ecuacion_de_la_recta

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Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas
Unidad de Aprendizaje:
Ecuación de la Recta
Capacidades/Destreza/Habilidad:
Curso:
2° E.M.
Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver /Conjeturar/Analizar
Valores/ Actitudes:
Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento
Aprendizajes Esperados: Deducir la ecuación de la recta en el plano
cartesiano a partir de algunos elementos entregados. Cálculos de distancia
entres 2 puntos. Rectas paralelas y perpendiculares. Identificar y deducir
elementos secundarios del triangulo.
Guía N°
21
Recursos TICs:
Resolución de las problemáticas a través de un POWERPOINT en la pizarra
Evaluación de proceso:
Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases
Tiempo: 3 semana
Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme
Profesores de nivel: Paulina Roa - Miguel Fernández R – Gabriela Aguilera
Unidad:
Ecuación de la Recta
Nombre:_________________________________________________CURSO:______
1
Ecuación de la Recta
Concepto de Recta
Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado.
Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta.
La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la variable
independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama
variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la
ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar
queda 2 = 7 - 5  2 = 2 lo que resulta verdadero.
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema
de coordenadas IR x IR, siendo “x” el valor de la abscisa e “y” el valor de la
ordenada.
 (x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (-3, 5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5.
La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:
Forma General: ax + by + c = 0
Forma Principal: y = mx + n
Pendiente de una Recta
En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la
pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.
La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta,
mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta
interceptará al eje de las ordenadas.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo
que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7).
2
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente queda
determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos
de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea
m
y 2  y1
x 2  x1
Obs. Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente igual a cero.
Una recta que es paralela al eje y, no tiene pendiente
EJERCICIOS:
1. Calcula en cada caso la pendiente de la recta determinada por los puntos:
a) A (4,6) y B (2,3)
b) P (-3,2) y Q (-3,5)
c) M (4,8) y W (-7,8)
2. Considera el triángulo ABC, cuyos vértices son A(4,6) , B(-6,4) y C(8,2). Calcula
la pendiente de la recta que contiene a cada lado del triángulo.
En la ecuación general de la recta, ax + by + c = 0 la pendiente y el coeficiente
de posición quedan determinados por:

m
a
b
 n
c
b
Demostrémoslo: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación
principal.
3
Ax + By + C = 0

y
Ax C

B
B

Ax + By = -C
 luego
m
a
b

y
By = -Ax – C
n

y
Ax  C
B
c
b
Ejemplo:
¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0?
A = 4, b =-6, c = 3
 m
a
 m = -4/-6 = 2/3
b
;  n
c
 n = -3/-6 = 1/2
b
Ejercicios
Escribe la ecuación general y principal de la recta, de modo que m y n sean,
respectivamente:
a) Ejemplo : 1 y -1  y = 1x -1  0 = x – y -1
b) 5 y 0
c) 8 y 3
d) 3/5 y 1/ 4
e) -4/3 y 5/4
Tres puntos colineales. (alineados)
“Tres puntos son colineales si pertenecen a la misma recta”
A, B y C son colineales si la pendiente de AB es igual a la pendiente de BC.
Ejercicios
1. Deducir si los puntos A(-2, 1), B(2, 1), C( 4, 2) son colineales.
4
2. Calcular el valor de “k” en C para que se cumpla que los 3 puntos A(-3, -2),
B(6, 3), C(0, k) sean colineales.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos
conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la
misma pendiente por ser colineales. O sea
mPQ 
y 2  y1
x 2  x1
y
mPR 
y  y1
x  x1
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
y 2  y1 y  y1

x 2  x1 x  x1
 m
y  y1
x  x1
que también se puede expresar como 
(x  x 1)·m  y  y1
Ejemplo:
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
y2 42


x 1 3 1
y2 2

x 1 2

y2
1
x 1
y-2=x–1
 x-y+1=0
Ecuación de la recta dado punto-pendiente
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por
y 2  y1 y  y1

