Teoría electromagnética de la Luz Ana Valeria Pitt

Teoría electromagnética de la Luz
Ana Valeria Pitt
Universidad acional de Salta
Introducción
A lo largo de muchísimos años los seres humanos se preguntaban qué era la luz, pero
no hubo respuesta hasta que se unificó la electricidad con el magnetismo en la disciplina
única del electromagnetismo, descripta por las ecuaciones de Maxwell.
La luz visible que emite el filamento incandescente de un foco es un ejemplo de onda
electromagnética; fuentes tales como las estaciones de radio y de televisión, los osciladores
de microondas para hornos y radar, las máquinas de rayos X y los núcleos radiactivos
producen otro tipo de ondas electromagnéticas.
En este trabajo utilizaremos las ecuaciones de Maxwell como base teórica para
comprender las ondas electromagnéticas. Veremos que estas ondas transportan tanto energía
como cantidad de movimiento. Se examinarán también los fenómenos de interferencia que
se producen cuando dos ondas se combinan. Además, veremos los conceptos de difracción,
polarización y dispersión luminosa.
Electromagnetismo
Si tenemos algún sistema con cargas y corrientes eléctricas, éste produce campos eléctricos
y magnéticos que pueden tener diversas configuraciones. Si se produce una brusca alteración de la
distribución de cargas y corrientes, se producirá una perturbación de los campos y esta
perturbación se propagará de una región a otra, tanto si el sistema está rodeado de medios
materiales, como si está en el vacío más absoluto. Estas perturbaciones son las llamadas ondas
electromagnéticas.
Ecuaciones de Maxwell
En conjunto, las ecuaciones de Maxwell constituyen una base completa de la relación de los
campos eléctricos y magnéticos con sus fuentes. Estas ecuaciones muestran que un campo
magnético que varía con el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico y viceversa. Estos
campos E y B se sustentan mutuamente y forman una onda electromagnética que se propaga a
tremenda velocidad a través del espacio.
1. Ley de Gauss de E:
∫ E • dA =
Qenc
ε
°
2. Ley de Gauss de B: ∫ B • dA = 0
dφE 

