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UNIDAD 10
Actividades de final de unidad
Ejercicios básicos
1. Según la teoría de la relatividad, dos observadores en sistemas de referencia inerciales, miden:
a) La misma velocidad de la luz.
b) El mismo espacio.
c) El mismo tiempo.
Miden la misma velocidad de la luz, ya que este es uno de los postulados de la teoría de la relatividad espacial.
Las respuestas b) y c) son falsas, ya que entre dos sistemas de referencia inerciales, las longitudes son más largas en el sistema en que el objeto está en reposo y los tiempos más cortos en el sistema en el que el punto
en que suceden los acontecimientos cuyo intervalo temporal se mide, está en reposo.
2. Según Einstein, la velocidad de la luz en el vacío:
a) Es constante en los sistemas de referencia en reposo.
b) Es constante independientemente del sistema de referencia escogido.
c) Depende de la velocidad del foco emisor.
La velocidad de la luz es constante e independientemente del sistema de referencia escogido, como establece uno de los postulados de la relatividad.
3. Se determina, por métodos ópticos, la longitud de una nave espacial que pasa por las proximidades de la Tierra,
resultando ser de 100 m. En contacto radiofónico, los astronautas que viajan en la nave comunican que la longitud de su nave es de 120 m. ¿A qué velocidad viaja la nave respecto de la Tierra? Dato: c = 3 · 10 8 m/s.
204
La ecuación que liga la longitud de un objeto en el sistema de referencia de la nave (longitud propia) l 0 , con
la longitud del mismo en el sistema de referencia de la Tierra l, es:
l = l0
兹莦莦
1–
v2
c2
donde v es la velocidad del objeto, que en este caso es la nave espacial.
Si se despeja la velocidad de la expresión anterior:
l
1–
(兹莦莦莦
l )
100 m
1–
= 1,66 · 10 m s
(
120 m )
兹莦莦莦莦
2
v=c
v = 3 · 108 m s–1
2
0
2
2
2
2
8
–1
4. Explica las leyes de la reflexión desde el punto de vista de la teoría corpuscular de la luz (recuerda que en un
choque elástico se conservan la cantidad de movimiento y la energía cinética).
Considera la luz compuesta por diminutos corpúsculos materiales de masa m, que se mueven a una velocidad v suficientemente grande como para que no se curven sus trayectorias por efectos gravitatorios.
Al chocar estos corpúsculos con la superficie de separación de dos medios, si se supone que no existe rozamiento y que, por tanto, el impulso mecánico que sufre el corpúsculo es normal a la superficie, entonces:
Px = Px’ ⇒ vx = v’x
[1]
Por otro lado, si el choque es perfectamente elástico, la energía cinética se
conserva:
1
1
m v’2
m v2 =
2
2
de donde v = v’; por tanto,
→
P
→
P’
Py
Px
i
r
P’y
P’x
v 2 – v 2x = 兹苵苵苵苵苵苵苵苵苵苵苵
v’ 2 – v’ 2x = v’y
vy = 兹苵苵苵苵苵苵苵苵苵
Como consecuencia, la componente de la cantidad de movimiento según el eje y no varía en magnitud, aunque sí de sentido:
Py = –P y’
[2]
10 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL SIGLO XX
De las ecuaciones [1] y [2] se deduce:
1. Las trayectorias de la «partícula luminosa», antes y después del choque, y la normal a la superficie están
en el mismo plano.
2. El ángulo de incidencia es igual al de reflexión:
arc tan
i=^
r.
de donde ^
Px
P’
= arc tan x
Py
P’y
5. Se sabe que no se pueden extraer electrones de un cierto metal cuando se ilumina con luz verde. ¿Se logrará si
se usa luz roja en lugar de verde? Razona tu respuesta.
No, porque al ser la longitud de onda de la luz roja mayor que la de la verde, su frecuencia será menor:
ƒR < ƒV; por tanto, también será menor la energía de los fotones de la radiación roja que la de los fotones de
la verde hƒR < hƒV. Así pues, si los fotones de la luz verde no poseen energía suficiente para arrancar los electrones del metal, tampoco la poseen los de la roja.
6. ¿Por qué Huygens tuvo que recurrir al «éter» para explicar la propagación de la luz?
Hasta entonces, todas las perturbaciones conocidas que se propagaban por un movimiento ondulatorio necesitaban un medio material para propagarse y, precisamente, las propiedades elásticas de ese medio aseguraban la propagación de la perturbación.
7. Indica si es verdadero falso que si ƒ0 es la frecuencia umbral de un metal puro, el efecto fotoeléctrico solo se
presenta si:
a) < 0
b) ƒ < ƒ0
c) ƒ = ƒ0.
a) Verdadero, pues si < 0, entonces ƒ > ƒ0.
b) Falso, pues los fotones poseen energía inferior al trabajo de extracción del metal.
c) Falso, porque también se produce para frecuencias mayores que ƒ0.
8. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
La emisión de fotoelectrones en una célula fotoeléctrica depende:
a) De la intensidad de la luz incidente.
b) De la frecuencia de la luz incidente.
c) De la distancia entre los electrodos.
d) De la naturaleza de la célula.
a) Falsa; de la intensidad de la luz incidente depende el número de electrones emitidos, si se emite alguno.
b) Verdadera, pues solo hay emisión si se supera una cierta frecuencia umbral.
c) Falsa. No tiene nada que ver.
d) Verdadera, pues el trabajo de extracción depende de la naturaleza del metal que constituye el electrodo
iluminado.
