Métodos para el Cálculo de Operaciones de Separación Multietapa

Dpto. Ingeniería Química
M
étodos para el C
álculo de
Métodos
Cálculo
Operaciones de Separaci
ón
Separación
Multietapa en Mezclas
Multicomponentes
Área de conocimiento: Ingeniería Química
Docencia en “Operaciones de Separación”
Febrero, 2003
Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta ©
http://iq.ua.es/~jareyes/
1
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
••Termodinámica
Termodinámicadel
delequilibrio
equilibrioentre
entrefases
fases(fi,
(fi,ai,
ai,ji,
ji,gi).
gi).
Fase Vapor. Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial)
⎡ m
⎤ P
ln ϕ i = ⎢ 2 ∑ y j B ij − B mezcla ⎥
⎣ j=1
⎦ RT
Pv
B C
= z = 1 + + 2 + ...
RT
v v
FUNDAMENTOS
DE
OPERACIONES
OPERACIONES DE
DE
FUNDAMENTOS
DEcoeficientes
OPERACIONES
DE
Fase Líquida.
Cálculo de
de DE
actividad
(NRTL)OPERACIONES
SEPARACIÓN
SEPARACIÓN
∑ τ ji G ji x j
ln γ i =
j
∑
k
G ki x k
+
∑
j
⎛
G ij x j ⎜
⎜ τ ij −
G
x
∑ kj k ⎜⎜
⎝
k
∑ τ rj G rj x r ⎞⎟
r
⎟
G
x
∑ kj k ⎟⎟
k
SEPARACIÓN
SEPARACIÓN
⎠
2
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
••Métodos
Métodosyyecuaciones
ecuacionesde
dediseño
diseñode
delas
lasprincipales
principalesoperaciones
operacionesde
deseparación
separación(menor
(menor
n°
de
componentes
posibles)
n° de componentes posibles)
Operaciones de Separación:
Destilación simple
Rectificación continua y discontinua
Extracción líquido-líquido y líquido-sólido
Adsorción, intercambio iónico y cromatografía
Interacción aire-agua
Secado
Cristalización
3
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Objetivos
1.
Introducir al alumno en la problemática del cálculo riguroso en
sistemas multicomponentes:
• Número de ecuaciones y no linealidad.
• Procedimientos iterativos
2. Conocer las especificaciones y esquemas de cálculo de los
principales métodos rigurosos.
• Correcta utilización de los simuladores comerciales
• Modificación de los esquemas de cálculo
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Índice
1. Introducción. Métodos de Simulación vs. Métodos de
Diseño. Grados de Libertad. Antecedentes (métodos
simplificados).
1.1. M. FUG
1.2. M. de Hengstebeck
2. Principales Métodos Rigurosos
3. Últimas tendencias
4. Ejemplo numérico
4.1. M. Punto Burbuja
1.3. M. de Grupos
2.1.
M. Etapa a Etapa
2.2.
M. Componente a
Componente
3.1. M. Dentro-fuera
3.2. M. de
Relajación
3.3. M. Homotópicos
3.4. Prog. Disyuntiva
5
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
1. MÉTODOS DE SIMULACIÓN vs. MÉTODOS DE DISEÑO
Métodos de Simulación
-Dadas:
•Características de un equipo.
•Condiciones de operación.
-Se obtienen:
•Perfiles de T, composiciones y
caudales a lo largo del equipo.
•Características de las corrientes
de salida.
-No se especifican las separaciones.
-Cálculo del rendimiento de un equipo
trabajando bajo unas condiciones
determinadas.
©
Métodos de Diseño
-Separación
deseada
componentes clave.
de
los
-Proporcionan:
•Nº de etapas necesarios
•Posición óptima las corrientes
laterales.
-Diseñar los equipos necesarios para
conseguir
una
determinada
separación.
-No
se
han
desarrollado
prácticamente
en
sistemas
multicomponentes.
6
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Grados de Libertad = Var. – Ec. =
Variables
k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición)
q Productos laterales ⇒ q·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición)
2 Corrientes por etapa ⇒ 2·N·(c+2) (Caudal, P, T, c-1 composiciones)
Nº de etapas
⇒1
2 Q (en Cal. y Cond.) ⇒ 2
Total Var.= (k+q)·(c+3) + 2·N·(c+2) +3
Ecuaciones
Equilibrios
Balances de Materia
Balances de Energía
Igualdades Prod./Piso
⇒
⇒
⇒
⇒
N·(c+2) (c componentes, P, T)
N·c
(N pisos, c-1 componentes, global)
N ·1
q·(c+1) (c-1 componentes, P, T)
Total Ec.= N·(c+2) + N·c + N + q·(c+1)
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©
Grados de Libertad
G.L.= Var. – Ec. = k·(c+3) + 2·q + N + 3
9Si q=0 ⇒ G.L.= k·(c+3) + N + 3 = 2
k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y pos.)
(etapas)
Presiones
⇒N
Nº de pisos
⇒1
Faltan 2 variables por especificar:
Normalmente D y Lo
9Si q≠0:
Faltan 2+2·q variables por especificar:
D, Lo y otras 2 variables por
producto lateral (caudal y
posición)
8
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
9 Especificaciones incompatibles:
•2
especificaciones de pureza o reconversión para el mismo
componente en 2 corrientes.
•2
especificaciones de pureza o reconversión de 2 componentes
distintos en una misma corriente.
•Especificaciones
de pureza incompatibles con caudales de producto.
•Especificaciones
de pureza demasiado elevadas.
•
Especificación simultánea de todos los caudales.
•
Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene
incondensables.
•
Caudales de productos (en destilado y residuo) sin atender a las
volatilidades de los componentes.
•
Especificación de las pérdidas/aportes de calor y reflujo/vapor
generado en la caldera.
9
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
1. Antecedentes. Métodos Simplificados (Short cuts)
1.1. Método FUG (Fenske-Underwood-Gilliland) (diseño)
Cálculo del N° de
pisos mínimo
Cálculo del
Reflujo mínimo
(Reflujo Total, conocido
un perfil de composiciones
del destilado y residuo)
N min
⎡⎛ xLK ,0 ⎞⎛ xHK ,N
⎟⎜
log ⎢⎜⎜
⎟⎜
⎢⎝ xLK ,N ⎠⎝ xHK ,0
⎣
=
log( α LK ,HK )m
(Según el tipo de sistema)
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠⎦⎥
Y=
Cálculo del N°
Teórico de Pisos
(Función del N° mínimo de pisos,
el Reflujo y del Reflujo mínimo)
⎡⎛ 1 + 54.4 X ⎞⎛ X − 1 ⎞⎤
N − N min
= 1 − exp ⎢⎜
⎟⎜ 0.5 ⎟⎥
11
117
2
.
X
N +1
+
⎠⎝ X ⎠⎦
⎣⎝
a) Sist. Bin. Ideal
b) Sist. Bin. No Ideal
X=
R − Rmin
R +1
c) Sist. Mult. Clase 1
d) Sist. Mult. Clase 2
e) Sist. Mult. LLK dist.
