Teoría aproximaciones numéricas 2003

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Fac. de Ciencia y Tecnología
CÁLCULO NUMÉRICO
¿Q UÉ ES EL CÁLCULO N UMÉRICO?
Hoy día podemos decir que ha surgido un método nuevo para la investigación teórica
de los procesos complejos que admiten descripción: se trata de la investigación de los problemas científicos naturales por medio de la matemática de cálculo. Las inve stigaciones de tal
índole se efectúan en base de la descripción matemática de los procesos físicos mediante un
modelo matemático (descripción aproximada del proceso en forma de ecuaciones algebraicas,
diferenciales o integrales) y la resolución final de los problemas matemáticos correspondientes en la computadora digital con ayuda de algoritmos de cálculo (serie de operaciones aritméticas y lógicas que ayudan a encontrar la solución del problema matemático formulado y es
de esperar, que también del problema físico, con una precisión determinada).El desarrollo de los métodos numéricos, que se pueden programar en una computadora, pues consisten en la elaboración e investigación de los algoritmos de cálculo y la aplicación de estos a la resolución de problemas concretos, constituyen el contenido del CÁLCULO
NUMÉRICO.De manera general la matemática numérica o el cálculo o análisis numérico, puede entenderse como una parte de la matemática orientada hacia la búsqueda de algoritmos con vistas a su tratamiento por computadora. De ahí que, desde el punto de vista matemático, se considere a la informática como complemento, pues es el instrumento auxiliar que permite poner
en práctica los algoritmos y llegar a resultados numéricos.Podemos decir que el cálculo numérico es tanto una ciencia como un arte. Como cie ncia, está interesado en desarrollar algoritmos, sustituir cantidades no resolubles matemáticamente por aproximaciones que nos permitan obtener la solución con determinada precisión,
etc. Como arte, está interesado en seleccionar entre diferentes métodos el más adecuado para
obtener la solución de un problema en particular y la conveniente aplicación del mismo. Todo
lo dicho hace que aquella persona que desee practicar cálculo numérico, necesitar desarrollar
su experiencia y, con ello esperar que se desarrolle su intuición.Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones numéricas tan
cercanas al valor exacto como se desee y, por tanto, se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar.FUENTES DE ERROR
Generalmente el error se origina en dos áreas: el correspondiente a la formulación matemática del problema, y el error en que se incurre en la determinación numérica de la solución: error de cómputo. Los errores correspondientes a la formulación matemática del problema incluyen al que se comete cuando la proposición matemática del mismo es únicamente
una aproximación a la situación física. Estos errores son frecuentemente despreciables, en caso contrario, habrá un error significativo en el resultado, sin importar que tan exactos hayan
sido los cálculos numéricos. Otra fuente de estos errores es la falta de exactitud en los datos
físicos (por ejemplo, la constante gravitacional), también generalmente son despreciables. Pero, cuando son el resultado de errores en los datos empíricos, la validez de la solución calculada debe ser cuidadosamente estimada en función de estos errores. Además, como tales errores son usualmente casuales, su tratamiento analítico puede resultar completamente difícil.Aproxiones Numéricas
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Existen tres fuentes principales de error de cómputo:
r
error por equivocación, errores en la formulación del modelo y la incertidumbre en la formulación de los datos.-
r
error por truncamiento
r
error por redondeo.-
Los primeros, son familiares a todas las personas que usan calculadoras de escritorio o
únicamente papel y lápiz. Las computadoras han reducido enormemente la probabilidad de tales errores, pero cuando no puede ser realmente verificada la exactitud de una solución, no
debe ignorarse la posibilidad de que aparezcan. Sin embargo, estamos particularmente interesados aquí en las otras dos fuentes de error de cómputo.Los errores de truncamiento representan la diferencia entre la formulación matemática
exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico, es decir, de no resolver el problema como fue formulado, sino obtener más bien una aproximación del mismo. Este error usualmente es causado al sustituir un proceso infinito (suma o integración), o un proceso infinitesimal (diferenciación), por una aproximación finita. Por ejemplo: cálculo de funciones como sen x; cos x; ex ; etc, usando los primeros n términos de su desarrollo en serie;
empleo de constantes que no pueden representarse exactamente, como los números irracionales como 5 , π y e o fracciones como 1/3; 1/6; 2/3; etc, transformaciones del sistema decimal
