Problemas de Teoría de Errores

Problemas de Teoría de Errores
1) Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad inicial vo=(100±1)m/s. Se mide el
tiempo que demora en llegar a una cierta altura h y resulta ser t=(5±1)s. Suponiendo que la
aceleración de la gravedad tiene un error despreciable comparado con los errores de la
velocidad y el tiempo, calcular la altura h con su error.
2) Un alumno mide dos magnitudes x, y obteniendo x=(10±1) m, y=(20±1) m. Determine el
valor de la magnitud derivada q=xy. Usando el mayor valor más probable para x e y (11m y
21m) calcule el mayor valor para q. Lo mismo para el valor más pequeño para q. Comparar
sus resultados con el error calculado según la regla de propagación de errores. Repetir para
las mediciones de x=10±8, y=20±15. 3) Suponga que medimos volúmenes de agua en 2 recipientes y obtenemos:
V1 = 130 ± 6 ml and V2 = 65 ± 4 ml
Luego cuidadosamente vertemos el contenido del primer recipiente en el segundo. ¿Cuál es la
predicción del volumen V=V1 + V2 y su error si se supone que los errores originales son
independientes y estadísticos. ¿Qué valor asignaría a ΔV si sospecha que los errores no son
independientes?
4) Se quiere calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular cuyas aristas miden
aproximadamente x=35cm, y=40cm y z=45cm; con un error menor que 50 cm3. ¿Con qué
error deben medirse las aristas, sabiendo que se miden con el mismo instrumento?
5) Se desea calcular con un aproximación del 0.1% la superficie de un terreno circular cuyo
radio mide aproximadamente 25 m. ¿Con qué error debe medirse el radio, y cuántas cifras
decimales de π será necesario considerar?
6) Con el fin de encontrar la aceleración de un cuerpo un estudiante mide la velocidad inicial
vi y la velocidad final vf y determina la diferencia (vf - vi). Los datos que obtiene en dos
experimentos diferentes se muestran en la tabla, todos los errores son del 1%.
vi (cm/s)
vf (cm/s)
Experimento 1
14.0
18.0
Experimento 2
19.0
19.6
a) Calcular los errores absolutos de las cuatro mediciones. Determinar (vf - vi) y su error
absoluto en cada experimento.
b) Calcular el error relativo para los dos valores de (vf - vi). Observe especialmente en el
segundo caso los resultados de evaluar un número pequeño por diferencia de dos números
grandes.
7) Suponga que mide las siguientes magnitudes con errores independientes y estadísticos: x =
200 ± 2, у = 50 ± 2, z = 40 ± 2. Determine la magnitud de q = x/(y — z) con su error.
8) Se determina la densidad del aluminio por dos métodos obteniéndose los valores:
ρ1=(2.72±0.04)g/cm3
y
ρ2=(2.74±0.07)g/cm3
Hallar el promedio con su error. (Promedio pesado)
9) Usando un cronómetro y un poco de práctica, usted puede medir tiempos desde un segundo
hasta minutos con una precisión de 0.1 s aproximadamente. Suponga que desea obtener el
período de un péndulo de aproximadamente 0.5s. Si se mide una oscilación, se tiene un error
del 20%, pero midiendo varias oscilaciones juntas se puede disminuir este error porcentual en
T.
a) Si se miden 5 oscilaciones y se obtiene 2.4 ± 0.1 s, ¿Cuál es el valor de T y su error absoluto
y relativo?
b) Si se miden 20 obteniendo 9.4 ± 0.1 s?
c) ¿Puede mejorarse indefinidamente la precisión en T midiendo más y más oscilaciones?
10)
a) Calcular la media y la desviación estándar de las siguientes 18 mediciones de un
intervalo de tiempo t (en segundos).
8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.18 8.18 8.24 8.1 8.24 8.16 8.14 8.17 8.18 8.22 8.12 8.17 8.06 b) Se sabe que después de un número grande de mediciones el 68% de los valores observados
están entre t − σ t y t + σ t . Para las mediciones de la parte a) ¿Cuántas están comprendidas en
el intervalo mencionado?
c) Determine la mejor estimación del intervalo de tiempo y su error. Discuta si es necesario
realizar un mayor número de mediciones para disminuir el error.
