CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE 187 Dependiendo de las

CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
187
Dependiendo de las expresiones que se usen para v* y T«, nos
permitirán encontrar el espesor de la capa límite, ya sea turbulenta
o laminar y los esfuerzos sobre la misma.
Perfil sinusoidal de velocidades flujo laminar:
En este caso, si el fluido es newtoniano, el balance de cantidad de
movimiento puede escribirse como:
d
v (v - v ) dy
dx . g
X
®
=
r
(dv /dy)
X
( 7.4 )
y=0
X
suponemos v x = a sen ay , donde a y a son constantes a determinar.
(7.5
Las condiciones límite:
y = 0
Vx = 0
y = 6
dvx/dy = 0
y = ó
Vx - Veo ; y = 0
dv
dy
entonces
en la superficie sólida,
d2vx/dy2 = 0 (por Navier-Stokes)
= a cos(ay)
y=Ó
= a eos aÓ
=0
y-à
aó = TI/2
en y = Ó, v® = a sen(aÓ) = a sen(it/2), entonces a = v<*>
vx
= va, sen (yrc/26)
es el perfil de velocidades que
condiciones límite.
( 7.6 )
además
satisface
las otras dos
Reemplazando en ( 7.4 ) y desarrollando:
d
re
[v»2 een(ync/2Ô)][l - sen(yTt/2Ô)] dy
=
F vm (TI/26)
dx . 0
6
{sen(yrc/2Ô) - sen2(yit/26)} dy
dx J e
d
T
TI
Va,
26
=
( 7.7 )
Ahora:
ra
i
sen2ay dy =
(ay - Hsen2ay) =
(ay - senay-cosay)
e
2a
e
2a
Ó/2
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
6
senay dy
e
1 ,
cosay
= -
6
26
a
it
Entonces ( 7.7 ) se transforma en:
d
26
6
r
TI.
dx
it
2
v=»
26
Tt2
r
ô dô =
dx
4 - TI
V
<30
haciendo 6 = 0 para x = 0:
TI 2
62
2
Re* = Vcpx/r :
Ix
4-ir
Ô
V
CD
4.80
i 7.8 )
(Rex)*
Observamos que el espesor de la capa limite, 6, crece con la potencia
( 0.5 ) de la distancia desde el borde de incidencia.
FUERZA VISCOSA EN LA SUPERFICIE.
=
f
*
fVc^
dvx
2
dy
UVCDK
y=e
itu
(Re*)*
fvcox
4.60
26
0.655
( 7.9 )
(Rex)H
6
varía con x, f x es un valor local y sólo nos da un esfuerzo
local. Al promediarlo para toda la longitud de la placa nos da un
valor más práctico:
Gamo
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
1
fL
=
189
1.310
fxdx =
( 7.10 )
(Reí,)*4
L
[ Va, L
ReL =
u
Esta expresión es válida para L < xc.
Recuerde al calcular la fuerza de arrastre que, si se trata de una
placa plana, está siendo afectada por el flujo por las dos caras y
esto influye en el cálculo de la superficie.
Otras aproximaciones corrientes al perfil de velocidad son hechas con
polinomios de segundo tercero y cuarto orden.
ANALISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR.
La ecuación de Navier Stokes para un sistema bidimensional, laminar,
incompresible, en estado estacionario:
ÔVx
Vx
ÔVx
+ Vy
—
ôx
ôy
ÔVy
Vx
ÔVy
ôp
Ô2Vx
ÔX2
ôy2
ô2Vy
Ô2Vy
ôx2
Ôy2
+ u
Ôx
ôp
+ u
+ Vy
Ôx
02 Vx
ôy
ôy
( 7.11 )
( 7.12 )
Como fué sugerido por Prandtl desde 1904, desde que la capa es
delgada y cae sobre una superficie sólida, vy es muy pequeña
comparada con v x , y
óvx/óy es grande comparada con <ivx/dx. Esto
significa que vxdvx/dx y vydvx/dy son de aproximadamente el mismo
orden de magnitud, comparables a su vez con:
y
f
Ô2Vx
u
Ô2Vx
í
Ôx2
; de otra parte:
ôy2
es despreciable
( 7.11 )
en comparación con los otros términos de la ecuación
En la ecuación ( 7.12), un análisis similar demuestra que todos los
términos que contengan Vy y sus derivadas son pequeños. Esto lleva a
la conclusión de que óp/óy es pequeño; en otras palabras, la presión
cambia muy poco desde la superficie hasta el borde de la capa limite.
Este resultado es importante pues la variación de la presión con x
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
puede considerarse independiente de y en la capa limite. El problema
se redujo entonces a la solución simultánea de la ecuación de
cantidad de
movimiento en
la dirección x y la ecuación de
continuidad. En las ecuaciones (7.11) y (7.12), si se quiere tener en
cuenta la gravedad, basta considerar p como la presión dinámica):
ÓVx
+
V x
dp
ÓVx
Vy
Sx
+ u
dx
Ôy
ÓVx
Ô£vx
(7.13)
Ôy2
ÓVy
+
=
Óx
0
( 7.14 )
Óy
Conocemos además que en y = 0, v x = v v = 0 y en y = ó, v x = v®. Para
superficies curvas, x puede medirse a lo largo de la superficie, e y
normal a lamiema, siempre que el radio de curvatura sea grande
comparado con ó.
FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA.
Para el flujo sobre una placa plana la ecuación (7.13) puede
simplificarse adicionaImente pues dp/dx es cero ya que v= es
constante. La solución de este problema para flujo laminar, dando vx
y vy
como funciones de x e y, fué obtenida por Blasius en 1908 y
refinada por Howarth en 1938.
Para ello hicieron uso de la transformación de similitud fl = y/(Ft)**
para obtener una solución por el método de combinación de variables.
Se busca entonces una solución de la forma:
Vx
Vx< n ) .
Vx = Vx/Vro
y
y
n
( Fx/Vao )H
6
Se hace:
df
—
- f-
- Vx(n)
dn
Entonces:
ÓVx
ÓVy
Ó2Vx
ox
óy
Óx2
pueden transformarse en derivadas de f con respecto a n. La velocidad
en la dirección y se puede hallar a partir de la ecuación de
continuidad como:
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
Vv
=
Í
191
y dvx
- |
0 dx
dy
sustituyendo y organizando:
ff"+ 2f
= 0
( 7.15 )
llamada la ecuación de Blassius.
Las condiciones limite son asi: en la pared donde y = 0
y 0 = 0, no
hay resbalamiento y por tanto f'( 0 ) = 0. Como definimos f' como la
velocidad, f( 0 ) es arbitraria y podemos dejar f( 0 ) = 0 . En el
borde de acceso, donde x = 0, tenemos v x = v®. Pero x = 0 hace 0=® e
y = ®. 0 sea que para ser consistentes f'( ® ) = 1. Asi v* tiende a
v» como y tiende a ® . Como esta aproximación es asintótica, se
define el espesor efectivo de la capa limite, ó, como la distancia a
la cual v x = 0.99 v® ó
V - 0.99.
La ecuación ( 7.15 ) ha sido resuelta en forma de serie:
f = 0.16603 O 2 - 4.5943x10-40* + 2.4972x10-60« - 1.4277x10-80"- + ...
(7.16)
1 r
Vx
= v-f' ; V y = —
rv-/x
(Of- - f)
2 L
estas tres
función de
expresiones se usan para graficar
0 = y (v-/Tx)*-
Esta gráfica
donde
muestra que
para f'
=0.99
f'( fl ) = v x / v ®
como
0 = 4 . 9 6 = ó(v»/Tx) ;de
4.96 x
Ó
=
( 7.17 )
(Rex)*
%
También es interesante el gráfico de (vy/v») (v®x/F) como función
de 0 para observar la variación de v y con la posición en la capa
limite.