al binario y viceversa. A este tipo de error en todas sus variadas formas se le llama error por
truncamiento, ya que frecue ntemente es el resultado del truncamiento de un proceso infinito
para obtener un proceso finito. En todos los procedimientos numéricos que consideremos debemos estimar o al menos acotar este error (pues de conocerse, por supuesto lo conveniente
sería eliminarlo).La otra fuente de error de importancia para nosotros, es el causado por el hecho de que
los cálculos aritméticos casi nunca pueden llevarse a cabo con una completa exactitud; ya que
la computadora sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos. No obstante, aun si los datos de un problema pueden ser expresados exactame nte por representaciones
decimales finitas, la división puede introducir números que deban ser redondeados y la multiplicación puede producir más dígitos de los que puedan ser razonablemente retenidos. El error
que introducimos al redondear un número será llamado error de redondeo, y es el que resulta
de desprender al o los dígitos menos significativos de un número y ajustar el número remanente de manera que se aproxime tanto como sea posible al número original.De acuerdo con lo visto hasta ahora, podemos decir que truncar es el proceso de descartar dígitos no deseados sin redondear el resultado. Se puede verificar que el error por redondeo es menor o igual que el de truncamiento.EJEMPLO 1: El número 1,999 con tres cifras decimales, se redondea al entero 2, pero
se trunca al entero 1.Los errores introducidos por truncar (pérdida de exactitud) se propagan a través de futuros cálculos, y puede en casos extremos, destruir la validez del resultado obtenido. En consecuencia, un aspecto importante en el estudio de errores es el referente a la propagación de
los mismos, es decir, poder estimar el error en el resultado debido al efecto de los errores en
los operandos, así como la manera de reducir esta propagación de errores.-
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ARITMÉTICA DE COMPUTADORA
En una computadora, se emplea sólo un subconjunto relativamente pequeño del conjunto de los números reales para representar a todos ellos, en efecto, como hemos dicho la
computadora no almacena números como 2/3, 2, π, etc. En lugar de ellos emplea lo que se
denomina aritmética de punto flotante. En este sistema un número se representa en la forma
decimal normalizada
± 0.d1 d2 d3 ...dk × 10 n , 1 £ d1 £ 9, 0 £ di £ 9 (1) para cada i = 2, 3, ..., k donde .d1 ,
d2 ,d3 ,…dk son números enteros positivos de un sólo dígito y n es un entero. A todo número
escrito de esta forma se le llama número de punto flotante. En la ecuación (1) al número ±
0.d1 d2 d3 ...dk, que es la parte fraccionaria, se lo llama mantisa, y a la parte exponencial de exponente n, característica. Al número k se le llama número de dígitos significativos de la expresión y depende de la precisión de la máquina.EJEMPLO 2: expresemos los siguientes números en forma de punto flotante
i. 1/2 = 0.5
ii. 1578 = 0.1578 × 104
iii. - 0.0009371 = - 0.9371 × 10 - 3
iv. 23.74 = 0.2374 × 102
Cualquier número real positivo y puede seránormalizado para que adquiera la forma
y = 0.d1 d2 d3 ...dk dk + 1 dk + 2 × 10 n ,
si suponemos que y está dentro del rango numérico de la máquina. La forma de punto flotante,
denotada por
fl(y)
se obtiene terminando la mantisa de y en k dígitos decimales. Existen dos maneras de realizar
esta operación. Un método es simplemente cortar los dígitos d k + 1 d k + 2 ... para obtener
fl(y) = 0.d 1 d 2 d 3 ...d k × 10 n.
En este caso decimos que estamos cortando o truncando el número. El otro método
consiste en añadir 5 × 10 n - ( k + 1) a y y luego cortar para obtener
fl(y) = 0.δ 1δ 2δ 3 ... δ k × 10 n ,
decimos entonces que estamos redondeando el número. En este método si d k + 1 ≥ 5 sumamos 1 a d k para obtener fl(y), es decir redondeamos hacia arriba. Si d k + 1 < 5, simplemente
cortamos todos excepto los primeros k dígitos, así redondeamos hacia abajo.Es fácil notar que cada vez que introducimos un número en la computadora los errores
por truncamiento o por redondeo comienzan a acumularse.EJEMPLO 3: El número π tiene una expansión infinita
π = 3,14159265...= 0.314159265... × 10 1 .
Supongamos k = 5, truncando resulta
fl(π) = 0.31415 × 10 1 = 3.1415.
y redondeando, como el sexto dígito es 9, resulta
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fl(π) = (0.31415 + 0.00001) × 10 1 = 3,1416.
Pese a que los errores debidos al truncamiento o al redondeo no son, aparentemente,
muy importantes debemos tener en cuenta que en los procesos computacionales se realizan
miles de pasos y en consecuencia los errores acumulados pueden tener efe ctos devastadores.
