capitulo 2: lenguajes

CAPITULO 2: LENGUAJES
2.1. DEFINICIONES PREVIAS
SIMBOLO:
Es una entidad indivisible, que no se va a definir. Normalmente los símbolos son letras
(a,b,c,………….., Z), dígitos (0, 1, ……….., 9) y otros caracteres (+, -, *, /, ¿, ………….).
los símbolos también pueden estar formados por varias letras o caracteres, así por ejemplo las palabras reservadas de un lenguaje de programación son símbolos de dicho lenguaje.
abc..........Z
0 1 2 . . . . . . . . . .9
Símbolos
+*?>.........
2.2. ALFABETO O VOCABULARIO:
Conjunto finito de “símbolos”. Los alfabetos se definen por enumeración de los símbolos
que contienen. Utilizaremos la letra V para referenciar un alfabeto, para definir que un
símbolo a pertenece a un alfabeto V se utiliza la notación a ϵ V.
Ej:
V
V1 = {a, b, c, ……………., z} → alfabeto castellano
a z
V2 = {0, 1} → alfabeto binario
b
d
V3 = {a, b}
2.3. CADENA SOBRE UN ALFABETO:
Toda secuencia finita de símbolos tomados de un determinado alfabeto. Puede haber repetición, es decir, un símbolo puede aparecer varias veces dentro de la cadena. También
se llama a la cadena, palabra, tira o string. Utilizaremos la letra s minúscula para referenciar una cadena.
Secuencia: → tienen un orden lineal, sucesión finita. Todos los símbolos tienen un sucesor excepto el último y todos tienen un predecesor excepto el primero.
Ej:
s1 = abcbz es una cadena del alfabeto V1
s2 = 001101 es una cadena del alfabeto V2
s3 = aaabab es una cadena del alfabeto V3
s4 = sintaxis es una cadena del alfabeto V1
2.4. LONGITUD DE UNA CADENA s:
Esta dada por la cantidad de apariciones u ocurrencias de símbolos en la cadena, es decir, cantidad de símbolos o letras que la componen. Se indica |s|
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Ej
V = {a, b}
V = {a, b, c, . . .. . . , z}
s1 = abbba
|s1| = 5
s2 = a
|s2| = 1
s1 = sintaxis
|s1| = 8
s2 = lenguajes
|s2| = 9
s3 = for
|s3| = 3
2.5. CADENA VACIA:
Es una cadena especial de longitud cero, es decir, no posee símbolos. Se indica o representa con la letra Ɛ (épsilon). | Ɛ | = 0.
2.6. PARTES DE UNA CADENA:
 PREFIJO DE UNA CADENA s: toda cadena que resulta de eliminar 0 o más ocurrencias de símbolos de la cadena s desde el extremo derecho. Si no elimino ninguno me queda s, si elimino todos me queda Ɛ, por lo tanto, s y Ɛ son prefijos.
Se define como prefijo propiamente dicho a aquel que no es ni s ni Ɛ.
Ej:
s = sintaxis → sin
 SUFIJO: cadena que se obtiene eliminando 0 o más símbolos desde la izquierda.
Sufijo propiamente dicho es aquel que no es ni s ni Ɛ.
Ej:
s = sintaxis → taxis
 SUBCADENA DE UNA CADENA s: toda cadena que se obtiene al eliminar un prefijo y un sufijo de s.
Subcadena propiamente dicha es aquella que no es ni s ni Ɛ.
Ej:
s = sintaxis → inta
 SUBSECUENCIA DE s: cualquier cadena que se forma eliminando 0 o más símbolos, no necesariamente consecutivos, de s.
Ej:
s = sintaxis → sinas
Con un alfabeto finito puedo
hacer infinitas cadenas
∀ s, tanto s como Ɛ son:
prefijo, sufijo y subcadena
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2.6. OPERACIONES ENTRE CADENAS
 CONCATENACION DE CADENAS: sean x e y dos cadenas cualesquiera sobre el
alfabeto V, se denomina concatenación de x e y y se representa x.y a una nueva
cadena que se obtiene agregando y a x. Es decir, es la palabra formada al escribir
los símbolos de la primera seguidos inmediatamente por los símbolos de la segunda.
Ej:
x = vice
y = director
x . y = vicedirector
y . x = directorvice
 POTENCIA ENTERA n ≥ 0 DE UNA CADENA s
por lo tanto
x.y≠y.x
sn:
Estamos en presencia de una definición por recurrencia:
s0 = Ɛ
cadena vacía
si = si-1 . s
(con i > 0) = s.s.s. . . . . . s (i veces)
Ej:
s3 = s2 . s = (s1 . s) . s = ((s0 .s) . s) . s = ((Ɛ . s) .s) .s = (s . s) . s = s . s . s
s3 = jajaja
s = ja
2.7. LENGUAJE:
Conjunto (finito o infinito) de cadenas que se pueden formar con un alfabeto (finito). Se representa con la letra L
Lenguaje sobre un alfabeto V es cualquier conjunto de cadenas sobre ese alfabeto. Lenguaje sobre V es cualquier subconjunto de V*.
V*
conjunto de todas las palabras posibles obtenidas de V incluyendo la palabra vacía (es un conjunto infinito ∞).