HHK no dist.
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS
©
1.2. Método Gráfico de Hengstebeck (diseño)
xxe,LK ==xxLK/(x
+ xHK))
e,LK
LK/(xLK
LK + x
HK
yye,LK ==yyLK/(y
/(yLK ++yyHK))
Definición de Caudales y Composiciones Efectivas
e,LK
Construcción de la Curva de Equilibrio Efectiva
LK
LK
HK
)
LLe ==L(x
L(xLKLK++xxHK
e
HK)
VVe ==V(y
V(yLK ++yyHK))
(Diagrama y vs x)
e
LK
HK
Aplicación equivalente del método de McCabe-Thiele
Columnas de Rectificación Binaria
Determinación del piso óptimo de alimentación, número de pisos
Curva de Equilibrio Efectiva: LK(C3) y el HK(C4)
1,00
Utilidad de los métodos gráficos
0,90
1. La detección de pinch-points
(ptos de conjunción).
3. La identificación de excesivos
reflujo y/o vapor generado en la
caldera.
4. Detectar
adecuados
interetapas.
cuando
resultan
intercambiadores
5. Proporcionar orientación para
la optimización de la columna.
0,70
Equilibrio cal.
xd, z f, xb
Ptos corte
Recta Op. Enriq.
Recta Op. Agot.
Recta q
Diagonal
Pr.Rec. Op. Agot.
Pr.Rec. Op. Enriq.
Pisos
Recta Op. F
Pr.Rec. Op. F
0,60
y_LK
2. La identificación de puntos de
alimentación inadecuados.
0,80
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
x_LK
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS
©
1.3. Métodos de Grupo (Simulación)
•Tratamiento global todas las etapas de la
cascada.
•Definición de los factores de absorción
efectivos (Ae,i), y fracción de recuperación
φA.
•Especificaciones: Alimentos, nº de pisos y P.
•Variables de entrada: LN, TN y T1
Aj,i =
Lj
Kj,i ⋅ Vj
( )
; Sj,i = Aj,i −1
[
]12 − 0.5
1
Se,i = [S1,i (SN,i +1) + 0.25] 2 − 0.5
Ae,i = AN,i (A1,i +1) + 0.25
φA,i =
Ae,i −1
Ae,i
N+1
−1
φS,i =
Se,i −1
Se,i N+1 −1
v1,i = vN+1,i·φA,i +lo,i (1−φS,i )
•Contracción molar del vapor igual en todas las etapas
•Variación de Tª del líquido proporcional al caudal de gas absorbido
⎛ V ⎞
VN = VN + 1 ⎜ 1 ⎟
⎝ VN + 1 ⎠
1
N
TN − T1 VN + 1 − V2
=
TN − To VN + 1 − V1
12
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
2.1. Primeros Métodos “Rigurosos”
Métodos Etapa a Etapa y Ecuación a Ecuación*
• Thiele-Geddes
•1930 -1950
• Lewis-Matheson
•Rectificación
•Métodos iterativos (variables de entrada)
•Empiezan por ambos extremos de la columna
•Avanzando piso a piso* hasta llegar a la zona de alimentación
•Únicamente aplicables para la simulación de:
3 columnas convencionales
3 todos los componentes se distribuyen
•Presentaron un comportamiento muy inestable
13
©
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Lewis-Matheson
Método de Thiele-Geddes
Especificaciones:
N° de pisos totales y la
posición del piso de la
• Número de platos en cada sector alimentación
• Caudal, composición y condición térmica del alimento
• Otras dos variables (D, Lo)
Variables de entrada
Perfil Tj
Kj,i=f(T)
Consideraciones
Método de Simulación
di , bi
αi,r=ctes
Método de Simulación o “diseño”
Se resuelve de forma alternada y empezando por ambos extremos
de la columna:
Factores de Absorción
y j,i / α i, r
Volatilidades x j,i = c
⎛ Lj ⎞
Eq.
⎟ ⋅ v j,i = A j,i ⋅ v j,i
Relativas
l j,i = ⎜
y j,i / α i, r
⎜ K j,i ⋅ Vj ⎟
⎝
⎠
BM Composiciones
i =1
∑
v j+1,i
di
=
l j,i
di
+1
Cocientes de
Caudales
Individuales
y j+1,i =
L j ⋅ x j,i
Vj+1
+
di
Vj+1
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Thiele-Geddes
©
Método de Lewis-Matheson
Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi
l f −1,i
+
l F ,i
bi
di
F ⋅ zi
=
v f ,i v F ,i
di
+
bi
F ⋅ zi
b i v f ,i ,enriq . / d i Vf ⋅ y f ,i ,enriq . / d i
=
=
d i v f ,i,agot . / b i
Vf ⋅ y f ,i,agot . / b i
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Thiele-Geddes
©
Método de Lewis-Matheson
Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi
Calcular
F ⋅ zi
di =
1 + (bi / d i )
Calcular los perfil de yj,i; xj,i
⎛ v j,i ⎞
⎜ d ⎟di
i⎠
y j,i = ⎝c
⎛ v j,i ⎞
∑⎜⎜ d ⎟⎟di
i=1 ⎝ i ⎠
x j,i
⎛ l j,i ⎞
⎜ d ⎟d i
i⎠
= ⎝c
⎛ l j,i ⎞
∑ ⎜⎜ d ⎟⎟di
i =1 ⎝ i ⎠
Comprobación de:
•di/bi (simulación)
•yf,i calculados desde ambos
extremos (diseño)
Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj)
16
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”
Método de Thiele-Geddes
©
Método de Lewis-Matheson
Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi
Calcular
F ⋅ zi
di =
1 + (bi / d i )
Calcular los perfil de yj,i; xj,i
Comprobación de:
•di/bi (simulación)
•yf,i calculados desde ambos
extremos (diseño)
Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj)
Si no se consideran los caudales molares constantes ⇒ cálculo
iterativo en cada etapa de Vj.
Suponer Vj → Calcular Lj con BM →
→ con Lj, yji, xji, Hj,i=f(Tj, yj,i), hj,i=f(Tj, xj,i) y BE comprobar Vj
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
2.2. Principales Métodos Rigurosos
Métodos Componente a Componente
•Cálculos generalmente de forma secuencial.
•Agrupan todas las ecuaciones correspondiente a un componente, a lo largo de
todas las etapas (SIMULACIÓN).
Distintos métodos según:
9Forma de agrupar y resolver los sistemas de ecuaciones
9Selección de las variables de entrada
Especificaciones:
Métodos de punto de burbuja (BP)
-Nº Pisos y presión de trabajo
Métodos de suma de caudales (SR) y (SRI)
-Características de todas los alimentos incluida su localización
Métodos Newton 2N
-Caudal yde
posición
de cada
producto(SC)
lateral extraído (no comp.)