3. Ley de Ampere: ∫ B • dl = µ  ic + ε

°
° dt enc
− dφB
4. Ley de Faraday: ∫ E • dl =
dt
Ondas electromagnéticas planas y velocidad de la luz
Una onda electromagnética plana es aquella en la que en todo momento los campos son
uniformes en toda la extensión de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación.
Al aplicar las ecuaciones de Maxwell sobre esta onda se
obtienen los siguientes resultados: E = c ⋅ B y B = ε ⋅ µ ⋅ c ⋅ E
° °
La onda debe obedecer todas las ecuaciones de Maxwell,
esto sólo es posible si la velocidad es:
1
c=
≅ 3 ⋅ 108 m s
ε ° ⋅ µ°
(velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío)
Ondas electromagnéticas sinusoidales
En una onda electromagnética sinusoidal los campos E y B son funciones sinusoidales del tiempo
en cualquier punto del espacio, y en todo momento la variación espacial de los campos también es
sinusoidal. Las ondas electromagnéticas generadas por una carga puntual oscilante son un ejemplo de
ondas sinusoidales.
La frecuencia f , la longitud de onda λ y la rapidez de propagación c de cualquier onda
periódica guardan entre sí la relación c = f ⋅ λ
En todos los puntos la dirección del producto vectorial E × B
es la de propagación de la onda.
Las funciones de onda para esta onda electromagnética plana
sinusoidal que se propaga en la dirección + x son:
E y ( x, t ) = Emax ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t )
B z ( x, t ) = Bmax ⋅ cos (k ⋅ x − ω ⋅ t )
En donde E y ( x, t ) y Bz ( x, t ) son la representación de los valores instantáneos de la componente
y de E y de la componente z de B , Emax y Bmax son los valores máximos o amplitudes de estos
campos, ω es la frecuencia angular y k es el número de onda.
Ondas electromagnéticas en la materia: índice de refracción
En materiales no conductores (dieléctricos) la rapidez de la onda no es igual a c y se denota con
la letra v .
Para obtener la velocidad de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico es necesario sustituir
algunas constantes numéricas en las leyes de Maxwell. En la ley de Faraday basta con cambiar c por v .
En la ley de Ampere es necesario introducir la constante dieléctrica k y la permitividad del
dieléctrico ε . Además, es preciso sustituir la constante µ° por µ = km ⋅ µ° , en donde km es la
permeabilidad relativa del dieléctrico y µ es su permeabilidad.
Las nuevas ecuaciones son: E = v ⋅ B
v=
1
=
ε ⋅µ
1
1
⋅
=
k ⋅ km
ε ° ⋅ µ°
y
B = ε ⋅µ ⋅v⋅E
c
(velocidad de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico)
k ⋅ km
c
. Debido a que k es siempre menor que
k
uno, la rapidez de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico es siempre menor que la rapidez c en
1
el vacío por un factor de
.
k
La proporción de la rapidez c respecto a la rapidez v se conoce como el índice de refracción n
c
del material: n = = k ⋅ km ≅ k
v
En casi todos los dieléctricos km ≅ 1 , por lo que v =
Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas
Hay energía asociada con las ondas electromagnéticas. Las ecuaciones de las densidades de
energía en campos eléctricos y magnéticos muestran que, en una región del espacio vacío, donde están
presentes campos E y B , la densidad de energía total está dada por µ E + µ B :
1
B2
⋅ ε° ⋅ E 2 +
2
2 ⋅ µ°
Donde ε ° y µ° son, respectivamente, la permitividad y la permeabilidad del espacio libre. En el
caso de las ondas electromagnéticas en el vacío, la relación E, B es:
E
B = = ε ° ⋅ µ° ⋅ E
c
µ=
Combinando ecuaciones se obtiene otra expresión para µ en el vacío:
µ=
1
1
⋅ ε° ⋅ E 2 +
2
2 ⋅ µ°
(
ε ° ⋅ µ° ⋅ E
)2 = ε° ⋅ E 2
Esto demuestra que, en el vacío, la densidad de energía asociada con el campo eléctrico en una
onda simple es igual a la densidad de energía del campo magnético.
Flujo de energía electromagnética y vector de Poynting
Las ondas electromagnéticas son ondas viajeras que transportan energía de una región a otra y
llevan consigo la densidad de energía µ a medida que avanzan. Se puede describir esta transferencia
de energía en términos de la energía transferida por unidad de tiempo y por unidad de área de sección
transversal.
El volumen dV de la región en cuestión es A ⋅ c ⋅ dt y la energía dU de
esta región es el producto de la densidad de energía µ por este
(
)
volumen: dU = µ ⋅ dV = ε ° ⋅ E 2 ⋅ ( A ⋅ c ⋅ dt ) ; esta energía pasa a través del área
A en el tiempo dt . El flujo de la energía por unidad de tiempo y por unidad de
área S es:
S=
1 dU
⋅
= ε° ⋅ c ⋅ E 2
A dt
Combinando ecuaciones, se puede escribir:
S=
ε°
ε ° ⋅ µ°
⋅ E2 =
ε°
E⋅B
⋅ E2 =
µ°
µ°
