Cap´ıtulo 2 Cinemática del sólido: Campo de velocidades

Capı́tulo 2
Cinemática del sólido: Campo de
velocidades
Ejercicio 2.1: Un sólido se mueve respecto a un sistema de referencia Oxyz. En un
instante dado, la velocidad de punto A de coordenadas (a, 0, 0) es v0 j, la de B(0, a, 0) es
v0 (j + k), y la de C(0, 0, a) es v0 (i + j + k). Hallar, en ese instante, la velocidad de mı́nimo
deslizamiento, el eje instantáneo de rotación y la velocidad angular.
Ejercicio 2.2: En un instante dado, los puntos A(a, 0, 0), B(0, a, 0) y C(0, 0, a) tienen,
respectivamente, las velocidades ~v A = (vx , aω, −aω), ~v B = (0, aω, vz ) y ~v C = (aω, aω, 0).
Determinar vx y vz para que los tres puntos puedan pertenecer a un sólido. En este caso,
determinar su velocidad angular y eje instantáneo de rotación en ese momento.
Ejercicio 2.3: Un sólido 0 se mueve de modo que:
~i˙ 0 = ω ~j0 − ω ~k0
~j˙ 0 = −ω ~i0 + ω ~k0
~k˙ 0 = ω ~i0 − ω ~j0
Calcular el vector velocidad angular, proyectado en ejes sólido.
Ejercicio 2.4: La varilla AB se encuentra unida por
juntas de rótula a los collares A y B que se desplazan
a lo largo de las dos varillas que se indican en la figura.
Sabiendo que el collar A se mueve hacia el origen de
coordenadas con una velocidad constante de 25 cm/s,
calcular la velocidad de collar B y su aceleración.
Ejercicio 2.5: En la figura se muestra un cubo cuyas aristas tienen de longitud L. En
la posición representada en la figura se conocen las velocidades lineales de sus vértices A,
B y C, siendo:
vA = −v i − v j + v k
vB = −v i + 2v k
vC = 2v k
Determinar en ese instante:
1. Velocidad angular
2. Ecuación vectorial del E.I.R.M.D.
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CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES
Problema 2.1: En un instante un helicóptero avanza horizontalmente con una velocidad constante V . El eje rotor del helicóptero está inclinado un ángulo θ sobre
la vertical hacia adelante y contenido en el
plano OY Z. La velocidad angular del rotor
es ω constante. Hallar en ese instante:
1. Los elementos del movimiento helicoidal tangente del rotor.
2. Definir las axoides del rotor.
3. Particularizar los resultados anteriores para los valores: V = 300 KM/h, θ = 30o ,
ω = 100 r.p.m.
Problema 2.2: Un cilindro de radio R rueda, pivota y desliza sobre un cono vertical, fijo, de radio R y semiángulo en
el vértice 30o . El movimiento es tal que en todo momento se
mantienen en contacto las generatrices de ambos sólidos. La
base inferior del cilindro rueda y pivota sin deslizar sobre la
del cono. El plano que contiene a los dos ejes y la generatriz de
contacto gira alrededor del eje del cono con velocidad angular
constante ω.
1. Hallar los parámetros del movimiento helicoidal tangente del cilindro: E.I.R.M.D.,
velocidad de mı́nimo deslizamiento y velocidad angular.
2. Hallar las axoides del movimiento del cilindro.
3. Hallar la aceleración angular del cilindro.
Problema 2.3: Un sólido S se mueve de tal forma que dos de sus puntos A y B,
separados por una distancia a, recorren respectivamente los ejes Ox y Oy de un sistema
de referencia ortogonal fijo Oxyz. Además un plano π de S que pasa por AB ha de pasar
en todo momento por el punto C(0, 0, a/2) del eje Oz. Se pide:
1. Hallar el eje instantáneo de rotación y deslizamiento en el instante inicial, cuando
A está en (a, 0, 0) y B en (0,0,0).
2. Obtener la velocidad angular y la posición del E.I.R. en función del ángulo θ que
forman AB y Ox y sus derivadas.
Los ejes ligados al sólido se tomarán de modo que en el instante inicial coincidan con los
fijos.
Problema 2.4: El sistema de referencia Oxyz (sólido 0) se mueve respecto al sistema O1 x1 y1 z1 (sólido 1)
de modo que en todo instante: i) el punto O está en
el eje O1 y1 ; ii) el eje Ox pasa por el punto fijo A del
sistema 1 de coordenadas x1 = a, y1 = z1 = 0; iii) el
ángulo entre el eje Oy y el plano O1 x1 y1 es igual an
ángulo entre los ejes O1 x1 y Ox. Llamemos θ a este
último ángulo tal como aparece en la figura. Se pide:
O
i) Determinar en función de θ y θ̇ los vectores ~v01
y
ω 01 , ii) Determinar las axoides del movimiento 0/1.