Métodos
Corrección
Simultánea
-2 variables, normalmente D y Lo (rectif.)
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
©
W1
Q1
Etapa 1
F1
U1
V2
L1
W2
U2
V3
L2
W3
VJ
LJ-1
WJ+1
LJ
VN-1
LN-2
QN-1
Etapa N-1
wJ+1
LJ
UN-1
VN
WN
FN
UJ
V J+1
UN-2
WN-1
FN-1
FJ
UJ
VJ+1
QJ
Etapa j
QJ
Etapa j
UJ-1
LJ-1
wJ
UJ-1
WJ
FJ
VJ
Q2
Etapa 2
F2
LN-1
Etapa N
QN
UN
LN
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
©
W1
Q1
Etapa 1
F1
L1
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Q2
Etapa 2
F2
VJ
LJ-1
WJ
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WN-1
LN-2
QN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
WN
Q2
Etapa 2
V3
w3
LN-1
Etapa N
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w2
UJ
VJ+1
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U1
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Etapa j
FN
F1
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Etapa 1
L2
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FN-1
w1
U2
V3
FJ
V1
U1
V2
U2
L2
QN
UN
LN
20
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2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
©
W1
Q1
Etapa 1
F1
L1
W2
Q2
Etapa 2
F2
VJ
LJ-1
Etapa 1
LJ
VN-1
F2
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WN-1
LN-2
QN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
WN
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Etapa 2
V3
w3
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Etapa N
L1
w2
UJ
VJ+1
WJ+1
U1
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0
Q1
0
QJ
Etapa j
FN
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UJ-1
WJ
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0
L2
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FJ
w1
U2
V3
Alimento
Directo
V1
U1
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L2
QN
UN
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2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
©
W1
Q1
Etapa 1
F1
L1
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Etapa 2
F2
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VJ
LJ
VN-1
F2
UN-2
LN-2
QN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
WN
Q1
Etapa 1
U1
V2
Q2
Etapa 2
V3
w3
LN-1
Etapa N
L1
w2
UJ
WN-1
Condensador
QJ
VJ+1
WJ+1
0
0
LJ-1
Etapa j
FN
F1
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WJ
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FJ
V1
U1
V2
U2
L2
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UN
LN
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2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
W1
Q1
Etapa 1
F1
L1
W2
Q2
Etapa 2
F2
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VJ
LJ
VN-1
F2
UN-2
WN-1
LN-2
QN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
WN
Etapa N
Q1
U1 Destilado
L1 Reflujo
Q2
Etapa 2
V3
w3
LN-1
Condensador
Total
V2
w2
UJ
0
Etapa 1
QJ
VJ+1
WJ+1
0
0
LJ-1
Etapa j
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w1
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UN
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
©
W1
Q1
Etapa 1
F1
U1
V2
L1
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Etapa 2
F2
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VJ
LJ
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Etapa N-1
UN-1
VN
WN
Etapa N
0
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L1 Reflujo
Q2
Etapa 2
V3
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U1
V2
w2
UJ
Condensador
Parcial
Etapa 1
QJ
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0
0
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Etapa j
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FJ
Destilado V1
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UN
LN
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2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
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Etapa 1
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Etapa 2
F2
L2
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VJ
UJ
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LJ
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F2
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WN-1
LN-2
QN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
WN
0
Condensador
Azeótropo het.
Q1
Etapa 1
U1 Decantador
V2
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0
0
LJ-1
Etapa j
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WJ
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w1
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FJ
V1
U1
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Etapa N
0
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Etapa 2
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LN-1
L1
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©
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LN
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2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
V1
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W1
Q1
Etapa 1
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Etapa 2
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VJ
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QJ
Etapa j
UJ
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QN-1
Etapa N-1
FN
LN-2
QN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
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Etapa N
UN
UN-1
VN
WN
FN
wN
LJ
VN-1
FN-1
FN-1
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U2
V3
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L1
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Etapa N
QN
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LN
UN
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2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
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Etapa 1
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Etapa 2
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QJ
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UJ
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WN
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QN
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0 Etapa N
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VN
FN
wN
LJ
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FN-1
LJ-1
WJ
UN-2
wN-1
U2
V3
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L1
W2
Caldera
UN
0
QN
LN Residuo
UN
LN
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©
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
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Etapa 1
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VJ
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QJ
Etapa j
UJ
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WJ+1
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QN-1
Etapa N-1
FN
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Etapa N
QN
UN
LN
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Etapa N-1
VN
UN-1
LN-1
Etapa N
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VN
FN
wN
LJ
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FN-1
FN-1
LJ-1
WJ
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L1
W2
Vapor
Directo
UN
0
QN
0
LN Residuo
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Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
Ecuaciones MESH:
1. M: c balances de materia por etapa:
M j,i ≡ L j−i ⋅ x j−1,i + Vj+1 ⋅ y j+1,i + Fj ⋅ z j,i − (L j + U j ) ⋅ x j,i − (Vj + Wj ) ⋅ y j,i = 0
2. E: c relaciones de equilibrio por etapa:
E j,i ≡ y j,i − K j,i ⋅ x j,i = 0
3. S: 2 ec. suma por etapa:
4. H: 1 balance de energía por etapa:
c
(S y ) j ≡ ∑ y j,i − 1.0 = 0
i =1
c
(Sx ) j ≡ ∑ x j,i − 1.0 = 0
i =1
H j ≡ L j−1 ⋅ h L, j−1 + Vj+1 ⋅ HV, j+1 + Fj ⋅ H F, j − ( L j + U j ) ⋅ h L, j − (Vj + Wj ) ⋅ HV, j + Q j = 0
Criterio de signos “egoísta” para el calor
29
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Ecuaciones ME (i):
L
j
= V
j+ 1
+
j
∑
m =1
( Fm − W
m
− U
m
©
) − V1
1. M: balance de materia del componente i en la etapa j:
M j,i ≡ L j−i ⋅ x j−1,i + Vj+1 ⋅ y j+1,i + Fj ⋅ z j,i − (L j + U j ) ⋅ x j,i − (Vj + Wj ) ⋅ y j,i = 0
2. E: relación de equilibrio etapa j:
E j,i ≡ y j,i − K j,i ⋅ x j,i = 0
A j ⋅ x j−1,i + B j ⋅ x j,i + C j ⋅ x j+1,i = D j
j−1
A j = Vj + ∑ (Fm − Wm − U m ) − V1
m =1
⎡
B j = − ⎢ V j+1 +
⎢⎣
j
∑ ( Fm − W m
m =1
2≤ j≤ N
⎤
− U m ) − V1 + U j + (V j + W j )K j, i ⎥ 1 ≤ j ≤ N
⎥⎦
C j = Vj+1·K j+1,i 1 ≤ j ≤ N - 1 D j = −Fj ·z j,i
1≤ j≤ N
con xio = 0, VN+1 = 0
30
©
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Ecuaciones ME (i):
Matriz tridiagonal
A
j
⋅x
j− 1 ,i
+ B
j
⋅x
j,i
+ C
j
⋅x
j+ 1 ,i
= D
j
Para cada componente i:
⎡ B1 C1 0 0
⎢A B C 0
2
⎢ 2 2
⎢ 0 A1 B3 C3
⎢
⎢ ... ...