9. Para observar el efecto fotoeléctrico es mejor hacer incidir sobre el metal luz UV (longitud de onda 3,6 · 10 –7 m)
que luz roja (longitud de onda 7,0 · 10 –7 m). ¿Sabes por qué?
Se resalta mejor el citado efecto con luz UV porque, aunque el metal experimente emisión fotoeléctrica en
ambas situaciones, la radiación ultravioleta es de frecuencia más alta y, por tanto, más energética. Es decir,
los fotones del UV tienen mayor energía que los del visible.
Las frecuencias correspondientes a estas longitudes de onda son:
Radiación UV: ƒ =
Luz roja: ƒ =
c
3 · 108 m s–1
=
= 8,3 · 1014 Hz.
3,6 · 10–7 m
c
3 · 108 m s–1
=
= 4,3 · 1014 Hz.
7,0 · 10–7 m
con lo que la energía de los fotones correspondientes es:
Radiación UV: E = hƒ = 6,626 · 10–34 J s 8,3 · 1014 Hz = 5,5 · 10–19 J.
Luz roja: E = hƒ = 6,626 · 10–34 J s 4,3 · 1014 Hz = 2,8 · 10–19 J.
Por tanto, aunque ambos fotones arranquen electrones del material, saldrán con más energía cinética cuando se emplee radiación UV.
205
V LA FÍSICA DEL SIGLO XX
10. Explica cómo la medida de la tensión negativa Vmín a la cual dejan de llegar los electrones al electrodo negativo, para
cada frecuencia, permite conocer la energía máxima de los fotoelectrones emitidos. ¿Cuánto vale dicha energía?
Al colocar el electrodo no iluminado a un potencial negativo respecto del iluminado, se crea un campo eléctrico que ejerce sobre los electrones una fuerza de frenado. Mientras el potencial del ánodo no sea lo suficientemente negativo continuarán llegando electrones a él. No obstante, si continúa haciéndose cada vez
más negativo, dejarán de llegar electrones. En ese instante, el trabajo realizado por el campo para frenar los
electrones más energéticos coincide con la energía con que estos fueron emitidos:
Emáx = eVmín
Además, a partir de la relación Emáx = hƒ – hƒ0, se obtiene una relación entre Vmín y la frecuencia ƒ de la
radiación incidente:
h
h
h
ƒ–
ƒ0 =
(ƒ – ƒ0 )
Vmín =
e
e
e
11. Pon algún ejemplo mecánico que permita imaginar el primer postulado de Bohr si se asocia al electrón una
onda estacionaria.
El primer postulado de Bohr afirma que las únicas órbitas estables son aquellas en las que el momento angular
h
del electrón es un múltiplo entero de
, es decir:
2π
h
l=n
2π
condición que equivale a que la longitud de la órbita sea un múltiplo entero de la longitud de onda de De Broglie del electrón.
Toma un muelle flexible y largo y une sus extremos formando un toro.
Produce, a continuación, una perturbación perpendicular al muelle en un
plano que contenga la circunferencia media del toro; se observa que cualquier onda se destruye por interferencias destructivas, menos aquellas en
que la longitud de onda es un múltiplo entero de la longitud de la circunferencia media citada (véase la figura).
206
=
L
3
12. Calcula el descenso vertical por km que sufriría un «corpúsculo luminoso newtoniano», moviéndose a la velocidad de la luz, si se viese afectado de la fuerza gravitatoria (g = 10 m s–2; c = 3 · 108 m s–1).
Se supone que el corpúsculo luminoso es lanzado horizontalmente por el foco de luz. El movimiento en el
eje x es uniforme, y en el eje y, uniformemente acelerado; por tanto,
x=ct
vx = c
Y
1
y=
g t2
vy = g t
c
X
2
x
103 m
de donde t =
=
= 3,3 ·10–6 s.
c
3,0 · 108 m s–1
Por tanto,
v→x
1
2 = 1 10 m s–2 · (3,3 · 10–6 s)2 =
y=
gt
v→y
2
2
v→
= 5,4 · 10–11 m = 54 pm
13. Recuerda las leyes de la emisión de radiación del cuerpo negro y calcula:
a) El intervalo de variación de la longitud de onda correspondiente a la intensidad máxima de emisión, para un
intervalo de variación de temperatura comprendido entre 5 000 y 10 000 K.
b) El intervalo de temperatura a que debe calentarse el cuerpo negro de modo que la longitud de onda a la cual
su emisión es máxima esté en el intervalo (360,0 nm a 780,0 nm).
c) La temperatura a la que debe estar el cuerpo negro para emitir 1 kW m–2.
a) A partir de la ley de Wien: m T = 2,897 · 10–3 m K.
