Ejemplo Resuelto

Control Moderno - Ing. Electrónica
Ejercicio resuelto 6: Modelo discreto de estados
Consideremos el sistema de tiempo discreto:
x(k + 1) =
1.
"
0,9 −0,1
0
0,8
#
x(k) +
"
2
1
#
y(k) =
u(k),
h
1 0
i
(1)
x(k)
Autovalores, Autovectores y Polinomio Caracterı́stico
El procedimiento a seguir para hallar estos elementos es totalmente análogo al utilizado en sistemas
de tiempo continuo. Igualmente desarrollaremos este caso a modo de ejemplo.
Los autovalores del sistema están dados por las raı́ces de:
|zI − A| = 0
que para este sistema nos lleva a:
z − 0,9
0
0,1
z − 0,8
= (z − 0,9)(z − 0,8) = 0
(2)
De la ecuación (2), podemos obtener los autovalores del sistema, ası́ también como el polinomio
caracterı́stico:
λ1 = 0,9, λ2 = 0,8,
(3)
∆(z) = z 2 + a1 z + a0 = z 2 − 1,7z + 0,72.
(4)
Para hallar los autovectores debemos resolver, para cada uno de los autovalores, la ecuación:
AVi = Aλi .
(5)
Auxiliándonos con el MATLAB podemos obtener fácilmente autovalores y autovectores utilizando
la función [V,D]=eig(A), de lo cual resulta 1 :
V1 =
2.
"
1
0
#
V2 =
,
"
1
1
#
(6)
.
Transformaciones
Como vimos en los Trabajos Prácticos previos, las transformaciones lineales resultan muy útiles
tanto en el análisis como en el diseño de sistemas en variables de estado. Obtendremos aquı́ algunas
trasformaciones que utilizaremos más adelante.
1
En realidad esta función proporciona autovectores de módulo unitario V1 = [ 1
Por comodidad, se utilizó como segundo autovector V2 = [ 1 1 ]T
1
0 ]T , V2 = [ 0,707
0,707 ]T .
2.1. Forma Diagonal
La matriz de trasformación Pd , que nos permite llevar el sistema a la forma diagonal, está compuesta
por los autovectores del sistema:
Pd =
h
i
V1 V2
"
=
1 1
0 1
#
(7)
aplicando esta trasformación lineal, las matrices del nuevo modelo resultan:
Ad =
Pd−1 AP
=
"
#
0,9 0
0
0,8
,
Bd =
Pd−1 B
=
"
1
1
#
,
Cd = CPd =
h
1 0
i
(8)
2.2. Forma Canónica Controlable
Una transformación Pc , que nos permite llevar al sistema a la forma canónica controlable, está dada
por:
Pc = M W
(9)
donde M es la matriz de controlabilidad del sistema:
M=
h
i
B AB
=
"
2 1,7
1 0,8
#
(10)
y W una matriz que se compone con los coeficientes del polinomio caracterı́stico. Recordemos que
estos se ubican en la primer columna y las restantes resultan de desplazamientos de esta columna.
W =
"
a1 1
1 0
#
"
=
−1,7 1
1
0
#
(11)
Obtenidas M y W , la matriz de transformación Pc es:
Pc = M W =
"
−1,7 2,0
−0,9 1,0
#
#
Pc−1 B
(12)
y el nuevo modelo:
Ac =
Pc−1 AP
=
"
0
1
−a0 −a1
#
=
"
0
1
−0,72 1,7
Bc =
,
=
"
0
1
#
,
Cc = CPc =
h
−1,7 2,0
2.3. Forma Canónica Observable
Para transformar el sistema a la Forma Canónica Observable, podemos utilizar la transformación
lineal Po dada por:
Po = (W N T )−1 .
(13)
Siendo W la matriz descripta anteriormente y N la matriz de observabilidad del sistema.
N=
h
CT
AT C T
i
=
"
1 0,9
0 −0,1
#
(14)
Finalmente la matriz Po resulta
T −1
Po = (W N )
=
"
0
1
−10 −8
#
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 6: Modelo discreto de estados
(15)
2
i
y el nuevo modelo, correspondiente a la forma canónica observable:
Ao =
Cc = CPo =
3.
=
Po−1 AP
h
"
0 −a0
1 −a1
0 1
#
=
"
0 −0,72
1
1,7
#
Bo =
,
Po−1 B
=
"
−1,7
2
#
,
i
Matriz de Transición de Estados
La matriz de Transición de estados para un sistema discreto esta dada por:
φ(k) = Ak
(16)
Existen diversos caminos para obtenerla. Exploraremos algunos.
3.1. A partir del modelo diagonal
En un modelo diagonal, es muy simple obtener φd (k). En este caso:
φd (k) =
"
#
0,9k
0
0
0,8k
(17)
Si queremos hallar la φ(k) correspondiente al modelo original, basta con aplicar la transformación
lineal Pd , hallada anteriormente según:
φ(k) = Pd φd (k)Pd−1
(18)
Para este ejemplo:
φ(k) =
"
1 1
0 1
#"
0,9k
0
0
0,8k
#"
1 −1
0 1
#
=
"
0,9k 0,8k − 0,9k
0
0,8k
#
3.2. Utilizando el Teorema de Caley Hamilton
El procedimiento es análogo al utilizado en la Practica 3 para obtener φ(t) aplicando este teorema.
La matriz φ(k) de este sistema de segundo orden puede escribirse como un polinomio de grado 1
en A según:
φ(k) = Ak = α0 I + α1 A
(19)
Los coeficientes α0 , α1 se obtienen de evaluar (19) en los autovalores del sistema, es decir:
λk1 = α0 + α1 λ1 ,
λk2
(20)
= α0 + α1 λ2 .
(21)
Para este ejemplo resulta
0,9k = α0 + α1 0,9,
0,8k = α0 + α1 0,8.
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 6: Modelo discreto de estados
3
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
α0 = −8 · 0,9k + 9 · 0,8k ,
α1 = 10 · 0,9k − 10 · 0,8k
y reemplazando en (19) finalmente tenemos:
φ(k) = Ak = α0 I + α1 A
φ(k) =
"
−8 · 0,9k + 9 · 0,8k
0
k
0
−8 · 0,9 + 9 · 0,8k
φ(k) =
"
0,9k 0,8k − 0,9k
0
0,8k
#
"
+
9 · 0,9k − 9 · 0,8k
−0,9k + 0,8k
0
8 · 0,9k − 8 · 0,8k
#
#
3.3. Aplicando Transformada Z
La matriz φ(k) también puede hallarse utilizando la transformada Z a partir de:
n
φ(k) = Z −1 (zI − A)−1 z
o
(22)
Reemplazando las matrices correspondientes a este ejemplo y antitransformando obtenemos:

