las matemáticas en la arquitectura de santa maría del fiore en

Colegio Alemán Alexander Von Humboldt
LAS MATEMÁTICAS EN LA ARQUITECTURA DE SANTA MARÍA DEL FIORE EN FLORENCIA
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Autores: Ana Lucia Arias García y Paola Ramírez de Nova
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Asesores: Carlos Prieto de Castro y Susana Ochoterena Booth
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Clave del proyecto: CIN2014A20083
Área de Conocimiento: Ciencias Fisicomatemáticas y de las Ingenierías
Disciplina: Matemáticas
Modalidad: Cartel
México, D. F. a 4 de febrero del 2014
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RESUMEN
Brunelleschi logró construir una cúpula que se convirtió en la más grande y más alta de su época.
Basándose en estudios que realizó al Panteón de Agripa en Roma y usando métodos matemáticos
clásicos, el florentino completó la construcción de Santa María del Fiore con una cúpula que
revolucionó la manera de construir bóvedas.
Pretendemos demostrar la relevancia que tuvo la construcción de esta cúpula para la
arquitectura de la época renacentista y su trascendencia, revisar el contexto histórico de la
construcción de este recinto, describir los componentes arquitectónicos renacentistas de la
catedral, explicar, a través de un contexto matemático, los polígonos regulares; la construcción a
través de regla y compás y la construcción del octágono, identificar obras arquitectónicas que
tengan las mismas características de la cúpula.
Consultamos libros como Die Kunst der Renaissance: Wie erkenne ich? de Astrid Huth y Thomas
Hoffman, el cual contiene un análisis de la cúpula, al igual que una proyección
arquitectónicadibujo en el que se puede ver el domo con la base octagonal. Otro libro sobre
arquitectura que empleamos es de Rolf Toman, cuyo nombre es El Arte en la Italia del
Renacimiento, en el que el autor describe el contexto histórico y la vida del arquitecto y muestra
algunos planos. En la página de internet Quattrocento, el autor del artículo “Brunelleschi: La
Cúpula de Santa María del Fiore”, habla sobreexplica la manera en la que la cúpula está
construida y las características más importantes de ésta.
Palabras Claves: Brunelleschi, Cúpula, Panteón de Agripa, Métodos matemáticos, clásicos, Santa
María del Fiore, Epoca renacentista, Polígonos regulares, Regla y compás, Octágono, Base
octagonal.
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SUMMARY
Brunelleschi managed to build a dome, which became the largest and tallest of its time. Being
based on the Pantheon and using classical mathematical methods, the Florentine completed
Santa Maria del Fiore’s construction with a dome that represented a revolution in the way of
constructing of domes.
We want to prove the relevance that this dome’s construction had for the Renaissance’s
architecture and its importance, examine the construction’s historical background, describe the
cathedral components. Explain, using the mathematical context, the regular polygons, the
construction with ruler and compass and the octagon’s construction, identify buildings with similar
characteristics as the dome’s.
We consulted books like Astrid Huth and Thomas Hoffman’s Die Kunst der Renaissance: Wie erkenne
ich? Which contains a dome’s analysis, as well as a drawing where we can see the octagonal
base? Another book we used is Rolf Toman’s El Arte en la Italia Del Renacimiento, in which the
author describes the historical background, Brunelleschi’s biography and plans. On the Internet
page Quattrocento, the author of the article “Brunelleschi: La Cúpula de Santa María del Fiore”,
mentions the way the dome was built and its important characteristics.
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Key words: Brunelleschi, Dome, Pantheon, Classical mathematical methods, Santa Maria del
Fiore, Renaissance’s architecture, Regular polygons, Ruler and compass, Octagon, Octagonal
base.
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INTRODUCCIÓN
La presente investigación se refiere al tema de las matemáticas en la arquitectura de Santa Maria
del Fiore en Florencia. Brunelleschi, un arquitecto, orfebre y escultor renacentista italiano diseño la
cúpula de Santa María del Fiore de Florencia, en ese entonces tuvo un gran impacto, ya que fue
la más grande y la más alta de la época desde la edificación del Panteón. Basándose en
antiguas construcciones romanas, Brunelleschi logro resolver los problemas de ingeniería para
colocar un domo en una base octogonal. Debido al impacto que esta cúpula tuvo, hubo una
gran influencia sobre otros edificios con cúpulas.
La Hipótesis de este trabajo es confirmar sí el diseño y la estructura de la cúpula de la catedral
Santa María del Fiore en Florencia, revoluciono la forma de construcción de bóvedas en otros
recintos, debido al empleo de cálculos matemáticos en la construcción.
El interés hacia este trabajo radica en que es un edificio construido en la época del Renacimiento,
que ha marcado las pautas arquitectónicas de otras épocas alrededor del mundo, usando como
base las matemáticas, que empleaban los griegos y romanos en sus construcciones, técnicas que
se perdieron durante la Edad Media y se retomaron en la época de Filippo Brunelleschi, arquitecto
que construyó la cúpula. Santa María del Fiore es uno de los recintos religiosos más importantes de
Italia, al igual que del mundo. Al año la visitan miles de personas de todos los países, siendo esta
catedral uno de los símbolos más emblemáticos de la ciudad de Florencia que se encuentra en la
región de la Toscana.
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OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS
Los objetivos generales de este trabajo son analizar el florecimiento que tuvieron la matemáticas
en el Renacimiento, en la cuestión arquitectónica. Los objetivos particulares son demostrar la
relevancia que tuvo la construcción de esta cúpula para la arquitectura de la época renacentista
y su trascendencia, revisar el contexto histórico de la construcción de este recinto, describir los
componentes arquitectónicos renacentistas de la catedral, explicar, a través de un contexto
matemático, los polígonos regulares en la arquitectura; la construcción a través de regla y
compás y la construcción del octágono, identificar obras arquitectónicas que tengan las mismas
características de la cúpula.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Varios autores han hablado de Brunelleschi, tal es el caso de Astrid Huth y Thomas Hoffman en el
libro Wie erkenne ich? , quienes lo mencionan como un gran innovador en la cuestión
arquitectónica y presentan la manera en la que la cúpula está diseñada. El autor Marco Bussagli
explica la manera en la que se construyó la cúpula de Santa María del Fiore y las técnicas
arquitectónicas que Brunelleschi usó para la edificación de tal elemento. En el libro El Arte en la
Italia del Renacimiento de Rolf Toman, se habla del contexto histórico, al igual que de los estilos
arquitectónicos que se presentaron antes y después de Brunelleschi.
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En la cuestión matemática, se puede apreciar el teorema de Gauss, el cual comprueba que
polígonos regulares son construibles con regla y compás, basándose en los números primos de
Fermat.
METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN
Por las características de la investigación, revisaremos el libro de Marco Bussagli, Comprender la
Arquitectura, el autor menciona cómo fue construida la cúpula de Santa María del Fiore. Otro libro
que consultamos fue Die Kunst der Renaissance: Wie erkenne ich?
De Astrid Huth y Thomas
Hoffman, el cual contiene un análisis más detallado de la cúpula, al igual que un dibujo en el que
se puede ver el interior del domo con la base octagonal. El tercer libro sobre arquitectura que
usamos es de Rolf Toman, el cual se llama El Arte en la Italia del Renacimiento, explica el contexto
histórico de la construcción, la vida del arquitecto Brunelleschi y muestra algunos planos
arquitectónicos. En la página de internet Quattrocento, el autor del artículo “Brunelleschi: La
Cúpula de Santa María del Fiore”, habla sobre la manera en la que la cúpula está construida y las
características más importantes de ésta. Después de leer varias fuentes, nos dimos cuenta de que
ninguno de los trabajos que consultamos abarca los temas desde punto de vista matemático y
arquitectónico al mismo tiempo.
Capítulo I: Contexto histórico y biografía de Brunelleschi
Un poco de historia:
El Renacimiento. Época que marcó el antes y el después en la historia europea. Época en la que
no sólo cambiaron los sistemas políticos, sino también las artes como la arquitectura y escultura
cambiaron, bajo la influencia de obras clásicas. En este periodo resaltaron nombres, familias,
actos, conflictos y ciudades.
A finales del siglo XIII y principios del XIV, Florencia vivió un apogeo económico que la ciudad no
había presenciado en toda su historia. A pesar de la Peste Negra de 1347 y la inestabilidad social
que había, debido al estado oligárquico, la capital de la República de Florencia se benefició
conde la caída de ciudades contiguas. (Arte Historia) Ciudades como Luca y Siena cayeron en
bancarrota en la primera década del siglo XIV y Pisa perdió su popularidad debido a un
enfrentamiento contra Génova. Esto ayudó a que Florencia se viera impulsada tanto económica
como culturalmente. (Bussagli, 2001, p.220Wikipedia)
Florencia pasó de ser una ciudad medieval, a una dividida en gremios y la riqueza de la ciudad se
incrementó gracias a la producción textil de lana. Varias compañías comerciales y financieras se
establecieron en esta ciudad, lo que causó que las rutas comerciales incrementaran, obteniendo
influencias en cuestiones culturales. (Wikipedia) Desde Egipto y otras regiones del Mediterráneo, al
igual que del Oriente, llegaron distintas personalidades al norte de Italia. Científicos, matemáticos
y filósofos arribaron a Florencia y con ellos, ideas y nuevos pensamientos. Esto ayudó a que se
integraran textos griegos e impulsó la curiosidad de las personas, gracias a la cual, se dedicaron a
estudiar obras clásicas, entre las cuales se puede mencionar el redescubrimiento de Vitrubio,
hecho que introdujo los principios arquitectónicos de la antigüedad a la nueva sociedad italiana.
(Arte HistoriaToman, 1994, pp. 98-104)
La disminución de la población debido a la peste negra, ayudó a que mercaderes, artesanos y
banqueros crecieran económicamente, gracias a esto florecieron los Médici. (Bussagli, 2001,
p.221Wikipedia)
Sin embargo, en Florencia había varios problemas: conflictos entre Gibelinos
y Güelfos; alianzas entre los diferentes condotieros de la época. La inestabilidad social hizo que
los Médicis crearan una alianza con los inmigrantes florentinos que poco a poco iban
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aumentando, aparte con el paso de los años fueron obteniendo importancia como banqueros,
tanto así, que se convirtieron en los banqueros del Papa. (Wikipedia) Después de una serie de
disputas con la familia Albizzi, quienes gobernaban la ciudad en esa época, Cosme de Médici se
colocó a la cabeza del gobierno florentino en 1434. (Arte Historia)
El hecho de que los Médici gobernaran Florencia no significó que estuvieran absueltos de
conflictos bélicos; siempre hubo tensiones entre Venecia, Milán y Venecia. No obstante, en 1454,
los tres principados firmaron el Tratado de Lodi, con el cual asegurarían la paz en el norte italiano
por varios años. Este pacto hizo que los gobiernos se centraran más en solucionar problemas e
impulsar las ciudades. (Arte Historia) Cosme de Médici consolidó la inestabilidad social y otorgó los
puestos del gobierno a empleados o aliados suyos, para que así no tuviera malentendidos con el
personal gubernamental. Una de las aportaciones más grandes de Cosme fue el encargo que le
hizo a Filippo Brunelleschi de terminar la construcción de Santa María del Fiore, finalizada en 1436.
(Toman, 1994, pp. 98-104Wikipedia)
En 1469, Lorenzo de Médici sucede a Pedro, hijo de Cosme. El gobierno de Lorenzo destacó por su
apoyo e impulso a las artes, encargando trabajos a personajes como Miguel Ángel, Botticelli y
Leonardo Da Vinci. Fue durante el mando de Lorenzo que Florencia tuvo muchos conflictos con
los Estados Pontificios, lo cual causó la muerte de su hermano Julián. Lorenzo se dedicó, una vez
superados los problemas con Roma, a reforzar el estado bancario florentino y reestructuró la
banca Médici. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Arte Historia)
Hasta 1494, la ciudad estuvo bajo el mando de los Médicis. Sin embargo, mientras el hijo de
Lorenzo, Pedro II, era gonfaloniero de Florencia, Carlos VIII de Francia invade el norte de Italia y
Pedro decide no resistirse y acepta las condiciones humillantes del monarca francés. Esto
ocasiona que los florentinos se rebelen y expulsen a los Médici. (Arte Historia)
Durante el exilio de la familia bancaria, el fraile Jerónimo Savonarola se dedicó a predicar en
contra de los Médicis, diciendo que su exilio era un castigo justo, otorgado por Dios. Este hombre
tuvo muchos seguidores, ya que realizó reformas que llevarían a un gobierno más democrático.
Tanto fue el fanatismo de este hombre que mandó quemar obras de personajes tales como
Botticelli. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Wikipedia) La decadencia de Savonarola comienza en
el momento de predicar en contra del Papa Alejandro VI, lo cual ocasiona que le prohíban el
discurso público y que lo excomulguen. Sin embargo, el fraile no cesó con sus discursos, por lo que
los florentinos lo arrestaron y entregaron a Roma. Savonarola fue declarado hereje y quemado en
la hoguera en 1498. (Bussagli, 2001, p.220Arte Historia)
Con el apoyo del Papa, los Médicis regresan al poder en 1537 como duques hereditarios de
Florencia, el cual conservaron por más de dos siglos. Otros personajes que destacaron en esta
época fueron: Filippo Brunelleschi, Botticelli, Miguel Ángel, Leonardo Da Vinci y Nicolás
Maquiavelo. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Wikipedia)
Arquitectura de la época
Brunelleschi comienza la edificación de la cúpula de Santa María del Fiore a finales de la segunda
década de 1400. En la historia, este siglo se conoce como Quattrocento, época de transición de
la Edad Media al Renacimiento. (Tom, Historia del Arte)
A finales de la Edad Media, las construcciones se edificaban bajo un estilo gótico, que influyó
mayormente a recintos religiosos. Los dos elementos principales del gótico fueron el arco
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apuntado1 y la bóveda de crucería, lo cual permitió que el peso se distribuyera mejor y que los
edificios tuvieran una altura mayor.