se obtiene: m =
2,897 · 10–3 m K
;
10 000 K
para T = 5 000 K, 1 =
para T = 10 000 K, 2 =
2,897 · 10–3 m K
= 5,794 · 10–7 m = 579,4 nm;
5 000 K
2,897 · 10–3 m K
= 2,897 · 10–7 m = 289,7 nm
10 000 K
10 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL SIGLO XX
b) El espectro visible se extiende entre: 1 = 7,800 · 10–7 m y 2 = 3,600 · 10–7 m. Por tanto, despejando la
temperatura de la ley de Wien:
T1 =
2,897 · 10–3 m K
= 3 714 K;
7,800 · 10–7 m
T2 =
2,897 · 10–3 m K
= 8 047 K
3,600 · 10–7 m
c) Aplicando la ley de Stefan-Boltzman: W = T 4; ( = 5,6687 · 10–8 W · m–2 K–4):
兹莦 兹莦莦莦莦莦莦莦莦莦
4
T=
W
=
4
1000 W m–2
= 364 K
5,6687 · 10–8 W m–2 K–4
14. Si un cuerpo negro se enfría de modo que su emisión desciende en un 10 %, ¿en qué porcentaje desciende su
temperatura?
La emisión de un cuerpo negro en función de su temperatura viene descrita por la ley de Stefan-Boltzmann:
W = T4
Diferenciando esta ecuación, se obtiene: d W = 4 T 3 d T.
Dividiendo [2] entre [1]:
[1]
[2]
dW
dT
4
dT
=
=4
.
4
W
T
T
T3
Por tanto, la variación relativa de temperatura es:
dT
1 dW
0,1
=
=
= 0,025
T
4 W
4
es decir, un 2,5 %.
15. Sobre una lámina metálica se hace incidir luz ultravioleta de longitud de onda 100 nm. Calcula la velocidad de
los electrones que se desprenden del metal, sabiendo que el trabajo de extracción del material es de 10 –18 J.
Datos: h = 6,63 · 10–34 J s; c = 3,00 · 10 8 m s–1; me = 9,1 · 10 –31 kg.
Se sabe que la energía cinética máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico es:
1
c
2
= hƒ – WL = h
– WL
m v máx
2
por tanto,
vmáx =
(
) 兹莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦
(
)
兹莦莦莦莦
2
c
h
– WL =
m
8
–1
2
–34 J s 3,00 · 10 m s
6,63
·
10
– 10–18 J = 1,47 · 106 m s–1
102 · 10–9 m
9,1 · 10–31 kg
16. Calcula la longitud de onda asociada con un móvil de masa 500 kg que se mueve con una velocidad de
100 km h–1.
h
.
La longitud de onda asociada a un móvil de masa m que se mueve con velocidad v es =
mv
–34
6,626 · 10 J s
= 4,77 · 10–38 m.
Sustituyendo y operando, =
1 000 m
500 kg · 100
3 600 s
17. Calcula:
a) El radio de las tres primeras órbitas del átomo de hidrógeno.
b) Las energías que poseen los electrones en dichas órbitas.
c) Las longitudes de onda y las frecuencias de todas las transiciones posibles entre los tres estados.
a) Los radios de las órbitas del electrón en el átomo de hidrógeno, según el modelo de Bohr, vienen dados
por:
(6,626 · 10–34 J s)2 · 8,842 · 10–12 C2 N–1 m–2 2
h2 0
=
n = 5,3 · 10–11 n2 m
r = n2
π · 9,1 · 10–31 kg · (1,60 · 10–19 C)2
π me e2
Por tanto, los radios de las tres primeras órbitas son:
r1 = 5,3 · 10–11 m; r2 = 2,1 · 10–10 m; r3 = 4,8 · 10–10 m
207
V LA FÍSICA DEL SIGLO XX
b) Sus correspondientes energías se pueden obtener recordando que la energía total del electrón en una órbita de radio r viene dada por:
m e4 1
(9,1 · 10–31 kg) (1,60 · 10–19 C)4
1
1
= –2,166 · 10–18 2 J
En = – e2 2 2 = –
8 0 h n
8 · (8,8542 · 10–12 C2 N–1 m–2)2 · (6,626 · 10–34 J s)2 n2
n
Por tanto, las energías pedidas son:
E1 = –2,166 · 10–18 J;
E2 = –5,415 · 10–19 J;
E3 = –2,407 · 10–19 J
c) Las transiciones posibles son: de n = 3 a n = 1; de n = 3 a n = 2 y de n = 2 a n = 1. Como las frecuencias
de las transiciones vienen dadas, según el modelo de Bohr, por
ƒ=
tenemos
|Ef – Ei|
h
ƒ1 =
|–2,166 · 10–8 J – (–2,407 · 10–19 J)|
= 2,906 · 1015 Hz
6,626 · 10–34 J s
ƒ2 =
|–5,415 · 10–19 J – (–2,407 · 10–19 J)|
= 4,540 · 1014 Hz
6,626 · 10–34 J s
ƒ3 =
|–2,166 · 10–8 J – (–5,415 · 10–19 J)|
= 2,452 · 1015 Hz
6,626 · 10–34 J s
y sus respectivas longitudes de onda:
1 =
c
3,00 · 108 m s–1
=
= 1,03 · 10–7 m = 103 nm
ƒ1
2,906 · 1015 Hz
2 =
c
3,00 · 108 m s–1
=
= 6,61 · 10–7 m = 661 nm
4,540 · 1014 Hz
ƒ2
3 =
c
3,00 · 108 m s–1
=
= 1,22 · 10–7 m = 122 nm
2,452 · 1015 Hz
ƒ3
208
18. Dos fotones, uno de luz ultravioleta y otro de luz roja, se propagan en el vacío. ¿Cuál de ellos tiene más energía? ¿Cuál tiene mayor velocidad?
