Objetivos UNIDAD VII Integración numérica

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Integración numérica
Objetivos
UNIDAD VII Integración numérica
duración
Contenido temático
3 hrs.
objetivos
•
7.1Regla Trapezoidal
7.2 Regla de Simpson 1/3
7.3 Regla de Simpson 3/8
•
•
Definir el concepto de integración
numérica
Aplicar los métodos de integración para
la solución de un problema
Definir, reconocer y aplicar lo métodos
de integración:
o Regla trapezoidal
o Regla de Simpson 1/3
o Regla de Simpson 3/8
Bibliografía del tema
Burden, pp. 166 a 248capítulo 4
Chapra, pp. 601 a 700 parte 6: capítulos 21 a 24
Gerald, pp. 354 a 447 capítulo 5
Maron, pp. 353 a 436 capítulo 7
Nakamura, pp. 109 a 145 capítulo 4
Nieves, pp. 393 a 465: capítulo 6
NGJ/v06
Unidad VII
1
Métodos numéricos y álgebra lineal
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Integración numérica
7 Integración numérica
INTRODUCCIÓN
b
A=
A
∫ f ( x)dx
a
Representación gráfica de la integral de f(x) entre
los límites (a,b).
La integral es equivalente al área bajo la curva
Las fórmulas de integración de Newton – Cotes son los métodos de integración más
comunes. Se basan en reemplazar una función complicada p datos tabulados con una
función aproximada (ajustada) que sea fácil de integrar.
b
I = ∫ f ( x)dx ≅
a
donde f n ( x ) = a0 + a1 x + a1 x + ....... + an − a x
2
n−a
b
∫f
n
( x)dx
a
+ an x n donde n es el grado del polinomio.
Aproximación de una integral como el área bajo a) línea recta,
b) parábola
NGJ/v06
Unidad VII
2
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Integración numérica
7.1 Regla Trapezoidal
Fórmulas de integración: Newton – Cotes
Trapecio:
Área del trapecio =
altura x promedio de base
Área del trapecio =
base x promedio de altura
b
I=
∫
b
f ( x)dx ≅
a
I = (b − a )
Error aproximado: Et = −
NGJ/v06
∫ f ( x)dx
1
a
f (b) + f (a )
2
1
f ´´(ξ )(b − a )3
12
Unidad VII
3
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Integración numérica
Aplicación múltiple de la regla trapezoidal
Si h =
b−a
donde n es el número de intervalos:
n
Dos segmentos
Tres segmentos
Cuatro segmentos
I=
x1
∫ f ( x)dx
a
I =h
Cinco segmentos
+
x2
∫ f ( x)dx
x1
+
x32
∫ f ( x)dx
b
+ ........
x2
∫ f ( x)dx
x n −1
f ( x 2 ) + f ( x3 )
f ( x n −1 ) + f (b)
f (a) + f ( x1 )
f ( x1 ) + f ( x 2 )
+h
+h
+ ........ + h
2
2
2
2
I≅
n −1
h⎡
f
(
a
)
2
f ( xi )
+
∑
2 ⎢⎣
i =1
⎤
+ f (b)⎥
⎦
(b − a)3
Error estimado: Et = −
f ´´(ξ ) donde f ´´(ξ ) =
12n 2
∑ f ´´(ξ )
1
n
Por lo tanto, el método trapezoidal se basa en el ajuste de una línea recta.
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Unidad VII
4
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Integración numérica
7.2 Regla de Simpson
Simpson 1/3
Ajuste de una parábola: cuadrática
Regla de Simpson 1/3 consiste en tomar el
área bajo una parábola que conecta tres
puntos.
