Números

1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 22
Realiza las cuentas y comprueba que la solución es correcta.
Añadiendo 1 camello a los 17, son 18 camellos en total. Así:
– el mayor se lleva la mitad: 18 = 9 camellos;
2
– el mediano se lleva la tercera parte: 18 = 6 camellos,
3
– y el pequeño se lleva la novena parte: 18 = 2 camellos.
9
Entre los tres se han llevado 9 + 6 + 2 = 17 camellos y el viajero se vuelve a quedar con su camello.
Para entender el porqué de esta paradoja, haz la suma (1/2) + (1/3) + (1/9) y
reflexiona: cuando se reparte algo, ¿cuánto han de sumar las distintas fracciones del reparto?
1 + 1 + 1 = 17
2 3 9 18
Cuando se reparte algo, las distintas fracciones del reparto han de sumar uno.
Falta 1 para tener la unidad.
18
Supón que la herencia fuera de 35 camellos y el reparto entre los tres hermanos igual al anterior. Comprueba que, en tal caso, el viajero podría cumplir lo
dispuesto a gusto de todos, recuperar su camello y, además, quedarse con un
camello como pago por su gestión.
Si fueran 35 camellos más el del viajero; es decir, 36 camellos en total, entonces:
– el mayor se llevaría 36 = 18 camellos,
2
– el mediano se llevaría 36 = 12 camellos, y
3
– el pequeño se llevaría 36 = 4 camellos.
9
Entre los tres se habrían llevado 18 + 12 + 4 = 34 camellos, el viajero recuperaría
el suyo y podría quedarse con otro como pago por su gestión.
Observamos que la suma de las fracciones es:
1 + 1 + 1 = 17 = 34 → faltan 2 para completar la unidad.
2 3 9 18 36
36
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 2
Página 23
1 Un padre escribe en su testamento que la herencia se reparta así entre sus tres
hijos: la mitad para el mayor, la tercera parte para el mediano y el resto para el
pequeño. ¿Qué parte de la herencia le corresponde a este?
Entre el mayor y el mediano se llevan 1 + 1 = 5 . Por tanto, al pequeño le co2 3 6
1
rresponde de la herencia.
6
2 Una empresa tiene cuatro socios. Dos de ellos poseen 1/3 y 2/5. Los otros dos poseen la misma cantidad. ¿De qué parte de la empresa son dueños estos últimos?
Entre los dos primeros poseen 1 + 2 = 11 . Por tanto, los dos últimos poseen
3 5 15
4 del total. Como los dos son dueños de la misma cantidad, cada uno de ellos
15
posee 2 del total.
15
3 Ordena de menor a mayor estas fracciones: 15 , 22 , 37 , 83 , 192 .
17 25 42 94 218
Las expresamos en forma decimal efectuando las divisiones:
15 = 0,8823…
22 = 0,88
17
25
83 = 0,8829…
192 = 0,8807…
94
218
Por tanto: 22 < 192 < 37 < 15 < 83
25 218 42 17 94
37 = 0,8809…
42
4 Trunca y redondea en la cuarta cifra decimal los números π, √2 y √5 (hállalos previamente con la calculadora).
π = 3,1415926…
√2 = 1,4142135…
√5 = 2,2360679…
π 3,1415
√2 1,4142
√5 2,2360
Redondear: π 3,1416
√2 1,4142
√5 2,2361
Truncar:
Página 27
Cálculo mental
Calcula mentalmente:
a) Los dos quintos de 400.
b) El número cuyos dos quintos es 40.
c) Los tres séptimos de 140.
d) El número cuyos cinco sextos es 30.
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 3
a) 2 de 400 = 160
5
c) 3 de 140 = 60
7
b) 2 de x = 40 → x = 100
5
d) 5 de x = 30 → x = 36
6
Cálculo mental
Compara mentalmente cada pareja de racionales:
a) 3 y
4
a) 3 <
4
4
3
4
3
b) 6 y
8
b) 6 <
8
7
8
7
8
c) 1 y 6
5
c) 1 < 6
5
d) 3 y
5
d) 3 =
5
6
10
6
10
e) 3 y 8
11
e) 3 > 8
11
f) 2 y 6
3
f) 2 = 6
3
Representar fracciones
¿Es claro que a = 1 ¿A qué número representa b?