La energía de un fotón viene dada por la ecuación de Planck:
E=hƒ
Por tanto, la energía depende de la frecuencia del fotón. Como es sabido, la frecuencia de la luz roja es
menor que la violeta, entonces el fotón de luz violeta tiene más energía que el de luz roja.
La velocidad de los fotones en el vacío es la misma (c ⯝ 3 · 108 m s–1) independientemente de su color, es
decir, de la frecuencia. Por tanto, los dos tienen igual velocidad.
Ejercicios de consolidación
1. Un electrón tiene una energía en reposo de 0,51 MeV. Si el electrón se mueve con una velocidad de 0,8 c,
determina su masa relativista, su cantidad de movimiento y su energía total.
Datos: carga del electrón: e = 1,6 · 10 –19 C; velocidad de la luz: c = 3 · 10 8 m s–1.
La energía en reposo del electrón, expresada en unidades SI, es:
E = 0,51 · 106 eV = 0,51 · 106 · 1,6 · 10–19 C · 1 V = 8,16 · 10–14 J
La masa en reposo del electrón se puede calcular a partir de la ecuación de Einstein, que establece la equivalencia entre masa y energía: E = m0 c 2.
Despejando m0, se tiene:
m0 =
E
8,16 · 10–14 J
=
= 9,07 · 10–31 kg
2
c
(3 · 108 m s–1)2
10 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL SIGLO XX
La masa relativista de una partícula es:
m=
m0
兹莦莦
1–
Sustituyendo, se obtiene:
m=
La cantidad de movimiento es:
9,07 · 10–31 kg
兹莦莦莦莦
(0,8 c)2
1–
c2
v2
c2
= 1,51 · 10–30 kg
p = m v = 1,51 · 10–30 kg · 0,8 · 3 · 108 m s–1 = 3,62 · 10–22 kg m s–1
La energía total:
E = m · c 2 = 1,51 · 10–30 · (3 · 108 m s–1)2 = 1,36 · 10–3 J
2. ¿Con qué rapidez debe convertirse la masa en energía para producir 20 MW?
Dato: velocidad de la luz, c = 3 · 10 8 m s–1.
Por definición, la potencia es energía por unidad de tiempo, es decir:
dE
P=
dt
Teniendo en cuenta que E = m c 2, y sustituyendo en la ecuación anterior:
P=
d (m c 2)
dm 2
=
c
dt
dt
de donde,
dm
P
20 · 106 J s–1
= 2 =
= 2,22 · 10–10 kg s–1
(3 · 108 m s–1)2
dt
c
209
3. Explica, representándolo gráficamente, las leyes de la reflexión de la luz desde el punto de vista de la teoría
ondulatoria.
Se considera un foco emisor puntual, en un medio de índice de refracción n1 y muy alejado de la superficie
que separa este medio de otro con índice de refracción n2. Se considera también una onda esférica que, procedente de dicho foco, incide sobre esa superficie.
El primer punto del frente de onda que toca la superficie es el de la perO
pendicular trazada desde el foco a ella.
Cuando el frente de onda toca la superficie, este punto se convierte en
un foco emisor de ondas secundarias. A continuación, otros puntos,
situados a los lados del primero, han sido afectados por la perturbación
i r
y empiezan a emitir ondas secundarias. Mientras esto ocurre, las ondas
secundarias emitidas por el primer foco avanzan. En un instante cualquiera, el frente de onda reflejado será la envolvente de las ondas emitidas por cada uno de esos focos puntuales, como muestra la figura.
Los rayos incidentes son las perpendiculares trazadas desde el foco emisor a la superficie de la onda.
Los rayos reflejados son las perpendiculares trazadas desde un punto
simétrico al foco emisor respecto de la superficie reflectante a la normal
O’
al frente de onda reflejada.
Por consideraciones de simetría, los rayos incidente y reflejado están en el mismo plano que la normal a la
superficie y el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.
4. Explica, haciendo uso de una representación gráfica, las leyes de la refracción de la luz desde el punto de vista
de la teoría ondulatoria:
a) Para el caso en que la luz pase de un medio más refringente a otro menos refringente.
b) Para el caso contrario.
a) Considera un foco emisor puntual, en un medio de índice de refracción n1 y muy alejado de la superficie
que separa este medio de otro, de índice de refracción n2. Considera, asimismo, una onda esférica que,
procedente de dicho foco, incide sobre la mencionada superficie.
V LA FÍSICA DEL SIGLO XX
Sea n1 > n2. Cuando el frente de onda llega a la superficie toca la misma en la base de la perpendicular
trazada desde el foco. En ese instante, el punto perturbado comienza a emitir ondas secundarias. Cuando
el frente de onda avanza algo más, otros puntos son «activados» y comienzan también a emitir ondas
secundarias. El frente de onda refractado es la envolvente de las ondas secundarias emitidas por dichos
puntos.