El esfuerzo cortante en la pared en cualquier posición x es:
+ U
óy
Ó0
ÓVx
ÓVx
=
y=0
Veo
=
Ó0
n=0 Óy
y=0
Usando
ÓV
00
= f " (0) = 0.332
60
n=0
obtenemos
V«D
;
óy
y=0
L Tx
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
H
TS|x —
2
0.332nv. (v-/rx) =
fx(1/2)(v®
El coeficiente local de fricción superficial ( similar al factor de
fricción de Fanning, f, pero aplicable a flujo externo ):
H
0.332uv-(Vm/Tx)
fx =
=
H
0.664 (T/xv-)
H fv-2
0.664
fx
=
( 7.18 )
Rex*
TABLA 7.1 PROPIEDADES DE LA CAPA LIMITE LAMINAR SOBRE UNA CAPA PLANA
DETERMINADOS POR DIFERENTES METODOS.
Forma de la
Espesor de
Coeficiente
Porcentaje
curva del perfil
la capa
de fricción
de error.*
de velocidad
limite
Solución de
Blas8ius y
Howarth
total.
4.96
fL
1.328
=
(Rex)*
Perfil
0.0*
(ReO*
4.80
1.310
•1.36
fL =
Sinusoidal
Polinomio de
(Rex)*
6
(ReL)*
4.64
1.296
-2.41
fL
tercer grado.
x
(Rex)*
Polinomio de
Ó
5.50
(ReL)*
fL =
segundo grado.
Polinomio de
x
(Rex)*
1.454
7
5.83
1.372
+3.31
fL =
cuarto grado.
(Rex)*
* Este valor se toma como referencia.
+9.49
(ReL)*
(ReL)*
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
193
Este ( como en la ecuación ( 7.9 ) ) es un coeficiente local. Para
calcular la resistencia total resultante del flujo viscoso sobre una
superficie de tamaño finito es necesario conocer el factor de
fricción promedio para toda la longitud, L, de la placa.
L
fL =
fx
L
e
dx =
34
1 PL
0.664(r/v«)*x-* dx = 1.328 (F/Lv«,)
—
L J0
1.328
( 7.19 )
fL
(Ret,)*
Nuevamente es válida sólo mientras Ren, sea menor o igual a Reo. A
modo de información y como base de comparación se dan en la tabla 7.1
algunos valores obtenidos para el mismo problema a partir de
diferentes perfiles de velocidad.
Los resultados experimentales concuerdan bien con la ecuación (7.19).
Sin embargo, para bajos números de Reynolds, Janour, recomienda:
fi
=
10 < Ret, < 3000
2.90(Reu)-®-6®
( 7.20 )
CAPA LIMITE TURBULENTA : VELOCIDADES.
El análisis de la capa límite turbulenta presenta problemas similares
a los encontrados en flujo turbulento desarrollado en tuberías; en
especial se puede confiar en los datos empíricos de perfil de
velocidad. Afortunadamente, las medidas de perfil de la velocidad
media en una capa límite turbulenta indican un perfil universal muy
similar al medido en flujo en tuberías; en consecuencia cualquiera de
las correlaciones universales usadas en tuberías puede usarse. La
utilización de perfiles de
velocidad empíricos sugiere que métodos
integrales, y en especial la ecuación integral de cantidad de
movimiento, serán las principales herramientas del análisis.
Una solución particularmente simple puede obtenerse si una forma
potencial del perfil universal de velocidades se emplea en lugar de
la más satisfactoria forma logarítmica. La ecuación.
1/7
v-
=
8.7(y-)
(ver ejemplo 6.1) se ajusta a los datos experimantales prácticamente
tan bien como la expresión logarítmica peira y* entre 30 y 500 siendo
una alternativa
más simple
en este rango. Substituyendo las
definiciones de v* y y*,
1/7
(vx/v*) = 8.7 (yv*/n
( 7.21 )
Haciendo y = ó, el espesor de la capa limite en el lugar donde vx=v«°:
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
6( r./f )H i/-7
= 8.7
t 7.21 a )
r
ITS/f)*
Resolviendo para rm
r.
v-
r
r
^
8.7 l 6
Veo i 7/4 r
• 8.7 .
r
i..
4
•Ó
1/4
r
r
1' r>¿¿
j
« 0227 |v.
Tm
I
VCDÓ
Esta expresión fue confirmada experimentalmente hasta para ReL - 107
para placas planas
En la capa límite turbulenta la forma del perfil de velocidades es
más curva que en la capa laminar
El perfil medido coincide
satisfactoriamente con la ecuación que obtenemos dividiendo la
ecuación i 7 21
entre la i 7 21 a >, a saber
(y/ó)!"7
Vx/V»«
7
23
Esta expresión pierde sin embargo validez en la inmediata proximidad
a la pared, pues al calcular el esfuerzo cortante en la pared
ÓVx
y=6
óy
hallamos
Va.
dvx
(61/7
dy
){y
e/7 ,
que se hace infinito en y = 0. Esto nos daría un valor infinito del
esfuerzo cortante lo que físicamente no es aceptable. Por esta razón
utilizaremos la ecuación ( 7.22 ) para r.. Reemplazando (7.23) en la
parte izquierda de la ecuación (7.3), obtenemos:
ra
v*( Voo - vx) dy
&
-
2
fv®
1/7
(y/6)
>
0 sea que ( 7.3 t se transforma en :
7
1/7
[1
iy/Ó)
] dy
=
fv.2Ó
72
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
7
fv®2
72
d6
-dx
195
14
- 0.0227 fv-2 <r/v~í>)
Separando variables
4
6 d6
: 0 235(T'v®
dx
integrando
1'6
0 376( T/Voo
4 '6
X
(7.24)
Surge alguna dificultad en la determinación de ia constante de
integración Según ia tigura 7 ¿ ia capa iímite 'urbulenta comienza a
la distancia crítica >u medida desde el borde de ataque. Allí ya
tiene cierto espesor det>id< a ta rapa Laminar Algunos suponen que ei
espesor de las -apaP
amuar v turbulenta son iguales alli Según
Prandtl la expresmi
<4
coincide satista doriamente con
mediciones si e, espesor de la capa turbulenta se determina como si
comenzara en e
>< .rde de ataque -on espesor cero Otras mediciones
indican que est no es muy correcto Por sencillez mantendremos esta
7
suposición La costam- -n ta ecuación
24
es entonces cero y x
1
indica la distant * desde et borde de ataque En forma adimensionai
la ecuación queda
6
W 376
'=
_
i ¿b i
x
Re*•1
5 x 10®
Re«
W>
Si se calculan ías capas límite laminar y turbulenta para
distancia critica, se puede observar que ia capa iímite turbulenta
más gruesa. En realidad, un aumento instantáneo del espesor de
capa límite no es admisible por lo que debe aparecer una zona
transición como se insinúa en ia figura
¿
La restricción de
ecuación ( 7 25 > surge del rango de validez de ia expresión para
perfil de velocidad Para números de Reynolds locales mayores
6.5x10®, Falkner recomienda
6
i
0 1285
1
Rex
7 26 >
x
También Falkner propone que se utilice el perfil de velocidades
i /e>
i vjt/v= ) =
(y/6 )
que esta de acuerdo con gran número de valores experimentales.
Sustituyendo ( 7 25 ) en ( 7.22 ):
1a
es
1a
de
la
ei
a
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
1/6
Ta
r
(v»x/r)
0.0227tVœ 2
=
1/4
0.376xv®
0 029 fv®2
Te
-
i 1/2 )fx.
< Rex)
= 0.058 Rex-»-2
fx
Esta expresión nos da el coeficiente local de arrastre para la capa
limite turbulenta. Si suponemos que ésta comienza desde el mismo
borde de aproximación { x = 0 ). el coeficiente total se obtiene
como:
1
fL
fx dx
fL
=
- 0.2
0.072 ReL
L
En la realidad existirá una zona en la cual el flujo es laminar en la
parte inicial de la placa ( x < Xo ). Para tenerlo en cuenta
podríamos considerar que la fuerza total sobre la placa es el efecto
de la zona laminar y la zona turbulenta combinadas así:
r
1
1/Li
fL
fxi dx
+
I
i
J e>
fxt dx
donde fxi es el factor de fricción local para la zona laminar y fxt
es el factor de fricción local para la zona turbulenta.
