Agosto - Aprende Matemáticas

Matemáticas
Posteadas en
la Red
Por José Acevedo Jiménez, ago. 2014.
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Aprende, Investiga, Divulga.
Jugando con números perfectos.
Hoy es 28 de agosto, 28...y, es precisamente de tal número del que hablaremos
en esta entrada. Bueno, no exactamente del 28. Más bien hablaremos del
conjunto al cual pertenece, los números perfectos.
En matemáticas, se dice que un número es perfecto si se puede expresar como la
suma de todos sus divisores propios (no se incluye el número dado). Tales
números, aparte de la que los define, poseen ciertas propiedades muy
interesantes; una de ellas se muestra en la imagen del post.
Dado un número perfecto ( ), la suma de los inversos de todos sus divisores
(incluido el propio número) es siempre igual a 2. Independientemente del número
perfecto.
Los primeros números perfectos son: 6, 28, 496, 8128. Todos los números
perfectos pares están relacionados con los números primos de Mersenne. En lo
que concierne a los impares, no se tienen noticias de su existencia. Otra cuestión
sin resolver es si existen infinitos números
.¡Números muy interesantes esos
perfectos, no les parece!
Dato matemático: axiomas de Peano.
Los cinco axiomas de Peano son:
a) El 1 es un número natural.
b) Si (a) es un número natural, entonces el sucesor de (a) también es un número
natural.
c) El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
d) Si hay dos números naturales (a) y (b) con el mismo sucesor, entonces (a) y (b)
son el mismo número natural.
e) Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el
sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los
números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el principio de la inducción
matemática.
Existe un debate sobre el cero, muchos matemáticos lo consideran un número
natural y otros lo excluyen de dicho conjunto. Si el cero es considerado un natural,
entonces en los axiomas de Peano donde tenemos el 1 lo cambiamos por el 0.
Recordando:
Un axioma es una proposición clara y evidente que no necesita ser demostrada.
Axiomas vistos en: www.ecured.cu/
Dato matemático: la curva de Peano.
La curva de Peano (ver imagen) fue creada por el matemático italiano Giuseppe
Peano en 1890. Dicha curva es considerada el primer ejemplo de fractal. Es una
curva continua que cubre todo el plano.
Fuente de la imagen: pt.wikipedia.org
27 de agosto, natalicio de Giuseppe Peano (1858 - 1932).
El matemático y filósofo italiano Giuseppe Peano nació en Cuneo, Italia, el 27 de
agosto de 1858.
Peano, en 1890, concibió la curva (fractal) que lleva su apellido, el primer ejemplo
de fractal. En aritmética, ideo un conjunto de axiomas que permiten definir los
números enteros positivos o naturales (axiomas de Peano).
Fuente de la imagen:people.sissa.it
26 de agosto, natalicio de Johann Heinrich Lambert (1728
- 1777).
El matemático, astrónomo, físico, y filósofo Johann Heinrich Lambert nació en
Mulhouse, Francia, el 26 de agosto de 1728.
Lambert fue miembro de la academia de ciencias de Berlín. En matemáticas,
demostró que el número pi es irracional.
Fuente de la imagen: desciclopedia.org
Caracol.
Encontraste la manera de crecer en proporción. La espiral es el secreto, del
hermoso caracol.
La curva que dibujas en tu frágil cascarón; es pura geometría, divina creación.
La próxima vez que veas un simple caracol: detente, aunque sea un instante, y
mira la naturaleza en todo su esplendor.
Escrito por: José Acevedo Jiménez (JAJ).
www.aprendematematicas.org.mx/
Fuente de la imagen: JAJ.
Conjetura de Andrica.
Dorin Andrica en un artículo titulado: Note on a conjecture in prime number theory
(1986), expuso la hoy conocida como conjetura de Andrica. Dicha conjetura,
afirma que la diferencia entre las raíces de dos números primos consecutivos es
siempre menor que 1 (ver imagen del post).
Recordando: una conjetura, en matemática, es una afirmación que se supone
cierta, pero, sin pruebas que la confirmen o la refuten.
Paradoja: el primer día de clases.
Un maestro, para poder descansar un día más, planteó la siguiente propuesta a
sus colegas:
- Sugiero que el primer día de escuela no demos clases, así los alumnos tendrán
un día más para descansar y nosotros para organizarnos. – Dijo, muy confiado en
que sus compañeros no pondrían objeción.