Ahora bien, como n2 es menor que n1,
c
c
<
⇒ v2 > v1
v2
v1
Debido a esto, las ondas secundarias emitidas por los puntos que van siendo afectados por la onda incidente avanzan muy rápidamente, produciendo así un frente de onda refractado con menor radio de curvatura.
Dado que el radio de curvatura de la onda refractada es menor, la normal a la superficie de onda en el segundo medio se separa de la normal a la superficie de separación de ambos medios, como indica la figura 1.
O
Aire
i
Agua
i
1
1
r
2
2
Aire
r
210
Fig. 1
Agua
Fig. 2
b) Se razona del mismo modo. Dado que el radio de curvatura del frente de onda refractado es mayor, n1 < n2:
c
c
>
⇒ v2 < v1
v2
v1
y se comprueba que el rayo refractado se acerca a la normal (Fig. 2).
Definido el concepto de rayo como la normal a la superficie de onda, la segunda ley de la reflexión se
prueba, en ambos casos, por el mismo procedimiento geométrico utilizado en la exposición teórica del
fenómeno en el libro del alumno.
5. ¿Qué significa que una onda está polarizada? ¿Por qué Huygens no pudo explicar la polarización de la luz?
Se dice que una onda está polarizada cuando el vector campo eléctrico (magnético) evoluciona, al propagarse la luz, de una manera determinada, por lo que solo puede vibrar en determinados planos.
Nota: la luz está linealmente polarizada cuando el vector campo está siempre contenido en el mismo plano;
está circularmente polarizada cuando el extremo del vector campo, a medida que la luz avanza, va recorriendo los puntos de una helicoide de sección circular y eje la dirección de propagación. Si se observa la evolución del extremo del vector campo en la dirección de propagación, se ve que describe una circunferencia;
finalmente, está elípticamente polarizada cuando la helicoide referida en el párrafo anterior tiene sección
elíptica.
Huygens no pudo explicar la polarización de la luz porque consideraba que esta era una onda longitudinal
y, en tal caso, ninguna de las situaciones anteriores es posible.
6. ¿Qué se quiere decir cuando se habla de polarizar la luz?
En la luz natural no hay regularidad en la variación de la fase de los vectores campo, con el tiempo. En cada
punto del espacio, el vector campo cambia constantemente, y de manera aleatoria, en módulo y dirección.
Cuando se polariza la luz se introduce un cierto orden en la variación con el tiempo del vector campo, de
modo que su módulo y su dirección varían periódicamente.
10 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL SIGLO XX
7. Elabora una hipótesis admisible para explicar por qué ciertos metales precisan luz UV para que tenga lugar el
efecto fotoeléctrico, mientras que a otros, como el cinc y los alcalinos, les basta la luz visible.
El efecto fotoeléctrico es debido a que los electrones absorben la energía de los fotones incidentes y escapan del metal.
Hipótesis: los electrones en el cinc y en los metales alcalinos deben estar más débilmente ligados que en los
otros metales, por lo que les basta con fotones menos energéticos que los de la luz ultravioleta.
8. Explica cómo la medida de la corriente I en función de la tensión V, para una frecuencia ƒ y una intensidad de
iluminación ᑣ dadas, permite averiguar, en un experimento sobre el efecto fotoeléctrico, las energías de los
electrones emitidos.
Para valores dados de la intensidad de iluminación ᑣ y de la frecuencia
Luz
ƒ, el número de fotoelectrones emitidos y su distribución de energía
permanecen constantes.
+
–
e
Al establecer una diferencia de potencial negativa V muy alta entre el
cátodo y el ánodo, no llega ningún electrón a este último. Dismiv
nuyendo gradualmente el potencial, se alcanza un valor V0, a partir del
cual comienzan a llegar al ánodo los electrones más energéticos. El
A
valor de dicha diferencia de potencial permite calcular su energía.
Sea E0 el valor de la energía que han de tener los electrones para llegar
al ánodo cuando la diferencia de potencial es V0; entonces, E0 = eV0.
Se mide, a continuación, la intensidad de corriente. Como cada electrón contribuye a la intensidad de corriente con una carga e, el número de electrones de energía E0 que alcanzan el ánodo en la unidad de tiempo
I
es n0 = .
e
Se disminuye el potencial algo más; sea V1 su valor. La energía mínima que han de tener los electrones para
llegar al ánodo es E1 = eV1. El número de electrones de energía E1 que alcanzan el ánodo, si la intensidad
I
de corriente vale I1, es n1 = 1 > n0; el número de electrones con energía comprendida entre E0 y E1 es,
e
entonces, n0 – n1, y así sucesivamente.
9. Justifica que la energía de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico no depende de la intensidad de la
luz a una frecuencia dada.
Cuando una radiación luminosa incide sobre un metal, la máxima energía que puede absorber un electrón
es hƒ. Si la mínima energía que debe absorber un electrón para salir del metal viene dada por su trabajo de
extracción WL, la máxima energía de los electrones emitidos es E = hƒ – WL.
Lo mismo puede decirse de cualquier otro valor de la energía, independientemente de la intensidad de la
luz, es decir, del número de fotones incidentes.