Durante el Renacimiento, los arquitectos se concentraron en crear edificios simétricos y unitarios. El
muro recupera su función de sustento, para lo cual, durante el gótico, fungían las columnas.
(Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Wikipedia) La arquitectura de la época se caracteriza por
volverse racional, ya que se intenta recuperar la noción del orden arquitectónico, utilizando
nuevas soluciones matemáticas. (Slide Share)
Otro factor, es que las construcciones deben serson simples, basándose en una geometría sencilla
y comprensible, ya que se consideraba que la belleza recaía en lo sencillo y no lo ostentoso. Las
construcciones horizontales resaltan en contra de las góticas que eran verticales. (Tom, Historia
del Arte)
A pesar de que los mecenas encargaban trabajos a distintos arquitectos, éstos insistían en dejar un
toque personal en las obras.
Los Médicis, quienes fueron grandes mecenas (patronos de las artes), encargaron trabajos a
arquitectos como Michelozzo di Bartolommeo, quien edificó un Palazzo para la familia bancaria
en Florencia. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97-100Hoffman y Huth). Brunelleschi y Alberti fueron los
arquitectos más importantes del Renacimiento Temprano.
Filippo Brunelleschi
El italiano Filippo Brunelleschi fue uno de los arquitectos e ingenieros más sobresalientes de la
época renacentista. Además de la arquitectura e ingeniería, Brunelleschi también practicaba la
orfebrería y la escultura. (Bussagli, 2001, p.222)
Filippo Brunelleschi nació en 1377 en Florencia, Italia. Los primeros años de la vida de Brunelleschi
son un misterio. Se sabe que fue el segundo hijo de tres, su padre era un distinguido notario en
Florencia (Biography). Tras unos estudios que lo pusieron en contacto con filósofos y matemáticos
árabes medievales, cuando tenía 21 años, prestó juramento en el Arte della Seta, el más poderoso
gremio florentino del que también formaba parte los orfebres, conocido bajo el nombre de Por
Santa María. Al año siguiente, entró al taller del maestro orfebre Lunardo Di Matteo Ducci. Con
esta experiencia, participo en un concurso contra un joven rival, Lorenzo Ghiberti y otros cinco
escultores, para realizar las puertas del baptisterio de Florencia, que marcarían el inicio del
renacimiento (Bussagli, 2001, p.222libro de arquitectura). Sin embargo Brunelleschi no gano la
comisión. Tres años mas tarde fue declarado maestro orfebre y, al mismo tiempo, empezó a
trabajar como arquitecto. A ese periodo se remonta su primer viaje a Roma. (Biography)
Hacia 1417, cuando tenía alrededor de 30 años, realizo los famosos estudios de perspectiva de
dos tablas, hoy perdidas, que mostraban las vistas del baptisterio florentino y del palacio dei Priori
desde via dei Calzaiuoli. (Bussagli, 2001, p.222libro). Usando los principios de perspectiva de
Brunelleschi, artistas de su generación fueron capaces de utilizar lienzos de dos dimensiones para
crear ilusiones de espacio tridimensional, así elaborando un realismo no visto anteriormente.
(Biography)
Hacia 1420, Brunelleschi era una personalidad artística ampliamente reconocida, que recibía
multitud de encargos arquitectónicos por parte de la Signiora florentina (el gobierno) (Toman,
1994,98-104Biography).
(APA)
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De acuerdo al Diccionario manual ilustrado de arquitectura ,el arco apuntado es aquel cuyo intradós
forma ángulo en la clave.
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Con formato: Español (España alfab. tradicional)
La fama de Brunelleschi está ligada a la cúpula de Santa Maria del Fiore, pero realizóo otras
muchas otras obras, puesto que también destacó como ingeniero militar. Trabajó en otras
ciudades de Toscana, como Pisa, donde tuvo que reparar Monte a Mare, lamentablemente
destruido en el siglo XIX. (APABio)
En 1418 realizó el proyecto para San Lorenzo, el primer intento de construir una nueva sintaxis
arquitectónica con elementos procedentes de la arquitectura de la antigüedad, y trabajó en la
Sacristía Vieja, adyacente a la Basílica de San Lorenzo, donde aplicó sus ideales de simplicidad
geométrica y armonía de las proporciones (la sala de la cúpula tiene el doble de longitud que la
del altar, que a su vez se divide en tres ambientes, de los que el central posee cúpula). A los 47
años fue nombrado director de las obras del Hospital de los Inocentes. En 1433, empezó la
construcción de la Capella dei Pazzi de Santo Spirito, donde se desarrollaron las premisas
proporcionales de San Lorenzo repitiendo rigurosamente el modulo cuadrado de las campatas.
También son suyas la inacabada Rotonda degli Angeli (1434), donde aplico la experiencia
acumulada en el estudio de los monumentos romanos, y el núcleo original del Palacio Pitti (1440),
devenido en modelo de palacio aristocrático. (Bussagli, 2001, p.222APA)
Brunelleschi murió en Florencia el 15 de abril de 1446, y fue enterrado en el Duomo. Es recordado
como uno de los gigantes de la arquitectura renacentista, es uno de los fundadores del lenguaje
arquitectónico del Renacimiento y hombre muy culto, estudió problemas que parecían
colaterales a su profesión. Fue el primero en determinar la <<perspectiva de los pintores>> y se
interesó por la aritmética y la física. La inscripción de su tumba en la Basílica dice: "Tanto la
magnífica cúpula de esta famosa iglesia como muchos otros dispositivos inventados por Filippo,
dan testimonio de su excelente habilidad. Por lo tanto, en homenaje a su talento excepcional, un
país agradecido que siempre lo recordará, lo entierra aquí.” (Toman, 1994, pp. 98-104APA)
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Comentario [C1]: ¿Qué es Monte a
Mare?
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Ilustración 1: Imagen sin título de descripción del trabajo. Recuperada de
http://www.biography.com/imported/images/Biography/Images/Profiles/B/FilippoBrunelleschi-9229632-1-402.jpg
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Con formato: Sangría: Primera línea:
0 cm
Capítulo 2: ¿Cómo está construida la cúpula?