7
b= 5
7
1 Ordena de mayor a menor estas fracciones: 7 , 4 , 5 , 3 , 13
12
Reducimos a común denominador:
7 , 4 , 5 , 3 , 13 → 21 ,
12 6 9 4 18
36
Por tanto: 3 > 13 > 4 > 7 >
4 18 6 12
6
9
4
18
24 , 20 , 27 , 26
36 36 36 36
5
9
2 Representa, aproximadamente, sobre una recta: 7 , 4 , 5 , 3 , 13
12
7
—
12
0
5
—
9
6
9
4
18
13
—
18
4
—
6
3
—
4
1
Página 28
Cálculo mental
Efectúa mentalmente las siguientes sumas:
a) 2 + 5 – 4
3 3 3
b) 1 – 2
3
c) 1 + 1
2 4
d) 1 – 1
2 3
e) 7 – 1
5
f) 17 – 3
5
a) 3 = 1
3
b) 1
3
c) 3
4
d) 1
6
e) 2
5
f) 2
5
Unidad 1. Los números y sus utilidades
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
1
Pág. 4
Cálculo mental
Calcula mentalmente la fracción resultante:
a) La mitad de 7.
b) La mitad de 7 .
4
c) La tercera parte de 9 .
5
a) 7
b) 7
2
8
d) La mitad de un quinto de 6.
c) 3
5
1 Calcula:
(
a) 2 · –3
3 5
d) 3
5
( )
( )
( )
1
3
—– —–1
4
c) 2
3
—+1
4
)
b) 2 – 4 : 7
3 5 15
3 1
(–3) — – —
4 3
d)
4 –—
6
(–2) —
3 5
a) 2 · –3 = –2
3 5
5
(
)
(
)
b) 2 – 4 : 7 = 10 – 12 : 7 = –2 : 7 = –2
3 5 15
15 15 15 15 15
7
( )
1
3
1 3 1
2 3 4
3
—– —–1
—–—+— —–—+— —
4
c) 2
= 2 4 1 = 4 4 4 = 4 = 3
3
3+—
1
3 +—
4
7
7
—+1
—
—
—
4
4 1
4 4
4
( )
( )
(
(
)
)
3 1
9 –—
5
4
(–3) —
–—
(–3) —
(–3) —
5 3 =
15 15 =
15 = –12 = 3
d)
4 –—
6
20 – —
18
2
–4
(–2) —
(–2) —
(–2) —
3 5
15 15
15
Página 29
2 Utiliza la calculadora para realizar las siguientes operaciones:
(
a) 16 + 14
5
6
a) 16
)(
b) 49 – 8 · 5 – 8
6
6
5
14
6
Por tanto: 16 + 14 = 83
5
6
15
b) 49
6
8
5
(
)( )
8
Por tanto: 49 – 8 · 5 – 8 = 11
6
6
18
Unidad 1. Los números y sus utilidades
6
)
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
1
Pág. 5
3 Realiza, con la calculadora, las operaciones de la actividad 1 de la página anterior. Da los resultados en forma de número mixto y de fracción (interpreta la
gran raya de fracción como cociente).
2
a)
3
3
b)
2
3
c)
1
2
d)
5
4
5
3
3
3
4
7
4
1
5
3
6
15
3
1
4
1
3
2
5
Página 31
1 Expresa como potencia de base 10 el resultado de la operación:
0,0000001 : 10 000 000 000
0,0000001 : 10 000 000 000 = 10 –7 : 10 10 = 10 –7 – 10 = 10 –17
2 Expresa con una sola fracción irreducible:
3
a) 24
2
b) 2–1
2
c) a 6
a
d) a –4
e) x –1 y –2
f)
x2 y4
x3 y6
g) (2a 2 b)–2
h) 3 · 2 –1 · a · b –2
3
a) 24 = 1
2
2
b) 2 –1 = 1
2
2
c) a6 = 14
a
a
d) a –4 = 14
a
e) x –1 y –2 = 12
xy
f)
g) (2a 2 b) –2 =
1
= 14 2
2
2
(2a b)
4a b
h) 3 · 2 –1 · a · b –2 = 3a2
2b
3 Reduce a un solo número racional:
()
()
( )
() ()
()
()
() ()
a) 1
3
2
b) 1
3
–2
5
f) 1
2
5
= 1
9
b) 1
3
–2
e) 1 · 1
2 5
a) 1
3
2
d) 2
5
–2
= 5
2
2
= 25
4
Unidad 1. Los números y sus utilidades
x2 y 4
= 12
3
6
xy
x y
(
(
(
(
c) –1
3
–2
g) 2
3
= 32 = 9
c) –1
3
2
· 2
3
–2
e) 1 · 1
2 5
()
[( ) ]
d) 2
5
) ()
)
) ( )
5
· 1
5
)
3
h)
1
2
–2
–2 3
= (–3) 2 = 9
5
= 1
10
5
1
= 15 =
100 000
10
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 6
() () ( ) ( )
() () ()
f) 1
2
5
· 1
5
5
= 1 · 1
2 5
g) 2
3
2
· 2
3
3
= 2
3
5
5
= 1
10
5
=
1
100 000
= 32
243
h)
[( ) ] ( )
1
2
–2 3
= 1
2
–6
= 2 6 = 64
Página 32
1 Sin hacer la división, di si estas fracciones darán lugar a decimales exactos o
periódicos.
