diseño de pilares trenzados de sección variable.

DISEÑO DE PILARES TRENZADOS DE SECCIÓN VARIABLE.
DELGADO OLMOS, Angel Humberto (1);MARQUEZ GARCIA, M. Luisa (2)
(1)
Universidad de Granada, España
E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica y en la Ingeniería
Correo Electronico: [email protected]
(2)
Universidad de Granada, España
E.T.S. Arquitectura, Departamento Matemática Aplicada
Correo Electrónico: [email protected]
RESUMEN
Los pilares de sección variable se adaptan mejor a las necesidades estructurales que requiere su
función. Así un pilar cuya sección disminuye con la altura supone un mejor aprovechamiento del material
con el que está fabricado.
Por otro lado los pilares compuestos permiten un mejor encauzamiento de las cargas que ha de
soportar el pilar y una mayor libertad de diseño en cuanto a la obra de fábrica que trasmite sus cargas al
pilar.
Por todas estas razones funcionales así como por el alto contenido estético los pilares
compuestos se usan cada vez mas sobre todo en obras en las que el componente estético es esencial..
En la presente ponencia se propone una metodología de diseño de pilares trenzados compuestos
por cuatro elementos. Se aportan los algoritmos de generación de estos elementos y se incluye su
implementación en ordenador.
Palabras clave: Diseño avanzado, pilares trenzados, modelado de superficies, algoritmos de
modelado, implementación de algoritmos.
ABSTRACT
The pillars of variable section adapt better to the structural necessities that it requires their
function. A pillar whose section diminishes with the height supposes this way a better use of the material
with which is manufactured.
On the other hand the compound pillars allow a better orientation of the loads that must support
the pillar and a bigger design freedom as for the factory work that transmits their loads to the pillar.
For all these functional reasons as well as for the high aesthetic content the compound pillars are
used every time but mainly in works in those that the aesthetic component is essential..
In the present report he/she intends a methodology of design of braided pillars composed by four
elements. The algorithms of generation of these elements are contributed and their implementation is
included in computer.
Key words: I design advanced, braided pillars, modeling of surfaces, algorithms of modeling,
implementation of algorithms
1. Introducción
El diseño de pilares trenzados requiere en primer lugar la definición de cada uno de los
componentes o ¨hilos¨ que van a componer el trenzado.
En esta ponencia se ha partido de la idea de que el área de la sección de cada hilo vaya
disminuyendo a medida que se va subiendo por el pilar. Con ello se responde mejor a las
necesidades estructurales del pilar como es sabido.
También se ha pretendido dar una gran libertad en cuanto al tipo de sección generándola a
partir de seis puntos de control cuya posición relativa es susceptible de variarse lo que permite
infinitas posibilidades de diseño.
Cada hilo se forma a partir de dos superficies generadas según el algoritmo que se aporta y
el conjunto de los cuatros hilos conforma el pilar trenzado.
La observación de la metodología seguida muestra las infinitas soluciones de diseño a las
que se puede llegar por este camino cambiando las posiciones de los puntos y su forma de
agrupamiento.
Se han incluido ejemplos de diseño de varios pilares con distintos posicionamiento de los
hilos que lo forman para mostrar las posibilidades que ofrece el método.
2. Algoritmo de generación de la superficie
La curva (Figura 1) que pasa por dos puntos P0, y P1 tendrá una ecuación vectorial:
Figura 1
i =1
P ( t ) = ∑ fi ( t ) P
i
i =0
(1)
donde las fi(t) son polinomios de Lagrange cuya expresión sería:
(
(
1
t −t j
∏
j =0, j ≠i
fi ( t ) =
1
t −t
∏
j =0, j ≠i i j
)
)
( 2)
que cumplen:
( )
fi ( t j ) = 0
fi t j = 1
Si i = j 


Si i ≠ j 

( 3)
Entrando con los valores de (2) en (1) quedaría que la ecuación de P(t) puesta en forma
matricial sería:
(
P (t ) = P
0
 −1 1   t 
P 
1  1 0  1
)
( 4)
Análogamente la curva (Figura 2) que pasa por tres puntos P0, P1 y P2 tendrá una ecuación
vectorial:
Figura 2
i =2
P ( t ) = ∑ fi ( t ) P
i
i =0
( 5)
donde las fi(t) son polinomios de Lagrange cuya expresión sería:
(
(
2
t −t j
∏
j =0, j ≠i
fi ( t ) =
2
t −t
∏
j =0, j ≠i i j
)
)
( 6)
que cumplen (3)
Entrando con los valores de (6) en (5) quedaría que la ecuación de P(t) puesta en forma
matricial sería:
(
P (t ) = P
0
P
1
2
 1 −3 2   t 




