Estudio del movimiento: Movimiento circular uniforme

Estudio
del
movimiento:
circular uniforme
Movimiento
La trayectoria de un móvil sabemos que puede tener formas muy diversas. Hasta ahora
hemos estudiado el caso más simple de trayectoria, la rectilínea. Ahora vamos a dar un
paso más y vamos a estudiar de entre los movimientos cuya trayectoria no es recta, el
más sencillo de todos. ¿Sabes a qué movimiento nos referimos?
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Pues sí, nos referimos al movimiento circular. Estamos seguros de que si haces un poco de
memoria podrás recordar muchas movimientos en los que la trayectoria es una
circunferencia o parte de ella. Desde el movimiento de las manecillas de un reloj, hasta la
noria que ves en la fotografía pasando por la rueda de una bicicleta. En todos estos casos
hay un punto del objeto que se mueve mantiendo fija su distancia a otro punto. En los
ejemplos que te acabamos de comentar ese punto sobre el que se gira es el eje del reloj,
de la rueda o de la noria.
Actividad
Decimos que un objeto se mueve con un movimiento circular si su trayectoria
En este tema vamos a estudiar de entre los movimientos circulares, el más sencillo de
todos. Se trata del movimiento circular uniforme (en adelante MCU) que se caracteriza
por tener una velocidad angular constante. Pero no adelantemos acontecimientos.
Pregunta Verdadero-Falso
Un movimiento circular es aquel en el que la trayectoria es una curva.
Verdadero
Falso
Un movimiento circular es un tipo particular de movimiento curvilíneo.
Verdadero
Falso
El MCU además de tener una trayectoria en forma de circunferencia, tiene
una velocidad constante.
Verdadero
Falso
Hay
un
caso
de
pista
circular
particularmente llamativo en Nardó,
localidad situada en el tacón de la bota
que forma la península italiana. Se trata
de una pista de pruebas para vehículos en
la que se han batido récords de velocidad,
superándose los 400 km/h.
Las imágenes vía satélite que facilita la
NASA resultan espectaculares. Fíjate en
que la pista se observa con toda nitidez
gracias a sus 12,5 km de longitud y a que
sus muros exteriores tienen 3 metros de
altura.
La trayectoria seguida por un móvil que
lleva mcu es circular, y mantiene una
distancia constante al eje de giro, que es
precisamente el radio de la circunferencia
que traza al moverse.
Fotografía de la NASA de dominio
público
una vuelta completa si circula a 300 km/h.
A pesar de no haber entrado todavía en el mcu, puedes responder esas
cuestiones utilizando lo que ya sabes.
En primer lugar, como la longitud de la circunferencia es
, y sabes
que es 12,5 km, resulta que r es de casi 2 km (1989,4 m exactamente).
En cuanto al tiempo que necesita para dar una vuelta, puedes hacer una
sencilla proporción para determinar que en 150 s da una vuelta completa. Al
fin y al cabo, en cuanto a espacio recorrido ¿qué más da la forma de la
trayectoria? Por tanto, debes razonar exactamente igual que lo hacías en el
movimiento rectilíneo.
Por último, ¿cómo se puede localizar al coche sobre la pista en un momento
dado?
1. Movimientos circulares
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Observa los dós móviles de la animación. ¿Describen el mismo tipo de movimiento? Ambos
describen una trayectoria circular pero , ¿qué ocurre con su velocidad? Si te fijas el de la
derecha da vueltas siempre al mismo ritmo mientras que el de la izquierda unas veces va
más rápido y otras más lento, incluso se para y cambia de sentido.
El engranaje de la derecha tiene un MCU mientras que el de la izquierda es un
movimiento circular variado.
1.1 La posición de los móviles que giran
¿Cómo podemos saber dónde se encuentra en un
momento
concreto
un
móvil
que
lleva
movimiento circular? Si sabemos situar un punto
en el plano, la tarea es sencilla. Recuerda que el
vector de posición se puede expresar en función
de sus componentes cartesianas.
En este caso, el móvil se mantiene siempre a
una distancia r del centro de giro, precisamente
el radio de la circunferencia que describe. Por
eso en este caso particular de trayectoria
circular, es más útil utilizar las coordenadas
polares. La posición en coordenadas polares se
describe utilizando la distancia del punto al
origen de coordenadas y el ángulo que forma
dicho vector de posición con la parte positiva del eje x.