La intensidad de luz incidente influirá, no en la energía de los electrones emitidos, sino en el número de los
que se emiten. Influye, por tanto, en el número total, pero no en su distribución relativa.
10. Justifica que, cualquiera que sea la intensidad de iluminación sobre un metal, por debajo de una cierta frecuencia umbral no se observa emisión alguna de electrones.
Independientemente del número de fotones que alcancen el metal, solo podrán arrancar electrones de él si
poseen suficiente energía (WL), es decir, si la energía de los fotones es superior al trabajo de extracción. Por
tanto, existe una frecuencia mínima ƒ0, por debajo de la cual, la energía de los fotones, hƒ0, es insuficiente.
WL
El valor de esa frecuencia umbral es ƒ0 =
.
h
11. ¿Cómo medirías el trabajo de extracción para un metal dado?
Tras montar el dispositivo experimental de la figura, se hace incidir sobre el metal luz de frecuencia decreciente. Cuando la frecuencia ƒ de la luz incidente es tal que ya no se detecta emisión de electrones, entonces, si la diferencia de potencial entre los electrodos es despreciable, WL = hƒ.
Luz
+
e
–
v
A
211
V LA FÍSICA DEL SIGLO XX
12. ¿Qué quiere decir que un fotón se comporta como una partícula de masa en reposo nula?
Quiere decir que no se concibe la existencia de fotones en reposo. Un fotón sólo existe en movimiento y su
velocidad es siempre la de la luz en el medio en que se esté propagando.
13. Si un protón y una partícula tienen la misma energía cinética, encuentra la relación entre sus velocidades y
entre sus longitudes de onda (recuerda que m = 4 mp).
Suponiendo que la velocidad es tan pequeña que se desprecian los efectos relativistas:
1
1
Ec, p =
mp v p2;
Ec, =
m v 2 ;
2
2
Dividiendo ambas expresiones, se deduce la relación entre las velocidades:
mp v 2p
Ec, p
v
=
=1 ⇒ p =
Ec, m v 2
v
La relación entre sus longitudes de onda es:
兹莦 兹莦莦
m
=
mp
4 mp
=2
mp
h
mp vp
m v
1
p
=
= =4·
=2
h
2
mp vp
m v
14. Se ilumina un metal cuyo trabajo de extracción es de 3,0 · 10 –19 J, con luz visible de longitud de onda
5,0 · 10–7 m. ¿A qué potencial negativo Vmín dejan de llegar electrones al electrodo negativo? ¿Cuál es la frecuencia umbral?
Datos: h = 6,6256 · 10 –34 J s; e = 1,60 · 10 –19 C; c = 3,0 · 10 8 m s–1.
La energía máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico es:
Emáx = hƒ – WL
El potencial necesario para que dejen de llegar electrones al electrodo no iluminado es:
212
Vmín =
Emáx
h
WL
h c
WL
=
ƒ–
=
–
e
e
e
e
e Sustituyendo:
Vmín =
6,626 · 10–34 J s · 3,0 · 108 m s–1
3,0 · 10–19 J
–
= 0,61 V
1,60 · 10–19 C · 5,0 · 10–7 m
1,60 · 10–19 C
y la frecuencia umbral es:
ƒ0 =
WL
3,0 · 10–19 J
=
= 4,5 · 1014 Hz
6,626 · 10–34 J s
h
15. Al iluminar un metal con luz monocromática de frecuencia ƒ = 1,1 · 1015 Hz se observa que la energía cinética máxima de los electrones emitidos es de 2,0 eV. Calcula:
a) La frecuencia umbral para que se produzca el efecto fotoeléctrico.
b) La frecuencia de la luz con que hay que iluminar para que la energía máxima de los electrones sea superior
en un 25 % a la del caso anterior.
c) La diferencia de potencial que se debe aplicar para detener los electrones en este último caso.
Dato: h = 4,135 · 10 –15 eV s.
a) De la expresión Emáx = hƒ – hƒ0 puede despejarse la frecuencia umbral:
E
2,0 eV
ƒ0 = ƒ – máx = 1,1 · 1015 Hz –
⯝ 6,2 · 1014 Hz
h
4,135 · 10–15 eV s
b) Si la energía máxima ha de ser superior en un 25 % a la del caso anterior, Emáx + 0,25 Emáx = hƒ – hƒ0, de
donde
E
2,0 eV
= 1,2 · 1015 Hz
ƒ = ƒ0 + 1,25 máx = 6,2 · 1014 Hz + 1,25
4,135 · 10–15 eV s
h
Observa que la frecuencia obtenida es prácticamente el doble de la umbral.
c) La diferencia de potencial para frenar los electrones en el caso b) es:
1,25 Emáx
1,25 · 2,0 eV
Vmín =
=
= 2,5 V
e
e
10 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL SIGLO XX
16. Se ilumina un metal con radiación de una cierta longitud de onda. Si el trabajo de extracción es de 3,0 eV y la
diferencia de potencial que hay que aplicar para que no lleguen los electrones al cátodo es de 2,0 V, calcula:
a) La velocidad máxima de los electrones emitidos.
b) La longitud de onda de la radiación incidente.
c) La frecuencia umbral para extraer electrones de este metal.
d) El potencial necesario para detener los electrones si la frecuencia de la radiación se duplica.