Obtenemos :
0.072
0.072
ReL0-2
Rec®-2
1.328
Reo
Reo®
ReL
i 7.27 )
donde ReL
critico.
es Reynolds
Esta expresión
orden de 107.
es sin
para toda
la placa
embargo válida
y
Reo
es
el
Reynolds
sólo hasta valores de ReL del
Schlichting derivó una expresión a partir de la ecuación integral de
Von Karmán y la distribución logarítmica de velocidad para el núcleo
turbulento (ecuaciones (7.3) y (6.22) respectivamente) obteniendo:
0745!f
fL
C
( 7.28 )
=
(log ReL)2-58
Re
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
197
La cantidad que se resta en el lado derecho de la ecuación tiene en
cuenta la capa limite laminar en la primera porción de la placa, y
fue sugerida por Prandtl. Aqui C es una función del número de
Reynolds critico o de transición:
C
Reo
3 x 106
5 X 106
1 X
106
3 x
106
1050
1700
3300
8700
l 7.28. a )
Para ESL entre 106
Gruncm :
—•-
y 10® / se recomienda
'
la expresión
de Schultz -
0.427
fL =
( 7.29 )
( 0 407 + log ReL)2-©4
Comparando los resultados para las capas límite laminar y turbulenta
se evidencia que Ó para flujo laminar aumenta con x*< en cuanto que lo
hace con x®-8 para flujo turbulento, es decir, la capa limite
turbulenta es mas gruesa y está asociada con un factor de fricción
pelicular mayor Aunque de acá se colige que es deseable mantener una
capa limite laminar, parece que en general no es cierto.
En la mayoría de los casos de Ínteres ingenieril es deseable una capa
limite turbulenta debido a aug esta resiste la_separación mejor que
la capa 1imite laminar. La capa límite turbulenta- tiene mayor
velocidad media y por" lo tanto mayor- ¿uu^Uiari de .movimiento y una
mayor energía que la capa límite laminar. Esto permite a la capa
límite turbulenta permanecer sin separarse por mayor distancia en la
presencia de gradientes de presión adversos que lo haría la capa
límite laminar
COEFICIENTE DE ARRASTRE
Hasta ahora anlizamos la capa límite sobre una placa plana, pero esta
puede también existir sobre la superficie de un cilindro o en
cualquiera otra superficie. En la figura 7.3 las capas de fluido
cercanas a la superficie del cilindro ( de diámetro D ) son
retardadas por la fricción viscosa y luego de sobrepasar el punto B,
el fluido
es retardado
además por
un gradiente de presión
desfavorable. Estos dos factores son suficientes para que a casi
todos los números de Reynolds (¡Vo.D/u), el fluido vecino a la
superficie se detenga e inclusive comience a fluir en dirección
opuesta. La capa limite abandona la superficie, ha ocurrido la
separación.
Si el caudal de flujo sobre el cilindro { transversalmente ) se
incrementa para__Reynolds del orden de 1.0 la separación comienza en
el punto de estancamiento en Ta parte posterior del cilindro. Esto
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
ocasiona un cambio en los campos de presión y de flujo, y el punto de
separación avanza hacia adelante. La posición de separación más
delantera ocurre a un ángulo de 85° del punto de estancamiento
delantero y sucede para flujo laminar en la capa límite.
Si la velocidad de paso sobre el cilindro se incrementa lo suficiente
para causar la transición a una subeapa turbulenta, el punto de
separación se desplaza hacia atrae del cilindro ( 140° del punto de
estancamiento delantero ). Debido a la mejor transferencia de
cantidad de movimiento en el flujo turbulento, la velocidad de las
capas cerca a la superficie aumenta. La mayor energía cinética del
fluido cerca a la superficie hace que penetre más atras alrededor del
cilindro y establezca una zona de mayor presión. Para este flujo la
mayor resistencia se debe a la diferencia de presiónes entre la
superficie delantera y la trasera, o sea que este arrastre disminuye
al aumentar la velocidad causando el cambio de capa limite laminar a
turbulenta. Aumentos posteriores en el número de Reynolds pueden sin
embargo aumentar la fuerza resistente. Este tipo de resistencia de
arrastre experimentada por formas redondeadas ( no aerodinámicas ), y
que es causada principalmente por diferencias de presión, se denomina
resistencia o arrastre de forma. El arrastre causado por esfuerzos
viscosos en la capa limite se denomina fricción de superficie o
pelicular; este es el único arrastre que se presenta en el flujo
sobre una placa plana.
COEFICIENTE DE FORMA.
Este se define análogamente al coeficiente de fricción pelicular
(interno o externo) como un coeficiente de proporcionalidad entre la
fuerza resistente y la energía cinética media del fluido:
FD = fv(H fv-2A)
( 7.30 )
FD : Fuerza resistente por unidad de área frontal?
A
: Area frontal ( proyección perpendicular al sentido de flujo del
fluido )
ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO
TRAVES DE UN FLUIDO.
UNIDIMENSIONAL
DE
UNA
PARTICULA ' A
Consideremos una partícula de masa m moviéndose a través de un fluido
bajo la acción de una fuerza externa Fe. La velocidad de la partícula
con respecto al fluido es v. La fuerza boyante o de flotación en la
partícula es Ffe_. La fuerza resistente es FD. La fuerza resultante
sobre la partícula es :
m
=
F® -
FTE -
FD
( 7.31 )
dt
La fuerza boyante es, por el principio de Arquimedes, el producto de
la masa del fluido desplazado por la partícula y la aceleración
CAPITULO 7.
FLUJO EN CAPA LIMITE
199
debida_a^la_fuerza ^exteraa. El volumen de la partícula será m/fp,
siendo (V la densidad de la misma, y éste es el volumen de fluido
desplazado por la partícula. La masa de fluido desplazada será
(m/fp)[, donde [ es la densidad del fluido. Reemplazando en (7.30):
(7.32)
(7.33)
Si se tratara de un campo centrífugo a' = rw2.
r : radio de la trayectoria de la partícula
w : Velocidad angular
VELOCIDAD TERMINAL.
Cuando ocurre sedimentación por gravedad, g
fuerza resistente aumenta con la velocidad,
tiempo tendiendo
a cero en ( 7 . 3 3 ) .
La
alcanzará una velocidad constante, la cual
bago las circunstancias, y que se denomina la
es constante. Además la
dv/dt disminuirá con ei
partícula, rápidamente
es la máxima obtenible
velocidad terminal.
Para sedimentación
tenemos:
dv/dt
gravitacional,
haciendo
= 0
2g( fp - f fm)
—
vt =
en
(7.33)
( 7 . 34 )
Atrfp fo
Para usar cuantitativamente las ecuaciones { 7.32 ) a ( 7.34 ) se
requieren los valores numéricos del coeficiente de arrastre ÍD.
Para esferas se obtienen curvas de fD
aproximarse por las siguientes expresiones:
Re < 1 . 9
fD
= 24/Re
contra
FD = 3RCMV*DP
Re,
que
pueden
(7.35)
Se denomina rango de la ley de Stokes y corresponde al -flujo reptante
sobre la esfera: no hay separación de la capa límite.
El rango siguiente o intermedio, válido para
0
FD = 18.5/Re •
6
FD = 2 . 3 1
1.9 < Re í 500
rc(vtDp)i-4 U*>-6 F ® - 4
(7.36)
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
El último rango está comprendido entre: 500 < Re < 200000, allí :
f D = 0.44;
FD = 0 . 0 5 5
U(vtDp)2f
(7.37)
Es denominado rango de Newton.
Si la velocidad terminal de lá partícula se requiere, se desconoce Re
y no es posible relacionar el rango de la ley. Para identificarlo, la
siguiente ecuación-provee un criterio:
K
= Dp
Si el tamaño de las
Si es menor de 3.3
44.0 deberá usarse
deberá escogerse la
(7.38)
partículas es conocido, K se calcula de ( 7.38 ).
se aplica la ley de Stokes. Si K cae entre 3.3 y
la ley intermedia^ y7si está entre 44.0 y 2360
ley de Newton.