Fuente propia
Ambas descripciones guardan relación. Podemos pasar de las coordenadas "x" e "y" a las
coordenadas polares "r" y "
" ( se lee teta según la Real Academia de la Lengua) y
viceversa. Para ello necesitamos recordar las definiciones de seno y coseno. Tanto el seno
como el coseno son razones trigonométricas.
De este modo usando las expresiones anteriores podemos determinar las coordenadas x e
y conociendo r y
:
O al revés, conociendo r y
podemos determinar x e y:
Actividad
La unidad de ángulo en el Sistema Internacional es el radián .
En la descripción de los movimientos circulares también se suelen emplear
otras unidades como el grado sexagesimal o la revolución (vuelta).
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Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
1.
2.
rad
rad
4.
rad
En una calculadora científica es muy fácil calcular el seno y el coseno de un ángulo. Por
ejemplo imagina que queremos calcular el seno y el coseno de 60º.
Para calcular el seno basta con escribir 60 y luego pulsar la tecla sin. Del mismo modo,
pero pulsando la tecla cos, se calcula el coseno.
¿Y al revés? Si sé que el seno de un ángulo
es 0,25, ¿cómo puedo calcular dicho
ángulo? Pues basta con escribir 0,25 en tu calculadora y luego pulsar las teclas INV y sin
sucesivamente.
Supongamos que tenemos rueda de una bicicleta cuyo radio mide 50 cm.
¿Cuáles son las coordenadas cartesianas y polares de los puntos marcados en
la fotografía? Estima aproximadamente los ángulos a partir de la fotografía.
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Pregunta Verdadero-Falso
Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.
180º equivalen a
Verdadero
Un ángulo de
Verdadero
radianes
Falso
son 270º
Falso
El mismo ángulo tiene como seno 1 y como coseno -1
Verdadero
Falso
Cuando el seno de un ángulo es cero, el coseno solamente puede ser 1
Verdadero
Falso
Importante
Dado que la distancia al centro de giro se mantiene fija en los
movimientos circulares , vamos a utilizar coordenadas polares para
describirlo. Daremos la distancia al centro y el ángulo entre el lado positivo
del eje x y el vector de posición de nuestro móvil.
1.2 La velocidad en los móviles que giran
Observa con el siguiente simulador el movimiento de un cuerpo con velocidad angular
constante. Modifica el radio de la trayectoria y la velocidad angular para observar distintos
movimientos.
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Haciendo pruebas con el simulador anterior hemos tomado nota del ángulo (medido en
radianes) en diferentes momentos.
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ángulo (rad) 0,0 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12
Si observas cómo va cambiando el ángulo te darás cuenta de que lo hace a un ritmo
constante. Representando el ángulo frente al tiempo podemos comprobarlo
definitivamente.
Está claro que en este caso el ritmo de cambio del ángulo es constante y precisamente a
eso le debe el nombre el movimiento circular uniforme. Pero, ¿qué magnitud medirá el
cambio en el ángulo? La velocidad angular que se mide en radianes por segundo.
En el caso de nuestros datos, obtenemos un valor constante de 3,14 rad/s para la
velocidad angular cualquiera que sea el intervalo de tiempo que seleccionemos.
Dado que en los MCU la valocidad angular es constante, podemos calcular podemos
calcular el ángulo recorrido en un cierto tiempo operando en la ecuación anterior:
Si empezamos a estudiar el movimiento con el cronómetro a cero segundos y sustituimos
t 2 por t,
La ecuación de la velocidad angular en un MCU es:
que recuerda mucho a la ecuación velocidad de un MRU pero ahora el papel de las
posiciones lo juegan los ángulos y la velocidad angular ha sustituido a la velocidad. Más
adelante veremos si existe alguna relación entre estas magnitudes angulares y lineales.
¿Es la velocidad constante en un MCU?
Ya sabemos que la velocidad de un móvil es una magnitud vectorial y por
tanto no basta para describirla con dar el espacio recorrido cada segundo sino
que necesitamos indicar la dirección y el sentido con que se mueve. Es decir,
la velocidad tiene dos componentes: por un lado su módulo que indica cómo
de rápido se mueve el objeto y por otro la dirección y sentido.