Entonces cuando analicemos cualquier proceso numérico, debemos conocer no sólo como obtener la respuesta correcta, sino también como evaluar la forma en la que se acumulan los
errores. Lo dicho nos induce a definir dos tipos de error que nos permitirán el manejo claro y
más preciso de nuestra tarea computacional.
Sea x el valor real o exacto del número y x* el número que nos da la computadora, entonces:
ERROR ABSOLUTO : ε a se define como
ε a = |x* - x|
(2)
ERROR R ELATIVO : ε r definido por
εr =
x* − x
x
(3)
siempre y cuando x ≠ 0.Se suele expresar al error relativo como
εa
x*
ε
=
−1 ; a
x
x
x*
εr =
(4)
ERROR R ELATIVO PORCENTUAL: δ es simplemente el error relativo multiplicado por
100
δ = 100 ε r
(5)
EJEMPLO 4: Determinemos el error cometido en el ejemplo 3 al redondear el valor de
π a 5 dígitos decimales
ε a = 3,1416 - 3,14159265 = 7,346 10 - 6
εr=
7,346 10-6
= 2.338 10 - 6
3,14159265
δ = 2.338 10 - 6 . 100 % = 2,338 10 - 4 %
EJEMPLO 5: El número e, con cinco cifras decimales, es igual a 2,71828, calc ulemos
el error absoluto, relativo y porcentual en que incurrimos, al tomar hasta el tercer término de
la serie.e=
2
∑
k =0
1
1
1
1
=
+
+
= 2, 5
k ! 0! 1! 2!
El error absoluto es
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ε a = | x* - x | = | 2,5 – 2,71828| = 0.21828
El error relativo es
εr=
0,21828
= 0,08030
2,71828
de modo que el error porcentual en que incurrimos al tomar 3 términos de la serie es de 8,03
% .De (2) se deduce que el número exacto x cae dentro del intervalo
x∗ − ε a < x < x* + ε a
siendo x* - ε a una aproximación por defecto de x, y x* + ε
Para mayor brevedad podemos escribir
(6)
a
una aproximación por exceso.
x = x* ± εa
(7)
ε a = ε r . x @ ε r . x*
±ε
(8)
De (4) deducimos que
Y finalmente de (5)
εr =
δ
100
(9)
Considerando que ε a = ε r . x * según (8), podemos obtener otra forma para determinar
al intervalo que contiene al valor exacto
ε a = | x* - x | = |ε r| |x*| Þ x* - x* . ε r < x < x* + x * ε r
x*(1 - ε r ) < x < x*(1 + ε r )
(10)
que también podemos expresar así
x = x*(1 ± ε r )
(11)
En la mayoría de los casos es suficiente calcular el error absoluto para determinar si el
método que proporciona el valor aproximado x* es el apropiado para estimar x; sin embargo,
como este error tiene las mismas unidades que x, no es comparable el error absoluto de dos
aproximaciones que corresponden a problemas y unidades diferentes. En efecto, si medimos
la altura de cierta torre, de altura verdadera 10m, y la distancia entre dos marcas en la tierra,
de distancia verdadera 10.000m, y en cada caso cometemos un error absoluto ε a = 1m, intuitivamente notamos que, aun cuando los errores absolutos coinciden, es mucho mas exacta la
segunda medida que la primera. La comparación entre el valor exacto y el error absoluto, esto
es, la relación del error con respeto a la magnitud en cuya determinación se ha cometido la da
el error relativo que es adimensional. Por tanto, ε r sí se puede usar para comparar métodos
numéricos que se hayan aplicado a diferentes problemas.EJEMPLO 6: determinemos la precisión de la medición, si se comete un error ε a = 1m,
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al medir una longitud de 50m.εr=
1m
= 0,02 y δ = 2 %
50 m
entonces el error cometido es de 2cm por metro.EJEMPLO 7: si al determinar una cierta magnitud se obtuvo x = 20,25, y se conoce que
el error de ese valor es de 1 ‰, los límites entre los que está comprendido el valor exacto son
δ = 1 ‰ Þ ε r = 1 × 10 - 3 Þ ε a = 20,25 . 10 - 3 = 0,02025 < 0,03
Vemos que el error obtenido es 0,02025, convendremos en redondearlo y cons iderar
0,03 como tal, generalmente se designa a este valor con el nombre de cota superior y es el
menor número posible de una sola cifra significativa obtenido a partir del error calc ulado.Entonces
20,25 – 0,03 < x < 20,25 + 0,03
20,22 < x < 20,28
O bien empleando la (10)
20,25 (1 – 0,001) < x < 20,25 (1 + 0,001)
20,22975 < x < 20,27025
DÍGITOS O CIFRAS SIGN IFICATIVAS
El uso frecuente de aritmética de redondeo en computadoras nos lleva a introducir el
concepto de cifras o dígitos significativos, que son aquellas que nos proporcionan una info rmación real sobre la cantidad representada por un número aproximado, prescindiendo de su
parte exponencial. Es obvio que un dígito de una posición muy a la izquierda nos proporciona
información mucho más importante que uno a la derecha.El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número
de dígitos, más un dígito estimado que se pueda usar con confianza.DEFINICIÓN : Se dice que el número x * aproxima a x con n dígitos o cifras
significativas si n es el entero mas grande no negativo para el cual
|x* - x| £ 10 -n
(12)
EJEMPLO 8: Los valores aproximados del número e = 2,71828183... obtenidos por redondeo conservando sus cuatro primeras cifras decimales, despreciando todas las siguientes,
son 2,7182 y 2,7183 pues difieren en el valor de e en menos de una diez milésima:
|2,7182 – 2,71828183...| = |- 8,183 × 10 – 5 | < 10 - 4 .
|2,7183 – 2,71828183...| = | 1,817 × 10 – 5 | < 10 - 4
EJEMPLO 9: si al número exacto 0,00075931 lo sustituimos por el número aproximado
0,00075 diremos que éste tiene dos cifras exactas.
|7,5 × 10 - 4 – 7,5931 × 10 – 4 | = | -9,31 × 10 – 6 | < 10 - 5 .DEFINICIÓN : si hemos redondeado haciendo redondeo simétrico o al valor más
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próximo (el dígito de la posición n queda invariable o es aumentado en una
unidad según que la parte truncada sea menor o mayor que la mitad de una
unidad de la posición n. Si es exactamente igual a la mitad de una unidad, el
dígito de la posición n es aumentado en una unidad si es impar y queda invariable en caso contrario), el error es menor que media unidad del orden decimal correspondiente
(13)
Las formas dadas en (12) y (13) reciben también el nombre de cota para el error absoluto, y se denotan: ε*a .EJEMPLO 10: dado el valor exacto 32,24632, su valor aproximado 32,24 tiene cuatro
cifras exactas pues ε*a = 10 - 2 .EJEMPLO 11: dado el valor exacto 5844291, su valor aproximado 5844000 tiene cuatro dígitos exactos y es ε*a < 10 3 .EJEMPLO 12: dado el valor exacto 0,00027631, su valor aproximado 0,000276 tiene
tres cifras decimales exactas y es ε*a < 10 - 6 .EJEMPLO 13: si x * = 2,3742 es un valor aproximado afectado de un error ε*a < 3 10 3
, determinemos un valor aproximado del mismo número exacto (desconocido) que tenga todas sus cifras exactas.Cuando en casos como este, se conoce la cota de error absoluto y no se sabe si el número ha sido redondeado por exceso o por defecto, para determinar otro valor más aproximado, que tenga todas sus cifras exactas, podemos proceder así:
Siendo 0,003 < 0,01, las cifras 4 y 2 de x * no pertenecen al valor que buscamos con todas sus
cifras exactas, por lo tanto debemos suprimirlas, con lo cual introducimos un nuevo error absoluto de 0,0042, cuya suma es inferior a
0,003 + 0,0042 = 0,0072 < 0.01
que nos indica que x * = 2,37 tiene todas sus cifras exactas.EJEMPLO 14: redondeando al valor más próximo el número π = 3,1415926535... para
cinco. cuatro y tres dígitos significativos, se tienen los números aproximados 3,1416; 3,142;
3,14 con errores absolutos inferiores a 1/2.10 - 4 ; 1/2.10 - 3 ; 1/2.10 - 2 .La exactitud de un número aproximado no depende del número de dígitos significativos sino del número de dígitos significativos exactos.Cuando un número aproximado contiene un exceso de dígitos significativos incorrectos se acude al redondeo. Como guía puede utilizarse la siguiente regla práctica
Si se ejecutan cálculos aproximados el número de dígitos significativos de los
resultados intermedios no debe exceder del número de dígitos exactos en más
de una o dos unidades.El resultado final no debe contener más de un dígito significativo en exceso sobre el
número de dígitos exactos. Si el error absoluto del resultado no excede de dos unidades del
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orden de la última cifra conservada, el dígito en exceso es dudoso.Podríamos, entonces, suponer que el número de dígitos significativos exactos de un
valor aproximado x* son todos los dígitos del mismo que satisfacen la definición de cifras
exactas. De este modo, si x1* = 0,9863 es una aproximación de x 1 = 0,98632 y si x2* = 0,0028
es una aproximación de x 2 = 0,00278, diríamos que tanto x1* como x2* tienen cuatro dígitos
significativos exactos. Pero, ¿son x1* y x2* igualmente significativos? Si constituyen respuestas finales de una computación y estamos interesados en el error absoluto, entonces ciertamente son igualmente significativos. Pero, si son los números intermedios de un cálculo que
serán usados mas tarde como divisores, entonces realmente no son igualmente significativos.
Ya que la magnitud del error en 1/ x1* es mucho menor que en 1/ x2* .ERRORES EN LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS
G ENERALIDADES : Analizaremos las reglas de redondeo en los cálculos manuales.r
1.En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta
último dígito retenido
primer dígito descartado
4,9780362
El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es
mayor de 5. De otra manera se deja igual.r
2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que el último
dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los
números que están sumando o restando. (Recuerda que un dígito en la columna de
las centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas).-
r
3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de
cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.-
r
4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales
Se puede sumar o restar el resultado de multiplicaciones o de las divisiones:
 multiplicación  +  multiplicación 