Otras formas que aparecen frecuentemente son los discos y los
cilindros. Para valores de Re mayores que 80, se puede considerar su
factor de forma constante en aproximadamente 2.0. Para Re'menores los
"discos se_ comportan prácticamente igual a las esferas, mientras que
los cilindros presentan factores de arrastre menoresT Las ecuaciones
(7.35) a (7.38) se aplican a esferas sólidas, no siendo impedidas en
su movimiento por otras partículas o las paredes del recipiente,
moviéndose a velocidad constante, no deben ser demasiado pequeñas y
moverse a través de liquido estancado. Cuando la partícula se
encuentra a suficiente distancia de los límites del contenedor y de
otras partículas, de tal manera que su caída no es afectada por
ellas, el proceso se denomina sedimentación libre. Si el movimiento
de la partícula es influido por otras partícüTHB, lo cual puede
ocurrir cuando las partículas están cerca unas de otras aunque no
colisionen, el proceso se denomina sedimentación impedida. En e6te
caso el coeficiente de arrastre es mayor que en~T.a sedimentación
libre.
Si la partícula está acelerada (velocidad variable), la resistencia
se ve influenciada por los cambios en los gradientes de velocidad
cerca a la superficie de la partícula, aumentándose. También, si las
partículas son gotas líquidas (o burbujas), se generan corrientes
circulantes, y oscilaciones o cambios de forma. Fuerza resistente
adicional será necesaria para suministrar la energía requerida para
mantener estos movimientos de la gota (burbuja) misma.
Si las partículas son muy pequeñas, aparece el movimiento browniano.
Este es un movimiento aleatorio impartido a la partícula por
colisiones entre la partícula y las moléculas del fluido que la
rodea. Este efecto se vuelve apreciable para partículas de dos a tres
micrómetros, y predomina sobre las fuerzas gravitacionales para
partículas de 0.1 micrómetros o menos. El movimiento al asar de la
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
201
partícula, tiende a suprimir el efecto de la fuerza gravitacional y
la sedimentación no ocurre. La aplicación de fuerza centrífuga,
reduce el efecto relativo del movimiento browniano.
FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA A UN CONDUCTO.
Hasta ahora hemos considerado que el flujo de fluidos newtonianos en
tubos, anillos, y otros conductos depende sólo de las propiedades del
fluido y de los limites del sistema, y es independiente de la
historia anterior del fluido.
Cuando un fluido entra a un conducto, la capa límite comienza a
formarse a
la entrada.
El perfil de velocidad completamente
desarrollado existe sólo después de que el borde de la capa límite
coincide con el eje del conducto. Las condiciones dinámicas del
fluido a la entrada del conducto, influyen grandemente en la longitud
requeridapara que un perfil de velocidad completamente desarrollado
se forme. La entrada a un conducto implica un cambio súbito de área
transversal de flujo y por esto es importante la configuración de la
entrada para analizar el flujo aguas abajo.
Cuando el caudal es tal que el flujo completamente desarrollado puede
ser laminar, la configuración de la entrada del conducto tiene poco
efecto en el flujo subsiguiente. En este caso, el flujo en la capa
limite
será laminar aunque el flujo entrante sea turbulento. Cuando
el flujo completamente desarrollado en el conducto es turbulento, la
configuración de la entrada es de primordial importancia para
""
\
»7
Y
0. CAPA LIMITE COMPLETAMENTE LAMINAR
b. CAPA LIMITE COMPLETAMENTE TURBULENTA
/<
c CAPA LIMITE PARCIALMENTE LAMINAR Y
PARCIALMENTE TURBULENTA
FIGURA7.5. Formación de capas limite a la entrada de tubos circulares
lieos.
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
determinar la dinámica del fluido aguas abajo. Si la entrada es
abrupta, es probable que la capa límite sea turbulenta desde el
principio. Si la entrada es redondeada, la capa límite puede ser
laminar inmediatamente después de la entrada y luego volverse
turbulenta alguna
distancia más lejos. La figura 7.5 ilustra
esquemáticamente la forma de la capa límite en la entrada de un
conducto circular. En el caso ( a ) el flujo es laminar en la capa
limite y en el tubo, en el ( b ) el flujo es turbulento en el tubo y
en toda la capa limite, en el ( c ), con entrada redondeada, el flujo
es turbulento en el tubo, pero primero es laminar y luego turbulento
en la capa límite
EJEMPLO 7.1.
FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA ENTRE PLACAS PARALELAS.
FIGURA 7.6.Flujo en la región de entrada de una hendija (ranura)
mostrando la distribución de velocidades en z = 0 , z = z y z = Le.
Consideremos el flujo estable de un fluido incompresible newtoniano
en la región de entrada entre placas paralelas separadas una
distancia 2H, H es pequeña comparada con el ancho W y la longitud L
(figura 7.6). Tomemos la dirección principal de flujo como z, y x, la
distancia
desde la placa inferior.Supongamos que no hay flujo en la
dirección y, o sea no hay variación con y.
Hallar la longixud de la región de entrada Le.
Solución:
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
203
Suponemos que el fluido entra con un perfil de velocidad plano v»=vm.
Como la velocidad cae repentinamente desde v B hasta cero en la pared,
habrá reducción de la velocidad v«¡ cerca a la pared. Sin embargo,
cerca al centro, el fluido puede suponerse con perfil de velocidad
plano. A su velocidad la llamamos VF ( y no v- ) pues el fluido está
confinado. Como estamos en estado estable, el caudal másico que
atraviesa el área seccional es el mismo en cualquier posición z:
= fv A
m z
Ahora, como el fluido es incompresible, t es constante; y desde que
A« es también constante, la velocidad promedio v m , debe ser idéntica
para cualquier posición z.
Además, como el fluido avanza, VF debe aumentar para compensar el
decrecimiento de la velocidad axial cerca a la pared, ocasionado por
el transporte de cantidad de movimiento. Esto significa (i) que v*>0,
como se puede comprobar a partir de la ecuación de continuidad pues
cerca a la pared v» decrece con z, y (ii) v x = 0 en la pared. Así a
medida que avanzamos, la región en la cual la velocidad puede
considerarse uniforme decrece hasta que desaparece en x = Le.
Llamaremos la región central, en la que el perfil de velocidad es
aproximadamente plano, como la región del núcleo, y la región cercana
a la pared como la capa limite. Como el gradiente de velocidad en el
núcleo es plano, podemos asumirlo como fluido no viscoso. Las placas
se toman horizontales y el efecto de la gravedad es despreciable
También se desprecia la difusión axial de la cantidad de movimiento.
El espesor de la capa limite es Ó(z). Ó = 0 en z = 0; Ó = H para
z=Le. Para z > Le el flujo se torna completamente desarrollado, es
decir, v z se hace independiente de z. En
la región de flujo
completamente desarrollado, el perfil de velocidad resulta ser
parabólico ( ver apéndice A.7.1 ):
Po - PL
r
2x
X
2
( 7.39 )
2mL
H2 J
H
Donde x es la distancia desde la placa inferior.
Po - PL
Po - PL + [gzL
L
L
Integrando para el área transversal
Po - PL
2
Vmix
Vm
3uL
3
(7.40)
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
ECUACION DE MOVIMIENTO PARA LA ZONA DE ENTRADA.
La componente z de la ecuación de Navier Stokes:
ÔV«
Vx
+
ÓVa
02Va¡
6p
ôz
6x2
ÔZ
( 7.41 )
VSB
ôx
En la región del núcleo como no hay transporte viscoso, t
m
= 0,
dvz
- 0
;
Vz = VF(Z).
dx
La ecuación ( 7.41 ) se transforma
dVF
f VF
( 7.42
dz
-
- [-?-]
LdzJ
L dz -i F
Para la capa límite, la ecuación de Navier Stokes se reduce a
ÔVJS
ÔVx
+ Va
Vx
ÔX
U
ÔZ
Aquí hemos supuesto que
limite y en el núcleo.
Ô^Vz
dp
0X2
dz
(7.43:
el gradiente de presión es igual en la capa
PERFIL DE VELOCIDAD EN LA CAPA LIMITE.
Dado que
el perfil
de velocidad para la zona completamente
desarrollada es parabólico, suponemos que en la capa límite también
lo es.
Hacemos v z
= ax2 + bx + c
Donde a, b y c son constantes.