¿Qué es una cúpula?
“Puede definirse como un techo en forma de bóveda de particular complejidad. La cúpula es el
cierre del edificio. Se dice que es trasdosada cuando el trasdós queda visible: también puede
quedar escondida por un prisma exterior, es cimborrio, cubierto por un techo. Desde un punto de
vista teórico se trata de la rotación de un arco alrededor de su propia clave de bóveda” (Libro de
arquitectura). Muchas formas de cúpulas derivan de un arco, aunque éstas pueden ser
perfectamente hemisféricas, como por ejemplo, se puede apreciar en el Panteón y en la basílica
de San Pedro en el Vaticano, o bien presentar una sección ojival como la cúpula de Brunelleschi.
(Libro)
Polígonos regulares
Con formato: Izquierda, Sangría:
Primera línea: 0 cm, Espacio
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(Predeterminado) Century Gothic, 10
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Con formato: Izquierda, Espacio
Después: 0 pto, Interlineado: sencillo
Con formato: Espacio Después: 0
pto, Interlineado: sencillo
Comentario [C2]: ¿qué es?
Definición. Se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son
congruentes entre sí. (Wikipedia)
El de 3 lados es el triángulo equilátero; el de 4 es el cuadrado. A los polígonos de más de 4
lados, se hace explícito el término regular (por ejemplo: pentágono regular). No todos los
polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás. (Wikipedia)
Los polígonos regulares constan de los siguientes elementos: Lado (L) el cual es cada uno de los
segmentos que lo integran. El vértice, representado en la Imagen III con V , es el punto en el que
dos lados consecutivos se unen; otro punto importante es el centro C, que como lo dice su
nombre, es el punto central , que tiene la misma distancia entre todos los vértices. El radio R unifica
el centro con uno de los vértices y la diagonal D une dos vértices que no son contiguos. Figura II.
La innovación de Brunelleschi
La construcción de la cúpula de Santa Maria del Fiore marcó una nueva época en la
arquitectura. El 19 de agosto de 1418 se abrió un concurso para solucionar el problema de la
cúpula. (HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100) El
problema consistía en construir una cúpula sin recurrir a los arcos exteriores de descarga.
Brunelleschi lo consiguió empleando las técnicas de los romanos, colocando los ladrillos en forma
de espina de pescado, con lo que actuaba como estructura de carga. (BUSSAGLI, Filippo
Brunelleschi, p.222) Además, la cúpula tenía que ser adaptada al estilo gótico de la catedral.
(HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100) La maqueta
de Brunelleschi ganó el concurso gracias a que fue el único de todos los competidores que afirmó
poder realizar el proyecto sin necesitar la habitual cimbra. Mientras los demás concursantes
construyeron sus maquetas con versiones a escala del andamiaje destinado a sustentar y centrar
la cúpula desde el centro, Brunelleschi desarrollo un sistema para hacer que se sustentara por sí
misma. A ese efecto, diseñó un sistema que contaba con cuatro elementos: en primer lugar, la
cúpula octagonal con un doble cascarón, debiendo ser el interior lo suficientemente consistente
para sustentar el exterior, más ligero. Luego reforzó cada uno de los ocho lados de la misma con
una combinación de hileras de sillares y nervaduras resaltadas, cuya curvatura hacia la cúspide
aseguró mediante una serie de escantillones o maestras. Luego hizo que el espesor de ambos
cascarones fuera el suficiente para poder inscribir en ellos un círculo, dado que era de planta
octagonal. Por los estudios que había realizado sobre las construcciones con cúpulas históricas,
Brunelleschi sabía que una forma circular inscrita en una cúpula octagonal le confería a ésta las
mismas características que las propias de una esférica. Con ello se compensaba la presión hacia
el interior, de forma que, aparte del empuje hacia el exterior que se registraba en su base, se
trataba de una estructura autoportante. El mismo método lo aplicó luego también a menor
10
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
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Comentario [C3]: No se entiende
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pto
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10 pto, Sin Resaltar
Comentario [C4]: No es hemisférica
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Sin Resaltar
Comentario [C5]: Este apartado
debería estar antes del de los
primos.
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
Con formato: Izquierda, Interlineado:
sencillo
Con formato
...
Con formato
...
Con formato: Espacio Después: 0
pto, Interlineado: sencillo
Con formato
...
Con formato: Espacio Después: 0
pto, Interlineado: sencillo
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Subrayado
escala, es decir, en cada una de las hiladas de ladrillos, que concibió como una serie de círculos
perfectos que descansaban sucesivamente unos sobre otros. Intercalando tramos regulares de
ladrillos verticales en cada hilada, se sirvió de la fuerza de sustentación de la hilada ya concluida,
para que soportara la siguiente en construcción Los intervalos eran tan cortos que los ladrillos
dispuestos verticalmente podían soportar el peso de las hiladas horizontales dispuestas entre ellos
hasta el momento en que la siguiente hilada, provista a su vez de sus correspondientes ladrillos en
posición vertical, estuviese concluida y fuese, a su vez, autoportante. El efecto óptico de esta
técnica se denominó: en espina de pez”, aunque inapropiadamente, ya que el cambio
alternativo de dirección solo se produce en determinados puntos y no alternadamente en cada
hilera y pieza. El resultado práctico fue que se ahorraron los enormes cortes y pérdidas de tiempo
que entrañaban la estructura de madera –cimbra- entonces usual para sustentar cúpulas durante
su construcción. (MCLEAN, La Arquitectura del Renacimiento Temprano en Florencia e Italia
central, pp. 100-102). Brunelleschi construyo la cúpula sin usar un andamio al interior de la
construcción, más bien coloco los andamios fuera de la catedral, que le sirvieron de plataforma.
Sobre este andamio le era posible transportar los materiales de construcción con ayuda de grúas
y cabrestantes. Pero la pregunta más importante era: ¿Cómo se podía construir una cúpula de
enormes dimensiones sin que se derrumbara? Brunelleschi decidió construir una cúpula de dos
capas, una cúpula interior y una exterior. Entre las dos cúpulas se construyeron costillas de arco, en
la que la cúpula se “colgaba”. En el exterior se pueden apreciar ocho costillas, para que el
interior no sea visible. Otro de los factores importantes para la construcción era el material de
construcción; tenía que ser ligero, para que la presión del arco y la carga en el área del muro
aguantaran la carga. Al mismo tiempo el material tenía que ser resistente, para soportar la presión.