1



z
−
0,9
φ(k) = Z −1 



0

4.
1

#
"


k 0,8k − 0,9k
0,9
(z − 0,9) (z − 0,8) 
z =
 
1
0
0,8k


z − 0,8
 
(23)
Realimentación
A modo de ejemplo diseñaremos una realimentación del vector de estados tal que los autovalores
de lazo cerrado resulten λ1 = λ2 = 0,5.
Para trabajar en el diseño de la realimentación nos resultará particularmente cómodo utilizar la
forma canónica controlable:
xc (k + 1) =
"
0
1
−0,72 1,7
#
xc (k) +
"
0
1
#
y(k) =
u(k),
h
−1,7 2,0
i
x(k)
(24)
Este modelo corresponde al sistema a lazo abierto. Si utilizamos una realimentación completa del
vector de estados, u = r − Kc xc , la nueva matriz A de lazo cerrado estará dada por:
ALCc = Ac − Bc Kc
(25)
4.1. Asignación de autovalores
El polinomio caracterı́stico deseado a lazo cerrado es:
∆LCc (z) = (z − 0,5)(z − 0,5) = z 2 − z + 0,25
(26)
y la matriz ALC de lazo cerrado:
ALCc =
"
0
1
−0,25 1
#
.
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 6: Modelo discreto de estados
(27)
4
Como se indicó en (25) esta matriz depende del vector de realimentación Kc , según:
ALC = Ac − Bc Kc =
"
#
0
1
−a0 −a1
−
"
0
1
#
h
Kc1 Kc2
i
(28)
,
es decir,
ALC =
"
0
1
−(a2 + Kc1 ) −(a1 + Kc2 )
#
=
"
#
0
1
−(0,72 + Kc1 ) −(1,7 + Kc2 )
.
(29)
Comparando la matriz ALC deseada de la ecuación (26) con (29), obtenemos el vector de realimentación Kc
−0,72 − Kc1 = −0,25
⇒
kc1 = −0,47,
1,7 − Kc2 = 1
⇒
Kc2 = 0,7.
Recordemos que este vector de realimentación corresponde a la forma canónica controlable, es decir
que corresponde a una realimentación de la forma u = r − Kc xc . Para calcular la realimentación
en términos de los estados originales, es necesario aplicar la trasformación lineal PC−1 , calculada en
el punto 2.2
h
i
h
i
u(k) = Kc1 Kc2 xc (k) = Kc1 Kc2 Pc−1 xc (k).
(30)
De este modo, se obtiene finalmente:
K=
h
Kc1 Kc2
i
Pc−1
=
h
−0,47 0,7
i
"
10 −20
9
17
#
1,6 −2,5
i
=
h
1,6 −2,5
i
(31)
y la nueva matriz A de lazo cerrado ALC será:
ALC = A − BK =
"
0,9 −0,1
0
0,8
#
−
"
2
1
#
h
=
"
−2,3 4,9
−1,6 3,3
#
cuyos autovalores verifican los requeridos (λ1 = λ2 = 0,5).
4.2. Error de Estado estacionario
La acción de control del sistema realimentado está dada por:
u(k) = r(k) − Kx(k)
(32)
y el modelo correspondiente al sistema de lazo cerrado resulta:
x(k + 1) = (A − BK)x(k) + Br(k),
y = Cx(k).
(33)
Si aplicamos una referencia r constante, el sistema alcanzará el estado estacionario, cuando se
verifique:
x(k + 1) = x(k) = xEE .
(34)
Entonces, en esta condición, el modelo se reduce a:
xEE = (A − BK)xEE + Br,
(35)
