04 - Elementos de finitos de flexión de vigas

04 - Elementos de finitos
de flexión de vigas
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asistente
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
1
Contenido
●
Viga de Euler-Bernoulli
●
Viga de Timoshenko
–
Problema del bloqueo de por cortante (shear
locking)
–
Integración reducida
–
Imposición del campo de deformación por cortante
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Teoría de Euler-Bernoulli
●
●
●
Los desplazamientos verticales (flechas) de
todos los puntos de una sección transversal
son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
El desplazamiento lateral es nulo (esto es el
coeficiente de Poisson se asume cero).
Las secciones transversales normales al eje de
la viga antes de la deformación, permanecen
planas y ortogonales a dicho eje después de la
deformación.
3
4
Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo
de desplazamientos de un punto cualquiera se
puede escribir como:
5
Campo de deformaciones
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Campo de esfuerzos
Al reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero se
obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
Momento flector
Observe que aquí el momento
negativo produce tracción en
la fibra superior
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Momento flector
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Sentidos positivos de la carga
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PTV para vigas
+
+
11
12
+
+
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Ecuaciones diferenciales de la viga
de Euler-Bernoulli
+
-q
q es positiva
hacia arriba
+
Aquí se hace la
sumatoria de
momentos
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Elemento finito hermítico de dos nodos
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16
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O sea:
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Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite
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Curvatura en
el punto de
coordenada ξ
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+
+
Esta matriz coincide con aquella obtenida
por los métodos vistos en Estructuras III
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+
positivo hacia arriba
+
+
24
f
positivo hacia arriba
+
25
EJEMPLO
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Puntos óptimos para el cálculo de
esfuerzos y deformaciones
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flectores
Repaso de mínimos cuadrados
28
Puntos óptimos para el cálculo de
esfuerzos y deformaciones
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Propiedad de las raíces del
polinomio de Legendre
Suponga que tenemos un polinomio de grado n y
otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste
por mínimos cuadrados del anterior.
Ambos polinomios se intersectan en la ubicación
de las raíces del polinomio de Legendre de orden
n
30
31
Cuadraturas
de Gauss
Legendre
32
33
34
35
Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones
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Puntos óptimos para el cálculo de
esfuerzos y deformaciones
flectores
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La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko
La viga de Timoshenko aproxima mejor la
deformación real de la sección transversal de
vigas de gran canto que la teoría de EulerBernoulli. A medida que la relación longitud/altura
disminuye, las secciones transversales dejan de
conservarse planas después de la deformación.
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La viga de Timoshenko
●
●
●
Los desplazamientos verticales (flechas) de
todos los puntos de una sección transversal
son pequeños e iguales a los del eje de la viga.
El desplazamiento lateral es nulo (esto es el
coeficiente de Poisson se asume cero en
cuanto a la deformación lateral; G puede ser
diferente de E/2).
Las secciones transversales normales al eje de
la viga antes de la deformación, permanecen
planas pero no necesariamente ortogonales a
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dicho eje después de la deformación.
La hipótesis de Timoshenko supone tomar un giro medio de la
sección, de manera que a efectos prácticos pueda seguir
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considerándose plana.
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Campo de desplazamientos
De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo
de desplazamientos de un punto cualquiera se
puede escribir como:
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Campo de deformaciones
Por consiguiente la teoría de Timoshenko considera el44
efecto de la deformación angular
Campo de esfuerzos
Al reemplazar en la ley de Hooke
usando un coeficiente de Poisson igual cero en λ
pero uno diferente de cero en G se obtiene:
siendo los otros esfuerzos nulos.
Fuerza cortante y momento flector
Un momento negativo
produce tracción en
la fibra superior
-
-
-
Fuerza
cortante y
momento
flector
-
-
Principio de los trabajos virtuales
+
+
La energía virtual interna se puede expresar como:
-
Observe que solo se están utilizando las derivadas primeras
de la flecha y el giro, lo que permite la utilización de
elementos finitos de clase C0
Elementos finitos de dos nodos para
la flexión de vigas de Timoshenko
Integración exacta de las matrices
de rigidez
Integración con cuadraturas de GaussLegendre y singularidad de la matriz K
La técnica de integración reducida
Integración reducida de las matrices
de rigidez de cortante
Integración
exacta con 1
punto de GL
Integración reducida (1p GL)
Integración
reducida con
un punto de
GL
Integración exacta (2p GL)
NO USAR
EJEMPLO
K exacta
Kf Kc
Ejemplo
EulerBernoulli vs
Timoshenko
Integración reducida
Kc integrada con GL de orden 1
L=19m, h=0.01m
Shear locking
Integración exacta
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.01m
Integración reducida
Kc integrada con GL de orden 1
L=19m, h=0.4m
Integración exacta
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=0.4m
Integración reducida
Kc integrada con GL de orden 1
L=19m, h=2.0m
Integración exacta
Kc integrada con GL de orden 2
L=19m, h=2.0m
Elemento de viga de Timoshenko
cuadrático
Cálculo de la curvatura
Cálculo de la deformación por
cortante
Matrices de rigidez para el elemento de viga de
Timoshenko de tres nodos obtenidas con una
cuadratura de Gauss-Legendre de dos puntos