La respuesta fue el ladrillo. Brunelleschi uso el ladrillo en el exterior de la espiga, ya que era más
estable, para que la mampostería se pudiera soportar por ella misma. Con esta nueva técnica, a
Brunelleschi le fue posible colocar una “corona del renacimiento” a una construcción sagrada del
gótico, que fue la cúpula más grande de ese tiempo. (HOFFMANN,HUTH, Die Überwindung der
Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100)
Comentario [C6]: Me parece que se
repite
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10 pto, Subrayado, Sin Resaltar
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Subrayado
Los números primos de Fermat
Un número primo de Fermat, así llamado en honor a Pierre de Fermat, hombre que formuló e
investigó estos números primos, es un número primo, cuya forma es la siguiente (Wikipedia):
Donde n es un número natural.
Fermat planteó la conjetura de que todos los números de la forma
con t natural eran números primos (los números primos de Fermat, Wikipedia).
Esto no es cierto en general, como lo muestra el caso t = 5:
,
Comentario [C7]: Hay que pensar
cómo pasar de la muy prolija
arquitectura a las matemáticas. Este
salto se siente muy forzado.
Hay que introducir primero el
concepto de polígono regular
construible con regla y compás
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11
Con formato: Centrado
Ilustración II: Imagen o
fotografía sin título de
descripción del trabajo.
Recuperada de
http://es.wikipedia.o
rg/wiki/Pol%C3%AD
gono_regular
12
Descubierto por Leonhard Euler. Ya desde Euclides se conocía la construcción de los polígonos
regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, al igual que la de los polígonos que se obtienen de éstos al
multiplicar la cantidad de lados por una potencia de dos. (Prieto, Libro en proceso).
Sin embargo, Carl-Friedrich Gauss demostró que se puede construir con regla y compás un
polígono regular de 17 lados, al igual que halló que si p es un número primo de Fermat, el polígono
regular de p lados es construible con regla y compás (Prieto, Libro en proceso). De hecho, p es
el número primo de Fermat correspondiente a t = 2
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
Si t = 0, 1, 2, 3, 4, los primos de Fermat que le corresponden a cada uno de manera respectiva son
3, 5, 17, 257 y 65537.
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
Gauss demostró que un polígono regular de n lados inscrito en un círculo puede dibujarse usando
regla y compás si y sólo si
n = 2a ·p1·p2···pk,
donde p1 < p2 < ···< pk son números primos de Fermat (Prieto, Libro en desarrollo)
Gracias a esto podemos ver qué polígonos son cosntruibles con regla y compás, los siguientes son
algunos ejemplos:
Cuadrado
1. Realizar un círculo con un compás y con una regla hacer una línea horizontal que pase
por el centro del círculo. Esta línea debe ser lo suficientemente larga para intersectar el
círculo en dos puntos, los cuales se llamaran “A” y “B”.
2. Establecer la abertura del compás aproximadamente a ¾ del largo del diámetro. Colocar
el compás en el punto A y dibujar medio círculo que intersecte el círculo inicial, otra vez
por dos lados. Colocar el compás en el punto B y realizar el paso anterior. Dibujar una línea
a través de los semicírculos en intersección y marcar los puntos “C” y “D”, donde esta línea
intersecte el círculo.
3. Conectar los puntos C y D con A y B, lo cual crea un cuadrado perfecto. (eHow).
Polígonos regulares
Definición. Se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son
congruentes entre sí. (Wikipedia)
El de 3 lados es el triángulo equilátero; el de 4 es el cuadrado. A los polígonos de más de 4
lados, se hace explícito el término regular (por ejemplo: pentágono regular). No todo los polígonos
regulares pueden ser construidos con regla y compás. (Wikipedia)
Los polígonos regulares constan de los siguientes elementos: Lado ( L) el cual es cada uno de los
segmentos que lo integran . El vértice, representado en la Imagen III con V , es el punto en el que
dos lados consecutivos se unen; otro punto importante es el centro C, que como lo dice su
nombre, es el punto central , que tiene la misma distancia entre todos los vértices. El radio R unifica
el centro con uno de los vértices y la diagonal D une dos vértices que no son contiguos.
(Wikipedia)
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10 pto, Sin subrayado
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pto
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Interlineado: sencillo, Numerado +
Nivel: 1 + Estilo de numeración: 1, 2,
3, … + Iniciar en: 1 + Alineación:
Izquierda + Alineación: 0.63 cm +
Sangría: 1.27 cm
Comentario [C8]: Este apartado
debería estar antes del de los
primos.
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Sin subrayado
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10 pto, Sin subrayado
Con formato: Interlineado: sencillo
Con formato: Interlineado: sencillo
13
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pto
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14
Hexágono
Un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices. (Wikipedia)
El hexágono regular es un polígono que se puede construir solamente con regla y compás, como
podremos ver a continuación:
1. Trazar un círculo, al igual que una recta que horizontal por el centro de éste. Esta línea
debe ser lo suficientemente larga para que intersecte el círculo por dos puntos, los cuales
llamaremos “A” y “B”.
2. Con el mismo radio del círculo y apoyando la punta del compás en A, trazar medio círculo
que pase por el centro e intersecte el círculo inicial en dos puntos, los cuales llamaremos
“C” y “D”.
3. Utilizando nuevamente el mismo radio, se apoya el compás en B y se realiza la misma
acción, creando esta vez, los puntos “E” y “F”.
4. Los puntos A, B , C, D ,E , F son los vértices del hexágono regular.
(Prieto, Libro en desarrollo) Ver Imagen IV
Triangulo inscrito
Para trazar un triangulo inscrito se realiza lo mismo que al momento de dibujar un hexágono, con
la excepción de que sólo se traza un semicírculo. Así los puntos A, B y C son los vértices del
triángulo . Imagen V . (Prieto, Libro en desarrollo)Hexágono
Un hexágono es un polígono de seis lados y seis vértices.
El hexágono regular es un polígono que se puede construir solamente con regla y compás, como
podremos ver a continuación:
1. Trazar un círculo, al igual que una recta que horizontal por el centro de éste. Esta línea
debe ser lo suficientemente larga para que intersecte el círculo por dos puntos, los cuales
llamaremos “A” y “B”.
2. Con el mismo radio del círculo y apoyando la punta del compás en A, trazar medio círculo
que pase por el centro e intersecte el círculo inicial en dos puntos, los cuales llamaremos
“C” y “D”.
3. Utilizando nuevamente el mismo radio, se apoya el compás en B y se realiza la misma
acción, creando esta vez, los puntos “E” y “F”.