Se puede definir una cantidad vectorial que describa tanto la magnitud como la dirección de la
rapidez de flujo de energía:
1
S =
⋅ E × B (vector de Poynting en un vacío)
µ°
En el caso de las ondas electromagnéticas sinusoidales los campos E y B en un punto cualquiera
varían con el tiempo, por lo que el vector de Poynting también es función del tiempo. Debido a que las
frecuencias de las ondas electromagnéticas típicas son muy altas, la variación del vector de Poynting
con el tiempo es tan rápida que lo más apropiado es examinar su valor promedio. Esta magnitud del
valor promedio de S en un punto se conoce como la intensidad de la radiación en ese punto
La magnitud del valor promedio de S en el caso de una onda electromagnética sinusoidal (la
intensidad I ) se puede expresar de la siguiente manera:
I = S prom =
Emax ⋅ Bmax
E2
1 ε
1
2
2
= max = ⋅ ° ⋅ Emax
= ⋅ ε ° ⋅ c ⋅ Emax
2 ⋅ µ°
2 ⋅ µ° ⋅ c 2 µ°
2
Espectro electromagnético
Las ondas electromagnéticas abarcan un espectro extremadamente amplio de longitudes de onda
y frecuencia.
Las ondas electromagnéticas pueden diferir
en términos de f y λ , pero la relación c = f ⋅ λ
se cumple en todos los casos en el vacío.
Por medio de nuestro sentido de la vista
podemos detectar directamente sólo un segmento
pequeño de este espectro. Este intervalo se conoce
como luz visible. Sus longitudes de onda fluctúan
entre 400 y 700nm, con frecuencias
correspondientes de aproximadamente 750 a 430 THz. La luz blanca ordinaria incluye todas las
longitudes de ondas visibles. La luz absolutamente monocromática con una sola longitud de onda es
una idealización imposible de lograr.
Dispersión
La luz blanca ordinaria es una superposición de ondas con longitudes de onda que abarcan todo el
espectro visible.
La rapidez de la luz en una sustancia material es diferente en el caso de longitudes de onda
diferentes. Por consiguiente, el índice de refracción n de un material depende de la longitud de onda
λ . Esta dependencia de la rapidez de la onda y de n respecto a λ recibe el nombre de dispersión.
λ
La longitud de onda en el material está dada por λ = °
n
En casi todos los materiales el valor de n disminuye al aumentar la longitud de onda y disminuir
la frecuencia; por lo tanto, n aumenta al disminuir la longitud de onda y aumentar la frecuencia. En un
material de este tipo, la luz de longitud de onda más larga es más rápida que la luz de longitud de onda
más corta.
Polarización: filtros polarizadores
Toda fuente real de luz contiene un número enorme de moléculas orientadas al azar, por lo que la
luz emitida es una mezcla aleatoria de ondas linealmente polarizadas en todas las direcciones
transversales posibles. La luz de este tipo se describe como luz no polarizada o luz natural. Para crear
luz polarizada a partir de luz natural se necesita un filtro polarizador.
El filtro polarizador más común para luz visible es un
material conocido como Polaroid. Este material contiene
sustancias que presentan dicroísmo, una absorción selectiva en la
que uno de los componentes polarizados se absorbe mucho más
intensamente que el otro.
Las componentes de E perpendiculares al eje de polarización
son absorbidas por el filtro y la luz que se transmite está
linealmente polarizada.
Interferencia de luz de dos fuentes
El término interferencia se refiere a toda situación en la que dos o más ondas se traslapan en el
espacio. Cuando esto ocurre, la onda total en cualquier punto del espacio y en todo momento está
gobernada por el principio de superposición: cuando se traslapan dos o más ondas, el desplazamiento
resultante en cualquier punto y en cualquier instante se halla sumando los desplazamientos instantáneos
que producirían en el punto las ondas individuales si cada una estuviera presente sola.
Interferencia constructiva y destructiva
En general, cuando las ondas provenientes de dos o más fuentes llegan a un punto en fase, la
amplitud de la onda resultante es la suma de las amplitudes de las ondas individuales. Esto se conoce
como interferencia constructiva.
Para que se produzca una interferencia constructiva en b, la diferencia
del trayecto correspondiente a las dos fuentes debe ser un múltiplo entero de
la longitud de onda:
r2 − r1 = m ⋅ λ ( m = ±1,±2,±3...... )
Cuando las ondas provenientes de las dos fuentes llegan a un punto exactamente medio ciclo
fuera de fase, la amplitud resultante es la diferencia entres las amplitudes individuales. Si las
amplitudes individuales son iguales, entonces la amplitud total es cero. Esta
cancelación total o parcial se conoce como interferencia destructiva.
1