 

o
o

−

 división   división 

 

o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas:
 suma  ×  suma 

 

 o  ÷ o 
 resta   resta 

 

En ambos casos, se ejecutan las operaciones entre par‚ntesis y el resultado antes de
proceder con otra operación, en vez de redondear únicamente el resultado final.EJEMPLO 15: vamos a aplicar las reglas de redondeo a los siguientes ejemplos:
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1. Errores de redondeo
5,6723
5,67
redondeo a 3 cifras significativas
10,41
redondeo a 4 cifras significativas
7,3500
7,4
redondeo a 2 cifras significativas
88,21650
88,216
redondeo a 5 cifras significativas
1,25001
1,3
redondeo a 2 cifras significativas
10,406
2. Sumas y restas (convengamos en escribir en negrita las últimas cifras significativas
que se retienen):
a) Evaluemos 2,2 - 1,768
2,2 - 1,768 = 0,432 @ 0,4
b) Evaluemos 4,68 × 10- 7 + 8,3 × 10- 4 – 228 × 10- 6 .
Para facilitar la evaluación de este cálculo expresamos los números con un mismo expone nte:
0,00468 × 10- 4 + 8,3 × 10- 4 - 2,28 × 10- 4
De esta manera vemos claramente que el 3 es el último dígito significativo retenido, por lo
que la respuesta se redondea de la siguiente manera:
6,02468 × 10- 4 @ 6,0 × 10- 4
3. Multiplicación y división:
a) Evaluemos 0,0642 × 4,8
0,0642 × 4,8 = 0,30816 @ 0,31
b) Evaluemos 945 ÷ 0,3185
945
= 2967,032967 @ 2967
0,3185
4. Combinaciones:
a) Evaluemos [15,2 (2,8 × 10- 4 )] + [(8,456 × 10- 4 ) ÷ 0,177]
Primero efectuaremos la multiplicación y la división que está dentro de los corchetes:
[4,256 × 10- 3 ] + [4,777401... × 10- 3 ]
Ahora, antes de sumar, redondeamos las cantidades según nos lo indica la menos precisa
[4,26 × 10- 3 ] + [4,78 × 10- 3 ]
y después sumamos y redondeamos el resultado:
9,04 × 10- 3 @ 9,0 × 10- 3
b) Evaluemos
6,740 ×10 - 5 - 8,7 ×10 - 7
2,672 ×10 3 + 5,8
Antes de realizar las sumas y las restas, expresaremos los números del numerador y del deAproxiones Numéricas
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nominador de manera que en cada uno de ellos estén elevados al mismo exponente
674 ×10- 7 - 8,7 ×10- 7
2,672 ×10 3 + 0,0058 ×10 3
Ahora hacemos la suma y la resta:
665,3 ×10 - 7
2,6778 ×10 3
y redondeamos:
665 ×10- 7
2,678 ×10 3
Finalmente dividimos y redondeamos el resultado
2,4883196... × 10- 8 = 2,48 × 10- 8
Otro tipo de operación que comúnmente produce errores es la sustracción de números
cuyas primeras cifras decimales son ceros, pues pueden ocasionar una ampliación sustancial
del error cuando son usados como divisores. En cálculo s numéricos la sustracción, es la fuente más común de números cuyas primeras cifras decimales son ceros. Supongamos que todos
los dígitos de los valores aproximados y1* = 2.78493 e y2* = 2.78469 son significativos. Entonces el error en la diferencia
y1* - y2* = 0.00024
tiene como magnitud máxima 10- 5 (suma de las magnitudes máximas de los errores de y1* e
y2* ).
Pero, si y1* - y2* se usa posteriormente como divisor, la magnitud del error será mucho
mayor.
Notemos que el error relativo de y1* es menor que
1×10 − 5
εr =
≅ 3,6 ×10 −6
2,78493
mientras que en y1* - y2* puede ser tan grande como
εr =
1×10 − 5
≅ 4,2× 10 − 2
0,00024