LAGRANGE:
P2 ( x) =
(x − x 0 )(x − x 2 )
(x − x0 )(x − x1 )
(x − x1 )(x − x 2 )
f (x 0 ) +
f ( x1 ) +
f (x )
(x1 − x0 )(x1 − x 2 )
(x 2 − x0 )(x 2 − x1 ) 2
(x 0 − x1 )(x 0 − x 2 )
⎡ ( x − x1 )( x − x 2 )
⎤
(x − x0 )(x − x1 )
(x − x0 )(x − x1 )
I = ∫⎢
f ( x0 ) +
f ( x1 ) +
f ( x 2 )⎥ dx
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
⎦
x0 ⎣
x 0 − x1 = cons tan te
como:
tienen la misma distancia
x1 − x 2 = cons tan te
entonces:
h
b−a
I ≅ [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 )] donde h =
3
2
x1
I≅
Error aproximado: Et
h
[ f (a ) + 4 f (x1 ) + f (b )]
3
5
(
b − a)
=−
f iv (ξ ) más exacta
2880
Aproximaciones múltiples:
n −1
n−2
⎤
h⎡
I ≅ ⎢ f (a) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f (x j ) + f (b)⎥
3⎣
i =1, 3, 5
j = 2, 4, 6
⎦
Error aproximado: Et
NGJ/v06
5
(
b − a)
=−
180n
4
h=
b−a
n
f iv (ξ )
Unidad VII
5
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Integración numérica
Regla de Simpson 3/8
Ajuste de una parábola: cuadrática
Regla de Simpson 3/8 consiste en tomar el área
bajo una ecuación cúbica que conecta cuatro
puntos.
LAGRANGE:
(x − x1 )(x − x 2 )(x − x3 )
(x − x 0 )(x − x 2 )(x − x3 )
f (x0 ) +
f (x )
(x0 − x1 )(x0 − x 2 )(x0 − x3 )
(x1 − x0 )(x1 − x 2 )(x1 − x3 ) 1
(x − x0 )(x − x1 )(x − x 2 )
(x − x 0 )(x − x1 )(x − x3 )
f (x 2 ) +
f (x )
+
(x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x 2 ) 3
(x 2 − x0 )(x 2 − x1 )(x 2 − x3 )
P2 ( x) =
I≅
Error aproximado: E t
NGJ/v06
3h
[ f (a ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (b )]
8
5
(
b − a)
=−
6480
f v (ξ ) más exacta
Unidad VII
6
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Integración numérica
7.3 Ejemplos de integración
Utilizando todos los métodos integrar numéricamente:
f ( x) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 en el intervalo [0,0.8]
Solución:
1) Analíticamente:
∫ (0.2 + 25 x − 200 x
)
0.8
2
+ 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 dx
0
0.8
25 2 200 3 675 4 900 5 400 6
= 0 .2 x +
x −
x +
x −
x +
x
2
3
4
5
6
0
= 1.640533
2) Regla Trapezoidal:
x
0
0.8
f (x )
0.2
0.232
0.2 + 0.232
I ≅ (0.8 − 0 )
≅ 0.1728
2
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I = (b − a )
Unidad VII
f (b) − f (a )
2
7
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Integración numérica
Error absoluto: Ea = 1.640533 − 0.1728 = 89.5%
1.640533
Error aproximado:
f ( x) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
f ´(x) = 25 − 400 x + 2025 x 2 − 3600 x 3 + 2000 x 4
f ´´(x) = −400 + 4050 x − 10800 x 2 + 8000 x 3
∫ (− 400 + 4050 x − 10800 x
)
0.8
f ´´(x) =
Ea = −
0
2
+ 8000 x 3 dx
= −60
(0.8 − 0)
1
(− 60)(0.8 − 0)3 = 2.56 más exacto
12
3) Trapezoidal múltiple
a. 2 segmentos: h = 0.4
x
0
0.4
0.8
f (x )
0.2
2.456
0.232
I≅
I≅
⎤
+ f (b)⎥
⎦
0 .4
[0.2 + 2(2.456) + 0.232] ≅ 1.06888
2
Error absoluto: E a =