⎢ ... ...
⎢
⎢ ...
⎢ ...
⎢
⎢ ...
⎢ ...
⎢
⎢ 0 ...
⎢
⎢ 0 ...
⎢⎣ 0 ...
0 ... ...
...
0 ... ...
0 ... ...
...
...
... ... 0 AN−2 BN−2 CN−2
... ... 0
0
AN−1 BN−1
... ... 0
0
0
AN
0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡D1 ⎤
⎥
⎥ ⎢
⎢
0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢D2 ⎥
0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢D3 ⎥
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥
=⎢
⋅⎢
⎥
⎥
...
... ⎥
...
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥
⎥
⎥ ⎢
⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢... ⎥
⎥
0 ⎥ ⎢xN−2 ⎥ ⎢DN−2 ⎥
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
CN−1 ⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢DN−1 ⎥
BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣DN ⎥⎦
31
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
MATRIZ TRIDIAGONAL: ALGORITMO DE THOMAS
A
j
⋅x
j− 1 ,i
+ B
j
⋅x
j,i
+ C
j
⋅x
j+ 1 ,i
= D
j
Etapa 1
D − C1 x i 2
x i1 = 1
B1
Etapa 2
⎞
D 2 − A 2 q1 ⎛
C2
⎟⎟ x i 3
x i2 =
− ⎜⎜
B 2 − A 2 p1 ⎝ B 2 − A 2 p1 ⎠
D 2 − A 2q1
q2 =
B 2 − A 2 p1
x i 2 = q 2 − p 2 x i3
p2 =
En general q j =
D j − A jq j−1
B j − A j p j−1
x ij = q j − p j x i , j+1
Etapa N
x iN = q N
C1
D1
q1 =
p1 =
B1
B1
y
pj =
©
xi1 = q1 − p1xi 2
C2
B 2 − A 2 p1
Cj
B j − A j p j−1
Por
lo tanto
una vez calculados
qj
Este
algoritmo
es de los
gran
yeficiencia
pj de forma
j=1
y secuencial
superior desde
a otras
hasta N se puede recalcular las xj,i
alternativas como la inversión de
desde j=N hasta j=1:
matrices
o
métodos
x i, j−1 = q numéricas
resolución
j−1 − p j−1 ⋅ x j,i
de
32
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Método
BP
©
Var. Entr.
Perfiles
Aplicación
Tj(k), Vj(k)
Tj(k+1) Cálculo T Burbuja
Vj(k+1) Balances de
Energía modificados
Sistemas con un estrecho rango de
{Kj,i(k)}
volatilidades
Vj(k+1) BM con
SR
Tj(k), Vj(k)
{Kj,i(k)}
L(jk + 1 )
=
L(jk )
c
⋅ ∑ x j, i
i =1
Sistemas con un amplio rango de
volatilidades
Tj (k+1) Balances de
Energía
c
⋅ ∑ x j, i
Lj(k), xj(k)
L(jk + 1 )
Newton
2N
Tj(k), Vj(k)
{Kj,i(k)}
Resolución de los BE y
relaciones de equilibrio
simultáneamente
(Newton-Raphson)
SC
o
Newton
global
Tj(k), Vj(k),
Resolución de todas las
SRI
Lj(k), yj,i(k),
xj,i(k)
=
L(jk )
i =1
ecuaciones MESH de
forma simultánea
Extracción L-L. Se itera sobre las
composiciones para obtener los
coeficientes de actividad
Sistemas con un intervalo de
volatilidades intermedio
Más generales y poderosos
(sist. altamente no ideales, columnas
alimentadas con vapor directo o sin
condensador, dest. Azeotrópica)
33
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Método
BP
©
Var. Entr.
Perfiles
Aplicación
Tj(k), Vj(k)
Tj(k+1) Cálculo T Burbuja
Vj(k+1) Balances de
Energía modificados
Sistemas con un estrecho rango de
{Kj,i(k)}
volatilidades
Vj(k+1) BM con
SR
Tj(k), Vj(k)
{Kj,i(k)}
L(jk + 1 )
=
L(jk )
c
⋅ ∑ x j, i
i =1
Sistemas con un amplio rango de
volatilidades
Tj (k+1) Balances de
Energía
SRI
Lj(k), xj(k)
Newton
2N
Tj(k), Vj(k)
SC
o
Newton
global
Tj(k), Vj(k),
{Kj,i(k)}
Lj(k), yj,i(k),
xj,i(k)
c
+
(
k
1
)
(
k
)
9
L jMuy =sensibles
L j ⋅ ax los
j, i
i =1
∑
Extracción L-L. Se itera sobre las
puntoscomposiciones
iniciales de partida
(opt. loc.).
para obtener
los
coeficientes de actividad
9 Aplicación de otro método riguroso para encontrar
Resolución de los BE y
buenas estimaciones iniciales.
relaciones de equilibrio
Sistemas con un intervalo de
simultáneamente
volatilidades
intermedio
9 Se
pueden agrupar de distintas
formas las
ecuaciones:
(Newton-Raphson)
c elevado
N pequeño
⇒ ec.