x 2  x1 x  x1
 pero
m
y 2  y1
x 2  x1

luego reemplazando en la ecuación anterior se obtiene
5
 m
y  y1
x  x1
 despejando, obtenemos que:
y - y1 = m(x - x1)
Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa
por el punto (5,-3)
y - y1 = m(x - x1)  y - (-3) = -4(x - 5)  y + 4 = -4x + 20 
Luego la ecuación pedida es 4x + y - 16 = 0.
Ejercicios:
Encuentra la ecuación principal y general de la recta que pasa por los puntos
a) A (3,4) y B (7, 4)
b) G(-5,2) y B (-3,-1)
c) L(1/2, 1/3) y F(0,1)
Determina las ecuaciones principal y general de la recta que pasa por el punto
dado y que tiene la pendiente que se indica
a) Ejemplo: A (6,4) ; m = -3  (x - x1)m = y – y1  (x – 6)(-3) = y – 4
b) B(0,4) ; m = 1
6
c) C(5,5) ; m = 3/5
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de
posición distintos, o sea
L1: y = m1x + n1
Entonces L1 // L2 sí y sólo si
m1 = m2
L2: y = m2x + n2,
Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas.
Ambas tiene pendiente igual a cuatro
Dos rectas son coincidentes (son la misma) cuando sus pendientes son iguales y
sus coeficientes de posición iguales, o sea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si
m1 = m2 y n1 = n2
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es (-1), o
sea
L1: y = m1x + n1
Entonces L1  L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
L2: y = m2x + n2,
Ejemplo:
L1: y = -2x + 3
Entonces L1  L2 ya que -2 · 0,5 = -1
L2: y = 0,5x - 4
7
Ejercicios
Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(5,2) y es
paralela a la recta de ecuación y = 3x -1
Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el punto B(-2,0) y es
paralela a la recta de ecuación 2x – y +5 = 0
Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el origen del sistema
cartesiano y es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,1) y (6,5)
¿Son paralelas las recta que pasan, respectivamente, por los puntos A(2,4) B(5,7)
y C(5,2) y D(9,6)?
Calcula el valor de la constante K en la ecuación de la recta 2kx – y - 1 = 0 que es
paralela a la recta de ecuación 3x - 2y + 6 = 0
8
Comprueba si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(-1,-2) B(8, 4) C(5, 5) y
D(2, 3) es un trapecio (Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados
paralelo)
Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el punto (3, 5) y es
perpendicular a la recta de ecuación y = 
1
x -2
2
Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-1, 3) y es
perpendicular a la recta de ecuación 3x – y -1 = 0
La recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 4) ¿Es perpendicular a la recta que
pasa por los puntos (-1, 3) y (1, 1)?
9
Comprueba que el triángulo ABC, cuyos vértices son A(-2, 1), B(6, 1), C(6, 4) es
rectángulo en B
Coordenadas del punto medio:
Dados dos puntos (x 1, y 1) y (x 2 , y 2 ) el punto medio está dado por:
 x  x1 y 2  y1 
Pm   2
,

2 
 2
Ejemplo:
Dados dos puntos A(-5, 2) y B(5, 2) Hallar las coordenadas del punto medio
55 22
,

  (0, 2)
2 
 2
Ejercicio
El triangulo A(-3, -4), B(2, -1), C(0, 5) Calcular los puntos medios de cada lado
del triángulo.
Distancia entre dos puntos:
Dados dos puntos (x1, y1) y (x 2 , y 2 ) , la distancias está dada por:
10
d  (x 2  x1)2  (y 2  y1)2
Ejemplo:
Hallar la distancia entre P(-3,-2) y Q(9,3)
Restamos abscisa con abscisa y ordenada con ordenada
9  (3)  9  3  12
3  (2)  3  2  5
Finalmente, la distancia entre P y Q
Luego d  (144)  ( 25 ) =
(169) 13
es 13
Distancia de un punto a una recta:
La distancia de un punto a una recta es la medida del segmento perpendicular
trazado desde el punto a la recta.
P
L
La expresión para calcular la distancia entre un punto P(x 1, y1) y una recta de
ecuación Ax + By + C = 0 es:
d
Ax1  By1  C
A2  B 2
Ejemplo:
Hallar la distancia entre el punto A(2, 5) y la recta L: 3x +4y -7 = 0
Utilizando la expresión d 
Ax1  By1  C
A2  B 2
y reemplazando en ella los valores dados
se tiene:
d
3  (2)  4  (5)  7
2
3 4
2
 d
6  20  7
25
 d
19
5
EJERCICIOS:
Calcula la distancia entre el punto dado y la recta respectiva
a) A(4, 1) y L: 2x – y +1 = 0
11
b) B(-2,5)
y
L: y = (-1/2)x +4
c) C(2,6)
y
L: 3y – x = 7
12