- Pero, si dejamos de asistir, sólo porque es el primer día de escuela, entonces
nunca entraremos…pues, el que debió ser el segundo día de escuela se
convertirá en el primero y por lo tanto no debemos asistir y así sucesivamente
hasta acabar el año escolar. – Dedujo uno de los maestros presentes.
Para relajarse un poco.
Navegando en la red, encontré esto. La verdad me hizo reír, lo comparto con
ustedes... a ver si consigo el mismo efecto.
Fuente de la imagen: yastas.wordpress.com
12,345,678,987,654,321: un número interesante.
El ing. Iván Morel, en su muro de Facebook, dio entrada al número:
12,345,678,987,654,321. Como indicó el ing. Morel, el número
12,345,678,987,654,321 es muy interesante. Sus propiedades así lo confirman:
1) Es un número pandigital (contiene los dígitos del 0 al 9), en este caso es un
pandigital sin cero.
2) Es un palíndromo o capicúa , pues se lee de igual manera de izquierda a
derecha que de derecha a izquierda.
El número en cuestión, es el resultado de elevar al cuadrado el número
(111,111,111), que es un número repunit (número que contiene sólo 1 como
dígitos)
Las propiedades aquí vistas, sólo se cumplen al hacer uso del sistema decimal,
base diez. Por tal razón, matemáticamente hablando, se dice que son triviales.
Pero, eso no significa que la mismas no sean interesantes.
Para hacer en casa:
Se recomienda elevar al cuadrado todos los número repunit (desde el 11,
siguiendo con 111, hasta el 111,111,111). ¡Curioso resultado, no les parece!
En agradecimiento al ing. Iván Morel, por compartir con un servidor el entusiasmo
que siente por los números.
Jugando con números dúoperfectos.
Un número es dúoperfecto
si es el doble de un número perfecto
imagen del post se muestra una de las propiedades de los números
En la
Ejemplos:
12 es un número
, sus divisores
entonces:
son: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Recordando:
Dados los divisores propios de un número
Si la suma de todos los divisores
propios es igual al número dado, entonces
es un número perfecto.
Los primeros números perfectos son: 6, 28, 496. Estos cumplen una propiedad
similar, que resulta ser la misma constante para todos los números perfectos. Tal
propiedad, que generalizaremos, la veremos en otra entrada.
Probando que:
Número primo de Mersenne.
Número dúoperfecto.
Número perfecto.
Divisores de .
Por lo tanto:
18 de agosto, natalicio de Brook Taylor (1685 - 1731).
El matemático británico Brook Taylor nació en Edmonton, Middlesex, Inglaterra, el
18 de agosto de 1685.
Taylor estudió matemáticas con John Machin y John Keill. Realizó importantes
contribuciones al Cálculo, entre tales se encuentran: el desarrollo la serie de
Taylor, la teoría de diferencias finita, y el teorema que lleva su nombre. El método
de integración por partes fue inventado por Taylor.
En 1708 demostró el problema del "centro de oscilación", este fue su primer
trabajo de importancia dentro de las matemáticas.
Fuente de la imagen: www.biografiasyvidas.com
21 de agosto, natalicio de Augustin Louis Cauchy (1789 1857).
El matemático francés Augustin Louis Cauchy nació en París, Francia, el 21 de
agosto de 1789.
Con 26 años Cauchy pudo demostrar un problema (teorema del número poligonal
de Fermat) que había vencido a grandes matemáticos como Euler y Gauss. En
vida, publicó 789 trabajos de diversos temas relacionados con las matemáticas.
Cauchy fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También
investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones
diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Fuente de la imagen: www-history.mcs.st-and.ac.uk
Medalla Fields (2014): la conquista inolvidable.
Fuente de la imagen: listas.20minutos.es
Cada cuatro años, la Unión Matemática Internacional (IMU, por sus siglas en
inglés) otorga la Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en
Matemáticas (mejor conocida como: Medalla Fields, nombrada en honor a John
Charles Fields). Tal distinción, se les concede a matemáticos (uno o más) que
hayan realizado algún aporte significativo en el campo de las matemáticas (el
galardonado no debe superar los 40 años de edad). Ante la carencia de Premio
Nobel de Matemáticas, muchos consideran la Medalla Fields como el equivalente
del prestigioso galardón nobeliano.
