En un es una creada a partir de un

En matemáticas un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no
vacío con una operación interna suma de vectores y una operación externa producto, entre dicho
conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les
llamará escalares.
ea un espacio vectorial sobre un cuerpo .
Los elementos:
se llaman vectores.
Los vectores se representan en negrita en los textos impresos, siendo esta la tendencia actual, si bien
en bibliografía antigua o en escritos a mano, se suelen representar bajo una línea continua, en textos
de matemáticas:
Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:
Estos tipos de notaciones pueden verse al consultar bibliografía.
Los elementos:
se llaman escalares.
Y se representan en letra cursiva.
Sea cual sea la forma de representar los vectores, en ningún caso, deben confundirse vectores y
escalares, dada la diferencia entre estos dos conceptos, y las distintas operaciones que se realizan
entre ellos.
Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo
(como el cuerpo de los números reales o los números
complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones:
Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
3) tenga elemento neutro
, es decir
4) tenga elemento opuesto, es decir
y la operación producto por un escalar:
operación externa tal que:
5) tenga la propiedad:
6) tenga elemento neutro 1:
Que tenga la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:
8) distributiva por la derecha:
Véase también: Espacio euclídeo
Véase también:
Vector (espacio euclídeo)
[editar]Observación
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados
los apartados 1, 2, 3 y 4.
Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los
apartados 5 y 6.
Si no se dice lo contrario:
.
[editar]Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean
y
UUnicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean
entonces, como el neutro es único:
Unicidad del elemento en el cuerpo K:
supongamos que 1 no es único, es decir, sean
y
dos vectores neutros, entonces:
y
dos vectores opuestos de
dos unidades, entonces:
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K:
supongamos que el inverso a − 1 de a, no es único, es decir, sean
entonces, como el neutro es único:
y
dos opuestos de ,
Producto de un escalar por el vector neutro
Producto del escalar 0 por un vector:
Si
Si a=0 es cierto.
Si
.
entonces:
.
Signos equivalentes:
.
Notación
.
Primer ejemplo con demostración al detalle
Queremos ver que
Veamos pues que
es un espacio vectorial sobre
juega el papel de
y
el de
:
,
Los elementos:
son, de forma genérica:
es decir, pares de números reales. Por claridad conservaremos la denominación del vector, en este
caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el
eje x o y respectivamente
En defino la operación suma:
donde:
y la suma de u y v seria:
donde:
esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.