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Problema 2.5: La figura representa esquemáticamente una junta Cardan para transmitir una rotación
de un árbol e1 a otro e2 que forma un ángulo α con él
y con el que es concurrente. Determinar el coeficiente
de transmisión ω/Ω en función de α y el ángulo ϕ que
forma el brazo AB de la cruz Cardan con una lı́nea
de referencia fija zz ′ perpendicular a los ejes e1 y e2 .
Problema 2.6: Un disco D de radio a se mueve respecto a un sistema de referencia
O1 x1 y1 z1 permaneciendo tangente en todo momento a los planos O1 x1 y1 y O1 x1 z1 . La
velocidad de rotación del disco tiene componentes iguales según el eje O1 x1 y la normal
al plano que lo contiene.
La velocidad del punto que está en contacto con O1 x1 y1 no tiene componente según
O1 x1 .
Hallar las axoides de este movimiento.
Problema 2.7: Un cono circular recto, cuya base
tiene un radio R, y cuya altura es h, se mueve con relación a un sistema de referencia permaneciendo siempre tangente a un plano π del mismo.
El movimiento del cono viene definido en cada instante por su velocidad de rodadura ~ω y la velocidad de
deslizamiento correspondiente a la partı́cula M que es
~vD , ya que se considera nula la velocidad de pivotamiento del mismo (~vD es perpendicular a ~ω ).
Se pide calcular:
1. a) Velocidades del vértice P y del centro Q de la base del cono.
b) Posición del eje instantáneo de rotación del movimiento
2. En el supuesto de que tanto ω
~ como ~vD tengan módulo constante al variar el tiempo.
a)
b)
c)
d)
Axoides de este movimiento.
Valor de la aceleración angular de este movimiento.
Aceleración del vértice P y centro Q de la base del cono.
Puntos de aceleración nula.
3. Suponiendo que |~ω | = a · t y |~vD | = b · t repetir los cálculos del apartado 2).
NOTA: se entiende aquı́ por “velocidad de deslizamiento” no la velocidad de mı́nimo
deslizamiento del sólido, sino la de un punto del cono en contacto con el plano, respecto al
mismo plano. Velocidad de pivotamiento es la componente de la velocidad angular normal
al plano de contacto.
Problema 2.8: Un disco D de radio a rueda y pivota
sin deslizar sobre el plano O1 x1 y1 de un sistema de
referencia ortogonal, manteniéndose constantemente
perpendicular a dicho plano.
Sea C la curva del plano O1 x1 y1 descrita por el punto
de contacto y ϕ el ángulo que la tangente a la misma
forma con O1 x1 . Definamos el sistema de ejes móviles
Oxyz indicado en la figura y tales que el eje Oy es el
eje del disco, Oz es paralelo a O1 z1 y el triedro Oxyz
sea a derechas.
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CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES
Finalmente, llamemos p, q, r a las componentes en los ejes Oxyz de la velocidad de
rotación del disco respecto a triedro de referencia O1 x1 y1 z1 .
El movimiento se realiza de tal manera que en todo momento se verifica la relación
q = 4r cos ϕ
(2.1)
Si tomamos el origen de arcos C en el punto O1 en el que además se supone que ϕ = 0,
se pide:
1. Obtener a partir de (2.1) la ecuación intrı́nseca s = s(ϕ) de la curva C.
2. Obtener las ecuaciones paramétricas x1 = x1 (ϕ), y1 = y1 (ϕ) de la curva C. Dibujarla
e identificarla.En todo lo que sigue se supondrá que r = ω =constante.
~ del disco.
3. Velocidad de rotación Ω
4. Eje instantáneo.
5. Axoides del movimiento.
~
6. Valor de dΩ/dt.
7. Aceleración del punto del disco que está en contacto con O1 x1 y1 .
Problema 2.9: Se tiene una escuadra formada por dos varillas DM y DN unidas en√D
formando ángulo recto. El vértice
√ D de la escuadra recorre con velocidad constante aω/ 2
una circunferencia de
radio
a/
2, contenida en el plano fijo Ox1 y1 , y de centro el√
el punto
√
de coordenadas
√ (a/ 2, 0, 0). La varilla DM desliza por el punto fijo A(0, 0, −a 2) y la
DN por B(a 2, 0, 0). En el instante inicial D pasa por el origen O. Del movimiento de
la escuadra respecto a los ejes fijos se pide, en función del tiempo:
1.
2.
3.
4.
5.
Velocidad de los puntos que en cada momento están pasando por A y B.
Velocidad angular
Aceleración angular
Axoide fija
Aceleración de los puntos que están pasando por A y B