a) 313
500
b) 122
150
c) 123
150
d) 505
1 024
e) 168
1 260
a) Decimal exacto, porque 500 = 2 2 · 5 3 tiene como factores primos el 2 y el 5.
b) 122 = 61 . Decimal periódico, porque la fracción es irreducible y el denomi150 75
nador tiene como factor primo el 3, que es distinto de 2 y 5.
c) 123 = 41 . Decimal exacto, porque 50 solo tiene como factores primos el
150 50
2 y el 5.
d) Decimal exacto, porque el denominador tiene solo el 2 como factor primo.
e) 168 = 2 . Decimal periódico porque la fracción es irreducible y el
1 260
15
denominador tiene el 3 como factor primo, que es distinto de 2 y 5.
Página 33
1 Expresa en forma de fracción los siguientes decimales periódicos:
)
)
)
a) 5,3
b) 5, 32
c) 0,0 51
a) 10N = 53,333…
– N = 5,333…
→ N = 48 = 16
9
3
9N = 48
b) 100N = 532,323232…
–N =
5,323232…
99N = 527
→ N = 527
99
c) 1 000N = 51,515151…
–10N = 0,515151…
990N = 51
Unidad 1. Los números y sus utilidades
→ N = 51 = 17
990 330
)
d) 327,41 331
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
1
Pág. 7
d) 100 000N = 32 741 331,331331…
–100N =
32 741,331331…
99 900N =
→ N = 32 708 590 = 3 270 859
99 900
9 990
32 708 590
Página 34
1 Sitúa cada uno de los siguientes números en los casilleros correspondientes
(hazlo en tu cuaderno). Cada uno de ellos puede estar en más de un casillero.
)
)
11; 0,11; 0, 11; –13; –0,3; 3 ; – 5 ; 84 ; 43; 43,2; –0,001; 103; 10–3;
5
3 6
)
)
0, 31; 7,2324.
NATURALES,
ENTEROS,
11; 84/6; 43; 10 3
N
11; –13; 84/6; 43; 10 3
Z
)
RACIONALES,
)
)
)
)
) –0,001;
11; 0,11; 0,11; –13; –0,3; 3/5; –5/3; 84/6; 43; 43,2;
Q
)
10 3; 10 –3; 0,31; 7,2 324
Página 35
1 Calcula cuando sea posible:
5
b) √0,01024
3
e) √3 375/64
a) √1 024
d) √– 64
5
5
5
c) √–36
3
f) √–1
7
5
a) √1 024 = √2 10 = √(2 2) 5 = 2 2 = 4
5
b) √0,01024 =
√
5
1 024
=
100 000
c) √–36 no existe
3
3
√
5
2 10
=
10 5
√( )
5
22
10
5
= 4 = 0,4
10
3
d) √– 64 = √– 2 6 = √(–2 2) 3 = –2 2 = –4
√
3
e)
7
3 375
=
64
f ) √–1 = –1
√
3
)
0,11; 0,11; –0,3; 3/5; –5/3; 43,2; –0,001; 10 –3; 0,31; 7,2324
FRACCIONARIOS
23 · 53
=
26
Unidad 1. Los números y sus utilidades
√( )
3
2·5
22
3
= 2 ·25 = 5 = 2,5
2
2
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
1
Pág. 8
2 Di cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:
a) √24
b) √36
3
6
d) √512
e) √2 048
a) √24 = √2 3 · 3 → irracional
b) √36 = 6 → racional
3
c) √1 000 = 10 → racional
3
3
3
d) √512 = √2 9 = √(2 3) 3 = 2 3 = 8 → racional
6
6
e) √2 048 = √2 11
→ irracional
5
f ) √2 048 → irracional
Unidad 1. Los números y sus utilidades
3
c) √1 000
5
f) √2 048