El finlandés Lars Ahlfors (1907 – 1996) y el estadounidense Jesse Douglas (1897
– 1965), fueron los primeros en ganar tan alta distinción en 1936. Cada cuatro
años, bajo los auspicios de la Unión Matemática Internacional, los matemáticos de
todo el mundo (la crema y nata) se reúnen en un congreso para tratar temas de
trascendencia, dicha ocasión se aprovecha para otorgar la Medalla Fields.
El congreso del 2014 (celebrado en Seúl, Corea del Sur) sencillamente será
inolvidable, por ser el primero donde una mujer, Maryam Mirzakhani (Irán), y un
latinoamericano, Artur Ávila (Brasil), consiguieron alzar el prestigioso galardón. En
lo personal, recordaré siempre el 2014 como el año que las mujeres y los latinos
conquistaron por primera vez la Medalla Fields, el Seulazo.
17 de agosto, natalicio de Pierre de Fermat (1601 - 1665).
Fuente de la imagen: covacha-matematica.blogspot.com
Información copiada de: Hablemos de Números y Matemáticos (autor: José Acevedo Jiménez).
Pierre de Fermat, nació en Beaumont de Lomagne, Francia, el 17 de agosto del
1601, fue un abogado de profesión que dedicó su tiempo libre al estudio de las
matemáticas, pese a ser un aficionado, Fermat fue uno de los principales
matemáticos del siglo XVII.
El nombre de Fermat está eternamente aunado a uno de los teoremas más
famosos y estudiado de las matemáticas, el llamado último teorema de Fermat,
que trajo de cabeza a los matemáticos por más 300 años, hasta su demostración
por el matemático británico Andrew Wiles en el 1995.
El genio de Fermat se extinguió el 12 de enero del 1665 en Castres, Francia.
Los nombres de matemáticos sobresalientes han sido dados a cráteres de la luna,
así que la próxima vez que mires al cielo y contemples la luna piensa que quizás
estas observando a uno de los grandes.
14 de agosto, natalicio de Julio Rey Pastor (1888 - 1962).
El matemático español Julio Rey Pastor nació en Logroño, España, el 14 de
agosto de 1888.
Rey Pastor fue uno de los matemáticos españoles más importantes de su tiempo
y, miembro fundador de la Sociedad Matemática Española. En vida, publicó una
treintena libros, de texto y también de divulgación.
Fuente de imagen: desequilibros.blogspotcom
16 de agosto, natalicio de Arthur Cayley (1821 - 1895).
El matemático británico Arthur Cayley nació en Richmond, reino Unido, el 16 de
agosto de 1821.
Cayley fue uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. En
matemáticas, varios conceptos llevan su apellido.
Fuente de la imagen: www.thefamouspeople.com
15 de agosto, natalicio de Luis de Broglie (1892 - 1987).
Fuente de la imagen: www.spaceandmotion.com
El físico teórico y príncipe francés Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie nació
en Dieppe, Francia, el 15 de agosto de 1892.
A de Broglie se le concedió el Premio de Física (1929), por descubrir la naturaleza
ondulatoria del electrón (dualidad onda-corpúsculo).
A propósito del natalicio de Schrödinger.
Físico - sabes que hoy bebí leche y comí carne de la misma vaca, todo al mismo
tiempo.
Profano - pero, si vaca muerta no da leche y la viva no da carne. ¿Cómo pudiste
realizar ambas acciones a la vez?
Físico – simple, la mía es una vaca cuántica.
Fuente de la imagen: es.wikipedia.org
12 de agosto, natalicio de Erwin Schrödinger (1887 1961).
El físico y ganador del Premio Nobel austríaco
Erwin Schrödinger nació en Viena el 12 de agosto de 1887.
Schrödinger desarrolló las ecuaciones que llevan su apellido, gracias a las mismas
obtuvo el Premio Nobel de Física en 1933. Las contribuciones principales de
Schrödinger se dieron en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica.
Fuera de los círculos científicos, su nombre se conoce más por el experimento
mental que concibió en 1935 (el gato de Schrödinger o paradoja de Schrödinger).
El gato que no tiene nombre, pero si dueño, es el más famoso de la ciencia. ¡Será
porque no está vivo, pero tampoco muerto!
Fuente de la imagen: loffit.abc.es
Una ramita muy peculiar.