En un MRU sabemos que no cambia el módulo de la velocidad porque siempre
se mueve con el mismo ritmo y además como la trayectoria es recta, la
componente vectorial tampoco. Podemos decir que en un MRU la velocidad,
tanto en módulo como en dirección y sentido es constante.
En un MCU sabemos que no cambia el ritmo con que da vueltas pero al
describir una circunferencia, la dirección y el sentido cambian continuamente.
Por lo tanto, estrictamente la velocidad no es constante es un MCU y cuando
decimos que es uniforme queremos decir que el módulo de la velocidad no
varía.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
En un MCU, el módulo de la velocidad lineal es constante.
Verdadero
Falso
En un MCU, el vector velocidad varía.
Verdadero
Falso
En un MCU, la velocidad angular es variable.
Verdadero
Falso
La velocidad de giro se puede expresar en unidades diferentes: vueltas por minuto
( rpm , revoluciones por minuto) o por segundo ( rps ), grados por minuto o por
segundo, y radianes por segundo ( rad/s ), que es la unidad del Sistema Internacional.
Esta magnitud se llama velocidad angular, y se representa por
donde
es el ángulo girado en un tiempo t.
. Se calcula como
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Una lavadora centrifuga a 1200 rpm.
¿Podrías convertir esta velocidad angular a rad/s?
Pregunta Verdadero-Falso
En las siguientes cuestiones necesitarás lápiz y papel, y utilizar las ecuaciones
del mcu.
Un punto que describe un mcu parte de la posición 90º con una velocidad
angular de 0,1 rps. ¿Tardará 8 s en llegar a ocupar la posición 270º?
Verdadero
Falso
El balón de baloncesto da 90 vueltas en 30 segundos. Su velocidad angular
es de
rad/s.
Verdadero
Falso
Actividad
Las ecuaciones, más sencillas, del movimiento circular uniforme son:
En coordenadas cartesianas las ecuaciones del MCU son:
o bien esta, expresada en forma de vector:
Una moto gira en una pista circular de 5m de radio. Si lo hace a razón de 1
vuelta cada 4 segundos, escribe la expresión de su vector de posición en
función del tiempo. Además, calcula dónde estará al cabo de 1, 2, 3 y 4
segundos de comenzar a girar, sabiendo que inicialmente se encuentra en la
posición (5,0), justificando el resultado en cada caso.
Escribe también la ecuación que nos da el ángulo descrito por la moto en
función del tiempo.
Piensa ahora en la lavadora que tienes en tu casa. El motor gira muy deprisa
para que la ropa pierda el agua, que se escapa por los agujeros que tiene el
tambor, quedando la ropa escurrida. ¿Qué diferencia práctica habrá entre una
muy moderna, que al centrifugar gira hasta a 1600 rpm, frente a las que
solamente alcanzan 900 rpm?
1.3 La aceleración en los movimientos
circulares
Del mismo modo que en su momento definimos la aceleración lineal como el ritmo del
cambio de la velocidad, podemos definir una magnitud que mida el cambio en la velocidad
angular.
Fotografía de autor desconocido
uso educativola
no aceleración
comercial
Como la velocidad angular se mide en radianes por segundo,
angular se
mide en radianes por segundo cada segundo, o lo que es lo mismo en radianes por
segundo al cuadrado.
En el siguiente apartado veremos que esta aceleración guarda una relación con la
aceleración tangencial.
En el caso de un MCU esta aceleración es nula puesto que la velocidad angular se
mantiene constante.
Del mismo modo que dedujimos la ecuación velocidad-tiempo para los MRUA, ahora
podríamos hacer lo propio con la velocidad angular. Basta despejar de la definición de
aceleración angular.
Si consideramos que en el instante inicial nuestro crónometro estaba puesto a cero,
Puedes observar el parecido de esta ecuación con la ecuación velocidad-tiempo de los
MRUA. En lugar de velocidades aparecen velocidades angulares y en lugar de la
aceleración, la aceleración angular.
1.4 Componentes tangencial y normal de la
aceleración
Hemos indicado anteriormente que la velocidad tiene carácter vectorial. Como tal vector
podemos distinguir en ella su módulo y la dirección y el sentido. Cuando la velocidad de
un objeto varía con el tiempo puede hacerlo bien porque varíe el módulo, porque varíe la
dirección y sentido del movimiento o porque varíen ambos aspectos.