Las condiciones límite nos dan:
x = 0, Vz - 0 , entonces c = 0.
y = ó, Vi = VF ,
dvx
= 2ax + b
dx
x=6
= 0, entonces : b = -2aô
x=ô
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
205
VF = aô2 + bô = aô2 - 2aô2 = - aô2
a = - VF/Ô2;
b = 2VF/Ô
X 1
VZ
= 2VF
- VF
( 7.44 )
I- 6
BALANCE DE MATERIA
Podemos relacionar la variación de VF con z a la variación de Ó con z
por medio de un balance de materia. La masa total que entra en z = 0,
es igual a la que pasa por z = zi, asi:
PH
m = fvn»W2H =
IVadAz = 2
~Ö( ¡Z
fvzWdx = 2f
Je
FH
I
vzWdx +
vFWdx
Jó ( z )
Substituyendo el perfil de velocidad y reorganizando
VmH
=
r«>
X
L2VF —- - VF (x/ô)2]dx
e
S
H
+
VFCBC
ó
tVaH/VF) - H - (6/3)
1 7.45 I
(Ô/H ) = 3 l 1 - VM/VF I
ECUACION INTERGRAL DE VON KARMAN.
La expresión ( 7.3 ) puede también obenerse integrando las ecuaciones
( 7.13 ) y ( 7.14 ) directamente entre los limites cero y ó, donde ó
es suficientemente grande para incluir la capa limite
FIGURA7.7 Condiciones límite para
integral de cantidad de movimiento.
la derivación
de
Modificando ( 7.13 ) y ( 7.14 ) al caso que nos interesa:
la ecuación
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
6vz
VX
6vz
Óp
Ó2Vz
62
ÓZ
ÓX2
+ Vz
( 7.46 )
óx
f [
ÓVa
ÓV»
ÓZ
ÓX
( 7.47 )
Se convierte en :
6
0
6
ÓVz
vx
dx +
ÓVz
Vz
0
óx
6
1
óp
0
[
ÓZ
dx =
6
r
dx +
óz
6
ÓVz
Ó2Vz
0
Óx2
dx
(7.46)
ÓVx
dx +
dx
0
Ja óz
6
= 0
( 7.49 )
Óx
de esto último :
S
ÓVa
0
ÓZ
vx
dx
( 7.50 )
V6
Ahora, el primer término de la ecuación ( 7.48 ) haciendo u = v x
dv = dvz, v = vz. Sabiendo que
u dv
= uv -
v du
obtenemos :
ró
1 ó "ó
vz
©
0
dvz
dx
Vx
=
Vx
Vz
dx
0
dvx
dx
dx
De las condiciones limite y el balance de materia ( 7.47 ):
6
6
dvz
Vx
dx
= V6VF
+
0
dx
0
dvz
vz
dx
(7.51)
dz
Reemplazando ( 7.50 ) en ( 7.51 )
f& dvz
dvz
dx
dx
= - v
ó
dx +
F 0
dz
vz
0
dvz
dx
dz
Como VF es función de z solamente, la podemos
integral teniendo presente que :
introducir
en la
CAPITULO 7 . FLUJO EN CAPA LIMITE
d(VFVz)
dVz
r
207
dVF
VF
+ Va
dz
dz
dz
También notando que
&
2 vz
e
P dvz2
dvz
dx
dx
dz
dz
La ecuación ( 7.48 ) se transforma en :
d(VFVz)
dx +
e
dz
a dvz2
ra
dVF
dx
Vz dx +
dz
dz
* 1
dp
dx
e [
+
civz
r
( 7.52 )
dz
dx
0
de las ecuaciones ( 7.42 ) y ( 7.43 )
a 1
0
dp
dx
0 [
dVF
dx
VF
dz
e
dz
Entonces ( 7.52 ):
d
P6
Vz(VF - Vz)dx
dz
6
dv?
dvz
(VF - VZ)dx
+
J0
dz
( 7.53 )
= T
e
dx
JC=0
Para una placa plana, VF sería constante y (7.53) se reduce a (7.4)
ECUACION PARA v F :
Substituimos ahora la ecuación de la distribución de velocidades,
(7.44) en (7.53); calculamos cada término separadamente y usando la
ecuación ( 7.45 ), obtenemos :
dVF
1
H2(9VF - 7vm)
0.3
•(VF - V m )
VF2
dz
U
definiendo:
16(Z/IW)
a =
FVMIUQ
; (Re)oq: =
(Re)eq
Deq
=
u
4H ; v*
F
= (v /v ) ; 6* =
F
m
H
=
0
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
Sigue :
*
0.3(9v
*
1
- 7)(v
F
*
- 1)
dv
F
= da
F
F
Al integrar con a = 0 para V*F = 1, se obtiene:
*
a
=
0.3
9(v
*
*
- 1) - 16 ln(v ) - 7(l/v
F
F
- 1)
F
Para hallar a® hacemos énfasis en que para z = Le el flujo está
completamente desarrollado y VF será la velocidad máxima para el
perfil completamente
desarrollado. Entonces
a® =
0.104 para
v*f = 3/2. Entonces, de la definición de a,
Le
0.0065(Re)•i
Deq
«e = 0.104
FIGURA7.8. Determinación de la longitud de entrada como el punto
donde el espesor de la capa límite es igual a la mitad de la
separación entre las dos placas.
Para la determinación de la caída de presión partimos de
dVF
dp
dp
(VF2)
FVF
áz
además
z
dz
- CP - P ) =
o
En
z = Le
z = 0
=
dz
(f/2)(v2
P = p©
y
VF -
P = Po
y
VF - v œ
ds
F
- v 2 );
m
(3/2)VM
Substituyendo se obtiene la caída de presión en la región de entrada:
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
f
— ( 9 / 4 -l)v2
2
S
209
--- fv2
8
«
LONGITUD DE ENTRADA EN TUBOS.
Langhaar resolvió la ecuación de cantidad de movimiento, la linearizó
suponiendo que la aceleración del fluido a lo largo del conducto es
sólo función de z ( la dirección axial ) y obtuvo :
Le
=
0.0575 Re
d
Donde Le es la longitud requerida para que la velocidad en el centro
alcance el
99 %
de
su
valor
completamente
desarrollado.
Experimentalmente se acepta:
Le
=
0.055 Re
( 7.54 )
D
Para un tubo la caída de presión en la entrada es :
3
=
- p
p
O
6
f V2
2
m
( 7.55 )
CONVECCION NATURAL.
TRANSFERENCIA SIMULTANEA DE CALOR Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
La convección libre es producida por cambios de densidad debidos a
gradientes de temperatura en el fluido.Cuando la diferencia de
temperatura entre la superficie del cuerpo y el fluido no es grande,
se puede asumir que se trata de un fluido incompresible, de
propiedades constantes, mientras que el efecto de la variación de la
densidad producida por los gradientes de temperatura se incorpora en
la ecuación de cantidad de movimiento en el término de la fuerza
corporal.