4. Los puntos A, B , C, D ,E , F son los vértices del hexágono regular.
(Prieto, Libro en desarrollo) Ver Imagen IV
Triangulo inscrito
Para trazar un triangulo inscrito se realiza lo mismo que al momento de dibujar un hexágono, con
la excepción de que sólo se traza un semicírculo. Así los puntos A, B y C son los vértices del
triángulo . Imagen V. (Prieto, Libro en desarrollo)
Heptágono
Un heptágono no se puede construir con regla y compás porque siete no es un número primo de
Fermat. Gauss mostró que para que un polígono fuera construible con regla y compás debía tener
una cantidad de lados que fuera un número primo de la forma
Así que sólo podemos construir estos polígonos, o bien, polígonos cuya cantidad de lados sea una
potencia de 2 multiplicada por uno de los 5 números primos. Siete y nueve no son de esta forma
así que no puedes construir heptágonos ni eneágonos regulares
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Con formato: Fuente: Century Gothic,
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Con formato: Fuente: Century Gothic,
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Con formato: Fuente: Century Gothic,
Color de fuente: Automático
Con formato: Fuente: Century Gothic,
Color de fuente: Automático
15
Figura III: Imagen o fotografía sin título de
descripción del trabajo. Recuperada de
www.functionmixer.blogspot.com
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pto
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pto, Español (España - alfab.
tradicional), Diseño: Claro (Blanco)
16
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pto
Figura IV
17
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pto
Figura V
Octágono
Un octágono es una figura plana con ocho lados y ocho vértices. Si el octágono es regular todos
sus lados y ángulos son congruentes. Dos lados forman un ángulo de 135º.
Al igual que los otros dos polígonos, el octágono se puede construir con regla y compás:
1.4.
Realizar un círculo con un compás y con una regla hacer una línea horizontal que
pase por el centro del círculo. Esta línea debe ser lo suficientemente larga para intersectar
el círculo en dos puntos, los cuales se llamaran “A” y “B”.(eHow)
2.5.
Establecer la abertura del compás aproximadamente a ¾ del largo del diámetro.
Colocar el compás en el punto A y dibujar medio círculo que intersecte el círculo inicial,
otra vez por dos lados. Colocar el compás en el punto B y realizar el paso anterior. Dibujar
una línea a través de los semicírculos en intersección y marcar los puntos “C” y “D”, donde
esta línea intersecte el círculo. (eHow)
3.6.
Conectar los puntos C y D con A y B, lo cual crea un cuadrado perfecto. (eHow)
4.7.
Abrir el compás con la distancia entre A y el centro, colocar la punta del artefacto
en A y dibujar dos arcos intersectando los segmentos AC y AD. Mover el compás a los
puntos B, C y D y hacer lo mismo cada vez, haciendo arcos intersectantes en cada lado
de los vértices del cuadrado. Los lados del diamante deberían ahora tener un total de
ocho puntos en intersección. (eHow)
5.8.
Conectar el par de puntos de intersección más cercanos a A, luego a B, C y D.
Formar el octágono regular con los segmentos conectando los ocho puntos de
intersección. (eHow) (Figura VI)
functionmixer.blogspot.com
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(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto, Subrayado
C
18
La innovación de Brunelleschi
La construcción de la cúpula de Santa Maria del Fiore marcó una nueva época en la
arquitectura. El 19 de agosto de 1418 se abrió un concurso para solucionar el problema de la
cúpula. (HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100) El
problema consistía en construir una cúpula sin recurrir a los arcos exteriores de descarga.
Brunelleschi lo consiguió empleando las técnicas de los romanos, colocando los ladrillos en forma
de espina de pescado, con lo que actuaba como estructura de carga. (BUSSAGLI, Filippo
Brunelleschi, p.222) Además, la cúpula tenía que ser adaptada al estilo gótico de la catedral.
(HOFFMANN, HUTH, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi Domkuppel, pp.97-100)
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Sin Resaltar
La maqueta de Brunelleschi ganó el concurso gracias a que fue el único de todos los
competidores que afirmó poder realizar el proyecto sin necesitar la habitual cimbra. Mientras los
demás concursantes construyeron sus maquetas con versiones a escala del andamiaje destinado
a sustentar y centrar la cúpula desde el centro, Brunelleschi desarrollo un sistema para hacer que
se sustentara por sí misma.
A ese efecto, diseñó un sistema que contaba con cuatro elementos: en primer lugar, la cúpula
octagonal con un doble cascarón, debiendo ser el interior lo suficientemente consistente para
sustentar el exterior, más ligero. Luego reforzó cada uno de los ocho lados de la misma con una
combinación de hileras de sillares y nervaduras resaltadas, cuya curvatura hacia la cúspide
aseguró mediante una serie de escantillones o maestras 2. Luego hizo que el espesor de ambos
cascarones fuera el suficiente para poder inscribir en ellos un círculo, dado que era de planta
octagonal. Por los estudios que había realizado sobre las construcciones con cúpulas históricas,
Brunelleschi sabía que una forma circular inscrita en una cúpula octagonal le confería a ésta las
mismas características que las propias de una esférica.
Con ello se compensaba la presión hacia el interior, de forma que, aparte del empuje hacia el
exterior que se registraba en su base, se trataba de una estructura autoportante. El mismo método
lo aplicó luego también a menor escala, es decir, en cada una de las hiladas de ladrillos, que
concibió como una serie de círculos perfectos que descansaban sucesivamente unos sobre otros.
Intercalando tramos regulares de ladrillos verticales en cada hilada, se sirvió de la fuerza de
sustentación de la hilada ya concluida, para que soportara la siguiente en construcción Los
intervalos eran tan cortos que los ladrillos dispuestos verticalmente podían soportar el peso de las
hiladas horizontales dispuestas entre ellos hasta el momento en que la siguiente hilada, provista a
su vez de sus correspondientes ladrillos en posición vertical, estuviese concluida y fuese, a su vez,
autoportante.
El efecto óptico de esta técnica se denominó: en espina de pez”, aunque inapropiadamente, ya
que el cambio alternativo de dirección solo se produce en determinados puntos y no
alternadamente en cada hilera y pieza. El resultado práctico fue que se ahorraron los enormes
cortes y pérdidas de tiempo que entrañaban la estructura de madera –cimbra- entonces usual
para sustentar cúpulas durante su construcción. (MCLEAN, La Arquitectura del Renacimiento
Temprano en Florencia e Italia central, pp. 100-102). Brunelleschi construyo la cúpula sin usar un
andamio al interior de la construcción, más bien coloco los andamios fuera de la catedral, que le
sirvieron de plataforma. Sobre este andamio le era posible transportar los materiales de
construcción con ayuda de grúas y cabrestantes.
Pero la pregunta más importante era: ¿Cómo se podía construir una cúpula de enormes
dimensiones sin que se derrumbara? Brunelleschi decidió construir una cúpula de dos capas, una
Con formato: Fuente: 11 pto
Con formato: Fuente: 11 pto, Cursiva
Con formato: Fuente: 11 pto
De acuerdo al Diccionario manual ilustrado de arquitectura , la maestra es un listón de madera que se
coloca a plomo u horizontal para que sirva de guía al construir una pared o pavimento.