Ya sabemos que la magnitud que mide la variación de la velocidad es la aceleración. Es
posible definir la aceleración como suma de otras dos:
1. La aceleración tangencial (a
velocidad.
2. La aceleración normal (a
sentido de la velocidad.
n
t
) que informa del cambio en el módulo de la
) que informa del cambio en la dirección y en el
Componentes intrínsecas de la aceleración. Imagen de dominio público alojada en Wikipedia .
En el siguiente cuadro resumimos qué valor tendría cada una de estas dos componentes
de la velocidad en los movimientos que hemos estudiado hasta ahora y en el MCU.
Tipo de movimiento Aceleración tangencial Aceleración normal Aceleración
Reposo
MRU
MRUA
MCU
En un MCU, lógicamente la aceleración tangencial es nula porque no varía el ritmo con el
que gira el móvil (siempre da las mismas vueltas por segundo). Sin embargo la normal es
distinta de cero puesto que la dirección y el sentido cambian constantemente para dibujar
la trayectoria circular.
La aceleración debida al cambio de dirección del vector velocidad se llama
normal o centrípeta , está dirigida hacia el centro de giro y tiene como
valor
.
La aceleración debida al cambio en el módulo del vector velocidad se llama
tangencial y está dirigida en el sentido de la velocidad, es decir, tangente a
la trayectoria.
Pregunta de Selección Múltiple
Se está probando un prototipo de carreras en la pista de Nardó. Se mueve
con mcu a 250 km/h, por la pista, que tiene un radio de 1989,4 m. ¿Qué
afirmaciones son ciertas en relación con su aceleración normal?
Es de 31,42 m/s
2
Tiene un valor de 2,42 m/s
2
Es perpendicular a la trayectoria y dirigida hacia el centro
Es tangente a la trayectoria
Mostrar retroalimentación
con el tiempo. ¿Serán nulas las componentes tangencial y vectorial de la
aceleración?
1.5 Magnitudes lineales y angulares
Hay un caso de mcu que tiene un interés especial: se trata de aquellos mecanismos en
los que el mcu se transforma en movimiento lineal. Es decir, auitomóviles, tractores,
bicicletas, etcétera, en los que el giro de las ruedas apoyadas sobre el suelo hace que el
móvil avance a retroceda.
¿Cómo podemos determinar la velocidad lineal del móvil si sabemos la velocidad angular
de sus ruedas? ¿Y el espacio recorrido a partir del ángulo girado? Para ello, es necesario
establecer la relación existente entre magnitudes lineales y angulares.
Vas a comprobar de forma
experimental la relación entre
ángulo girado y espacio recorrido.
Para ello, deberás utilizar un
coche o tractor de juguete, que
tenga unas ruedas de al menos 2
cm de diámetro. Haz una marca
blanca en el lateral de la rueda
(usa corrector typex o algo
parecido). Apoya la rueda de
forma que el punto marcado
quede junto al suelo, y haz una
Fotografía de Jester79 bajo licencia GNU
marca con lápiz en ese punto de
apoyo. Mueve el coche de forma
que la rueda gire cinco vueltas completas, contando una cada vez que el
punto marcado quede junto al suelo, y haz otra marca en el suelo al
finalizar el recorrido.
Mide la distancia entre las dos marcas, que corresponderá al espacio
recorrido en cinco vueltas de rueda. Mide ahora el diámetro de la rueda, con
lo que sabrás su radio. Utiliza un flexómetro o una regla.
Ahora, calcula el valor de cinco veces la longitud de la circunferencia (
) y compáralo con el espacio medido sobre el suelo. ¡El resultado debe ser
aproximadamente el mismo!
Por último, solamente debes tener en cuenta que cuando la rueda da un giro
completo, ha descrito un ángulo de
radianes, y ha avanzado
metros. Es decir, el espacio recorrido es el ángulo descrito en radianes
multiplicado por el radio.