Para ilustrar el análisis consideremos una placa vertical caliente
que tiene temperatura uniforme Ts y está sumergida en un fluido en
reposo ( Vcd = 0 ) con temperatura constante T=> (Ta > Ta.). Las fuerzas
corporales debidas al empuje dan lugar a corrientes de convección
libre que se dirigen hacia arriba sobre la superficie de la placa;
por lo tanto se establece una capa límite de velocidad y una capa
limite térmica como se ilustra en la figura 7.9. En el análisis de la
convección libre el flujo se comporta como incompresible, o sea que
en las ecuaciones se considera la densidad como constante excepto en
el término de fuerza corporal resultante del empuje. Aplicando las
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
ecuaciones de
continuidad, cantidad
de movimiento
simplificadas para el sistema bidimensional descrito :
y
energía
Continuidad:
ÔVy
ÔVx
+
Ôx
=
0
< 7.56 )
ôy
CAPA LIMITE
TERMICA
CAPA LIMITE DE
VELOCIDAD
PARED A
Y
FIGURA 7.9
Impulso en x :
ÔVx
Vx
ôp
ÖVx
+
"(g
Vy
ôx
Ôy
O'Vx
+ M
Ôx
ôy2
< 7.57 )
Energía :
ôT
M
Vx
+
Ôx
ô2T
ôT
à
Vy
ôy
( 7.58 )
ôy2
El término -fgx = [g, del lado derecho en la ecuación de impulso,
representa la fuerza de cuerpo ejercida sobre el elemento de fluido
ejercida en la dirección negativa x (si la placa está más fría que el
medio, el gráfico se gira 180°). El gradiente de presión en dirección
x. - Óp/Óx, se debe al cambio de altura y no es cero. Para
determinarlo se calcula la ecuación de impulso en el borde de la capa
límite donde [" tiende a [<= y v x tiende a cero :
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
211
óp
=
- f®g
( 7.59 )
(f- - f)g
( 7.60 )
6x
entonces
óp
- fg
=
óx
Si 0 es el coeficiente volumétrico de expansión térmica del fluido,
se puede relacionar la variación de la densidad con la temperatura
por medio de:
1
r 6t -,
q
=
C
1
«
Ai
(
L 6T -1»
f
7.61 )
AI
(f- - f) = -i3fCT- - T)
( 7.62 )
( 7.60 ) se transforma en :
- fg
óp
=
- i3f(T® - T)g
( 7.63 )
Óx
Si se considera que el fluido es un gas ideal :
f = pM/RT ; 0 =
foo/f - 1
= T/T® - 1
T - T®
T - T®
= 1
( 7.64 )
T®
La ecuación ( 7.57 ) se modifica a :
vx
ÓVx
óx
+ vy
ÓVx
Óy
=
g0(T - T®) +
2
r ó v2 x
Óy
( 7.57 a )
Examinando las ecuaciones ( 7.57 a ) y ( 7.58 ), se observa que en la
convección libre
las ecuaciones de continuidad y cantidad de
movimiento no se pueden resolver independientemente de la ecuación de
energía debido a que el término del empuje
g0(T - T®) asocia la
ecuación de cantidad de movimiento con la ecuación de la energía.
Luego las tres ecuaciones deben resolverse simultáneamente. Salvo el
término del empuje estas expresiones son idénticas a las ecuaciones
de la capa límite de convección forzada 3obre una placa plana
horizontal.
Las condiciones límite son :
vx=0;
vy=0;
T=Ts;
y=0
Vx = 0 ;
T = T® ;
y -> o> (fuera de la capa limite)
La ecuación integral de cantidad de movimiento es :
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
re»
v 2 dy
dx .
d
6vx
+
6y
P6
gí3 (T - T-) dy
i 7.65 )
y=0
La ecuación integral de energía
d
f6
|
dx J 0
ÓT
T - T~)dy
- a
7 66
óy
Aquí se ha supuesto que el
e hidrodinámica ) es igual.
Las ecuaciones i 7.65 ) y
pues la temperatura aparece
y=0
espesor de las dos capas limite t térmica
Parece lógico ya que una origina la otra.
( 7.66 ) deben resolverse simultáneamente
en ambas.
Para resolverlas se deben escoger perfiles apropiados que representen
las distribuciones de velocidad y de tamperatura en la capa límite.
El perfil de temperatura
grado de la forma
T
se representa
por un polinomio de segundo
= a + by + cy2
a, b, c, se determinan de las condiciones siguientes:
T = Ts en y = 0 ; T = Tm en y = ó : (óT/byi = 0
en y -
El perfil de temperatura resultante es
T - T-
(1 - y/Ó)2
7 67 i
Te - Ta,
Las condiciones de la capa límite de velocidad implican que se debe
alcanzar un valor máximo dentro de la capa límite siendo sus valores
sobre la superficie y en el borde, cero
FIGURA 7.10 Perfiles de temperatura y velocidad en convección libre
desde una placa vertical caliente
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
213
Seleccionamos un polinomio cúbico de la forma :
v* = Vo ( ai + biy + ciy2 + diy3 )
Los coeficientes ai, bi, ci y di y la velocidad de referencia Vo son
funciones de x y deben determinarse a partir de las condiciones
limite:
vx = 0
en y = 0 ; v x = 0 en y = 6 ; óvx/óx = 0
en y = 6 ,
donde 6 es el borde de la capa limite de velocidad. La cuarta
condición se obtiene al calcular ( 7.57 a ) en y = 0, observando que
allí:
vx = vy = 0 y
T = Ts
Ó2Vx
(Ta - Ta.)
-
r
Óy2
Con estas cuatro condiciones límite, el perfil de velocidades es :
£ó2g(Ts - T®)
Vx
(1 - y/6)-
=
4 r
( 7.69 )
Ó
que se puede expresar como :
vx
(1 - y/Ó)2
= V
7.70 )
Ó
Siendo V una función arbitraria de x con dimensiones de velocidad. Su
valor máximo se halla para 6vx/6y = 0 en y = 6/3.
Reemplazando ( 7.70 ) y ( 7.67 ) en ( 7.65 ) y ( 7.66 )
I d
1
(V 2
150
V
g0 (Ts - T-)Ó - r
=
dx
3
1
d
(Ta -
30
g)
Ta.)
i 7.71 )
ó
Ta - T=
(Vó) = 2a
dx
( 7.72 )
ó
Estas son ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de las dos
incógnitas y se resuelven por similaridad. Debemos buscar formas
funcionales de V y ó tales que cuando se sustituyan en las ecuaciones
anteriores, las expresiones resultantes sean independientes de x :
V^r Ax
; 6n— Bx
( 7.73 )
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
A, B, m y n son constantes. Reemplazando :
(2m +n)A2B
2m+n-l
1
n
x
=
g|3(Ts - T®)Bx
3
105
(m + n)AB
m+n-i
x
2a
=
30
TA
m-n
x
( 7.74 )
B
-n
x
( 7.75 )
B
Si existen relaciones de similaridad ambos lados de las ecuaciones
deberán ser independientes de x; esto es posible si los exponentes de
x tienen el mismo valor en cualquier parte de estas ecuaciones.
Igualando los exponentes de x :
2m + n - 1 = m - n
m + n-1 = - n
m = 1/2
n = 1/4
Para determinar A y B, se introducen en (7.74) y (7.75) los valores
numéricos de m y n obtenidos. Desaparece la variable x obteniendo :
1 5
1
A2B
105
=
4
TA
g0(Te - T-)B
3
B
1
3
2a
30
4
B
Resolviendo simultáneamente :
20
A
a ,-Jsj- g¡3( Ta - Ta» )
= 5.17 r
L 21
B
r J l
r 20
rn
L 21
a •
r gí3(Ts - T») -,
r
= 3.93
J
i- a
Reemplazando en ( 7.73 ) B y n :
r**
H gCXTs -T®)
à = 3.93(0.952 + Pr)
Pr
p2
6
-H
=
3.93Pr
H
-H
(0.952 + Pr) Ür*
h
x
( 7.76 )
( 7.77 )
x
donde se define el número local de Grashof, Gr*, como:
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
215
gß(Ts - Tœ)x3
Gr,
( 7.78 )
r2
El coeficiente local hx de transferencia de calor en la superficie de
la placa está definido por q. = h(T» - T=) , es decir
-k(dT/dy)|y=0
qo
hx =
Ts - Tœ
Ts - T®
de ( 7.67 ):
dT
dy
2( Ts - Tœ j
y=0
Ô
de donde:
2 k
hx
de ( 7.76 )
=
hx = 0.508 Pr
-H
(0.952 + Pr)
g0(Ts - Tœ)
kx-*
( 7.79
rs
hx es inversamente proporcional a x**
En las aplicaciones ingenieriles, en forma semejante a lo que ocurre
con el coeficiente de fricción, es necesario el coeficiente medio de
transferencia de calor hm para la distancia desde x = 0 hasta x = L :
1
PL
hm
4
h dx
L
©
=
hx
3
hmL
Num
=
= 0.677 Pr
(0.952 + Pr)
x=L
^í
GrL
( 7.80 )
k
Gr.Pr
< 10»
Estos valores, calculados por el método integral aproximado, difieren
de los valores reales
en menos
de 10 % por encima para
0.01 < Pr < 1000.
Debemos tener presente que son válidas para capa limite laminar. En
una placa vertical la transición de flujo laminar a turbulento
empieza cuando los valores del parámetro ür.Pr son superiores a 10®.
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
TRANSFERENCIA DE MASA POR
PLACA VERTICAL.