tipos (BM,
BE, Eq)
Máspor
generales
y poderosos
Resolución
deytodas
las
(sist. altamente no ideales, columnas
ecuaciones
de
c pequeñoMESH
y N elevado
⇒ ec. por etapas
alimentadas con vapor directo o sin
forma simultánea
condensador, dest. Azeotrópica)
34
©
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Métodos Punto de Burbuja (BP)
Métodos Suma de Caudales (SR)
Suponer perfil de Tj(k), Vj(k) y Kj,i(k)
Métodos
Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales)
(BP)
(SR)
Newton 2N
Normalizar las xj,i
Cálculo de Tj
(k+1)
e yj,i (N Ptos de burbuja)
Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Cálculo de Vj(k+1)
Cálculo de
L(jk + 1 )
=
L(jk )
c
⋅∑ x
i =1
j, i
Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j)
Normalizar xj,i
BE modific. (Matriz bidiagonal)
♦
Cálculo yj,i (Kj,i(k))
Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i)
Cálculo de Tj(k+1)
k=k+1
No
BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Tj(k) =Tj(k+1)
Vj(k) =Vj(k+1)
Si
Fin
V j = L j−1 −
j −1
∑ ( Fm
m =1
− W m − U m ) 35
− V1
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Métodos Punto de Burbuja (BP)
©
Métodos Suma de Caudales (SR)
Suponer perfil de Tj(k), Vj(k) y Kj,i(k)
Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales)
(BP)
Métodos
Normalizar las xj,i
Cálculo de Tj
(k+1)
e yj,i (N Ptos de burbuja)
Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
Cálculo de Vj(k+1)
BE modific. (Matriz bidiagonal)
♦
Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i)
Newton 2N
Cálculo de Tj(k+1) y
Vj(k+1) resolviendo
simultáneamente los
BE, relaciones de
equilibrio
k=k+1
No
Tj(k) =Tj(k+1)
Vj(k) =Vj(k+1)
Si
Fin
36
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
Métodos Punto de Burbuja (BP)
Cálculo de Vj(k+1)
BE modific. (Matriz bidiagonal)
H j ≡ L j−1 ⋅ h L j−1 + Vj+1 ⋅ H Vj+1 + Fj ⋅ H Fj − ( L j + U j ) ⋅ h L j − ( Vj + W j ) ⋅ H Vj − Q j = 0
L j −1 = V j +
j−1
∑ ( Fm
m =1
− W m − U m ) − V1
α jVj + β jVj+1 = γ j
α j = h L j−1 − H Vj
β j = H Vj+1 − h L j
⎡ j−1
⎤
γ j = ⎢ ∑ (Fm − Wm − U m ) − V1 ⎥ ( h L j − h L j−1 ) + Fj ( h L j − H Fj ) + W j ( H Vj − h L j ) + Q j
⎢⎣ m =1
⎥⎦
37
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
©
Métodos Punto de Burbuja (BP)
Cálculo de Vj(k+1)
BE modific. (Matriz bidiagonal)
α jVj + β jVj+1 = γ j
⎡β 2 0
⎢α β
3
⎢ 3
⎢ 0 α4
⎢
⎢ ... ...
⎢ ... ...
⎢
⎢ ...
⎢ ...
⎢
⎢ ...
⎢ ...
⎢
⎢ 0 ...
⎢
⎢ 0 ...
⎢⎣ 0 ...
0
0
0 ... ...
...
0
0
0 ... ...
...
β 4 0 0 ... ...
...
... ... 0 α N −3 β N −3
α N −2
... ... 0
0
... ... 0
0
0
0
β N −2
α N −1
0 ⎤ ⎡ V3 ⎤ ⎡γ 2 − α 2V2 ⎤
⎥
0 ⎥⎥ ⎢⎢ V4 ⎥⎥ ⎢⎢ γ 3
⎥
⎥
0 ⎥ ⎢ V5 ⎥ ⎢ γ 4
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⋅
=
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
0 ⎥ ⎢VN − 2 ⎥ ⎢ γ N −3 ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
0 ⎥ ⎢VN −1 ⎥ ⎢ γ N − 2 ⎥
β N −1 ⎥⎦ ⎢⎣ VN ⎥⎦ ⎢⎣ γ N −1 ⎥⎦
38
©
Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS
Métodos de Suma de Caudales Isotermos (SRI)
Suponer perfil de LjII(k) Tj(k)
Suponer xj,i
¾¾
I
¾¾
Calcular xj,i (BM)
II
Cálculo de γj,iI, γj,iII y Kj,i=xj,iII/xj,iI= γj,iI/γj,iII
Cálculo xj,iI ( c sistemas tridiag.)
xj,iI(Sup.) =xj,iI (Cal.)
No
Si
k=k+1
No
=
Extracción
Extracción
Líquido-Líquido
Líquido-Líquido
L
(γ(γ
L
i ).
).
i
Calcular xj,iII= Kj,i·xj,iI
Norm. y Calc. γj,iII, Kj,i
c
⋅ ∑ x IIj, i
i =1
LjII(k+1) = LjII
Si
Todas
j
Todas las
las TT
j
especificadas
especificadas
Calcular γj,iI, Kj,i
Cálculo de LjII(k+1)
LIIj ( k )
Aplicable
Aplicable en
en
operaciones
operaciones
isotermas.
isotermas.
Normalizar xj,iI
Calcular xj,iII= Kj,i·xj,iI
L IIj ( k + 1 )
¾¾
(k)
Fin
39
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Índice
1. Métodos de Simulación vs. Métodos de Diseño
2. Principales Métodos Rigurosos
3. Últimas tendencias 3.1. M. Dentro-fuera
4. Ejemplo numérico
3.2. M. de Relajación
3.3. M. Homotópicos
3.4. Prog. Disyuntiva
40
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
3. Últimas tendencias
3.1. Métodos Dentro-Fuera (Inside-Out)
¾ Reducir los esfuerzos para resolver el problema al evitar calcular
las K y H con modelos termodinámicos complejos.
¾ Se componen de dos bucles:
•bucle
interno, se resuelven las ecuaciones MESH (utilizando el
método BP, SR, SC… y modelos termodinámicos sencillos)
•bucle
externo, se calculan los parámetros específicos de modelos
más sencillos.
Kj,i = exp(Aj,i-Bj,i/Tj)
HV,j=HV,j°+∆HV,j con ∆HV,j=cj-dj(Tj-Tref)
hL,j = hL,j° +∆hL,j con ∆hL,j = ej - fj (Tj-Tref)
41
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS (Método Inside-Out)
Suponer perfil de Tj(k) y Vj(k)
Calculo xj,i ( c matrices tridiag.)
(BP)
Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos burb.)
(SR)
c
( k +1)
= L(jk ) ⋅ ∑ x j,i
Cálculo de L j
i =1
Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
©
Bucle Interno
modelos
Kj,i , Hj,i , hj,i
sencillos
Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j)
Cálculo de Vj(k+1)
Normal. xj,i
BE modific. (Matriz bidiag.)
Cálculo yj,i (Kj,i a Tj(k))
Cálculo de Tj(k+1) utilizando
Newton-Raphson y BE, Hj,i=f(Tj,
yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)
k=k+1
No
Tj(k) =Tj(k+1)
Vj(k) =Vj(k+1)
Fin
Si
Bucle Externo
Parámetros
modelos
sencillos
Con xj,i, yj,i, Tj
Calcular γj,i, ϕj,i, Kj,i , Hj,i , hj,i con modelos termodinámicos complejos
r=r+1
Obtener los parámetros de modelos sencillos para Kj,i, Hj,i y hj,i
No
Parámet.(r)=Parámet.(r-1)
Si
Fin
42
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
©
3.2. Métodos de Relajación
•
Utiliza ecuaciones diferenciales en estado no estacionario para los balances
de energía y de materia de los componentes.
d(Mj ⋅ x j,i )
Lj−i ⋅ x j−1,i + Vj+1 ⋅ y j+1,i + Fj ⋅ z j,i − (Lj + Uj ) ⋅ x j,i − (Vj + Wj ) ⋅ y j,i −
0
Lj−1 ⋅ hL, j−1 + Vj+1 ⋅ HV, j+1 + Fj ⋅ HF, j − (Lj + Uj) ⋅ hL, j − (Vj + Wj) ⋅ HV, j + Qj −
dt
=0
d(Mj ⋅ hL, j)
0
dt
=0
•
A partir de un conjunto supuesto de las variables de entrada, se resuelven
las ec. para diferentes intervalos de tiempo, hasta llegar a la convergencia
(régimen estacionario) donde el término acumulación será nulo.