2
19
Con formato: Español (España alfab. tradicional)
cúpula interior y una exterior. Entre las dos cúpulas se construyeron costillas de arco, en la que la
cúpula se “colgaba”. En el exterior se pueden apreciar ocho costillas, para que el interior no sea
visible.
Otro de los factores importantes para la construcción era el material de construcción; tenía que
ser ligero, para que la presión del arco y la carga en el área del muro aguantaran la carga. Al
mismo tiempo el material tenía que ser resistente, para soportar la presión. La respuesta fue el
ladrillo. Brunelleschi uso el ladrillo en el exterior de la espiga, ya que era más estable, para que la
mampostería se pudiera soportar por ella misma. Con esta nueva técnica, a Brunelleschi le fue
posible colocar una “corona del renacimiento” a una construcción sagrada del gótico, que fue la
cúpula más grande de ese tiempo. (Hoffmann,Huth, Die Überwindung der Gotik: Brunelleschi
Domkuppel, pp.97-100)
Capítulo III: Otras cúpulas con técnicas de construcción similares
Basílica de San Pedro
A lo largo de la historia se han construido al menos seis basílicas de San Pedro en el Vaticano. La
primera basílica fue la de Constantino, erigida entre el año 319 y el año 350. La estructura del
edificio, aunque con modificaciones y mejoras, permaneció básicamente inalterada, hasta que
en 1452, Nicolás V decidió renovarla parcialmente y encargo este proyecto a Bernardo Rossellino.
Pero poco pudo hacerse antes de la elección de Julio II, quien convoco a Donato Bramante,
quien optó por la planta de cruz griega. Su proyecto no se realizó. Hasta que, en el otoño de 1545,
tras una prolífica carrera en la corte de Mantua, Giulio Romano es nombrado arquitecto de las
obras de San Pedro. Acepta complacido el cargo, pero fallece pocos meses después.
Así, el anciano Miguel Ángel, que cuenta ya con 72 años de edad, recibe inesperadamente el
encargo de proseguir los trabajos en la basílica. Como punto de partida, Miguel Ángel recurrió al
primer plan de Bramante, aunque adaptado con su sensibilidad. (Libro renacimiento). Miguel
Ángel con su gran sensibilidad artística, decidió que San Pedro tenía que tener una planta central
con la cúpula en el centro para ser Jerusalén Celeste en piedra. (Hoffmann, Huth, 2004, pp.97100Libro arquitectura)). Los exteriores se elevaron hasta la cúpula, enrasando el tambor.
Para la planeación de la misma, Miguel Ángel recurrió, a poco de iniciar las obras, a los diseños de
la cúpula de Brunelleschi para Santa Maria del Fiore. A partir de ellos elaboró numerosas veces la
solución de la cúpula para optar finalmente por una curvatura realmente achatada, aunque
rematada con una alta linterna.
“Siguió con el esquema de Brunelleschi de dos cúpulas concéntricas, una al interior y otra al
exterior, unidas entre sí por tirantes y que contrapesan los empujes. En su parte interior se destaca
una luz surgida de las ventanas del tambor que dan una sensación de ingravidez, a pesar de su
monumentalidad. La del interior es más esférica, contribuyen a la sensación de altura su división en
especie de gallones pintados en franjas que guardan una perfecta simetría con bandas
horizontales concéntricas, con un fondo dorado que culmina en la gran apertura de luz situada en
la clave u óculo.” (Iesjorgejuan )
Diseñó una cúpula de grandes dimensiones con 131 metros de altura y 42 metros de diámetro.
(Masarteaun) Reducida en su anchura, los cargos exteriores de carga habrían creado la ilusión de
un alargamiento excesivo, mientras que la esfera en sí se habría convertido en un pesado
contrapunto. Esta interacción de momentos estáticos y dinámicos se habría prolongado en la
linterna. Y si, como subraya Alberti, la cúpula florentina “acogía bajo sí a todos los pueblos de la
Toscana”, la cúpula de Miguel Ángel lo habría hecho “con todos los cristianos”. (Hoffmann, Huth,
2004, pp.97-100libro)
20
Comentario [C9]: Me parece que se
repite
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Sin Resaltar
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10 pto, Sin Resaltar
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10 pto, Sin Resaltar
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10 pto
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10 pto, Sin Resaltar
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10 pto
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10 pto
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10 pto
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10 pto
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10 pto, Sin Resaltar
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
“Pero su grandiosidad se nota en el exterior. Para elevarla sitúa la cúpula sobre un gran tambor
esférico reforzado con contrafuertes o pilastras a las que se le adosan pares de columnas de
orden clásico a modo de adorno, el espacio comprendido entre dos contrafuertes es ocupado
por una ventana que como único adorno se le coloca un frontón triangular y curvo,
respectivamente. Sobre ella se monta la magistral cúpula, con mucha más nervatura que las ocho
de Brunelleschi. Nervios que sube desde cada uno de los respectivos contrafuertes. Para romper la
monotonía sitúa ventanales a lo largo de todo el casquete de la cúpula, de forma simétrica en
tres franjas horizontales paralelas entre sí. Remata la cúpula una enorme linterna que reproduce
de una forma parecida la disposición de la cúpula, alargando la linterna con pares de columnas
que sostienen la linterna” (Iesjorgejuan)
La base de la cúpula es un polígono regular de 16 lados, que de acuerdo con el teorema de
Gauss, es construible con regla y compas. Su sucesor, Giacomo della Porta, empero, realizaráa la
cúpula más empinada y reducirá en altura la linterna (lHoffmann, Huth, 2004, pp.97-100ibro).
La cúpula de Miguel Ángel sirvió de modelo a otras obras construidas con técnicas diferentes,
entre las cuales se encuentra la cúpula de Saint Paul en Londres (1675), la de Les Invalides en París
(1680-1691) y la neoclásica del Capitolio de Washington (1794-1817). (Iesjorgejuan)
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
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10 pto, Sin Resaltar
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10 pto, Sin Resaltar
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10 pto
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10 pto
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10 pto
Imagen VI: fotografía sin título de
descripción del trabajo, recuperada de
http://www.historiadelartemgm.com.ar/c
upulabasilicasanpedro.htm
21
Catedral de San Pablo de Londres
La catedral de San Pablo de Londres se construyó entre los años de 1676 y 1710, con la dirección
de Christopher Wren, arquitecto de origen inglés, famoso por sus trabajos de reconstrucción de las
iglesias de Londres tras el Gran Incendio de 1666.(Wikipedia). Esta iglesia es de las pocas iglesias
inglesas construidas después de la Edad Media y la única de estilo renacentista de todo el país.