11)
En un experimento con un péndulo simple, un estudiante decide verificar si el período
T es independiente de la amplitud A (definida como el ángulo más grande que el péndulo
forma con la vertical durante una oscilación). El estudiante obtiene los resultados que se
muestran en la Tabla.
a) Graficar T vs A, con los errores. ¿Puede el estudiante concluir que T es independiente de
A?
b) Discutir cómo serían afectadas las conclusiones de la parte a) si el error en todos los valores
medido de T fuera 0.3 s.
Amplitud (grados) Período (s)
5±2
1.932 ± 0.005
17 ± 2
1.94 ± 0.01
25 ± 2
1.96 ± 0.01
40 ± 4
2.01 ± 0.01
53 ± 4
2.04 ± 0.01
67 6
2.12± 0.02
12) Un estudiante realiza N=20 mediciones del tiempo que tarda un cuerpo en caer a través
del interior de un cilindro vertical lleno de aceite. El estudiante ordena sus resultados en
orden creciente y registra cuántas veces obtuvo los diferentes valores:
Tiempo (s)
Ocurrencias (nk)
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0
2
0
3
5
4
1
3
1
0
1
a) Hacer un histograma con ancho de intervalo de 0.1 s empezando en 7.05 s.
b) Idem a) con ancho de intervalo de 0.2 s. En los histogramas graficar en el eje vertical la
cantidad fk=(nk/N)/Δt.
c) Determine el valor medio y la desviación standard de los datos y agregue en los gráficos de
los histogramas la distribución normal o gaussiana correspondiente. Utilice el programa
EXCEL.
13)a) Determine el máximo y los puntos de inflexión de la distribución gaussiana o normal.
14) Sea x el valor medio y σx la desviación estándar de una serie de un número muy grande
de mediciones. Hallar qué porcentaje de las mediciones estarán entre: a) x ±σx , b) x ±2σx ,
c) x ±3σx. Utilice la función estadística del programa EXCEL DIST.NORM o NORMDIST
(en la versión en inglés) .
15) Un estudiante realiza una serie de mediciones de la longitud de una mesa y obtiene como
resultado los valores: x =1.52 m y σx =0.04 m. ¿Qué fracción de sus mediciones usted
esperaría encontrar entre: a)1.48 y 1.56 b) 1.48 y 1.52 c) 1.44 y 1.60 d) 1.60 1.90?
Utilice la función estadística del programa EXCEL DIST.NORM o NORMDIST (en la
versión en inglés) .
16) Cuando se hace un ajuste de cuadrados mínimos, comparando el error Δy que se le asignó
a las mediciones de y, con la estimación de σy (standard error x ) se puede decidir si los datos
confirman la relación lineal esperada: у = b + ax . La cantidad σy es aproximadamente la
distancia promedio de los puntos (xi,yi) a la recta de ajuste. Si σy es aproximadamente igual a
Δy los datos son consistentes con la predicción de una relación lineal. Si σy >> Δy hay una
buena razón para dudar de la relación lineal.
El siguiente problema ilustra esta idea.
Un estudiante mide la velocidad de un planeador en una trayectoria horizontal, para ello mide
la posición en función del tiempo, obteniendo los datos de la tabla.
Tiempo Posición t(s) s(cm) 0 4.0 2 7.5 4 10.3 6 12.0 Asumiendo que el planeador tiene velocidad constante, ajuste sus datos con una recta: s = so +
vt.
a) Determine por el método de cuadrados mínimos so y v y el error standard en las mediciones
de s.
b) Suponga que el error en s es de 1cm. Comparando Δy =Δs con σy determine si los datos son
consistentes con una velocidad constante. Grafique s en función de t con los errores en s.
c) Suponga que Δs=0.1 cm, indique, en este caso si las mediciones son consistentes con una
velocidad constante y describa el movimiento a partir de los datos medidos.