•
La velocidad de convergencia disminuye al aproximarnos a la solución.
•
Interesante combinar la elevada velocidad de convergencia en las primeras
vueltas de los métodos de relajación, con la estabilidad y robustez del
método SC en las siguientes iteraciones.
43
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
©
3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación
•
Consisten en una deformación sistemática
“homotópica” hacia la solución deseada.
•
La función homotópica: combinación de la solución buscada y una
solución conocida del problema.
H(x,t) = t·F(x) + (1-t)·G(x)
•
•
de
la
función
Parámetro de
homotopía t
t=0 ⇒ Sol. conocida H(x)=G(x)
• ∆t
t=1 ⇒ Sol. buscada H(x)=F(x)
• Modificaciones progresivas
en las variables
44
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
©
3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación
⎤
⎡ γ i ⋅ Pi0
⎤
⎡ Pi0
H( x, t ) = t ⋅ ⎢
⋅ x i ⎥ + (1 − t ) ⋅ ⎢ ⋅ x i ⎥
ϕ
P
⋅
⎦⎥
⎣⎢ i
⎦⎥
⎣⎢ P
t=0
t=0
t=1
y
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
e
t=1
x
x
45
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
©
3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)
•
Alternativa para el diseño y simulación en sistemas multicomponentes,
incluyendo optimización secuencias de equipos.
•
Resolución simultánea de las ecuaciones MESH.
•
Novedades:
3Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas.
3Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de
restricciones lógicas).
Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un
condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo
respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría:
α + β + γ =1
β =1
⎡
⎤
⎢
⎥
L
⎛
⎞
⎡ α =1 ⎤ ⎢
⎤
⎜1+ D ⎟ ⋅ y1,i ⎥ ⎡ γ = 1
⎥ ∨⎢
⎢x = y ⎥ ∨ ⎢
⎥
⎝ D⎠
=
x
x
=
x
L
L
,
i
RD
,
i
,
i
1
,
i
L
,
i
⎣ D
⎦ ⎢ D
⎦
LD ⎥ ⎣ D
1+
⎢
⎥
KD,i ⋅ D ⎦⎥
⎣⎢
46
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
©
3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)
•
Alternativa para el diseño en sistemas multicomponentes, incluyendo
optimización secuencias de columnas…
•
Resolución simultánea de las ecuaciones MESH
•
Novedades:
3 Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas
3 Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de
restricciones lógicas).
Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un
condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo
respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría:
α + β + γ =1
− M ·( 1 − α ) ≤ x L D , i − y 1, i ≤ M ·( 1 − α )
Si α =1 ⇒⎡ 0 ≤ xLβD,i=−1 y1,i ≤ 0 ⎤⇒ xLD,i = y1,i
No
⎛ ⎛ L DL ⎞ ⎞
⎜1 +⎜ 1 + D⎟·y⎟ ·1y,i1,i
⎢
⎥
⎛ LD ⎞
⎝− ⎝ D D⎠ ⎠ ·β≤+Mx ·(1 − ·βγ)
⎡ α =1 ⎤ ⎢
⎤ −x M
·(
1
−
β
)
≤
x
=
y
·
α
+
⎜1+ ⎟ ⋅ y1,i ⎥ ⎡ γ = 1
L
,
i
L D ,i
1,i
RD ,i
LD
L
⎥ ∨⎢
D⎠
⎢x = y ⎥ ∨ ⎢
⎥
⎝
K
+
D
xL ,i = xRD,i ⎦
K D,iD+,i D
⎥
⎣ L ,i 1,i ⎦ ⎢xL ,i =
⎣
L
D
1+ D ⎥
⎢
D
D
D
Si α = 0 ⇒ −M≤ xLDK
,i − y⋅1D
,i ≤ M
⎢⎣
D,i
⎥⎦
D
− M ·( 1 − γ ) ≤ x L D , i − x RD , i ≤ M ·( 1 − γ )
47
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
3. ÚLTIMAS TENDENCIAS
©
3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)
Subproblemas NLP Iniciales
Conjunto de soluciones conocidas (con
variables binarias fijadas) que juntas
contemplan todas las posibilidades de la
superestructura.
Linealización de todas las ecuaciones no
lineales en todas las anteriores NLP
soluciones
MILP master problem
Aproximacion lineal del problema
original modelando las disyunciones
como inecuaciones relajadas
Nuevo conjunto de variables binarias (cota inferior de la F.O.)
Nuevo subproblema NLP
Cota superior
Stop?
48
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Índice
1. Métodos de Simulación vs Métodos de Diseño.
2. Principales Métodos Rigurosos
3. Últimas tendencias
4. Ejemplo numérico
4.1. Método Punto Burbuja
49
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
4. Ejemplo Numérico
Simulación de una columna de rectificación con 5 componentes mediante
el método BP
•Calcular los perfiles de T, caudales y composiciones a lo largo de una columna
de rectificación, así como las características de los productos obtenidos y los
calores intercambiados en la caldera y condensador. Especificaciones iniciales:
•Alimento (líquido saturado a 1 atm y 101 ºC): etano 3.0; propano 20.0; n-butano
37.0; n-pentano 35.0; n-hexano 5.0 kmol/h.
Para este
a 1 =atm,
valores de Klay pérdida
las entalpías
pueden calcularse
•Presión
desistema
la columna
1 atmlos
(despreciamos
de carga).
dentro de un intervalo de temperatura de 10 a 180 ºC mediante las siguientes
•Condensador parcial
ecuaciones polinómicas, utilizando las constantes que se indican.
•Caudal de destilado = 23 kmol/h
Ki = αi + βi·T + χi·T2 + δi·T3
•Reflujo = 150 kmol/h
HVi = Ai + Bi·T + Ci·T2
•N° de etapas de equilibrio (excluidos caldera y condensador) = 15
hLi = ai + bi·T + ci·T2
•El alimento se introduce en la etapa intermedia
50
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
V1
V=D
1
W1
Q1
Etapa 1
F1
V2
V2 =LD+D
L1
W2
Q2
Etapa 2
F2
UJ-1
F9
UJ
VJ+1
WJ+1
L8
QJ
Etapa j
LJ
VN-1
Etapa N-1
UN-1
VN
LN-1
Etapa N
QN
UN
LN
L9
LN-2
QN-1
Etapa N-1
WN
V10
VN-1
LN-2
VN
Etapa 9
100 kmol/h
UN-2
WN-1
FN
V9
LJ-1
WJ
FN-1
V3
L2
VJ
FJ
Etapa 2
L2
W3
Q 1=QCond.Parcial
L1 =LD 150 kmol/h
173 kmol/h
U2
V3
23 kmol/h
Etapa 1
U1
©
LN-1
N=17
Etapa N
LN=R
QN=QCaldera
51
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
Matriz tridiagonal
A
j
⋅x
j− 1 ,i
+ B
j
⋅x
j,i
+ C
j
⋅x
j+ 1 ,i
= D
©
j
Para cada componente i:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡ D1
⎢ ⎥ ⎢
B2
C2
0
0 ... ...