NGJ/v06
n −1
h⎡
+
f
(
a
)
f ( xi )
∑
2 ⎢⎣
i =1
1.640533 − 1.0688
= 34.9%
1.640533
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Integración numérica
(0.8 − 0) (− 60) = 0.64
Error aproximado: −
12(2) 2
b. 4 segmentos: h = 0.2
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
f (x )
0.2
1.288
2.456
3.464
0.232
n −1
h⎡
⎤
+
f
(
a
)
f ( xi ) + f (b)⎥
∑
⎢
2⎣
i =1
⎦
0.2
I≅
[0.2 + 2(1.288 + 2.456 + 3.464) + 0.232] ≅ 1.4848
2
I≅
Error absoluto: Ea = 1.640533 − 1.4848 = 9.5%
1.640533
Error aproximado:
(0.8 − 0) (− 60 ) = 0.16
−
12(4) 2
c. 8 segmentos: h = 0.1
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
NGJ/v06
f (x )
0.2
1.289
1.288
1.607
2.456
3.325
3.464
2.363
0.232
I≅
n −1
h⎡
+
f
(
a
)
f ( xi )
∑
2 ⎢⎣
i =1
I≅
⎤
+ f (b)⎥
⎦
0.1 ⎡0.2 + 2(1.2891.288 + 1.607 + 2.456⎤
≅ 1.6008
2 ⎢⎣+ 3.325 + 3.464 + 2.363) + 0.232 ⎥⎦
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Error absoluto: Ea = 1.640533 − 1.6008 = 2.7%
1.640533
Error aproximado:
I≅
(0.8 − 0) (− 60 ) = 0.04
−
12(8) 2
h
[ f (a ) + 4 f (x1 ) + f (b )]
3
1) Simpson 1/3
x
0
0.4
0.8
f (x )
0.2
2.456
0.232
I≅
I≅
h
[ f (a ) + 4 f (x1 ) + f (b )]
3
0.4
[0.2 + 4(2.456) + 0.232] ≅ 1.367467
3
Error absoluto: Ea =
1.640533 − 1.36747
= 16.6%
1.640533
Error aproximado: −
(0.8 − 0)5 (− 2400 ) = 0.2730667
2880
Nota: -2400 es el promedio de la cuarta derivada
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Integración numérica
2) Simpson 1/3 múltiple
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
f (x )
0.2
1.288
2.456
3.464
0.232
n −1
n−2
⎤
h⎡
I ≅ ⎢ f (a) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f (x j ) + f (b)⎥
3⎣
i =1, 3, 5
j = 2, 4, 6
⎦
I≅
Error absoluto: Ea =
0 .2
[0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0.232] ≅ 1.623467
3
1.640533 − 1.623467
= 1.04%
1.640533
Error aproximado: Et = −
(b − a )5
180n 4
f iv (ξ )
Et = −
(0.8)5 2400 = 0.017067
4
180(4 )
6) Simpson 3/8
b−a
3
x
0
0.2667
0.5334
0.8
h=
f (x )
0.2
1.423724
4.487177
0.232
I≅
I≅
Error absoluto: Ea =
0 .8
[0.2 + 3(1.423724 + 4.487177) + 0.232] ≅ 1.51917
8
1.640533 − 1.51917
= 7. 4 %
1.640533
Error aproximado: E t
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3h
[ f (a ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (b )]
8
5
(
b − a)
=−
6480
f (ξ )
v
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Et
5
(
0 .8 )
=−
2400 = 0.121363
6480
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Integración numérica
7) Simpson 1/3 y Simpson 3/8 (2 puntos y 3 puntos)
n = 5 h = 0.16
x
f (x )
0
0.2
0.16
1.296919
0.32
1.743393
0.48
3.186015
0.64
3.181929
0.8
0.232
0.16
[0.2 + 4(1.296919) + 1.743393] ≅ 0.3803237
3
0.48
[1.743393 + 3(3.18605 + 3.181929) + 0.232] ≅ 1.264754
I2 ≅
8
I ≅ 0.3803237 + 1.264754 ≅ 1.645077
I1 ≅
Error absoluto: Ea =
NGJ/v06
1.640533 − 1.645077
= 0.28%
1.640533
Unidad VII
12