El número pi, ese trascendental, parece estar en todas partes. Incluso en una
pequeña rama seca.
Claro, una cosa es el concepto de número y otra es el símbolo que usamos para
representarlo. Pero, la unión que existe entre la idea y el símbolo es tan fuerte que
a veces resulta difícil desligarlos.
Hace unos días, de camino al trabajo, encontré una ramita que, dada su forma, no
pude dejar de asociarla con el famoso irracional. Al ver la imagen podrán juzgar
ustedes el parecido. Aunque tal pareidolia puede resultar bastante común, la
ocasión resulta propicia para que un amante de los números, bien conocida es mi
afición, transmita su sentir a través de una simple, pero, peculiar ramita.
10 de agosto, natalicio de George Alexander Pick (1859 1942).
Fuente de la imagen:blogs.20minutos.es
George Pick fue un matemático austriaco, nació en Viena el 10 de agosto de 1859.
Pick descubrió la relación que existe entre los nodos de una cuadrícula y el área
de un polígono dibujado sobre la misma (teorema de Pick).
Teorema de Pick:
Dado un polígono simple, dibujado sobre una superficie cuadriculada de modo tal
que a los vértices le correspondan coordenadas enteras. Si (I) es el número de
puntos enteros en el interior del polígono y (B) es el número de puntos enteros en
el borde, entonces el área (A) del polígono se puede encontrar mediante la
fórmula:
Test de primalidad.
No es más que una prueba que se hace mediante algún algoritmo, método o
fórmula, etc. para determinar si un número es primo o no.
8 de agosto, natalicio de Roger Penrose.
El matemático y físico inglés Roger Penrose nació en Essex, Inglaterra, el 8 de
agosto de 1931.
Sir Roger Penrose es miembro de la Royal Society. La teselación de Penrose se
nombra así en su honor.
Fuente de la imagen: naukas.com
8 de agosto, natalicio de Paul Dirac (1902 - 1984).
El físico (teórico) británico Paul Dirac nació en Brístol, Inglaterra, el 8 de agosto de
192.
Dirac realizó importantes contribuciones a la mecánica cuántica. Al igual que
Newton y otros matemáticos importantes, Ocupó la Cátedra Lucasiana de
matemáticas (Universidad de Cambridge).
Fuente de la imagen: www.awesomestories.com
6 de agosto, natalicio de John Wilson (1741 - 1793).
El matemático inglés John Wilson nació en Westmorland, Inglaterra, el 6 de agosto
de 1741.
A Wilson se le recuerda por el teorema que lleva su apellido. El matemático inglés
anotó la deducción sin dejar una constancia de su demostración. En su honor,
también se nombran los números primos de Wilson (a la fecha, sólo se conocen
tres: 5, 13 y 563). Un número primo
es de Wilson si
divide a:
¿Cuál de las opciones es la más lógica?
Fuente de la imagen: florinrosoga.ro
Respuesta: 4
5 de agosto, natalicio de Niels Henrik Abel (1802 - 1829).
El célebre matemático Niels Henrik Abel nació en Finnöy, Noruega, el 5 de agosto
de 1802.
Pese a su corta vida, Abel se convirtió en uno de los más grandes matemáticos de
todos los tiempos. Abel (27 años) y Galois (20 años) son considerados los
matemáticos de la historia.
En la época de Abel, varios matemáticos trataron de resolver o buscar un método
general que les permitiera resolver ecuaciones de quinto grado, ejemplo:
, para valores enteros de:
diferente de cero, tales esfuerzos no tuvieron éxitos, pues imposible encontrar un
método general que permita resolver ecuaciones de quinto grado. Fue Abel (a los
19 años de edad) quien finalmente demostró que es imposible alcanzar tal fin por
medio de métodos algebraicos.
Fuente de la imagen: www.biografiasyvidas.com
4 de agosto, natalicio de William Rowan Hamilton (1805 1865).
Fuente de la imagen: whatever123.glogster.com
El matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton nació en Dublín,
Irlanda, en 1805.
Sir Hamilton descubrió los cuaterniones (extensión de los números reales). Según
contó, alguna vez, el propio Hamilton, la idea de los cuaterniones le llegó mientras
paseaba por el puente de Brongham; sin perder tiempo, el matemático haciendo
uso de su navaja grabó sobre una roca la genial y trascendental idea. Aunque la
idea surgió de manera súbita aquel feliz día de 1843, la verdad es que Hamilton
llevaba algún tiempo pensando en el problema.