...
0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢ D2
A3
B3
C3
0 ... ...
...
0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢ D3
⎥⎢ ⎥ ⎢
...
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ...
...
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ...
⎥⎢ ⎥ ⎢
j
... ...
...
= − ⎡ V j + 1 + ∑ ( F m − W m − U m ) − V 1 + U j + (V j + W j )K⎥⋅i,⎢j ⎤ 1 ⎥≤=j⎢ ≤ N
⎢⎣
⎥⎦ ⎥ ⎢
m =1
⎢
⎥
... ...
...
⎥⎢ ⎥ ⎢
= − ( V 2 + ( F1 − W 1 − U 1 ) − V1 + U 1 + (V 1 + W 1 )·K 1, i ) ... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ...
D 0
D 0
LD+D 0 0
0
... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢ ...
⎥
...·40. 70A)N−=2 − B
CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢ DN−2
= − ...
( L D + D ·K 1, i )= − (150 ...
N−2. 09
+ 23
258
⎥⎢ ⎥ ⎢
...
... ... 0 0 AN−1 BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢ DN−1
f(T1=101 ºC)
...
... ... 0 0
0 AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣ DN
B1
C1
-258.09
A2
0
...
...
...B
j
...
...B 1
...
0B 1
0
0
0
0
0 ... ...
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
52
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
Matriz tridiagonal
A
j
⋅x
j− 1 ,i
+ B
j
⋅x
j,i
+ C
j
⋅x
j+ 1 ,i
= D
©
j
Para cada componente i:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
A2
B2
C2
0
0 ... ...
...
0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢
0
A3
B3
C3
0 ... ...
...
0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
...
...
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
...
...
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
...C = V K
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
j
j+ 1
i , j+1 1 ≤ j ≤ N - 1
⋅⎢ ⎥ =⎢
⎥
...
... ...
⎢ ⎥ ⎢
C 1 = V 2 ·K 2, i = ( L D + D ) ·K 2, i = (150 + 23 )· 4 . 70 = 813 . 01 ⎥
...
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
...
... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢
f(T2=101 ºC)
⎥
0
...
... ... 0 AN−2 BN−2 CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
0
...
... ... 0 0 AN−1 BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢
0
...
... ... 0 0
0 AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣
B1
C1
-258.09
813.01
0
0
0 ... ...
...
D1
D2
D3
...
...
...
...
...
...
DN−2
DN−1
DN
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
53
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
Matriz tridiagonal
A
j
⋅x
j− 1 ,i
+ B
j
⋅x
j,i
+ C
j
⋅x
j+ 1 ,i
= D
©
j
Para cada componente i:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
B1
C1
-258.09
813.01
A2
0
...
B2
A3
...
...
...
...
...
...
0
0
0 ... ...
C2
B3
0
C3
0 ... ...
0 ... ...
0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
...
0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢
...
0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
... ...
⎢
D j = − F j z ij ⎥⋅ ⎢1 ≤ j ⎥≤=N
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
D 1 = − F1 · z⎥1,i = 0
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢
⎥
BN−2 CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
AN−1 BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢
0 AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣
...
...
0
0
...
...
... ... 0 AN−2
... ... 0 0
0
...
... ... 0
0
D
01
D2
D3
...
...
...
...
...
...
DN−2
DN−1
DN
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
54
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
Matriz tridiagonal
A
j
⋅x
j− 1 ,i
+ B
j
⋅x
j,i
+ C
j
⋅x
j+ 1 ,i
= D
©
j
Para cada componente i:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
B1
C1
-258.09
813.01
A
150
2
0
...
B2
A3
...
0
0
0 ... ...
C2
B3
0
C3
0 ... ...
0 ... ...
...
...
j−1
...
A j = V j + ∑ ( F m − W m − U m ) − V1
2 ≤ j≤ N
m =1
...
...A 2 = V 2 + ( F1 − W1 − U 1 ) − V1 = L D = 150
... LD+D 0
0
...
0
...
0
...
0
0
D
... ... 0 AN−2 BN−2
... ... 0 0 AN−1
... ... 0
0 ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
...
0 ⎥⎥ ⎢x2 ⎥ ⎢
...
0 ⎥ ⎢x3 ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
⋅⎢ ⎥ =⎢
⎥
... ...
⎥⎢ ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢... ⎥ ⎢
... ⎥ ⎢⎢... ⎥⎥ ⎢⎢
⎥
CN−2 0 ⎥ ⎢xN−2⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
BN−1 CN−1⎥ ⎢xN−1 ⎥ ⎢
AN BN ⎥⎦ ⎢⎣xN ⎥⎦ ⎢⎣
...
0
0
D
01
D2
D3
...
...
...
...
...
...
DN−2
DN−1
DN
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
55
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Resolución Matriz bidiagonal
α jVj + β jVj+1 = γ j
0 0 0 ... ...
...
0 ⎤ ⎡ V3 ⎤ ⎡γ 2 − α 2 V2 ⎤
⎡β 2 0
α
=
−
H
H
⎢αj β L j−1 0 V0j 0 ... ...
⎥
⎥ ⎢ V ⎥ ⎢
...
0
γ
3
4
3
3
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢β 0j = H
⎥
...
0 ⎥ ⎢ V5 ⎥ ⎢
αV4j+1 −βH
γ4
4 L j0 0 ... ...
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
j−1
...
...
...
...
...
⎤
⎡
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
H F⎥j ) ⎢+ W
⎢γ...
⎥ Vj ⎢− H L...j ) + Q⎥j
j = ⎢ ... (Fm − Wm − U m ) − V1 ⎥ (H L j − H L j−1 ) + Fj (H L j −...
...j (H
⎣m=1
⎦
⎢
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
γ
−
α
·(
L
+
D
)
...
2... ⎥D ⎢ ... ⎥ ⎢
⎢ ...
⎥
β 2 ·V3 = γ 2 − α 2 ·V2 ⇒ V3 = 2
=
⋅
⎥
⎢ ...
β 2 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢
...
...
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
LD+D
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢
...
⎥
⎢ ...
⎥
⎢ ...
γ
−
α
·
V
... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢
...
j
j
j
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
V
=
⎢ 0 ... j+1
... ... 0 α N− 3 β N− 3
0
0 ⎥ ⎢ VN− 2 ⎥ ⎢ γ N− 3 ⎥
β
⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢
j0
0
...
...
...
0
0
V
α
β
γ
N− 2
N− 2
N− 2
⎥
⎥ ⎢ N−1 ⎥ ⎢
⎢
... ... 0
0
0
α N−1 β N−1 ⎥⎦ ⎢⎣ VN ⎥⎦ ⎢⎣ γ N−1 ⎥⎦
⎣⎢ 0 ...