De este modo podemos decir que si la suma o diferencia de dos números causan un incremento en el error relativo, entonces puede ocurrir una ampliación sustancial del error si el resultado anterior es posteriormente usado como divisor. Este es un fenómeno que el analista
numérico debe tener continuamente presente.Hemos visto que al realizar operaciones nos vemos obligados a introducir números
que no son exactos. Es importante saber como influye el error de éstos en el resultado final de
una evaluación.
Consideremos dos magnitudes x e y de cuyos valores sabemos que
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x = x* ± εax
e
y = y* ± εay
Para simplificar notación denotaremos εx a ε ax y εy a ε ay; supondremos, además, que las cotas
de error son muy pequeñas con respecto a los valores exactos de los datos.
ERROR DE LA SUMA: la suma x + y puede valer como máximo
x* + y* + εx + εy
y como mínimo
x* + y* - εx - εy
en consecuencia podemos escribir
x + y = (x* + y*) ± (εx + εy)
Entonces podemos enunciar que: en la suma las cotas de error absoluto se suman.EJEMPLO 16: Se han medido las longitudes de dos vigas, con los siguientes resultados
4,8 ± 0,2 y 4,2 ± 0,1. Queremos conocer la longitud de las dos vigas unidas.
La medida exacta de la primera está entre 4,6 y 5,0 y la de la segunda entre 4,1 y 4,3.
Como pretendemos conocer la longitud de las dos vigas unidas encontramos que la longitud
máxima la obtenemos al sumar 5,0 + 4,3 = 9,3 y la mínima 4,6 + 4,1 = 8,7. Finalmente podemos estimar que la longitud total es
x + y = (x* + y*) ± (εx + εy) = 9,0 ± 0,3
en donde hemos sumado los errores absolutos.ERROR DE LA DIFERENCIA: la diferencia entre x e y tiene como valor máximo el que
obtenemos al considerar mayor valor posible para x y el menor valor posible para y, es decir
(x* + εx) – (y* - εy) = x* + εx – y* + εy = (x* - y*) + (εx + εy)
y es mínima cuando consideramos el menor valor para x y el mayor para y
(x* - εx) – (y* + εy) = x* - εx – y* - εy = (x* - y*) - (εx + εy)
entonces
x - y = (x* - y*) ± (εx + εy)
Enunciamos entonces que: en toda diferencia, las cotas de error absoluto se suman.EJEMPLO 17: encontremos ahora, la diferencia entre la longitud de las vigas del ejemplo anterior.
El valor máximo de esta diferenta será:
(4,8 + 0,2) – (4,2 – 0,1) = 9,0 + 0,3 =9,3
y el mínimo:
(4,8 - 0,2) – (4,2 + 0,1) = 9,0 - 0,3 = 8,7
entonces podemos decir que:
x - y = (x* - y*) ± (εx + εy) = 9,0 ± 0,3
Podemos concluir notando que: las cotas de error absoluto se acumulan tanto en la suma
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como en la diferencia.Estudiemos ahora, que es lo que sucede en las sumas y diferencias con las cotas de
error relativo.EJEMPLO 18: retomemos el ejemplo de las vigas.
a)
Suma
ε( x + y)
ε( x + y)
εx + εy
0,3
→
=
=
= 0,033 ≅ 3%
x+y
x+y
x * +y * 4,8 + 4,2
ε r ( x + y) =
b)
Diferencia:
ε r ( x − y) =
ε( x − y)
ε( x − y)
εx + εy
0,3
0,3
→
=
=
=
0,5 ≅ 50%
x− y
x− y
x *− y * 4,8 − 4,2 0,6
La diferencia presenta un 50 % de error pues, como vimos, en el denominador aparece la resta
de dos números casi iguales y esto provoca un error relativo muy grande.ERROR DE LA PRODUCTO : Para el producto el error es:
ε (xy) = | xy – x*y* |