(Wikipedia)
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Wren se enfrentó a un gran desafío: tenía que construir un domo que resaltara igual que lo hacía
el pico de la catedral en el cielo de Londres antes del incendio. Sin embargo, necesitaba crear un
sistema que se sostuviera entre sí, sin utilizar una cimbra. (Plus Magazine). Lo que hizo, fue lo que ya
dos siglos antes había logrado Brunelleschi y un siglo antes Miguel Ángel. (Wikipedia)
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10 pto
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10 pto
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
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10 pto
Imagen VII: fotografía sin título de descripción del
trabajo, recuperada de
http://www.historiadelartemgm.com.ar/cupulabasilica
sanpedro.htm
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Para poder construir una cúpula que resaltara por su altura optó por edificar un domo que por
dentro estaba sostenido por otra bóveda. Se inspiró en el diseño de la Basílica de San Pedro de
Miguel Ángel. (Wikipedia) Agrandó la distancia entre los dos domos, creando en ambos una curva
catenaria. La cúpula exterior destaca en los cielos de Londres, pero la interior tiene un tamaño
proporcionado al diseño del edificio. (Plus Magazine) Entre ambas curvas construyó una tercera,
la cual uniera la exterior con la interior y, aparte, sostuviera el peso dela linterna. (Wikipedia)
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Con formato: Centrado, Espacio
Después: 0 pto, Interlineado: sencillo
22
Con formato: Centrado, Espacio
Después: 0 pto, Interlineado: sencillo
Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
Imagen VIII: fotografía sin título de descripción del trabajo,
recuperada de http://www.explorestpauls.net/oct03/textMM/DomeConstructionN.htm
23
24
Basílica de Santa Maria della Salute
La cúpula principal de la Basílica de Santa Maria della Salute fue construida por el arquitecto
Baldassare Longhena a mitades del siglo XVII. La construcción supuso un reto técnico para la
arquitectura de ese tiempo, pero además significo un avance en las construcciones de cúpulas
de madera exteriores. (DomesInTheWorld) Es un edificio de planta octogonal, cubierto por una
majestuosa cúpula enlazada al tambor por medio de grandes y enrolladas volutas, con un
presbiterio regido por otra cúpula menor, como la cúpula de Brunelleschi (ArteHistoria). La
mampostería de la cúpula es extraordinariamente delgada. Está estaba formada por noventa y
seis costillas delgadas, hechas de capas de placas con juntas de dos niveles, pasando de un anillo
de madera situada en la cornisa exterior de la mampostería de obra, rodeada por un anillo de
metal en una altura que corresponde aproximadamente a las ancas de las costillas y que
convergen en un anillo superior en donde esta colocada la gran linterna. (DomesInTheWorld)
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10 pto, Color de fuente: Automático
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10 pto
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Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
Imagen IX: fotografía sin título de descripción del trabajo,
recuperada de http://www.seminariovenezia.it/informazioni
25
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
RESULTADOS GRAFICADOS
Cúpulas
Santa Maria del
Fiore de Fillipo
Brunelleschi
Basílica de San
Pedro
de
Miguel Ángel
Catedral
San Pablo
Christopher
Wren
Basílica
de
de
de
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto, Negrita, Mayúsculas
Semejanzas
Ladrillos en forma de espina
de pescado
Cúpula octagonal con un
doble cascaron
El
interior
era
lo
suficientemente
consistente
para sustentar el exterior, más
ligero.
Reforzó cada uno de los ocho
lados de la misma con una
combinación de hileras de
sillares
y
nervaduras
resaltadas, cuya curvatura
hacia la cúspide aseguro
mediante
una
serie
de
escantillones
Estructura autoportante.
Se ahorraron los enormes
cortes y pérdidas de tiempo
que entrañaban la estructura
de madera –cimbra-.
Dos cúpulas concéntricas, una
al interior y otra al exterior,
unidas entre sí por tirantes y
que contrapesan los empujes.
Un domo que por dentro
estaba sostenido por otra
bóveda,.
Base octagonal
26
Diferencias
El Renacimiento
1420-1433
Florencia
Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
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El Renacimiento
1547
El Vaticano
131
metros
de
altura y 42 metros
de diámetro.
Mucha
más
nervatura que las
ocho
de
Brunelleschi
La base de la
cúpula
es
un
polígono regular de
16 lados
El Barroco
1675-1720
Londres
curva catenaria
Entre ambas curvas
construyó
una
tercera, la cual
uniera la exterior
con la interior y,
aparte, sostuviera
el
peso
dela
linterna.
El Barroco
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Con formato: Espacio Después: 0
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Con formato: Espacio Después: 0
pto, Interlineado: sencillo
Santa
Maria
della Salute de
Baldassare
Longhena
La cúpula esta enlazada al tambor
por medio de grandes y enrolladas
volutas, con un presbiterio regido por
otra cúpula menor
1631-1687
Venecia
La
cúpula
esta
formada
por
noventa
y
seis
costillas delgadas
Con formato: Espacio Después: 0
pto, Interlineado: sencillo
Con formato: Espacio Después: 0
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Con formato: Fuente: Century Gothic,
10 pto
CONCLUSIÓN
Como conclusión del presente trabajo de investigación sobre las matemáticas en la arquitectura
de Santa Maria del Fiore en Florencia es importante mencionar que Filippo Brunelleschi fue uno de
los más grandes arquitectos de la época renacentista, gracias a sus innovadoras técnicas de
construcción. Brunelleschi logró construir una cúpula sobre un octágono. El octágono es un
polígono regular, que se puede construir, gracias a la prueba que se obtiene a través de los
números primos de Fermat; los cuales definen que un polígono regular se puede construir con
regla y compás .
Al concluir la investigación, se cumplió el objetivo general, el cual fue analizar el florecimiento que
tuvieron la matemáticas en el Renacimiento, en la cuestión arquitectónica. Asimismo cabe
recalcar que los objetivos específicos fueron también cumplidos, los cuales implicaban demostrar
la relevancia que tuvo la construcción de esta cúpula para la arquitectura de la época
renacentista y su trascendencia, revisar el contexto histórico de la construcción de este recinto,
describir los componentes arquitectónicos renacentistas de la catedral, explicar, a través de un
contexto matemático, los polígonos regulares en la arquitectura; la construcción a través de regla
y compás y la construcción del octágono e identificar obras arquitectónicas que tengan las
mismas características de la cúpula.
Tras revisar los antecedentes matemáticos del octágono y la arquitectura de Santa Maria del
Fiore, además de investigar y comparar la arquitectura de la cúpula de San Pablo en Londres, San
Pedro en el Vaticano y Santa Maria della Salute en Venecia, es posible confirmar la hipótesis de
que el diseño y la estructura de la cúpula de la catedral Santa María del Fiore en Florencia,
revoluciono la forma de construcción de bóvedas en otros recintos, debido al empleo de cálculos
matemáticos en la construcción.
BIBLIOGRAFÍA
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Con formato: Fuente:
(Predeterminado) Century Gothic, 10
pto
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