Problema 4 - Matemáticas

Matemáticas para Economistas II
LECCIÓN
5.MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
A
LA
PROGRAMACIÓN
PROBLEMA 4
Dado el problema:
Optimizar
(x + 2) 2 + y 2
s. a
9 (x + 2)2 + 4 (y - 3)2 ≤ 36
x ≥ -2
-3 < y ≤ 3
a) Resolverlo gráficamente.
b) ¿Podemos asegurar la existencia de soluciones?
c) ¿Se pueden asegurar que los óptimos obtenidos son globales?
d) Señálense las restricciones activas e inactivas en los óptimos.
Solución:
a) Para resolver este tipo de problemas necesitamos tres elementos: el conjunto de
oportunidades, el mapa de curvas de nivel y la dirección de máximo crecimiento de la
función objetivo.
El conjunto de oportunidades: Puesto que el dominio o conjunto de definición de la
función objetivo es todo ℜ2, el conjunto de puntos admisibles del problema será el
determinado por las restricciones:
X = { ( x , y) ∈ℜ2 / 9 (x + 2)2 + 4 (y - 3)2 ≤ 36; x ≥ -2; y ≤ 3; -3 < y }
La primera restricción viene delimitada por una elipse,
9 (x + 2)2 + 4 (y - 3)2 ≤ 36 ⇒ 9 (x + 2)2/36 +4 (y - 3)2 /36 =1 ⇒ (x + 2)2/4 + (y - 3)2 /9 =1
de centro (-2, 3); semieje de abscisa rx = 2; semieje en ordenadas ry = 3.
Así, la restricción 9 (x + 2)2 + 4 (y - 3)2 ≤ 36 define la parte de dentro de la elipse.
La segunda y tercera son semiespacios cerrados y la última un semiespacio abierto.
La intersección de todas da lugar a la zona pintada en verde en la figura 1.
Mapas de curvas de nivel: Las curvas de nivel de la función objetivo son
circunferencias centradas en el punto (-2, 0) y radio k ( obsérvese que, por este motivo, no
tiene sentido, en este problema, que la constante k sea negativa):
(x + 2) 2 + y 2 = k2
Le damos valores a la constante k = 0, 1, 3, 13 ,..., y así obtenemos el mapa de
curvas de nivel que dibujamos sobre el conjunto de oportunidades en la figura 2.
 R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Figura 1.- Conjunto de oportunidades.
Figura 2.- Curvas de nivel.
Dirección de máximo crecimiento: Calculemos el vector gradiente de la función
objetivo
 2( x + 2) 

∇F ( x, y ) = 
 2y 
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Como podemos observar nos da un vector de componentes no constantes, por tanto,
tendremos que sustituir uno o varios puntos cualesquiera donde no se anule dicho gradiente;
por ejemplo:
∇F (-2,1) = (0, 2)t
donde la dirección dada por el vector (0, 2) dibujada a partir del punto (-2,1) es
perpendicular a la tangente correspondiente a la curva de nivel que pasa por el punto (-2,1).
Se observa que, al seguir la dirección de dicho gradiente, se pasa a una curva de nivel
exterior. Por tanto, la función crece hacia fuera.
Además, hay que tener en cuenta que las curvas de nivel son circunferencias
concéntricas, y éstas tienen su máximo crecimiento cuanto mayor sea el radio. Si nos
fijamos en la figura 2, el conjunto de oportunidades se encuentra a la derecha del centro de
las circunferencias, razón por la que el primer punto de X que es intersecado por una curva
de nivel, el (-2, 0), es un mínimo, mientras que el último punto de X en tener una
intersección no vacía con una curva de nivel es el punto de corte de la recta y = 3 con la
elipse 9 (x + 2)2 + 4 (y - 3)2 = 36. Resolviendo el sistema, obtenemos que las coordenadas
del máximo del problema son (0, 3).
b) ¿Podemos asegurar la existencia de soluciones?
Desde el apartado anterior, podemos contestar a esta cuestión que sí, pero
supongamos que no lo hemos resuelto gráficamente. Entonces, existe un teorema, el de
Weierstrass, que establece las condiciones suficientes para poder asegurar si un problema
posee solución.
Dicho teorema afirma que si la función objetivo es continua y, si el conjunto de
oportunidades X es compacto (o sea, cerrado y acotado) y no vacío, entonces podemos
asegurar la existencia de, al menos, un máximo y mínimo globales para el problema.
En nuestro caso:
-La función objetivo es continua, por ser polinómica.
-¿Es el conjunto X cerrado y acotado?: en la figura 1 se puede observar que el
conjunto X es cerrado porque contiene a su frontera. Nótese que, necesitamos dibujar el
conjunto, ya que a pesar de haber una restricción que no tiene el signo de igualdad, y > -3,
el conjunto sí es cerrado.
Respecto a si es acotado, en este ejercicio podemos asegurar que sí lo es sin
necesidad de dibujar X; ya que la restricción 9 (x + 2)2 + 4 (y - 3)2 ≤ 36 define la parte de
dentro de una elipse, la cual siempre es acotada. Además, si una restricción determina un
conjunto acotado, obviamente, al intersecarlo con más restricciones, con mayor motivo
seguirá siendo acotado. No obstante, lo podemos comprobar mediante la figura 1 y además
vemos que no es vacío.
Al verificar que se cumplen todas las hipótesis del teorema de Weierstrass, podemos
afirmar la existencia de, al menos, un máximo y un mínimo globales.
c) ¿Se pueden asegurar que los óptimos obtenidos son globales?
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En el apartado anterior hemos visto que los puntos obtenidos son globales. Pero
supongamos que no hemos aplicado Weiertrass o que no se verificase. Entonces
utilizaremos el teorema Local-Global, el cual va a darnos condiciones suficientes para que
un óptimo local obtenido sea global.
El teorema afirma que si la función objetivo F(x, y) es continua en X, siendo éste un
conjunto convexo. Entonces, si F(x, y) es convexa en dicho conjunto, todo mínimo local es
global; de igual forma, si F(x, y) es cóncava en dicho conjunto, todo máximo local es global.
¿Es convexo X?: al estar definido nuestro problema en el espacio vectorial ℜ2,
podemos comprobar la definición de conjunto convexo en la figura 1, dibujando un
segmento que una dos puntos de X que, al estar contenido en dicho conjunto, podemos
asegurar que el conjunto de oportunidades es convexo.
En cuanto a la función objetivo, F(x, y) = (x + 2) 2 + y 2 es continua ya que es
polinómica. Para comprobar si es cóncava o convexa, aplicamos el criterio basado en el
estudio de su matriz hessiana:
 2 0

H F(x, y) = 
 0 2
Al ser esta matriz definida positiva, la función es convexa estricta, por lo se puede
asegurar que todo mínimo local es global. Respecto a los máximo, no podemos afirmar
nada. Aunque sabemos que son globales por Weierstrass.
d) Señálense las restricciones activas e inactivas en los óptimos.
En el mínimo, (-2, 0), son activas la elipse y el semiespacio x ≥ -2; en el punto
máximo (0, 3) lo son la elipse y el semiespacio y ≤ 3. Cabe destacar que si suprimimos en
nuestro problema la restricción y > -3, no afecta para nada al conjunto de oportunidades y,
por tanto, tampoco a los óptimos, por lo que aquí tenemos un claro ejemplo de restricción
redundante.
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