Sabemos que xy =| (x* ± εx) (y* ± εy) | = x*y* ± x* εy ± y* εx ± εx εy, y como hemos supuesto que los errores son muy pequeños, podemos desechar el último sumando ya que se trata de un producto de esos números y por tanto es más pequeño aún. Obtenemos entonces
xy = x*y* ± x* εy ± y* εx
xy - x*y* = x* εy ± y* εx
que es el error del producto, entonces
ε(xy)= | x* εy ± y* εx |
Si buscamos las cotas del error relativo simplificamos la expresión de error obtenida:
ε r ( xy) =
ε ( xy ) | x* εy + y *εx | | x * εy + y *εx | ε x ε y
=
→
=
+
xy
xy
xy
x
y
Entonces:
ε r (xy) = ε r x + ε r y
EJEMPLO 19: Los lados de un rectángulo medidos con una regla graduada en cm, dan
x = 12,5 ± 0,5 cm. e Y = 17,5 ± 0,5 cm. Calculemos el área del mismo
A = 12,5 × 17,5 = 218,75
el error relativo es:
εr x + εr y =
0,5
0,5
+
≅ 0,07 = 70%
12,5 17,5
Podemos generalizar lo mostrado para más de dos factores, la cota de error relativo
del producto es la suma de los errores relativos de los factores.ERROR DE LA COCIENTE: De manera análoga podemos demostrar que en el cociente la
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cota de error es
εr (
x
) = εr x + εr y
y
Entonces la cota del error relativo de un cociente es la suma de las cotas del dividendo y divisor.Y en general la cota de error relativo en el producto y el cociente es la suma de las cotas de
error relativo.EJEMPLO 20: Para estimar la velocidad de un vehículo se dispone de la siguiente información: ha recorrido s = 450 ± 10 metros en t = 20,5 ± 0,5 segundos. Con estos datos, el
valor estimado de la velocidad es
v* =
450
= 21,95 m / s
20,5
o sea, 79,02 km/h. La cota de error relativo es
x
10
0,5
εr v = εr ( ) = εr s + εr t =
+
= 0,047 ≅ 5 %
t
450 20,5
Dado que un 5 % de 79,02 es
79,02 ×
5
= 3,95,
100
parece razonable estimar la velocidad como v = 79 ± 4 km/h.IMPRECISIONES - NUMÉRICAS
La pérdida de cifras significativas debida al error de redondeo puede evitarse, frecue ntemente, reformulando el problema. Trataremos de mostrar esto mediante algunos ejemplos.
EJEMPLO 16: Cons ideremos: x 2 + 85,15 x + 1 = 0, cuyas raíces aproximadas son
x 1 = - 0,0117456
y
x 2 = - 85,1382544
obtenidas al aplicar la fórmula resolvente de la ecuación general de segundo grado ax 2 + bx +
c = 0 con a ≠ 0 que expresa que:
x1 =
−b +
b2 − 4 ac
2a
y
x2 =
− b − b 2 − 4 ac
2a
En esta ecuación, como b 2 es mucho mayor que 4ac, nos encontramos, en el numerador del cálculo de x 1 , con que debemos resolver una sustracción de números casi iguales. Supongamos que efectuamos los cálculos usando aritmética de redondeo a cuatro dígitos, entonces
b2 − 4ac =
(85,15)2 − 4,000 = 7251 − 4,000 =
7247 = 85,13
así que
fl ( x1 ) =
−b +
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b2 − 4ac − 85,15 + 85,13 − 0,02000
=
=
= − 0,01000
2a
2,000
2,000
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es una aproximación bastante pobre de x 1 = - 0.01175. Por otro lado en los cálculos para x 2
debemos sumar números casi iguales y no encontramos ningún problema
fl ( x2 ) =
−b −
b2 − 4 ac − 85,15 − 85,13 −170,3
=
=
= − 85,15
2a
2,000
2,000
que es una buena aproximación de x 2 = - 85,14.Para obtener una aproximación más exacta de x 1 , aún con redondeo a cuatro dígitos,
podemos cambiar la forma de la fórmula cuadrática "racionalizando el numerador":
x1 =
−b +
b2 − 4 ac
2a
 − b − b2 − 4 ac 
b 2 (b 2 − 4ac)