r2 − r1 =  m +  ⋅ λ ( m = 0,±1,±2,±3...... )
2

Experimento de Thomas Young
Se dirige la luz hacia una pantalla con una ranura
estrecha S° , de aproximadamente 1 µm de ancho. La luz
que emerge de la ranura proviene sólo de una región
pequeña de la fuente luminosa, por lo tanto se comporta
como fuente idealizada (en las versionas modernas de
este experimento, se utiliza un láser como fuente de luz
coherente y la ranura S° no es necesaria).
La luz que emana de la ranura S° ilumina una
pantalla con otras dos ranuras estrechas S1 y S2 separadas por una pequeñísima distancia. A partir de
S° se propagan frentes de onda cilíndricos, los cuales alcanzan las ranuras S1 y S2 en fase. Las
interferencias de las ondas procedentes de estas ranuras crean un patrón en el espacio. Para visualizar
este patrón de interferencia, se coloca una pantalla de modo que la luz proveniente de S1 y S2 incida
sobre ella. Se observa que la pantalla está iluminada con intensidad máxima en los puntos donde las
ondas luminosas provenientes de las ranuras interfieren constructivamente, y se ve más oscuro en los
puntos donde la interferencia es destructiva.
Si suponemos que la distancia R de las ranuras a la pantalla es tan
grande en comparación con la distancia d entre las ranuras, entonces las líneas
de S1 y S2 a P serán prácticamente paralelas.
La diferencia de longitud de trayecto es entonces: r2 − r1 = d ⋅ senσ
Hay interferencia constructiva en los puntos donde la diferencia del
trayecto es un número entero de longitud de onda: d ⋅ senσ = m ⋅ λ
De modo análogo, habrá interferencia destructiva si la diferencia da un
1

número semientero de longitud de onda: d ⋅ senσ =  m +  ⋅ λ
2

Difracción
Cuando pasa luz a través de una abertura o a través de un borde, las diferencias debidas a la
combinación de muchas ondas luminosas se conocen como difracción.
Cuando la fuente y el observador se hallan tan lejos de la
superficie obstructora como para considerar como paralelos los
rayos salientes, se produce una difracción de Fraunhofer. Cuando
la fuente y el observador están relativamente cerca del obstáculo,
se tiene una difracción de Fresnel.
Intensidad en la difracción de una sola ranura
La luz monocromática que pasa a través de una ranura angosta de ancho a
produce un patrón de difracción en una pantalla distante. La ecuación
m⋅λ
establece la condición para que haya interferencia destructiva en un
senσ =
a
sen[π ⋅ a ⋅ (senσ )]
2
λ
punto P del patrón a un ángulo σ . La ecuación I = I° ⋅
π ⋅ a ⋅ (senσ )
{
}
λ
proporciona la intensidad en el patrón en función de σ .
Ranuras múltiples: rejilla de difracción
Una rejilla de difracción consiste en un gran número de ranuras finas
paralelas, espaciadas una distancia d . La condición para que se alcance la
intensidad máxima en el patrón de interferencia es la misma que en el caso del
patrón de dos fuentes, pero los máximos producidos por la rejilla son muy
marcados y angostos.
d ⋅ senσ = m ⋅ λ (máximos de intensidad, ranuras múltiples)
Aberturas circulares
Un patrón de difracción producido por una abertura circular de
diámetro D consiste en una mancha central brillante, llamada disco
de Airy, y una serie de anillos concéntricos oscuros y brillantes.
La ecuación senσ1 = 1,22 ⋅
λ
proporciona el radio angular σ1
D
del primer anillo oscuro. Los radios angulares de los dos anillos
oscuros siguientes son senσ 2 = 2,23 ⋅
λ
y senσ 3 = 2,24
λ
.
D
D
Entre estos hay anillos brillantes con radios angulares dados
por senσ = 1,63 ⋅
λ
D
; 2,68 ⋅
λ
D
; 3,7 ⋅
λ
D
y así sucesivamente.