Datos: carga del electrón: e = 1,602 · 10 –19 C; masa del electrón: me = 9,1 · 10 –31 kg; h = 6,626 · 10 –34 J s;
c = 3,0 · 10 8 m s–1.
a) La energía máxima de los electrones emitidos es:
1
2 = eV
me vmáx
mín
2
de donde
vmáx =
兹莦莦莦 兹莦莦莦莦莦莦莦莦莦莦
2 eVmín
=
me
2 · 1,602 · 10–19 C · 2,0 V
= 8,4 · 105 m s–1
9,1 · 10–31 kg
b) De la expresión Emáx = hƒ – WL se obtiene:
ƒ=
Emáx + WL
(2,0 eV + 3,0 eV) · 1,602 · 10–19 J eV–1
=
= 1,2 · 1015 Hz
h
6,626 · 10–34 J s
de donde
=
c
3,0 · 108 m s–1
=
= 2,5 · 10–7 m
1,2 · 1015 Hz
ƒ
que pertenece al ultravioleta.
c) El trabajo de extracción es WL = hƒ0; por tanto,
WL
3,0 eV · 1,602 · 10–19 J eV–1
=
= 7,3 · 1014 Hz
h
6,626 · 10–34 J s
pertenece al espectro visible.
ƒ0 =
213
d) Si ƒ = 2 · 1,2 · 1015 Hz = 2,4 · 1015 Hz, de eVmín = hƒ – hƒ0 resulta:
Vmín =
h
6,626 · 10–34 J s
(ƒ – ƒ0) =
(2,4 · 1015 Hz – 7,3 · 1014 Hz) = 6,9 V
e
1,602 · 10–19 C
17. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón gira alrededor del protón describiendo una órbita
circular de radio r bajo la acción de una fuerza atractiva entre ambas partículas de tipo culombiano. Determina:
a) La energía cinética del electrón en su órbita en función del radio de la misma.
b) La relación entre la energía cinética y la energía potencial del electrón.
c) La energía cinética y la energía total del electrón para r = 0,530 · 10 –10 m.
d) La energía en eV que se debe suministrar al átomo de hidrógeno para ionizarlo (separar el electrón hasta el
infinito).
1
Datos: K =
= 9,00 · 109 N m2 C –2; e = 1,60 · 10 –19 C.
4π 0
a) Considera que el electrón gira alrededor del núcleo en una órbita circular estable. En esta situación, la
fuerza electrostática es la fuerza centrípeta. Por tanto, aplicando la segunda ley de Newton:
1
e2
v2
=
m
r
4π 0 r 2
de donde
→
Fe
1
e2
mv =
4π 0 r
2
r
Por tanto,
Ec =
1
1
m v2 =
2
8π 0
e2
r
= 1,15 · 10–28
b) La energía potencial del electrón es:
Ep = eV = –
1
e2
4π 0 r
1
r
V LA FÍSICA DEL SIGLO XX
de donde
Ec
Ep
1
8π 0
=
1
–
4π 0
e2
1
r
=–
2
2
e
r
c) La energía cinética vale
Ec =
1
1
1
e2
1
m v2 =
= 1,15 · 10–28
J = 2,17 · 10–18 J
2
2 4π 0 r
r
La energía total es:
ET = Ec + Ep = Ec – 2 Ec = –Ec = –2,17 · 10–18 J
d) La energía necesaria para ionizar el átomo de hidrógeno, cuando el electrón está en una órbita de radio
r, es, precisamente, su energía total en esa órbita:
ET = –2,17 · 10–18 J = –2,17 · 10–18 J
1
= –13,6 eV
1,60 · 10–19 J eV–1
18. ¿Qué diferencia fundamental hay entre el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton?
En ambos fenómenos hay una transferencia de energía entre un fotón y un electrón, pero la diferencia está
en que, en el efecto fotoeléctrico, la cesión de energía por parte del fotón es total, mientras que, en el efecto Compton el electrón involucrado solo recibe parte de la energía del fotón incidente; la energía que no es
absorbida por el electrón la posee el fotón secundario.
19. Describe un fenómeno luminoso que sea explicado correctamente por el modelo corpuscular de la luz pero no
por el ondulatorio.
214
Son ejemplos el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. En el primero, la radiación electromagnética que
incide sobre un determinado material produce la emisión de electrones del mismo. En el segundo, la radiación electromagnética (rayos X) al incidir sobre determinados materiales produce la expulsión de electrones
y la emisión de otra radiación de longitud de onda mayor que la incidente.
e–
luz
e–
incidente
Metal
Grafito
Efecto fotoeléctrico
Efecto Compton
final (dispersada)
Tanto en uno como en otro, los resultados experimentales no pueden justificarse por el modelo ondulatorio
de la luz y, en cambio, sí se explican considerando su naturaleza corpuscular (fotones).
20. Determina la longitud de onda asociada a los electrones que han sido acelerados mediante una diferencia de
potencial de 10 4 V. Datos: h = 6,62 · 10 –34 J s; me = 9,1 · 10 –31 kg; e = 1,602 · 10 –19 C.
