrado que genera como resto, 933 , módulo 1063.-Sabemos que 933 elevado al cubo es congruente 735 ² , para módulo 1063.
9.-Dado el resto cuadrático , R(x) = 78 , de N = 83 , determinar dos restos cuadráticos
cuyo producto tenga como resto cuadrático R(x).
10.-Los cuadrados, 396.221 ² y 17.413.260 ² generan ambos como resto 138.343, para
un módulo de 49.090.351.-Hallar los factores de dicho número .
---------------------------------------------------------SOLUCIONES
Ejercicio 1
N = 977 x 859 = 839.243 ; n ² ⠡ R ( mód. 839243 )
1
R ⠡ 591 ( módulo 859 ) R ⠡ 598 ( módulo 977 )
591 + 859 a = 598 + 977 b
859 a = 977 ( b + 1) - 970 a = 505 b = 444
591 + (505 x 859 ) = 434.386 R = 434.386
297 ² ⠡ 591 ( mód.859 ) 368 ² ⠡ 598 ( mód.977 )
297 + 859 a = 368 + 977 b
859 a = 977 ( b + 1 ) - 906
( 822 x 927 ) + 368 = 803.462
803.462 ² 434.386 ( módulo 839.343 )
y también,
368 â “ 297 = 71 859 a = 977 b - 71 a = 42
( 42 x 859 ) ⠓ 297 = 35781 ² ⠡ 434.386 ( módulo 839.243 )
----------------------------------------------------------Ejercicio 2
304 a = 1037 b -536 R(x) . R(y) = R (x+10) x + y - 1 = x + 10
y = 11 R(y) = R(11) 304 a = 1037 b - 536 ; a = 353
1037 â “ 353 = 684 R(11) = 684
304 x 684 ⠡ 536 ( módulo 1037 )
-----------------------------------------------------------Ejercicio 3
( x-z+1) = x + 1 z = - 11
R(x) / R(z) ⠡ R(x+10) ( módulo 1037) ; R(x) ⠡ R(x+10) . R(-9) ( módulo 1037 )
R(x) ⠡ R(x) ( módulo 1037 ) R(11) = 684 R(-11) = 47
684 x 47 ⠡ 1 ( módulo 1037 )
R(11)R(-11) = R(1) ⠡ 1 ( módulo 1037 )
----------------------------------------------------------
2
Ejercicio 4
N = 22257 = 61 x 37 Resto cúbico = 2246
2246 ⠡ 26 ( módulo 37 ) 2246 ⠡ 50 ( módulo 61 )
9 ³ ⠡ 26 ( módulo 37 ) 11 ³ ⠡ 50 ( módulo 61 )
9 + 37 a = 11 + 61 b 37 a = 61 ( b+1) - 59 a = 5
5 x 37 = 185 185 + 9 = 194
194 ³ ⠡ 2246 ( módulo 2257 )
---------------------------------------------------Ejercicio 5
1591 = 43 x 37 37 a = 43 b â “ 2
a = 29 29 x 37 = 1073
1073 + 1 = 1074
1074 ² ⠡ 1 ( módulo 1591 )
1074 = ( 29 x 37 ) + 1 1074 = ( 25 x 43 ) + 1
--------------------------------------------------Ejercicio 6
N = 983 x 727 = 714.641 927 a = 983 b - 2 a = 192
192 x 727 = 139.584 139.584 + 1= 139.585
139.585 ² ⠡ 1 ( módulo 714.641 ) ; 575.056 ² ⠡ 1 ( módulo 714.641 )
(575.056 + 714.641 + 1) / 2 = 644.849
644.849 ² ⠡ 644.849 ( módulo 714.641 )
el otro cuadrado será ,
714.641 + 1 -644.849 = 69.703
69.793 ² ⠡ 69.793 ( módulo 714.641 )
--------------------------------------------------Ejercicio 7
3
Partiendo del multiplicador “37” , hallar el otro multiplicador que genera el resto 9 ,
37 a = 47 b - 9 a = 15 47 - 15 = 32
32 x 37 = 1184 ⠡ 9 ( módulo 47 )
32 ² ⠡ 37 ( módulo 47 )
-----------------------------------------------------------Ejercicio 8
Habrá que calcular el segundo multiplicador que genera el “735” , módulo 1063.
933 a = 1063 b - 735 a = 946
1063 - 946 = 117
117 ² ⠡ 933 ( módulo 1063 )
Ejercicio 9
N = 83 R(x) = 78
Tomamos un resto cuadrático cualquiera , por ejemplo el 77 ,
83â “ 78 = 5 77 a = 83 ( b + 1) - 5
a = 70
70 x 77 ⠡ 78 ( módulo 83 )
--------------------------------------------------------Ejercicio 10
396.221 ² ⠡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )
17.413.260 ² ⠡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )
a x + 396.221 = 17.413.260 b x + 17.413.260 = 49-486.572
x . y = 49.090.351
a x = 17.017.029 b x = 32.073.312
34.034.078 â “ 32.073.312 = 1.960.766
9 x 1.960.766 = 17.646.894
17.646.894 â “ 17.017.039 = 629.855
4
• : 5 = 125.971 1.960.766 - ( 15 x 125.971 ) = 71.201
125.971 - 71,201 = 54.770 54.770 : 10 = 5.477
N = 49.090.351 = 5.477 x 8963
---------------------------------------------------------
5