CONVECCION NATURAL
TURBULENTA SOBRE UNA
Las variaciones de concentración entre un punto y otro de un fluido
puede conllevar diferencias de densidad. Aparecen entonces fuerzas
boyantes ( o de flotación ) que producen flujos de convección libre o
natural. La influencia de esta convección en transferencia de masa
puede ser considerada particularmente en ausencia de
convección
forzada. Analizaremos
la convección
natural originada
en la
gravitación, aunque puede ocurrir también bajo efectos centrífugos o
en un fluido conductor de la electricidad expuesto a un campo
magnético. Se asume que las concentraciones de soluto son bajas y la
distribución de concentraciones es tal que los cambios de densidad
son pequeños en relación a la densidad misma. Esto permite considerar
la densidad como constante cuando no se introduce como diferencia.
^Ix+dx
tx
CAPA LIMITE DE
CONCENTRACION
E HIDRODINAMICA
DE ESPESOR ^
Y
FIGURA 7.11. Volumen de control para convección natural.
Consideremos una pared vertical ( figura 7.11 ). La concentración de
soluto ( componente A ) es constante, |"AS, en toda la superficie de
la pared, y es [A<*> en puntos alejados de la misma. Observemos que la
situación ( así como en la figura 7.9 ) se asemeja a la figura 7.4,
rotada, en dirección contraria a las manecillas del reloj, por 90°,
haciendo v®
= 0, e introduciendo un término para la fuerza
gravitacional en la ecuación ( 7.3 ).
Aunque podemos utilizar la misma teoría desarrollada en los dos
últimos casos, también es posible hacerlo en forma similar a la
empleada para desarrollar la ecuación ( 7.3 ).
De hecho como v® = 0, salida menos entrada de cantidad de movimiento
convectivo igual a suma de fuerzas nos da
CAPITULO 7 . FLUJO EN CAPA LIMITE
d
b —
dx
H
además
dp/dy = 0
H
dp
(Vx 2 dy
dx = - T0(b dx)
dx(bH) + bdxgx
0
217
f dy
(7.81)
dx
gx = -g
; dp/dx = -fcog
y a bajas concentraciones puede definirse un coeficiente de expansión
volumétrica como :
Se considera así mismo que las capas límite de concentración y de
cantidad de movimiento tienen igualespesor en un x dado, ya que las
diferencias en densidad ( que originan el movimiento convectivo )
existen donde hay diferencias de concentración. 0 sea y > ó, [A =
fA®, vx = 0 y f/f® ~ 1. La ecuación ( 7.81 ) se transforma en :
d
P6
Vx 2 dy
Te
=
+ 0eg
r
dx
(fA - [A-)dy
(7.82)
Je
(comparar con ( 7.65 ))
Para el balance de la especie A dentro del elemento de volumen, para
estado estacionario y en usencia de reacción química homogénea:
W
- W
A2
w
-W
- W
Al
A3
=
d
rH
dx
0
-w
A2
bf
Al
0
( 7.83 )
A4
v
'A
dy
x
fH
w
= (b dx)
A3
w
A4
=
dx
n
(b dx)
As
0
fv (b dx)
f
v dy
A®
x
[
k <r
)(b dx)
i' Ae
k|~ es un coeficiente convectivo de transferencia de masa para A
difundiendo en
B que no difunde y opera con diferencias de
concentración expresadas en concentraciones másicas volumétricas.
Reemplazando en (7.83) y reorganizando :
d
dx
fí>c
(f
- f )V dy
A<=
A x
(comparar con ( 7.66 )).
( 7.84 )
Ae
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
6o ea el espesor de la capa límite de concentraciones. Como en este
caso 6o = 6 podemos olvidarnos del subíndice.
Nuevamente estas expresiones ( 7.82 ) y ( 7.84 ) deben resolverse
paralelamente j*ies son interdependientes. Dependiendo de los perfiles
de velocidad y concentración seleccionados así como de los valores
para T« y HA» podemos resolver el problema para flujo laminar o
turbulento. El caso para flujo laminar es análogo al ya resuelto para
transferencia de
calor y la técnica seguida aquí para flujo
turbulento puede aplicarse a transferencia de calor:
Seleccionamos perfiles de
concentración ya probados:
velocidad
<r Aa - rA<*>) 1
-
promediada
1/7(y/ó)
1/7
v
= V(y/Ó)
en
el
tiempo y
( 7.85 )
4
(1 - y/Ó)
( 7.86
Para TS y nA» deben tomarse valores experimentales. V es un parámetro
a determinar con dimensiones de velocidad.
Utilizando la expresión ( 7.22 ) con V en lugar de v®:
iH
u
0.0227[V2
J$ffV2
( 7.87 )
ÔVI
Usando la analogía de Chilton y Colburn:
f
JD
=
2/3
=
2/3
;k [
/ v p.Sc
j- BLM
®
St Se
2
u
n
Aa
=
0.0227
L
íA s " íA »
=
-2/3
Se
J
pues para soluciones diluidas
f
BLW
h
L 6 V
7.88 )
[
|~ELM -> [, donde :
(f
- f
)/[ln(f
/(
)]
Be
Bco
Ee
B®
Substituyendo los perfiles de velocidad y concentración así como los
valores de TS y TÍA« en ( 7.82 ) y ( 7.84 ) e integrando:
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
(V26) = - 0.228V2
0.523
+ 0.125߮g([
dx
u
0.0366
-f
As
ôVf -I
H
( 7.89 )
A<c
-2/3
( Vô ) = 0.0228 V
Se
dx
)ô
219
( 7.90 )
ÔV[
Asumimos las siguientes formas funcionales:
V
p
= C x
1
; 6
<a
= C x
2
Estas expresiones se incorporan en las ecuaciones ( 7.89 ) y ( 7.90 )
y se resuelven para Ci, C2, p y q en forma similar a como se hizo
para el caso de flujo laminar libre.
Se obtiene : p
=
1/2
; q =
7/10
U
Ci
10
C2 = 0.00338
-5
-8/3
C2 Se
= 0.0689
U^
2/3
[1 + 0.494 Sc
ß gf2(f
e
Ab
-16/3
] Se
- f )
A<=
Definimos:
g x®
Grü
(f-/f. - 1)
T2
( 7.91 )
Es el número de Grashof para transferencia de masa.
H
Gm
U
V
=
1.185
r*
2/3-
-0.1
(6/x) = 0.565 GrD
-
h
1 + 0.494 Se
( 7.92 )
2/3- 0.1
1 + 0.494 Se
-8/15
Se
( 7.93 )
Sabiendo que
= k
n
ABX
( f
J'X
- f
Aa
)
A°>
podemos hallar el coeficiente de transferencia de masa local, k[x, a
partir de las ecuaciones ( 7.88 ), ( 7.92 ) y ( 7.93 ) :
2/6
k
= 0.0299(D
px
AB
/x) Gr
D
7/16
Sc
2/3-1 - 2 / 6
1 + 0.494 Sc
I
( 7.94 )
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
Se observa que kf* varía con x 0 - 2 , tomando x al comienzo de la placa.
Si suponemos que la capa límite es turbulenta desde el comienzo el
coeficiente promedio sobre el rango de x entre 0 y L es:
k
i
1
—
L
=
fm
k
e
dx
=
f
k
1.2 f
X = L
El correspondiente Sherwood promedio es :
2/5
Sito = k
L/D
FŒ
AE
= 0.0249 Gr
7/16
Se
2/3n
-2/5
1 + 0.494 Se
i 7.95 )
D
De la ecuación ( 7.86 ) encontramos que
capa límite es:
la máxima velocidad en la
2/3-1 -*í
1 + 0.494 Se
H
GrD
En realidad la capa limite turbulenta está precedida por una sección
en la cual el flujo es laminar, para GrD.Se menor que 10e o 1010. Las
ecuaciones anteriores son aplicables sólo para números de Grashof
suficientemente grandes para que la capa límite laminar ocupe apenas
una pequeña fracción de la longitud total L. esto se cumple para
Gr>1010.
Estas ecuaciones son aplicables a transferencia de calor ( y las de
transferencia de calor en la película laminar a la transferencia de
masa ) intercambiando Sh por Nu, GrD por Gr y Se por Pr.
TRANSFERENCIA DE CALOR - FLUJO CONVECTIVO SOBREPLACA PLANA.