=
 − b − b2 − 4ac  2a ( − b − b 2 − 4ac )


simplificando
x1 =
− 2c
b+
b2 − 4ac
Aplicamos esta nueva fórmula para calcular x 1
fl ( x1 ) =
− 2,000
− 2,000
=
≅ − 0,01174
85,15 + 85,13
170,3
que es un resultado preciso.Esta fórmula es la que se puede emplear para calcular x 2 , en el caso de ser b negativo
x2 =
− 2c
b−
b2 − 4ac
En nuestro ejemplo el uso de la misma provocaría resultados desastrosos pues, no sólo
tendríamos que restar números casi iguales, sino que, además emplearíamos tal diferencia
como divisor, la inexactitud que esto provoca la vemos de inmediato
x2 =
− 2,000
− 2,000
=
= −100,0
85,15 − 85,13 0,02000
PROPAGACIÓN DEL ERROR
Normalmente un cálculo numérico tiene lugar en varios pasos. En uno de tales pasos,
y a partir de dos aproximaciones x*, y*, de los números exactos x, y, formamos la aproximación z*, de z por una de las cuatro operaciones simples de la aritmética. Supongamos que x* =
x + ε1 ; y* = y + ε 2 y z = x/y. En su lugar, calculamos z* = (x*/y*) redondeando es igual a (x +
ε1 /y + ε 2 ) + ε, y, por lo tanto, tenemos z * @ z + ε. El error en z* proviene de errores propagados de x e y y además del nuevo error de redondeo. Este efecto juega un papel muy importante
en todo análisis de errores.
Para un conocimiento más detallado de la propagación de los errores debemos cons iderar separadamente los distintos tipos de errores. Comenzando con los errores iniciales, podría suceder que tuvieran un efecto fatal sobre la solución. Esto significa que pequeños cambios en los datos iniciales pueden producir grandes cambios en los resultados finales. Un
problema con esta propiedad se dice que está mal condicionado.Aproxiones Numéricas
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Los errores por truncamiento dependen usualmente de un cierto parámetro, N, tal que
N
implica que la solución "aproximada" se aproxima a la "correcta". Estos errores pueden hacerse arbitrariamente pequeños con tal de elegir N suficientemente grande o con una
longitud de intervalo suficientemente pequeño.Normalmente los errores de redondeo se acumulan en forma completamente casual, y
esto tiene el efecto de que los errores se compensen unos con otros en gran parte. Por esta razón, las estimaciones de error basadas en errores máximos, cotas, suelen ser demasiado pesimistas. Sin embargo, bajo circunstancias especiales, estos errores pueden crecer como una bola de nieve. En particular, esto puede suceder cuando un error de este tipo puede interpretarse
como un pequeño componente de una solución parásita que se quiere suprimir. Este fenómeno
se conoce como inestabilidad.Podemos ilustrar los distintos tipos de errores más explícitamente. Supongamos que
queremos calcular f(x), donde x ∈ Ñ y f es una función real sobre la que no especificamos
más. En la práctica, el número x debe ser aproximado por un número racional x*, ya que ninguna computadora almacena números con infinitas cifras decimales. La diferencia x* - x constituye el error inicial, mientras que la diferencia ε 1 = f(x*) - f(x) es el error propagado correspondiente. En muchos casos f es una función que debe ser reemplazada por una función más
simple f 1 (a menudo el desarrollo truncado de f en serie de potencias). La diferencia ε 2 =
f 1 (x*) - f(x*) es, entonces el error por truncamiento. Los cálculo s efectuados por la computadora, sin embargo, no son exactos, sino que realiza supuestas operaciones. El resultado es que
en lugar de f 1 (x*) obtenemos otro valor f 2 (x*), que es entonces un valor erróneo. La diferencia
ε3 = f2 (x*) - f 1 (x*) podría llamarse error propagado de redondeo. El error total es:
ε = f2 (x* ) - f(x) = ε 1 + ε2 + ε3
EJEMPLO 17: Supongamos que queremos determinar e1 / 3 y que los cálculos se realizan con cuatro decimales.
1ero.) tratamos de calcular e 0,3333 en vez de e1 / 3, entonces el error propagado es:
ε1 = e0,3333 - e1 / 3 = e0,3333(1 - e0,00003333…) = - 0,0000465196
2do.) Además no calculamos ex, sino en su lugar,
1+
x x2
x3
x4
+
+
+
1! 2! 3! 4!
para x = 0,3333. Luego el error por truncamiento es:
 0,33335 0,33336

ε2 = − 
+
+ L  = − 0,0000362750
5!
6!


3ero.) Por último, la suma de la serie truncada se hace con valores redondeados, resultando:
1 + 0,3333 + 0,0555 + 0,0062 + 0,0005 = 1,3955
en lugar de 1,3955296304, obtenido con 10 decimales. Así,
ε3 = - 0,0000296304
y el error total es:
ε = 1,3955 - e1 / 3 = ε 1 + ε 2 + ε3 = - 0.0001124250
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Las investigaciones sobre la propagación de errores son particularmente importantes
en los procesos iterativos en los que cada valor depende de sus predecesores. Ejemplos inmediatos de tales problemas son: sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de valores y vectores
propios y ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.-
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