P  −2 4 0   t 
2
 1 −1 0   1 

 
)
(7)
Si se efectúa el producto tensorial de la expresión (7) por la (4) se llega, después de hacer
operaciones y desglosar los vectores en sus componentes, a que:
x = acx + bcx + adx + bdx + aex + bex 
00
10
01
11
02
12 

y = acy + bcy + ady + bdy + aey + bey 
00
10
01
11
02
12

z = acz + bcz + adz + bdz + aez + bez 
00
10
01
11
02
12 
(8)
Que son las ecuaciones paramétricas de la superficie (Figura 3) que pasa por la red de los
puntos Pij i=0,1,2, j=0,1,2,3,4 dados
Figura 3
3. Implementación
La implementación del algoritmo presentado se ha hecho usando el paquete Mathematica y
su organigrama sería:
4. Ejemplo 1
En el presente ejemplo se diseñado un pilar trenzado de cuatro hilos en el que la posición de
los hilos en la base del pilar es la que muestra la Figura 4. En la parte superior del pilar (Figura
5) los hilos se abren para adoptar una forma cuadrada en cuanto a su posición relativa.
Figura 4. Base del pilar
Figura 5 Parte superior del pilar
La figura 6 muestra una perspectiva desde abajo del pilar con sus cuatro hilos en la que se
puede observar como los hilos se trenzan. En la base los hilos se solapan según el esquema de la
figura 4 para irse despegando y abriéndose hasta llegar en la parte superior del pilar a una
disposición sensiblemente cuadrada (Figura 5).
La figura 7 muestra el mismo pilar visto desde arriba en ella se puede apreciar como el pilar
se va abriendo hasta que los hilos componentes adoptan en su extremo superior la posición
exigida. La forma recuerda estéticamente el tronco de un árbol.
0
10
8
6
4
24
2
0
-2
-4
0
-10
-10
-20
-20
-30
4
2
0
-2
-4
10
8
6
4
-30
2
Figura 6 Vista desde abajo del pilar
Figura 7 vista superior del pilar
5. Ejemplo 2
En el presente ejemplo se diseñado un pilar trenzado de cuatro hilos en el que la posición de
los hilos en la base del pilar es la que muestra la figura 8. En la parte superior del pilar (Figura
9) los hilos se abren para adoptar una forma cuadrada en la que los hilos aparecen adosados.
Figura 8 Base del pilar
Figura 9 Parte superior del pilar
La figura 10 ofrece una vista desde abajo del pilar en la que se puede apreciar como queda.
Este tipo de vistas relejan bien los aspectos estéticos del pilar en cuanto están tomadas según los
observadores mirarían la obra.
La figura 11 da una vista superior del pilar en la que se ven como los hilos al quedar
adosados muestran una disposición adecuada para soportar cargas concentradas en una región
pequeña al contrario que en el ejemplo anterior.
0
10
4 24 2 0
8 6
-2
-4
0
-10
-10
-20
-20
-30
4
2
0
-2
-4
10
8
6
4
2
Figura 10. Vista desde abajo del pilar
-30
Figura 11 Vista superior del pilar
6. Ejemplo 3
En el presente ejemplo se diseñado un pilar trenzado de cuatro hilos en el que la posición de
los hilos en la base del pilar es la que muestra la figura 12. En la parte superior del pilar (Figura
13) los hilos se abren para adoptar una forma cuadrada en la que los hilos aparecen adosados.
Figura 12 Base del pilar
Figura 13 Parte superior del pilar
La figura 14 muestra una vista superior del pilar en la que se puede apreciar la disposición
de los hilos del pilar idónea para servir de soporte a plataformas rectangulares. Esta disposición
resulta muy apropiada para su uso en pilares de puentes en los que la sección transversal es
bastante menor que la longitudinal.
10
8
6
4
2
10
0
-10
0
-10
-20
-30
Figura 14 Vista superior del pilar
La figura 15 refleja una vista del pilar desde abajo lo que permite dar una idea de cómo es
su aspecto estético.
0
-10
-20
10
-30
0
-10
10
8
6
4
2
Figura 15 Vista desde abajo del pilar
7. Conclusiones
Los pilares compuestos se adaptan mejor a las necesidades estructurales que los pilares
simples al permitir unas posibilidades de apoyo muy variables. Si a esto se une la variación de
la sección resistente, de acuerdo con las cargas actuantes en cada altura del pilar, la versatilidad
del modelo, para adaptarse a las distintos requerimientos, es extraordinaria.
Los pilares de formas trenzadas aportan grandes valores estéticos y están dotadas de una
gran belleza.
La metodología que se expone en la ponencia permite generar pilares trenzados de muy
diversa forma. Los ejemplos que se han aportado son solo una pequeña muestra de las
posibilidades del método. La variación en la posición de los puntos de control de las formas así
como su agrupamiento en grupos de seis puntos permite diseñar soluciones muy diversas
La metodología que se ha propuesto permite obtener una representación 3D del modelo y
además determina las ecuaciones paramétricas de éste. Todo ello dentro de un programa abierto
a distintas posibilidades de los valores que adoptan los parámetros de moldeo.
La obtención de las ecuaciones de las formas diseñadas posibilita un análisis profundo de
éstas con motivaciones muy diversas.
Bibliografía
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[11] Farin, G.; ¨Curves and surfaces for computer aided geometric design¨ Academic Press,
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[12] Gasca, M. ; ¨Calculo Numerico¨, UNED 1990