La longitud de onda asociada se calcula a partir de la ecuación de De Broglie:
h
=
p
La cantidad de movimiento del electrón (p = mv) se establece a partir de la información referente a la diferencia de potencial a la cual se sometió el electrón: el trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma en energía cinética del electrón acelerado,
1
1
mv 2 – 0;
1,6 · 10–19 C · 104 V =
9,1 · 10–31 kg · v 2
W = –q · ∆V = ∆Ec =
2
2
de donde se tiene que v = 5,93 · 107 m s–1.
Sustituyendo en la ecuación de De Broglie:
=
h
6,62 · 10–32 J s
=
= 1,23 · 10–11 m
p
9,1 · 10–31 kg · 5,93 · 107 m s–1
10 INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DEL SIGLO XX
21. Indica alguna experiencia que sirva de apoyo a la hipótesis de De Broglie.
Difracción de un haz de electrones que se hace incidir sobre una lámina delgada de material cristalino.
22. Un electrón (me = 9,1 · 10 –31 kg) y un cuerpo de 9,1 kg se mueven con la misma velocidad, v = 400 km s –1.
Compara las longitudes de onda asociadas.
La longitud de onda asociada se calcula a partir de la ecuación de De Broglie:
h
=
p
siendo h la constante de Planck y p la cantidad de movimiento de la partícula (p = mv). Si se comparan
ambas longitudes de onda:
electrón =
h
me · v
cuerpo =
h
mcuerpo · v
冧
m
9,1 · 10–3 kg
electrón
= cuerpo =
= 1028
melectrón
9,1 · 10–31 kg
cuerpo
Test de autoevaluación
1. Señala cuál de estas frases es incorrecta:
a) Einstein descubrió el efecto fotoeléctrico y lo explicó basándose en un modelo corpuscular.
b) Newton fue un acérrimo defensor de la teoría corpuscular de la luz.
c) Los experimentos de interferencia y difracción de Young y Fresnel contribuyeron a la aceptación general del
modelo ondulatorio de la luz.
d) Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan a la velocidad de la luz.
a.
2. El orden correcto de las radiaciones electromagnéticas, de mayor a menor frecuencia, es:
a) , IR, VIS.
b) , VIS, IR.
c) IR, , VIS.
d) IR, VIS, .
b.
3. Al chocar un fotón con un electrón en reposo, la longitud de onda del fotón dispersado es, en relación con la
del incidente: a) mayor; b) menor; c) igual.
a. Al chocar, el fotón perderá energía, ya que el electrón sale dispersado con una cierta energía cinética, a
expensas de la del fotón, ya que la energía total debe conservarse. Si el fotón pierde energía, su frecuencia
disminuye, por lo que su longitud de onda aumenta.
4. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Las ondas electromagnéticas son longitudinales.
b) Las partículas materiales pueden difractarse.
c) Si a un protón y a un electrón se les acelera bajo la acción de la misma diferencia de potencial, la longitud
de onda de De Broglie de ambas partículas es la misma.
d) Un fotón de luz UV se mueve a mayor velocidad que otro de luz IR, porque su energía es mayor.
e) La frecuencia umbral (en el efecto fotoeléctrico) depende del número de fotones que llegan al cátodo en cada
segundo.
f) La energía cinética máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico depende de la intensidad de
la luz incidente.
a), F; b), V; c), F; d), F; e), F, es falsa, ya que el proceso de arrancar un electrón del cátodo depende de la energía del fotón hƒ y no del número de fotones; f), F.
215
V LA FÍSICA DEL SIGLO XX
5. ¿Cuál es la teoría sobre la naturaleza de la luz que explica el efecto fotoeléctrico?
a) La ondulatoria.
b) La corpuscular.
c) La electromagnética.
d) Ninguna de las tres.
b.
6. ¿Cómo es la longitud de onda de la radiación secundaria en el efecto Compton?
a) Mayor que la de la radiación incidente.
b) Menor que la de la radiación incidente.
c) Igual que la de la radiación incidente.
a. La radiación secundaria es la radiación dispersada tras el «choque» con el electrón, por lo que su frecuencia es menor. Por tanto, su longitud de onda debe ser mayor.
7. De las siguientes afirmaciones referentes al modelo atómico de Bohr para el átomo de hidrógeno, solo hay una
que es correcta:
a) Las órbitas del electrón son circulares y pueden tener cualquier radio.
b) La velocidad del electrón aumenta al incrementar el radio de la órbita.
c) La diferencia entre los distintos niveles de energía es constante.
d) Para que el electrón pase de una órbita a otra superior debe absorber energía.
d.
216
8. La energía cinética máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico depende de:
a) La diferencia de potencial aplicada.
b) La intensidad de la luz incidente.
c) La frecuencia de la luz incidente.
c.
9. En una experiencia del efecto fotoeléctrico se obtiene la gráfica adjunta. Un metal que requiera doble energía
para extraer los electrones, tendría:
Ec máx
a) Su abscisa más lejos del origen y su pendiente igual.
b) Su abscisa más lejos del origen y su pendiente mayor.
c) Su abscisa igual y su pendiente mayor.
d) Su abscisa menor y su pendiente menor.
a.
1
Fig. 10.31
2
3
4
5
6
7
f · 1014 Hz