Una partícula cuando se mueve sobre una circunferencia describe un ángulo
pero
también recorre un espacio sobre su trayectoria. ¿Existe alguna relación entre ambas
magnitudes? Sí y es muy sencilla de obtener. Vayamos a un caso particular. Imagina que
el móvil ha dado una vuelta completa. El espacio que habrá recorrido es justo la longitud
de la circunferencia, es decir:
Como vemos el espacio es el producto del ángulo completo por el radio. Si en vez de
haber dado una vuelta completa, hubiera dado media entonces el espacio recorrido sería:
De nuevo el producto del ángulo correspondiente a media circunferencia por el radio. En
el caso de que se haya batido un ángulo
cualquiera, el espacio recorrido será:
Esta misma relación se da entre las velocidades y las aceleración tangencial:
En el caso de la aceleración normal la relación es:
Actividad
Las magnitudes lineales s, v y a t se pueden calcular multiplicando las
angulares por el radio de giro, con todas las unidades en el Sistema
Internacional.
A continuación te mostramos un resumen las ecuaciones de los diferentes movimientos
que hemos estudiado hasta ahora así como las de los MCU y del movimiento circular
uniformemente variado. Podrás observar que son muy similares.
Movimiento rectilíneo y uniforme Movimiento circular uniforme.
Movimiento rectilíneo uniformemente Movimiento circular uniformemente
acelerado
acelerado
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Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en línea recta.
1. ¿Qué tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta del
neumático de una de sus ruedas?
2. Si las ruedas traseras tienen un diámetro 1,60 metros , ¿con qué
velocidad angular girarán?
3. ¿Y las ruedas delanteras si su diámetro es de 1 metro?
4. Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, ¿cuántas vueltas dan
las ruedas delanteras?
1.6 Movimiento circular uniforme: periodo
y frecuencia
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En el caso de un movimiento circular uniforme, en el que la velocidad angular no cambia,
podemos definir dos magnitudes que pueden ayudarnos a describir el movimiento.
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El período es el tiempo que invierte un objeto que describe un MCU en dar una vuelta
completa. Se mide en segundos y se representa por una T.
La frecuencia es el número de vueltas por segundo que da un objeto que se mueve
siguiendo un MCU. Se mide en ciclos por segundo o Hertzios y se representa por la letra f.
Por la forma es que están definidas, período y frecuencia son una la inversa de la otra:
La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia y del periodo. Como el
período es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta, la velocidad angular de ese
objeto será:
Usando la relación entre frecuencia y periodo también podemos escribir que:
Actividad
La frecuencia y el periodo son dos magnitudes inversas, relacionadas como
f=1/T ó T=1/f .
AV - Pregunta de Elección Múltiple
Determina con el simulador la velocidad angular
movimiento es 3s y señala la respuesta correcta:
si
el
periodo del
2.09 rad/s
0.69 rad/s
1 rad/s
La posición de este móvil quedará perfectamente descrita si damos la distancia al eje de
giro (r) y el ángulo que forma el vector de posición y eje x (su parte positiva
concretamente). Este ángulo varía con el tiempo según la ecuación:
En este caso particular de movimiento circular, no cambia el módulo de la velocidad, sólo
lo hace su dirección y sentido.
Por eso la aceleración tangencial es cero pero la normal no.
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Sabiendo que la distancia entre la Tierra y Luna es de 384000 Km y que tarda
en dar una vuelta alrededor de la Tierra 27 días 7 horas y 43 minutos,
calcula:
1. El período y la frecuencia de giro.
2. La velocidad angular.
3. La velocidad lineal.
4. La aceleración angular y normal.
5. El ángulo rotado durante un día.
Nota: supón que el movimiento de la Luna es un MCU.
Objetivos
Satélites geoestacionarios
Los satélites que se envían al espacio tienen funciones de toma de datos y
fotografías con fines muy diversos, desde meteorológicos hasta militares, y
también como transmisores de señales en telecomunicaciones.
distancia fija, manteniendo un
movimiento circular uniforme.
Algunos de ellos siempre se
encuentran situados sobre el
mismo punto de la Tierra, y se
llaman geoestacionarios, mientras
que otros pasan varias veces al
día sobre el mismo sitio.
El más conocido de los satélies
geoestacionarios es el Meteosat,
que orbita a 35800 km situado
sobre el cruce del meridiano 0 Imagen de autor desconocido bajo licencia
de Greenwich, que atraviesa las de uso educativo no comercial
Pirineos, y la línea ecuatorial de
la Tierra. Desde él se toman
imágenes cada media hora, en las que se ve muy bien España, y son la
fotografías que podemos ver en las predicciones del tiempo.
