Resolución del comportamiento de un mecanismo por Newton-Raphson

Análisis Numérico
Resolución del Comportamiento de un
Mecanismo por Newton−Raphson
Búsqueda de Raices
Objetivo:
Usando un método para encontrar raíces en una función, se resolverá un problema de un mecanismo. Usando
el método de Newton−Raphson y usando una ecuación que describe el comportamiento de un mecanismo,
encontraremos los valores adecuados en un intervalo. Usando el entorno de programación QBasic, se hizo un
programa que calcula de manera rápida y fácil las raíces esperadas.
Marco Teórico:
Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton−Raphson sea la más ampliamente
usada, Si el valor inicia de la raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto (xi, f(xi)). El
punto donde esta tangente cruza al eje x, representa una aproximación mejorada de la raíz.
El método Newton−Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica (un método
alterno basado en la serie de Talyor), Podemos obtener una ecuación general para la forma, la cual nos queda:
X i+1 = Xi − (f(Xi) / f'(Xi))
Cómo con los otros métodos de localización de raíces, la ecuación de Newton−Raphson se puede usar como
un criterio de paro. Además, el desarrollo del método con base en la serie de Taylor proporciona un
conocimiento teórico relacionado con la velocidad de convergencia expresado como: Ei +1 n= O(E2i).
De esta forma, el error debe ser casi proporcional al cuadrado del error anterior.
El algoritmo del método de Newton−Raphson se obtiene al sustituir la ecuación principal con la fórmula
predictiva. Obsérvese, sin embargo, que el programa también debe modificarse para calcular la primera
derivada. Esto se puede llevar a cabo simplemente incluyendo una función definida por el usuario.
Además, de acuerdo con las discusiones anteriores sobre los problemas potenciales del método d
Newton−Raphson, el programa se podría mejorar al incorporar algunas consideraciones adicionales:
1.− Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del programa.
2.− Al final de los cálculos, la raíz final calculada debería siempre ser sustituida en la función original para
calcular en qué casos el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege contra aquellos casos en los que se
observa convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de error, mientras que la
solución puede estar aún muy lejos de una raiz.
3.− El programa debería siempre incluir un límite máximo sobre el número permitido de iteraciones para estar
prevenidos contra las oscilaciones y la convergencia lenta, o en caso contrario las soluciones divergentes
persistirán en forma interminable.
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4.− El programa debería alertar al usuario y tomar en cuenta la posibilidad de que f'(x) pueda ser cero en
cualquier momento durante el cálculo.
Descripción del Problema
LA figura mostrada es la gráfica de la función cúbica de la ecuación mostrada. Se hará un programa para
investigar el comportamiento del algoritmo de Newton−Raphson conforme dos valores iniciales dados. Uno
es 1.8 y el otro 2.5. Se debe determinar el valor para el cual la convergencia cambia de raíces, siendo el
incremento de 0.1. La gráfica y la función son las siguientes:
Y = f(x) = −X3 − 2x2 + 50x + 60
Así tenemos una función igualada que podemos igualar a cero con una sola variable, y ya se puede usar el
método de Newton−Raphson para encontrar los valores de esta variable en el rango que yo quiera. Entonces
es aquí donde utilizo el programa en QBasic. El código del programa se presenta a continuación,
2
Código del Programa
CLS
PRINT
PRINT
PRINT
PRINT " Programa para obtener TODAS las raíces"
PRINT " de una ecuación en función de x"
PRINT
PRINT " METODO DE NEWTON RAPHSON"
PRINT
PRINT
INPUT " Escribe cuántas cifras significativas "; Cif
INPUT " Escribe la frontera izquierda x "; FI
INPUT " Escribe la frontera derecha x "; FD
INPUT " Escribe el diferencial a usar "; Dif
PRINT
PRINT
PRINT " Las raíces de la ecuación son:"
PRINT
PRINT
ES = .5 * 10 ^ (2 − Cif)
a = FI
r=0
`y = −(x ^ 3) − (2 * (x ^ 2)) + (50 * x) + 60
DO
c=0
3
b = a + Dif
FA = −(a ^ 3) − (2 * (a ^ 2)) + (50 * a) + 60
FB = −(b ^ 3) − (2 * (b ^ 2)) + (50 * b) + 60
IF FA = 0 THEN
PRINT SPACE$(25); a
r=r+1
c=1
ELSE
IF FB = 0 THEN
PRINT SPACE$(25); b
r=r+1
c=1
END IF
END IF
IF (FA * FB) < 0 AND c = 0 THEN
m=a
DO
FM = −(m ^ 3) − (2 * (m ^ 2)) + (50 * m) + 60
DFM = −(3 * (m ^ 2)) − (4 * m) + 50
m2 = m − (FM / DFM)
FM2 = −(m2 ^ 3) − (2 * (m2 ^ 2)) + (50 * m2) + 60
IF ABS(FM2) < (1 / (10 ^ Cif)) THEN
PRINT SPACE$(25); m2
r=r+1
c=1
ELSE
4
EA = ABS((m2 − m) / m2) * 100
IF EA < ES THEN
PRINT SPACE$(25); m
r=r+1
c=1
ELSE
m = m2
END IF
END IF
LOOP UNTIL c = 1
END IF
a=b
LOOP WHILE a < FD
PRINT
PRINT
IF r = 0 THEN PRINT SPACE$(20) + "No se pudo encontrar raíces." ELSE PRINT SPACE$(20) + "Son
todas."
Se notará que el programa ya tiene como función la derivada de la ecuación original. Se está usando un
intervalo de −10 a 10, ya que los dos valores iniciales propuestos están dentro de este rango. Corriendo el
programa, los valores obtenidos son:
−7.562 −1.777 y 6.740
Conclusiones:
Es bastante fácil encontrar estos valores con un algoritmo hecho en la computadora. Nada más se dan los
datos requeridos y la máquina hace todo. Con este métodos se puede encontrar fácilmente el comportamiento
de un mecanismo, dada una ecuación. Facilita mucho los cálculos.
Bibliografía:
Métodos Numéricos para Ingenieros.
STEVEN CHAPRA
Ed. McGraw Hill
5
Diseño de Maquinaria.
ROBERT L. NORTON
Ed. McGraw Hill
6