∑
56
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Cálculo de Tª de burbuja
f iV
= fi
P · y i ·ϕi =
Suponer yi
L
Suponer T
pio , ϕi , γ i
0
p i ·γ i ·x i
yi,cal =
ϕi = f (P, T, y i )
γ i = g (P, T , x i )
p i0 = h ( T )
NO
pi0 ·γ i ·x i
P·ϕi
∑ yi,cal = 1
SI
y i ,sup = y i ,cal
NO
SI
FIN
57
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Cálculo de Tª de burbuja
Vapor
ideal
f iV
= fi
P · y i ·ϕi =
L
Líquido
ideal
Suponer yi
Suponer T
pio , ϕi , γ i
0
p i ·γ i ·x i
1
1
ϕi = f (P, T, y i )
γ i = g (P, T , x i )
p i0 = h ( T )
yi,cal =
NO
pi0 ·γ i ·x i
P·ϕi
∑ yi,cal = 1
SI
y i ,sup = y i ,cal
NO
SI
FIN
58
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Fase Vapor no ideal:
Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial)
⎡ m
⎤ P
ln ϕ i = ⎢ 2 ∑ y j B ij − B mezcla ⎥
⎣ j=1
⎦ RT
Pv
B C
= z = 1 + + 2 + ...
RT
v v
B mezcla = ∑ ∑ y i y j B ij
i
B ij =
RTcij
Pcij
f
j
[f (T
( NP)
Bij = B ji
( NP )
Rij
]
)
, ωijH + f ( µ ) (TRij , µ Rij ) + f ( AS ) (TRij , ηij )
0
si µRi≤4
0
⎡
0.330 0.1385 0.0121
0.46 0.50 0.097 0.0073⎤
= 0.1445−
− 2 − 3 + ωi ⎢0.073 +
−
− 3 − 8 ⎥
TRi
TRi TR2
TRi
TRi
TRi
TRi ⎥⎦
⎢⎣
i
(
)
(
f (µ ) TR i , µ R i = −5.237220 + 5.665807 ln µ R i − 2.133816 ln µ R i
(
si µRi≥4
)
0.2525373 ln µ R i
(
)
(
2.283270 ln µ R i
[ (
3
)
2
+
2
+
[
1
5.769770 − 6.181427 ln µ R i +
TR i
(
− 0.2649074 ln µ R i
f (AS) TR i , ηi = −ηi exp 6.6 0.7 − TR i
)
)]
)]
3
59
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Fase Líquida no ideal:
Cálculo de coeficientes de actividad (NRTL)
∑ τ ji G ji x j
ln γ i =
j
∑
G ki x k
+
∑∑
j
k
k
(
G ji = exp − α ji τ ji
τ ji =
g ji − g ii
RT
=
⎛
⎜
⎜ τ ij −
G kj x k ⎜
⎜
⎝
G ij x j
)
∑ τ rj G rj x r ⎞⎟
r
⎟
G
x
∑ kj k ⎟⎟
k
⎠
α ij = α ji
A ji
T
A ji = A cji + A Tji (T − 273 .15 )
α ji = α cji + α Tji (T − 273 .15 )
Dependencia de los parámetros y de
la constante de ordenación con la
temperatura
60
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Perfiles de T
140
130
120
110
T (ºC)
100
90
80
70
60
50
40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Piso
61
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Perfiles de Caudales de Vapores
220
200
180
kmol/h
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Piso
62
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Perfiles de xj (LK)
1
0.9
xj (Clave ligero)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Piso
11
12
13
14
15
16
17
18
63
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
4. EJEMPLO NUMÉRICO
©
Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100
Perfiles de yj (LK)
1.2
yj (Clave ligero)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Piso
11
12
13
14
15
16
17
18
64
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Ejemplo Numérico 2
•Utilizando el método BP de Wang-Henke, calcúlese la composición de los
productos, temperaturas de las etapas, composiciones y flujos de las corrientes
de vapor y líquido interetapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor
y líquido interetapas, servicio del ebullidor y servicio del condensador que
resultan, para las especificaciones de la siguiente columna de destilación :
•Alimentación (líquido saturado a 250 psia y 213.9ºF) . Componente lbmol/h:
acetona 30.0; n-hexano 5.0; n-heptano 35.0
•Presión de la columna = 250 psia (despreciamos la pérdida de carga).
•Condensador parcial y ebullidor parcial
•Caudal de destilado = 23.0 lbmol/h
•Reflujo = 150 lbmol/h
•N° de etapas de equilibrio (excluidos el condensador y el ebullidor) = 15
•La alimentación se introduce en la etapa intermedia
65
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
Nomenclatura
0
j=1
0
j=f
©
D
caudal molar de destilado
Vj
caudal de vapor que abandona el piso j
Lo
reflujo externo
caudal de vapor que llega al piso j-1
V’j
B
caudal molar de residuo
Vj = V’j si no se introduce ninguna corriente de
Piso 0 vapor
condensador
entre los pisos j y j-1
Piso
primer
plato que
de la
columna el(cabeza)
de líquido
abandona
piso j
Lj 1 caudal
j=N
B
N+1
Conclusiones
Piso
pisodedelíquido
alimentación
que llega al piso j+1
L’j f caudal
Piso
Nj si entre
último
lospiso
pisosdej ylaj+1
columna
no se (base)
introduce
Lj = L’
ningún líquido
Piso N+1 caldera
1.
Se ha realizado una revisión y análisis de los métodos para el cálculo de
operaciones de separación multicomponentes.
2.
Se conocen los fundamentos de los métodos utilizados por los simuladores
comerciales con lo que se ha obtenido un conocimiento crítico para su utilización.
66
Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes
©
Temporalización
•
Clases de teoría
9h
•
Problemas en Sala de Ordenador
6h
Bibliografía
1.
Holland, C.D. “Fundamentals of Multicomponent Distillation”. McGrawHill. New York (1981).
2.
King, C.J. Separation Processes. Chemical Engineering Series, Mc. Graw
Hill. NY, 1988
3.
Kister, H.Z. Distillation Design, McGraw-Hill, Inc. NY, 1992.
4.
McCabe, W.L., Smith, J.C. & Harriot, P. “Unit Operations in Chemical
Engineering”. 5ª ed. McGraw-Hill. New York (1993).
5.
Seader, J.D. & Henley, E.J. “Separation Process Principles”. John Wiley &
Sons, New York (1998).
6.
Van Winkle, M. “Distillation”. McGraw-Hill. New York (1968).
67
Dpto. Ingeniería Química
M
étodos Rigurosos para el
Métodos
C
álculo de Operaciones de
Cálculo
Separaci
ón Multietapa en
Separación
Mezclas Multicomponentes
Área de conocimiento: Ingeniería Química
Docencia en “Operaciones de Separación”
Febrero, 2003
Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta ©
http://iq.ua.es/~jareyes/
68