Aunque su velocidad angular es muy pequeña (1 vuelta al día, que son
7,3.10 -5 rad/s), se mueve realmente muy deprisa, ya que su radio de giro
es de 42200 km (6400 km del radio de la Tierra más 35800 km de altura de
giro sobre al Tierra), con lo que su velocidad es de 3080,6 m/s, que
equivalen a ¡11090 km/h!
Son suficientes tres satélites geoestacionarios, colocados formando un
ángulo de 120 grados cada uno con respecto a los otros dos, para cubrir todo
el globo y asegurar un sistema de comunicaciones rnundial. Dibuja un
triángulo equilátero y una circunferencia centrada dentro de él, que
representa a la Tierra, de forma que en los vértices están los tres satélites
de comunicaciones. Si un satélite recibe información que quiere enviar a las
antípodas, no puede trasnsmitirla directamente, ya que no "ve" en línea
recta el punto de recepción. Por esa razón la pasa previamente a uno de los
otros dos satélites, que es el que envía la señal a tierra. No tienes mas que
hacer el dibujo para comprobarlo.
Pregunta de Selección Múltiple
Una lavadora centrifuga a 900 rpm en la última fase de su programa de
lavado. Indica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:
f=15 Hz
T=0,1 s
Mostrar retroalimentación
1.7 La bicicleta
En las bicicletas se ve muy bien cómo el
movimento circular de las ruedas se transforma
en desplazamiento lineal de la máquina. El
ciclista pedalea y el movimiento circular de los
pedales hace girar el plato, transmitiéndose el
giro al piñón mediante una cadena, con lo que
se consigue que gire la rueda trasera.
Tanto el plato como el piñón son dos ruedas
dentadas, de forma que según cuál sea la
relación de dientes entre ambas se modifica la
Fuente propia
relación de vueltas giradas por las ruedas por
cada
giro
completo
de
los
pedales.
Habitualmente hay más de un plato y de un piñón: con el cambio de marchas se pasa de
uno a otro.
Observa en la simulación cómo al pulsar sobre el pedal y, sin soltarlo, hacer girar los
pedales una vuelta, la rueda trasera de la bicicleta da tres vueltas (es decir, la relación es
de 3 a 1), con lo que con un giro completo de pedales -dos pedaladas, una con cada
pierna- se avanza el equivalente a tres giros de las ruedas.
Esa relación depende del número de dientes del plato y del piñón unidos por la cadena. En
el caso de la simulación que acabas de ver, el plato tiene el triple de dientes que el piñón.
¡Reflexiona!
Además, hay que tener en cuenta que cuanto mayor es el tamaño de las ruedas, la
bicicleta avanza más por cada giro que realizan cuando el ciclista pedalea.
Flash de S.Wilkinson bajo licencia de uso libre educativo no comercial
2. Movimientos periódicos
El mcu es un caso particular de movimiento periódico, que se caracterizan porque
los móviles ocupan la misma posición en intervalos de tiempo iguales.
Animación de autor desconocido
Fíjate en las aspas de los
molinos
de
viento.
Cuando giran con mcu, al
cabo
de
un
tiempo
determinado vuelven a
pasar
por
la misma
posición: se trata de un
movimiento
periódico.
Ese tiempo es menor
cuanto
más
deprisa
giren.
Fotografía de Lourdes Cardenal bajo licencia GNU
Lo mismo sucede con la
bola que cuelga del
muelle y oscila de forma
periódica. Su movimiento
es muy característico, y
recibe el nombre de
movimiento armónico simple.
Importante
Una magnitud fundamental para describir un movimiento periódico es su
periodo T o tiempo que tarda en repetirse el movimiento.
Indica si los siguientes movimientos son periódicos:
La Luna alrededor de la Tierra
Una moto GP compitiendo en un circuito del campeonato del mundo
El péndulo de un reloj de pared
Mostrar retroalimentación
Indica al menos otros dos movimientos periódicos. Para ello, utiliza cualquier
buscador, realizando la pregunta adecuada en google, yahoo, altavista, ....