A propósito del natalicio de Venn, ¿les recuerda algo la bandera de
los juegos olímpicos?
Fuente de la imagen: blogs.20minutos.es
4 de agosto, natalicio de John Venn (1834 - 1923).
El matemático y lógico británico John Venn nació en Hull, Yorkshire, el 4 de julio
de 1834.
A Venn, se le recuerda, principalmente, por los diagramas (de trazos cerrados)
usados en la teoría de conjuntos que llevan su apellido (diagramas de Venn).
Fuente de la imagen: tr.wikipedia.org
Tau: Doble y Rival.
Los números son entes abstractos y, por lo tanto carecen de actitudes y
sentimientos propios de los seres vivientes. Cada número es único y especial, no
existen dos números iguales. La idea de número se asocia a un carácter que es
usado para representar una cantidad o valor que es único e irrepetible en la recta
de los números.
En los últimos años, el número tau ha emergido de las sombras con la intención
de destronar al que, hasta ahora, ha sido el niño mimado de los matemáticos, ¡así
es, amigos! nos referimos al número pi. Pero, por qué, en este párrafo, hablamos
de los números como si fueran personas haciendo un contraste con el primero.
Pues bien, a medida que avancemos conoceremos la razón.
Tau
El número tau es una constante matemática que equivale a dos veces el número
pi. Su valor aproximado es: 6.2831853… hasta el infinito (es un número irracional).
Algunos matemáticos sugieren que tau debe sustituir a pi como constante, su
principal argumento es que el radio es el elemento que mejor define al círculo y no
su diámetro. El diámetro de un círculo es el segmento que conecta dos puntos de
la circunferencia y que pasa por su centro. La recta que va desde cualquier punto
de la circunferencia hasta el centro del círculo es lo que se conoce como radio; el
diámetro es igual a dos veces el radio.
Pi
El número pi se define como la relación que existe entre la longitud de una
circunferencia dada y su diámetro (geometría euclideana). Tal constante, una de
las más recurrentes en la naturaleza, es de gran importancia para los
matemáticos, físicos e ingenieros. El valor aproximado de pi, que es un número
irracional (no se puede expresar como cociente de dos números enteros), se
conoce desde hace milenios. Sus primeros dígitos son: 3.141592653589… hasta
el infinito. Como ya dijimos, pi es la relación entre la longitud de una circunferencia
dada y su diámetro. Sin embargo, no es la única forma de definir al número
trascendental, pues, se puede definir de otras maneras, entre tales, podemos
incluir fracciones continuas y series de potencias.
Tau vs pi.
Algunos matemáticos, entre los que se encuentran: Bob Palais, Michael Hartl,
Peter Harremoes, entre otros, han propuesto a tau como constante circular para
sustituir a pi. Y es que, según ellos, el uso de tau es más natural y ofrece algunas
ventajas respecto a pi. Una de las ventajas propuestas es que 2pi o sea tau
aparece en varias fórmulas, entre tales se encuentra la transformada de Fourier.
Bob Palais, precursor en la iniciativa de cambiar tau por pi, en su artículo: “pi is
wrong” (2001), presenta una serie de argumentos a favor de la propuesta.
Tau o el doble de pi se ha convertido en el enemigo natural del que, hasta hoy, ha
permanecido como rey absoluto de las constantes, el número pi. Los defensores
de tau han iniciado una lucha a muerte súbita que no acabará hasta que una de
las dos constantes sea eliminada de la memoria de los mortales para siempre.
Si bien es cierto que, en algunos casos, tau ofrece una que otra ventaja sobre pi y
que aparece con cierta periodicidad en algunas fórmulas matemáticas, no menos
cierto es que, al ser el diámetro un elemento definido de las matemáticas (al igual
que el radio), la definición de pi es correcta y también válida. Queda a opción de la
persona cuál constante debe usar. Como dijimos al principio de este escrito, los
números carecen de personalidad y cada uno es único y especial. En el caso de
los reales, están ahí ocupando un lugar y solo uno en la recta numérica. Los
números no hacen la guerra o se pelean entre sí, obvias son las razones, pero
como entes existentes en la mente del ser humano no pueden escapar a los vicios
del mismo.