xEE = (I − ALC )
(36)
−1
Br.
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 6: Modelo discreto de estados
5
A partir de (36) podemos obtener el valor de la salida yEE en estado estacionario.
yEE = CxEE = C(I − ALC )−1 Br.
(37)
La Ganancia en continua, definida como la relación entre yEE y la referencia r, resulta:
GEE = C(I − ALC )−1 B
(38)
que para este caso es:
h
GEE =
1 0
i
"
1 + 2,3
−4,9
1,6
1 − 0,33
#−1 "
#
2
1
= 1,2.
(39)
Es decir, que este sistema presentará un Error de Estado Estacionario (EEE) del 20 %, tal como lo
muestra la respuesta al escalón indicada en la Fig. 1.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura 1: Respuesta a un escalón unitario del sistema realimentado.
Si queremos asegurar un EEE nulo, debemos expandir el sistema agregando un estado integral xi ,
definido como
xi (k + 1) = xi (k) + (r(k) − y(k)).
(40)
Utilizando la ecuación de salida del sistema, resulta:
xi (k + 1) = xi (k) + C
"
x1 (k)
x2 (k)
#
+ r(k)
(41)
y el sistema expandido queda:






"
# x (k)
"
#
"
#
x1 (k + 1)
A 0  1
B
0



u(k) +
r(k),
 x2 (k + 1)  =
 x2 (k)  +
−C 1
0
1
x3 (k + 1)
x3 (k)







x1 (k + 1)
0,9 −0,1 0
x1 (k)
2
0




 



0,8 0   x2 (k)  +  1  u(k) +  0  r(k),
 x2 (k + 1)  =  0
x3 (k + 1)
−1
0
1
x3 (k)
0
1
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio resuelto 6: Modelo discreto de estados
(42)
(43)
6
llevándolo a la forma canónica controlable, su matriz Ac será:
ACc


0
1
0


0
1 .
= 0
0,72 −2,42 2,7
(44)
Por inspección de la última fila de esta matriz, podemos obtener el nuevo polinomio caracterı́stico
de lazo abierto:
∆(z) = z 3 − 2,7z 2 + 2,42z − 0,72.
(45)
Debemos asignar tres autovalores. Si fijamos como autovalores deseados (λ1 = λ2 = λ3 = 0,5), el
polinomio caracterı́stico a lazo cerrado deseado es:
∆(z) = (z − 0,5)3 = z 3 − 1,5z 2 + 0,75z − 0,125.
(46)
Comparando (45) con (46) obtenemos las ganancias de realimentación necesarias en el modelo en
su forma canónica controlable:
0,72 − Kc1 = 1,25 ⇒ Kc1 = 0,595
−2,42 − Kc2 = −0,75 ⇒ Kc2 = −1,67
2,7 − Kc3 = 1,5 ⇒ Kc3 = −1,2
Kc =
h
0,595 −1,67 1,2
i
(47)
y el vector de realimentación considerando las variables originales:
K = Pc−1 Kc =
h
−2,33 5,66 −0,42
i
(48)
Finalmente, en la Fig. 2, se muestra la respuesta a un escalón unitario considerando esta nueva
realimentación de estados.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura 2: Respuesta a un escalón unitario del sistema aumentado y realimentado para tener EEE
nulo
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7