Números reales y notación de intervalos

Números reales
Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
Números Cardinales
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
("Whole Numbers")
Enteros
Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... }
Números Racionales
Q = { p/q | p, q son enteros y q  0 }
Ejemplos
2
,
1
,
5
3 10 1
1.56, 0.0367498,
0
1
= 0,
25
25
= 1,
7
7
1
0.333333 = 3,
=1
Son números racionales: las fracciones, los enteros, decimales periódicos, decimales finitos.
Importante
0
==> 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 ;
0
5
==> 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜,
0
𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 ≠ 0
El denominador nunca puede ser cero.
Números Irracionales
Q'= {Números cuya representación decimal no termina y no son decimales
repetitivos }
Ejemplos
3.1265794257018734 … … . . , 𝜋 ≈ 3.14, 𝑒 ≈ 2.7182, √2 ≈ 1.4142
Los decimales infinitos no periódicos son irracionales.
Las raíces de números primos son irracionales.
Ejemplos
Números Reales
3
3
5
√2, √3, √5 , √7, √2, √2, √7 ,
R = {Todo número racional o irracional} = {Q  Q'}
Números Reales
Números Racionales
Enteros
Números Irracionales
No enteros
Números
Cardinales
Números
Naturales
Un conjunto es una colección de objetos que tienen unas características en común
Utilizamos las llaves, { }, para encerrar los elementos de un conjunto. Para nombrar los conjuntos le
asignamos una letra mayúscula del alfabeto. Separamos los elementos del conjunto con una coma.
Ejemplos
El conjunto de enteros mayor que uno y menor de 10.- { 2,3,4,5,6,7,8,9}
El conjunto de los números pares -
{2,4, 6, 8, 10, 12, 14,.....}
Observa que no siempre es posible enumerar o listar todos los elementos de un conjunto.
Conjunto finito: conjunto en el que es posible enumerar todos sus elementos.
Conjunto infinito: conjunto en el que no es posible enumerar todos sus elementos.
Notación de Conjuntos

"pertenece a"
relaciona a un elemento con el conjunto al que pertenece.
10  N
Ejemplos

-4  Z
"incluído en"
Relaciona a un conjunto con otro conjunto de tal forma que todo elemento del primer conjunto está incluido en
el segundo conjunto, es decir, el primer conjunto se dice subconjunto del segundo.
Ejemplos

"no incluido en"
{1, 2, 3}  Z
N  W
Indica que la aseveración  no se cumple.
Ejemplo
{0 }

N
Z  R
Recta Numérica
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
{Números negativos} U {cero } U { números positivos }
Desigualdades
>
“mayor que
<

“mayor o igual que” ;

se incluye el extremo
“menor que”
“menor que o igual”
Incluye los extremos
Orden en la recta numérica
En la recta numérica es mayor aquél número que se encuentre más a la derecha.
Sean a y b dos números reales localizados en la recta de la siguiente manera;
a
Entonces
Ejemplos
a<b
b
ó
3 4
 1  5
7  0
b>a
7
8
Inecuaciones simples
EJEMPLO 1
x5
EJEMPLO 2
y9
Se lee: “ x representa a todo número mayor
que 5”
Se lee: “ y representa a todo número menor
que 9”
¿En la recta numérica a qué lado encuentro los
números mayores que 5?; ¿a la derecha? ó ¿a
la izquierda?
¿En la recta numérica a qué lado encuentro los
números menores que 9?; ¿a la derecha? ó ¿a
la izquierda?
Los números mayores que 5 se encuentran a
su derecha, por lo tanto la gráfica que
representa esta inecuación es:
Los números menores que 9 se encuentran a
su izquierda, por lo tanto la gráfica que
representa esta inecuación es:
5
Notación intervalo (𝟓, ∞)
9
Notación intervalo (−∞, 𝟗 )
Paréntesis, ( ) , se utilizan cuando el extremo no se incluye y cuando el extremo correspondiente tiende a
infinito positivo o negativo.
EJEMPLO 3
m  -2
EJEMPLO 4
y 7
Se lee: “m representa a todo número mayor o
igual que -2” ; se incluye el extremo
Se lee: “y representa a todo número menor o
igual que 7” ; Incluye los extremos
¿En la recta numérica a qué lado encuentro los
números mayores que -2?; ¿a la derecha? ó ¿a
la izquierda?
¿En la recta numérica a qué lado encuentro los
números menores que 7?; ¿a la derecha? ó ¿a
la izquierda?
Los números mayores que -2 se encuentran a
su derecha y en este caso se incluye el
extremo, por lo tanto la gráfica que representa
esta inecuación es:
Los números menores que 7 se encuentran a
su izquierda y en este caso se incluye el
extremo, por lo tanto la gráfica que representa
esta inecuación es:
-2
Notación intervalo [−𝟐, ∞)
7
Notación intervalo (−∞, 𝟕]
Corchete , [ ] , se utilizan cuando el extremo se incluye.
Inecuaciones compuestas
Inecuaciones compuestas: se tienen que considerar dos condiciones pueden ser de tipo :
“y” lo que indica intersección
“ o “ lo que indica exclusión
 4  x  10
EJEMPLO 5
Se lee: “ x representa a todo número menor
o igual que 10 y mayor o igual que -4” . Esta
expresión indica que ambas condiciones se
tienen que cumpir por lo que es una
intersección; los extremos se incluyen. La
gráfica es dada por:
EJEMPLO 6
n  6 o n  15
Se lee: “ n representa a todo número menor
o igual que 6 ó mayor que 15” . Esta
expresión indica que se considera cualquiera
de las dos condiciones por lo que los
intervalos se excluyen.
La gráfica es dada por:
-4
10
6
Notación intervalo [−𝟒, 𝟏𝟎]
15
Notación intervalo (−∞, 𝟔] 𝑼 (𝟏𝟓, ∞)
Práctica
Representa cada inecuación gráficamente y en notación intervalo.
a) −1 ≤ 𝑥 < 2
Respuestas
b)
1.5 ≤ 𝑥 ≤ 4
c)
𝑥 > −3