Soluciones de la relación del Tema 3. 1. a) Ω= {RR, RB, BR, BB

Soluciones de la relación del Tema 3.
1.
a) Ω = {RR, RB, BR, BB}
donde dichos sucesos son:
RR = “primera bola roja y segunda bola roja”,
RB = “primera bola roja y segunda bola blanca”,
BR = “primera bola blanca y segunda bola roja”,
BB = “primera bola blanca y segunda bola blanca”.
6
6
2
6
y P [BB] = .
b) P [RR] = , P [RB] = , P [BR] =
20
20
20
20
c) A =“la primera bola es roja”=RR ∪ RB
B =“la segunda bola es blanca”=BB ∪ RB
12
6
d) P (A) =
=
20
10
4
8
=
P (B) =
20
10
La probalidad de que ocurra el suceso A o el B serı́a
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
ya que P (A ∩ B) = P (RB) =
2.
7
10
3
6
= .
20
10
a) El espacio muestral del experimento serı́a:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
La probabilidad de cada suceso elemental es :
1
2
3
4
5
6
P (1) = ; P (2) = ; P (3) = ; P (4) = ; P (5) = ; P (6) = .
21
21
21
21
21
21
12
b) P (A) = P (2) + P (4) + P (6) =
21
10
P (B) = P (2) + P (3) + P (5) =
21
9
P (C) = P (1) + P (3) + P (5) = .
21
20
c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
ya que P (A ∩ B) = P (2).
21
10
d) P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = .
21
3. Ω = {RR, BB, RB, BR}
a) P (RR) =
3 2
3
· = .
8 7
28
1
b) P (BB) =
5
.
14
c) P (RB ∪ BR) = P (RB) + P (BR) − P (RB ∩ BR) =
15
ya que P (RB ∩ BR) = 0.
28
4. Consideremos el suceso Q =“el billete esta premiado”.
P (ganar al menos un premio) = 1 − P (no ganar nada) = 1 − P (Q ∩ Q ∩ Q) =0.0594
5. Consideremos el suceso Ai =“pasar
1
1
=
P (A1 ) = , P (A2 /A1 ) =
6
7−2
1
P (A5 /A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) = .
2
la i-ésima prueba”. Sabemos que:
1
1
1
, P (A3 /A1 ∩ A2 ) = , P (A4 /A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = ,
5
4
3
P (aprobar el curso) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) =
1
.
720
6. P (el submarino sea hundido) = P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) −
P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) = 0.748
ya que P (A ∩ B) =0.18, P (A ∩ C) =0.06, P (B ∩ C) =0.03, P (A ∩ B ∩ C) =0.018
7. Consideremos los siguientes sucesos:
R =“color de pelo rubio” y A =“color de ojos azules”,
donde P (R) =0.4, P (A) =0.25 y P (R ∩ A) =0.05
P (A ∩ R)
=0.2
P (A)
b) P (A/R) =0.125
a) P (R/A) =
c) P (A ∩ R) = P (A ∪ R) = 1 − P (A ∪ R) = 1 − P (A) − P (R) + P (A ∩ R) =0.4
d) P ((A ∩ R) ∪ (A ∩ R)) = P (A) − P (A ∩ R) + P (R) − P (A ∩ R) =0.55
8. Consideremos los siguientes sucesos:
A =“el artı́culo se ha fabricado por el sistema A”,
B =“el artı́culo se ha fabricado por el sistema B”,
C =“el cliente compra el artı́culo”,
2
2
y P (C/B) = .
3
5
P (vender el artı́culo) = P (C) = P (A)P (C/A) + P (B)P (C/B) =0.453
donde P (A) =0.2, P (B) =0.8, P (C/A) =
9. Consideremos los siguientes sucesos:
A =“se selecciona la urna A en primer lugar”,
B =“se selecciona la urna B en primer lugar”,
rr, bb, rb y br los mismos sucesos que en el ejercicio 1 donde P (A) = P (B) =0.5
2
P (las dos bolas sean del mismo color) = P (rr ∪ bb) = P (rr) + P (bb), donde
9
8
P (rr) = P (rr/A)P (A) + P (rr/B)P (B) =
+ ,
80 84
12 15
+ , luego
P (bb) = P (bb/A)P (A) + P (bb/B)P (B) =
80 84
P (rr ∪ bb) = P (rr) + P (bb) = 0.5363
10. Consideremos los siguientes sucesos:
A =“la operación se ha realizado en la región A”,
B =“la operación se ha realizado en la región B”,
C =“la operación se ha realizado en la región C” y
OP =“la operación ha sido pagada”,
donde P (A) =0.5, P (B) =0.3, P (C) =0.2, P (OP /A) =0.001, P (OP /B) =0.002 y
P (OP /C) =0.008.
P (operación realizada en la región C si ésta no ha sido pagada) =
P (C/OP ) =
P (C)P (OP /C)
, donde
P (OP )
P (OP ) = P (OP /A)P (A) + P (OP /B)P (B) + P (OP /C)P (C) =0.0027, luego
P (C/OP ) = 0.5927
11. Consideremos los siguientes sucesos:
Ui =“la urna elegida es la i-ésima”,
B =“la bola extraida es blanca”,
1
donde P (Ui ) = .
4
P (las cuatro bolas son blancas) = P (B ∩ B ∩ B ∩ B) =
P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U1 )P (U1 ) + P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U2 )P (U2 ) + P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U3 )P (U3 ) +
P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U4 )P (U4 ), donde
1
1
P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U1 )P (U1 ) = , P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U2 )P (U2 ) = ,
41
14
1
P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U3 )P (U3 ) = y P (B ∩ B ∩ B ∩ B/U4 )P (U4 ) = 0, luego
6
P (B ∩ B ∩ B ∩ B) = 0.065
12. Consideremos los siguientes sucesos:
I =“se inyecta el suero al paciente”,
M =“el paciente mejora”,
2
donde P (I) = , P (M/I)P (M /I) =0.5, P (M/I) =0.25 y P (M /I) =0.75
3
P (no se ha inyectado el suero al paciente sabiendo que éste ha empeorado) = P (I/M ) =
3
P (I)P (M /I)
, donde
P (M )
P (M ) = P (M /I)P (I) + P (M /I)P (I), luego
P (I/M ) = 0.75
13. Consideremos los siguientes sucesos:
Bi =“se extrae una bola blanca de la urna i-ésima”
P (extraer una bola blanca de la primera urna) = P (B1) =
9 19
1 18
P (B1/B2)P (B2) + P (B1/B2)P (B2) =
·
+
·
=0.899
10 21 10 21
4