Consideremos una placa plana horizontal paralela a la cual fluye un
fluido con velocidad uniforme v®. Como ya vimos, debido al arrastre
viscoso se formará una capa límite hidrodinámica de espesor ó.
Si la placa está a una temperatura Ts diferente de T®, la temperatura
del fluido, podremos identificar una zona donde existen gradientes de
temperatura. El borde de esta zona o capa limite térmica será el
lugar goeométrico de los puntos donde
T - Ts
-
0.99
T® - Ts
y se espera sea ÓT ( ver figura 7.12 )
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
221
FIGURA 7.12. Capa límite térmica e hidrodinámica.
Utilizando un volúmen de control similar al de la figura 7.4 y
notando que la energía térmica que entra o sale del elemento de
volúmen por convección es el caudal másico multiplicado por CpT;
q
2
_
q
_
1 3
_
q
q
0
4
Balance de Energía.
rH
q
- q
2
=
1
(w
- w )CpT
3
=
fbCp
Tvjsdy
dx
dx
2
H
q
=
w CpT
3
=
fbCp
1
T vx dy
dx
dx
pues, del balance de materia
VH
Vx dy
=
( 7.2 )
dx
q
= h (Ts - Too) = q
4
X
Reemplazando
en
simplificando :
d
Cpf
el
balance
de
£
energía,
reeorganizando
òfp
VX(T<D - T ) dy
=
- q.
( 7.96 )
dx
El limite superior se cambia a ÓT pues para y > ÓT,
T = T®.
La ecuación ( 7.96 ) debe resolverse simultáneamente con la ecuación
intergral de cantidad de movimiento para la placa plana horizontal;
222
FENOMENOS DE TRANSPORTE
ra
d
v (v - v ) dy
© * «
x
=
-
( 7.3
T
6.
CAPA LMtTE TERMICA
Too
8
*T
"
^
A .
7~ <r<¡
CAPA LIMITE DE VELOCCAD
7
FIGURA 7.13. Capas límite
de velocidad
transferencia de calor a metales líquidos.
y
térmica
Para ello debemos conocer o suponer los perfiles
temperatura, T», q e y las condiciones límite.
para la
de velocidad, de
Suponiendo un perfil sinusoidal de velocidades encontramos para flujo
laminar
v = v sen(ity/2S)
7.6 )
X
62 =
CD
2it2 r
x
(4 -
Ti) Veo
;
Ô
4.80/(Rex)
( 7.9 )
x
Supongamos que en la capa límite térmica el perfil de temperatura
obedece una ley similar, es decir, en flujo laminar, T-Ts = a sen(by)
Condiciones límite:
T - Ts
= Tco - Ts
Paira y = ÔT
T - Ts
= 0
Para y = 0.
(T - Ts) = 0
Para y = ÔT
dy
d2
dy2
(T - Ts) = 0
Para y = 0
Aplicando estas condiciones obtenemos:
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
T
- Ts
223
r Tty
=
sen
=
e
=
sen by
( 7.97 )
L 2ÔT J
Tœ - Ts
Reescribimos la ecuación ( 7.96 ) :
d
®T
de
Vx( 1 - 6) dy
dx . 0
( 7.98 )
= a
dy
y=0
Reemplazandò ( 7.6 ) y ( 7.97 ):
d
dO
(vxsen ay)(1 - sen by) dy
= a
dx J e
d
dy
y=Ö
Òrp
(8en(ay) - sen(ay) sen(by)) dy =
dx
(sen by )
dy
( 7.99 )
y=0
donde
a
fÔT
Ii =
;
b
=
TC/2ÔT
1
sen(ay) dy
= -
0
= -
cos(ay)
©
a
PÔT
la =
k/26
=
cos(AÔT) +
a
a
TÔT
sen(ay)sen(by)dy =
e
[co8(a-b)y - cos(a+b)y] dy
(7.99a)
2 .
&T
12
sen(a-b)y -
=
(a-b)
sen(a+b)y
(a+b)
•[sen(ay)cos(by) - cos(ay)sen(by)]
12 =
(a-b)
1
-
[sen(ay)cos(by) + cos(ay)sen(by)]
(a+b)
Teniendo presente que bÔT = (IT/2ÔT)ÔT = TI/2 , y que, coa(it/2) = 0, y
sen(0) = 0 , la ecuación anterior se reduce a:
- 1
.2
cos(aÔT) -
L (a-b)
cos(aÔT)
(a+b)
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
r
1
=
1
1
cos(aÔT)
+
2
1- (a-b)
(a+b)
Entonces:
II - 1 , =
1
r
1
a
eos(aÔT) -
La
cos(aÔT)
b 2 -a 2
a
an
a
(sen by)
dy
=
ab eos b(0) =
y=e
2ÔTV®
En este momento la ecuación ( 7.99 ) se ha transformado en :
d
p1
1
an
cos(aÔT)
dx
La
cosiaÔT)
( 7.106 )
t^-a2
a
2ÓTV-
Debe anotarse que se llega al mismo resultado si en
(7.99a) se hace el reemplazo de a y b, sabiendo que :
la
ecuación
sen(9 ± n/2) = ± eos 9
La ecuación ( 7.100 ) se transforma a :
d
1
a
A TI
eos aÓT
dx
b2 - a2
a
2 Ó
v
T
»
pero
-i
l
a
b2 - a2
a
26
re
TT2
rc2
TT
26
4 Ô2
4 Ó2
T
2 6 Ô2
-1
26
Tt Ó
2 Ó2
TI
It
26
26
TI
t
TT( Ó 2 -
T
26
r
TI
L
1
PR2/3 -
,
1
26
J
Hemos hecho 6/6T = Pr 1 / 3 como sugiere Polhausen.
La ecuación ( 7.100 ) cambia a :
r
Ó2
T
1
L I - Pr~2/3
)
-,
-
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
2
(
ß
dô
)
225
a TT
=
Tt
dx
2 òtvod
Sabemos que
4.80 x
6
=
Re**
X
por tanto :
dô
2.40
1 6
dx
2
x
Rex*
Reemplazando
H
H
a Tt2 Rex
1.028 a Rex
ß v==
(2.40)(4) ß v»
donde
eos (Tt/2Pr1/3)
ß
= 1
1 - Pr-2/3
En este momento conocemos la distribución de temperaturas (7.97).
El coeficiente de transferencia de calor
superficie de la placa se obtiene así:
= h
T
entre
fluido
y la
dT
Tt 6
dy yr=(d
T - T
a
2 ÔT . Ö
k
- T
el
Tt X
Tt X ß Van
2ÔT
(2)( 1.028) a Rex4*
Nu* = hxx/k
1.528 ß x Vo=
Nux
Pr
a Rex*
Nux =
a
=
1.528 ß Rex Pr
r
( 7.102 )
TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LIMITE LAMINAR. ANALISIS EXACTO.
Las ecuaciones a aplicarse a este
isobàrico, bidimensional son:
flujo
estable,
incompresible,
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
Energía.
6T
S2T
8T
+
Vx
vy
= a
6x
6y2
6y
Cantidad de movimiento
6vx
6vx
Vx
+
= r
Vy
6x
óy
ó2vx
6y2
Continuidad
6Vx
6vy
+
3
6x
0
6y
Las dos últimas fueron resueltas por Blasius para dar los resultados
del factor de fricción ( ecuación 7.18 ). Al ver la similitud
existente entre las ecuaciones de energía y cantidad de movimiento se
hace razonable pensar en aplicar la solución de Blasius a la ecuación
de energía.
Debe cumplirse T = a o sea Pr = 1.
Las condiciones límite deben ser compatibles.
En y = 0
T
Vx/Va,
=
Vy/VoD
- Ts
=
=
0
T® - Ts
En y = ®
T
Vx/V»
- Ts
=
=
1
T® - Ts
Aplicando los resultados de Blasius obtenemos:
T
r
=
Vx/Va,
- Ts
=
; n
h
= y/ (Tx/vco)
Ta, - Ts
0 sea que el perfil de velocidad adimensional en la capa límite
laminar es idéntico con el perfil adimensional de temperaturas. Es
consecuencia de Pr = 1.
Como consecuencia
son iguales.
lógica, las
capas límite
Aplicando los resultados de Blasius
hidrodinámica y térmica