V*
cadenas
Ɛ
a
V
V
alfabeto
cadenas de longitud
1 = alfabeto
V
 es un lenguaje sobre V
V*
 es un lenguaje sobre V
{Ɛ}  es un lenguaje – tiene una cadena que es vacía
Ø o { }  es un lenguaje – conjunto vacío – no tiene cadenas
L ⊆ V* (L está contenido en V* o es igual a V*)
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Ej:
V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
L1(V) = {nº de 2 cifras}
L2(V) = {todos los nº}
L3(V) = {nº binarios}
V = {n, s, o, i, 3, 9}
R = {no; si}
S = {33; 9a}
2.8. LENGUAJE VACÍO:
Existe un lenguaje denominado lenguaje vacío, que es un conjunto vacío y que se denota
con Ø o { }. El lenguaje vacío no debe confundirse con un lenguaje que contenga una
sola cadena y que esta sea la cadena vacía, es decir {Ɛ}, ya que el nº de elementos (cardinalidad) de estos dos conjuntos es diferente.
Cardinal ({ Ø }) = 0
Cardinal {( Ɛ }) = 1
2.9. OPERACIONES SOBRE LENGUAJES
 Union de L y M: L U M
L U M = { s / s está en L o s está en M }
 Concatenacion de L con M: L . M
L . M = { s / s = r . t con r en L y t en M }


Ej:
No es conmutativa
Puedo concatenar un lenguaje consigo mismo, o sea, L . L es válido
R . S = {no; si} . {33; 9a} = {no33; no9a; si33; si9a}
S . R = {33; 9a} . {no; si} = {33no; 33si; 9ano; 9asi}
R . R = {no; si} . {no; si} = {nono; sisi; nosi; sino}
Ln
 Potencia entera n ≥ 0 de un Lenguaje L
L0 = { Ɛ }
Li = Li-1 . L
conjunto que contiene la cadena vacía
(con i > 0)
 Cerradura o Clausura de Kleene de L
L*
L0 = { Ɛ }
L1 = L0 . L = { Ɛ } . L = L
L2 = L1 . L = L . L
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L3 = L . L . L
Ln = Ln-1 . L
L* = L0 U L1 U L2 U . . . . . . U Ln
(Unión de todas las potencias del lenguaje de 0 en adelante)
∞
L* = { Ɛ } U L U L . L U (L .L) .L U . . . . . . = U Li
i=0
por lo tanto L* es un lenguaje infinito que contiene al propio lenguaje, y Ɛ siempre está en
la cerradura.
2.10. CERRADURA DE KLEENE DEL ALFABETO TOMADO COMO LENGUAJE
V* = V0 U V1 U V2 U V3 U . . . . . . . . (unión de todas las potencias enteras de V de 0 en
adelante)
V* = {Ɛ} U V U V . V U V . V . V U . . (conjunto de todas las cadenas que se pueden construir con los símbolos del alfabeto)
{Ɛ}  cadenas de longitud 0
V  cadenas de longitud 1
V . V  cadenas de longitud 2
V . V . V  cadenas de longitud 3
Cuando tomo el alfabeto como lenguaje y hago la cerradura de Kleene del alfabeto lo que
obtengo es el universo de todas las cadenas sobre V.
L+
2.11. CERRADURA POSTIVA DE L
L+ = L1 U L2 U L3 U . . . . . . (unión de todas as potencias positivas de L de 1 en adelante)
∞
L+
= L U L . L U (L .L) .L U . . . . . . = U Li
i=1
L+ U {Ɛ} = L*
Ej:
L = { a, aab}
M = { b, bb }
L U M = { a, aab, b, bb }
LM = { ab, aabb, abb, aabbb }
L* = L0 U L1 U L2 U ..........
= { Ɛ, a, aab, aa, aaab, aaba, aabaab, ......... }
L+ = L* - { Ɛ }
L2 = { aa, aaab, aaba, aabaab }
Ej: Imaginemos un alfabeto que contiene letras y dígitos
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V = { a, b, c, . . . , Z, 0, 1, 2, . . .,9 }
y sobre este alfabeto los lenguajes:
L = { A, B, .........., Z, a, b, ...........z }
D = { 0, 1, ..........., 9 }
L U D = { conjunto de letras y dígitos }
L . D = { conjunto de cadenas consistentes en 1 letra seguida por 1 dígito }
L4 = { conjunto de cadenas de 4 letras }
L* = { conjunto de cadenas de 1 o más letras, incluída Ɛ }
D+ = { conjunto de cadenas de 1 o más dígitos }
L . (L U D) = { conjunto de cadenas de letras y dígitos que empiezan con una letra}
(L U D)* = { conjunto de cadenas de letras y dígitos, incluída la cadena vacía}
L . (L U D)* = { conjunto de cadenas de letras y dígitos que empiezan con una letra, no incluye la cadena vacía }
Los nombres de variables en Pascal son cadenas de este conjunto. Este es el lenguaje
formal de los identificadores de Pascal.
En Pascal:
<identificador>
dígito
letra
letra
L . (L U D)+ = {conjunto de cadenas de letras y dígitos de por lo menos longitud 2 y que
empiezan con una letra, no incluye la cadena vacía}
D+ = {conjunto de cadenas de 1 o más dígitos} = {conjunto de los enteros positivos} también ϵ al Pascal:
D+
=
D1
U
D2 U
D3 U . . . . . . . . . .
<entero sin signo>
dígito
24
25